2.3 第2课时 一元二次不等式的简单应用 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一课后习题（人教A版）

**基本信息** 聚焦一元二次不等式应用，通过基础巩固、中档提升、综合拓展三层设计，实现从单一解法到实际应用的递进，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|不等式解法、集合运算|单选为主，如1-5题直接考查解集求解，7-8题基础填空，巩固概念理解| |中档层|恒成立问题、实际应用|包含多选（6题）和解答题（9题），如5题销售问题、8题刹车距离，体现数学应用| |提升层|含参不等式、综合应用|解答题（14、16题）和多选题（15题），如14题函数与不等式结合，16题含参讨论，发展逻辑推理|

第2课时　一元二次不等式的简单应用 1.C　[解析] 由不等式≤0,可得解得-<x≤1.故选C. 2.A　[解析] 因为集合A={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},集合B=={x|x<0或x>1},所以A∩B={x|-2<x<0},故选A. 3.D　[解析] ≥-2,即≥0,即解得x≤0或x>1,故原不等式的解集为{x|x≤0或x>1}.故选D. 4.A　[解析] 因为关于x的不等式x2-4x-a-1≥0的解集为R,所以Δ=(-4)2-4(-a-1)≤0,解得a≤-5.故选A. 5.C　[解析] 由题意可得x>15,且[30-2(x-15)]x≥400,即x2-30x+200≤0,解得10≤x≤20,所以15<x≤20.故选C. 6.ACD　[解析] x2+bx+c≥2x+b可整理为x2+(b-2)x+c-b≥0,根据二次函数的性质有Δ=(b-2)2-4(c-b)=b2-4c+4≤0,故A正确;当b=1,c=2时,满足Δ≤0,即原不等式成立,故B错误;由Δ≤0,得c≥+1,所以c≥1,故C正确;b+c≥+b+1=≥0,故D正确.故选ACD. 7.0≤k≤1　[解析] 当k=0时,不等式kx2-6kx+k+8≥0即为8≥0,恒成立;当k≠0时,要使不等式kx2-6kx+k+8≥0恒成立,只需解得0<k≤1.综上,k的取值范围是0≤k≤1. 8.甲　[解析] 由题意得 即所以v1>45.由题意得 即所以0<v2<40.因为限速40 km/h,所以甲车超速了,所以甲车应负主要责任. 9.解:(1)∵≤1,∴-1≤0,即≤0,即≥0,该不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0,解得x<或x≥4,∴原不等式的解集为. (2)由≥2,得≥0,即≤0,等价于解得1<x≤2, ∴原不等式的解集为{x|1<x≤2}. (3)不等式≤x-2可化为-(x-2)≤0,即≤0, 于是或解得0≤x<2或x≥4,∴原不等式的解集为{x|0≤x<2或x≥4}. 10.D　[解析] 因为“∃x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,所以“∀x∈R,4x2+(a-2)x+>0”是真命题,所以Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a<0,解得0<a<4.故选D. 11.C　[解析] (m-x)⊕(m+x)<4,即(m-x+1)(m+x)=m2-x2+m+x<4,则存在x∈{x|1≤x≤2},使得不等式m2+m<x2-x+4成立,等价于m2+m<(x2-x+4)max,1≤x≤2.由x2-x+4=+,可得当x=2时,x2-x+4取得最大值6,所以m2+m<6,解得-3<m<2.故选C. 12.a≤6　[解析] 方法一:令y=x2+ax+15-a,依题意,y≥0在x∈{x|-4≤x≤0}时恒成立,由于二次函数的图象开口向上,若-≤-4,即a≥8,当-4≤x≤0时,y随x的增大而增大,所以ymin=16-4a+15-a≥0,解得a≤,不合题意;若-≥0,即a≤0,当-4≤x≤0时,y随x的增大而减小,所以ymin=15-a≥0,解得a≤15,所以a≤0;当0<a<8时,只需判别式Δ=a2+4a-60≤0,解得-10≤a≤6,所以0<a≤6.综上所述,a的取值范围是a≤6. 方法二:当-4≤x≤0时,关于x的不等式x2+ax+15-a≥0恒成立,即a≤恒成立,所以a≤,又==1-x+-2≥2-2=6,当且仅当1-x=,即x=-3时等号成立,所以a≤6. 13.3　[解析] 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,则2×100≥3000,整理得5x-14-≥0,又1≤x≤10,所以5x2-14x-3≥0,可得3≤x≤10,故x的最小值是3. 14.解:(1)因为不等式y<0的解集为{x|1<x<t}, 所以1和t为方程x2-3x+b=0 的两根,所以解得b=t=2. (2)由题意知当1≤x≤4时,x2-3x+2>kx2恒成立,两边同除以x2得,k<-+1. 令n=,则上述不等式等价于k<2n2-3n+1,≤n≤1,所以有k<(2n2-3n+1)min,令s=2n2-3n+1=2-,≤n≤1, 所以当n=时,smin=-,所以实数k的取值范围为k<-. 