4.4.2 第2课时 对数函数的图象及其性质的应用 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一课后习题（人教A版）

**基本信息** 本同步练习聚焦对数函数性质应用，通过基础巩固、中档综合、拔高创新三层设计，实现从概念理解到复杂问题解决的递进，适配新授课分层教学，培养数学抽象、推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|反函数定义域、函数值域等单一概念|以选择填空为主，如反函数定义域题，强化概念辨析| |中档层|单调性、图象识别、奇偶性等性质综合|含多选题（如函数性质判断）和解答题（如求参数值），衔接课堂例题| |拔高层|新定义、存在性、恒成立等创新应用|结合“减半函数”新情境与不等式恒成立问题，提升综合解题能力|

第2课时　对数函数的图象及其性质的应用 1.函数y=log3x的反函数的定义域为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(0,+∞) B. C.(1,4) D.[-1,4] 2.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为 (　 ) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 3.[2025·厦门一中高一期中] 函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间为 (　 ) A.(-1,1) B.(-∞,1) C.(1,3) D.(1,+∞) 4.已知0<a<1,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=-logax的图象可能是 (　 ) A B C D 5.函数f(x)=lg(x2-ax-1)在(1,+∞)上单调递增的一个充分不必要条件是 (　 ) A.a≤0 B.a<2 C.-1≤a<2 D.-1≤a≤0 6.(多选题)设a>0且a≠1,函数f(x)=ax,g(x)=logax,下列说法正确的是 (　 ) A.f(x)与g(x)在各自的定义域内有相同的单调性 B.f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称 C.f(x)与g(x)都既不是奇函数,也不是偶函数 D.f(x)与g(x)有相同的定义域和值域 7.函数f(x)与g(x)=ax(a>0,a≠1)互为反函数,且g(x)的图象过点(-2,4),则f(1)+f(2)=　　　　.  8.已知函数f(x)=log3为奇函数,则实数a的值为　　　　.  9.(13分)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=logax(a>1),且f(x)在上的最大值为1. (1)求a的值; (2)令F(x)=f+f,求函数F(x)的值域. 10.已知函数f(x)=log2的定义域为[-2,0],若存在x1,x2∈[-2,0],满足|f(x1)-f(x2)|≥3,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 11.(多选题)已知函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则下列说法中错误的是 (　 ) A.f(x)是偶函数,且在上单调递增 B.f(x)是奇函数,且在上单调递减 C.f(x)是偶函数,且在上单调递增 D.f(x)是奇函数,且在上单调递减 12.已知函数f(x)=,若函数f(x)与函数g(x)互为反函数,则g(-2x2-5x+3)的单调递减区间是　　　　.  13.[2025·泉州七中高一月考] 已知函数f(x)=2+log3x,x∈[1,9],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为　　　　.  14.(15分)已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若f(1)=1,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(x)的最小值是0,求实数a的值; (3)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围. 15.函数y=f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数,②存在[s,t]⊆D,使得f(x)在[s,t]上的取值范围为,则称y=f(x)为“减半函数”.现有函数f(x)=loga(ax+m+1)(a>0,a≠1,m≥-1)是“减半函数”,则m的取值范围是　　　　.  16.(15分)已知函数f(x)=log2(x+a)(a>0),设g(x)=f(4x). (1)当a=1时,解关于x的不等式f(x)<-1; (2)若对任意的x∈(0,2),f(x)<g(x)恒成立,求正数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　对数函数的图象及其性质的应用 1.D　[解析] 由对数函数的性质可得,函数y=log3x的值域为[-1,4],则其反函数的定义域为[-1,4].故选D. 2.A　[解析] ∵3x>0,∴3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,∴函数f(x)的值域为(0,+∞).故选A. 3.A　[解析] 令-x2+2x+3>0,得x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3.函数y=-x2+2x+3的图象是开口向下,且对称轴方程为x=1的抛物线.根据复合函数的单调性,可得函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间为(-1,1).故选A. 4.B　[解析] 方法一:由题意,若0<a<1,则指数函数y=a-x=单调递增,图象过定点(0,1),函数y=logax单调递减,图象过定点(1,0),而函数y=-logax与函数y=logax的图象关于x轴对称,所以y=-logax单调递增,图象过定点(1,0),对比选项可知,只有B选项符合题意.故选B. 方法二:由题意得0<a<1,指数函数y=a-x=单调递增,图象过定点(0,1),排除选项A,D,又y=-logax与y=a-x互为反函数,图象关于直线y=x对称,排除C.故选B. 5.D　[解析] f(x)=lg(x2-ax-1)在(1,+∞)上单调递增等价于同时满足:①y=x2-ax-1在(1,+∞)上单调递增,②x2-ax-1>0(x>1)恒成立,即解得a≤0.结合选项可知-1≤a≤0是a≤0的充分不必要条件.故选D. 6.ABC　[解析] 由指对数关系知,f(x)=ax与g(x)=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,B正确;由于a相同,则f(x)=ax,g(x)=logax在各自定义域上单调性相同,且都是非奇非偶函数,A,C正确;f(x)=ax的定义域为R,值域为(0,+∞),g(x)=logax的定义域为(0,+∞),值域为R,所以f(x)与g(x)的定义域和值域都不同,D错误.故选ABC. 7.-1　[解析] 由题意可得f(x)=logax,又g(x)的图象过点(-2,4),所以a-2=4,可得a=,所以f(x)=lox,所以f(1)+f(2)=lo1+lo2=0-1=-1. 8.1　[解析] 由函数f(x)为奇函数,得f(x)=-f(-x),所以log3=-log3,所以=,所以a2=1,又易知a≠-1,所以a=1. 9.解:(1)∵a>1,∴函数f(x)=logax在上单调递增. ∵f(x)在上的最大值为1, ∴f(3)=loga3=1,解得a=3. (2)∵a=3,∴F(x)=log3+log3=log3=log3. 由解得-<x<,∴函数F(x)的定义域为. 令t=-x2,则t∈,∴F(x)≤log3=-2,∴F(x)的值域为(-∞,-2]. 10.D　[解析] 令u(x)=-a,x∈[-2,0],则u(x)在[-2,0]上单调递减,所以u(x)的最小值为u(0)=1-a>0,可得a<1,且u(x)∈[1-a,4-a].令g(u)=log2u,u∈[1-a,4-a],则g(u)=log2u在[1-a,4-a]上单调递增,所以g(u)∈[log2(1-a),log2(4-a)].因为存在x1,x2∈[-2,0],满足|f(x1)-f(x2)|≥3,所以f(x)max-f(x)min≥3,所以g(u)max-g(u)min=log2(4-a)-log2(1-a)=log2≥3,可得≤a<1.故选D. 11.ABC　[解析] 由题得解得x≠±,即函数f(x)的定义域为.f(x)=故f(x)在,上单调递减,在上单调递增,又f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以f(x)是奇函数.综上,A,B,C中说法错误,D中说法正确.故选ABC. 12.　[解析] 因为函数f(x)=,函数f(x)与函数g(x)互为反函数,所以g(x)=lox,g(x)为减函数.令-2x2-5x+3>0,解得-3<x<,可知g(-2x2-5x+3)的定义域为.y=-2x2-5x+3在上单调递增,在上单调递减,利用复合函数的单调性可知,g(-2x2-5x+3)在上单调递减,在上单调递增,故g(-2x2-5x+3)的单调递减区间为. 13.[6,13]　[解析] 由得1≤x≤3,所以y=[f(x)]2+f(x2)的定义域是[1,3].y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6,令t=log3x,x∈[1,3],则t∈[0,1],y=[f(x)]2+f(x2)=t2+6t+6=(t+3)2-3,所以当t=0时,ymin=6,当t=1时,ymax=13,所以所求值域为[6,13]. 14.解:(1)∵f(1)=1,∴log4(a+5)=1,解得a=-1, ∴f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0,解得-1<x<3, ∴f(x)的定义域为(-1,3). ∵函数t=-x2+2x+3在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,y=log4t是定义域上的增函数,∴函数f(x)的单调递增区间为(-1,1). (2)∵函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的最小值为0, ∴函数y=ax2+2x+3有最小值1,∴解得a=. (3)∵函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的值域为R,∴函数y=ax2+2x+3能够取到大于0的所有实数,则a=0或∴0≤a≤. 15.　[解析] 由题意可知函数f(x)=loga(ax+m+1)(a>0,a≠1,m≥-1)在其定义域D内为增函数.若y=f(x)为“减半函数”,则存在[s,t]⊆D,使得f(x)在[s,t]上的取值范围为,所以即 所以方程loga(ax+m+1)=x必有两个不同的实数根,所以ax+m+1=,即ax-+m+1=0有两个不同的实数根.令b=>0,则方程b2-b+m+1=0有两个不同的正根b1,b2,所以解得-1<m<-,故m的取值范围是. 16.解:(1)当a=1时,f(x)=log2(x+1),由f(x)<-1,得log2(x+1)<log2,则0<x+1<,解得-1<x<-,所以原不等式的解集为. (2)依题意,g(x)=log2(4x+a),a>0,不等式f(x)<g(x)等价于log2(x+a)<log2(4x+a),等价于log2(x+a)2<log2(4x+a), 依题意,当x∈(0,2)时,不等式log2(x+a)2<log2(4x+a)恒成立, 即(x+a)2<4x+a,即x2+(2a-4)x+a2-a<0对x∈(0,2)恒成立. 设h(x)=x2+(2a-4)x+a2-a,则即 整理得即解得0≤a≤1, 又a>0,所以0<a≤1,所以正数a的取值范围是(0,1]. 学科网（北京）股份有限公司 $