15.CD　[解析] 由x2-8|x|+a≤0,得a≤-x2+8|x|,令y=-x2+8|x|=作出该函数的图象如图所示.由图可知,当12<a≤15时,a≤-x2+8|x|恰有6个整数解,分别为-5,-4,-3,3,4,5,又a∈Z,故a的可能取值为13,14,15,故选CD. 16.解:(1)由x2-(a-1)x+2≤2+a,得x2-(a-1)x-a≤0,解方程x2-(a-1)x-a=0,可得x=-1或x=a,所以当a<-1时,原不等式的解集为{x|a≤x≤-1}; 当a=-1时,原不等式的解集为{-1};当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1≤x≤a}. (2)方法一:对任意的x>-1,a(x+1)≤x2+3x+6恒成立, 因为x>-1,所以x+1>0,所以a≤恒成立, 即a≤. 因为=x+2+=(x+1)++1≥2+1=5, 当且仅当x+1=,即x=1时等号成立,所以=5. 因为a≤,所以a≤5,即实数a的取值范围是a≤5. 方法二:对任意的x>-1,a(x+1)≤x2+3x+6恒成立, 即对任意的x>-1,x2+(3-a)x+6-a≥0恒成立. 令y=x2+(3-a)x+6-a,x>-1, 当≤-1,即a≤1时,函数y=x2+(3-a)x+6-a>1-3+a+6-a=4>0,符合题意; 当>-1,即a>1时,只需Δ=(3-a)2-4(6-a)≤0,解得-3≤a≤5,又a>1,则1<a≤5.综上所述,实数a的取值范围是a≤5. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　一元二次不等式的简单应用 1.不等式≤0的解集为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 2.已知集合A={x|(x-1)(x+2)<0},集合B=,则A∩B= (　 ) A.{x|-2<x<0} B.{x|1<x<2} C.{x|0<x<1} D.R 3.不等式≥-2的解集是 (　 ) A.{x|0≤x<1} B.{x|x≤0或x≥1} C.{x|x≤-1或x≥0} D.{x|x≤0或x>1} 4.若关于x的不等式x2-4x-a-1≥0的解集为R,则实数a的取值范围为 (　 ) A.a≤-5 B.a≤-2 C.a>-5 D.a≥-5 5.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,则每天能卖出30盏;若销售单价每提高1元,则日销售量将减少2盏.现决定提价销售,为了使这批台灯每天获得不少于400元的销售收入,则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是 (　 ) A.15≤x<16 B.15<x<18 C.15<x≤20 D.10≤x≤20 6.(多选题)不等式x2+bx+c≥2x+b对任意的x∈R恒成立,则 (　 ) A.b2-4c+4≤0 B. b≤0 C.c≥1 D. b+c≥0 7.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0恒成立,则k的取值范围是　　　　.  8.限速40 km/h的盘山公路上两车相撞.经测量,甲车的刹车距离略大于9 m,乙车的刹车距离略小于10 m.经查询,甲、乙车的刹车距离s1,s2(单位:m)与行驶速度v1,v2(单位:km/h)分别满足s1=0.01-0.25v1和s2=0.005+0.05v2,则　　　　车应负主要责任.  9.(13分)解下列不等式: (1)≤1; (2)≥2; (3)≤x-2. 10.已知“∃x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围为 (　 ) A.a<0 B.0≤a≤4 C.a≥4 D.0<a<4 11.在R上定义运算:a⊕b=(a+1)b,若存在x∈{x|1≤x≤2},使得不等式(m-x)⊕(m+x)<4成立,则实数m的取值范围为 (　 ) A.-2<m<2 B.-1<m<2 C.-3<m<2 D.1<m<2 12.当-4≤x≤0时,关于x的不等式x2+ax+15-a≥0恒成立,则a的取值范围是　　　　.  13.甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,则x的最小值是　　　　.  14.(15分)已知函数y=x2-3x+b,不等式y<0的解集为{x|1<x<t},b,t∈R. (1)求b和t的值; (2)若当1≤x≤4时,函数y=x2-3x+b的图象恒在y=kx2图象的上方,求实数k的取值范围. 15.(多选题)已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-8|x|+a≤0有6个整数解,则a的可能取值为 (　 ) A.11 B.12 C.13 D.14 16.(15分)[2026·湖南雅礼教育集团高一期中] (1)求关于x的不等式x2-(a-1)x+2≤2+a的解集; (2)若对任意的x>-1,a(x+1)≤x2+3x+6恒成立,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $