2.2 第2课时 基本不等式的简单应用 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一课后习题（人教A版）

**基本信息** 高中数学基本不等式的简单应用同步练，分层设计清晰，从基础应用到综合建模，适配新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点直接应用|如1、2题直接用基本不等式求最值，巩固概念| |中档|条件变形与简单应用|如9题行车费用实际情境，培养模型意识| |提升|综合应用与复杂建模|如14(2)证明不等式、16题公园设计，发展推理能力|

第2课时　基本不等式的简单应用 1.已知正数x,y满足+=1,则2x+y的最小值是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.8 B.6 C.4 D.2 2.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为 (　 ) A.9 cm2 B.16 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2 3.已知0<a<1,0<b<1,且a≠b,则下列各式中值最大的是 (　 ) A.a2+b2 B.2 C.2ab D.a+b 4.“a=b”是“=”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(多选题)若a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是 (　 ) A.a2+1>a B.≥4 C.(a+b)≥4 D.a2+9>6a 6.某食品加工厂生产某种食品,第一个月的产量为100 kg,第二个月产量的增长率为a,第三个月产量的增长率为b,若这两个月产量的平均增长率为x,其中a,b,x均大于零,则 (　 ) A.x= B.x≤ C.x> D.x≥ 7.已知正实数a,b满足a+b=1,则+的最小值为　　　　.  8.已知a>0,b>0,a+b=4,则+的最小值为　　　　.  9.(13分)[2026·湖北武昌实验中学高一月考] 某种型号的特殊运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,根据规定50≤x≤100.假设汽油的价格为每升6元,卡车每小时耗油升,司机的工资是每小时140元. (1)求这次行车的总费用y(单位:元)关于x的函数表达式. (2)当x为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低总费用.(x精确到0.1,总费用精确到0.01元,≈23.875) 10.[2026·杭州学军中学高一月考] 已知正数x,y满足x+2y-2xy=0,那么2x+y的最小值是 (　 ) A.1 B. C.9 D.2 11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的周长为3,则+的最小值为 (　 ) A. B. C.3 D. 12.(多选题)如图,某小区拟建造一个矩形绿地ABCD,如果在AB的中点M正北方向25米处立起一根旗杆E,在BC的中点N正东方向40米处立起一根旗杆F,且E,B,F三点在同一条直线上,那么该矩形绿地的周长可能为 (　 ) A.40米 B.60米 C.80米 D.90米 13.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25,则当每台机器运转　　　　年时,年平均利润最大.  14.(15分)(1)[2026·清华大学附中高一月考] 已知a>0,b>0,a+b=2. ①求ab的最大值; ②求+的最小值; ③求a2+2b2的最小值. (2)已知a,b,c都是正实数,且a+b+c=3,求证:++≥3. 15.已知a,b,c为正数,且a+2b+c=2,则+的最小值为 (　 ) A. B. C. D. 16.(15分)如图,在公路AB的两侧规划两个全等的公园,其中AC,BC,AD,BD为健身步道,△ABC,△ABD为绿化带,△ABC≌△BAD,∠ACB=∠BDA=90°.已知AC,BD段的造价为每米3万元,AD,BC段的造价为每米4万元,绿化带的造价为每平方米2万元,设AC的长为x米,BC的长为y米. (1)若健身步道与绿化带的费用一样,则如何设计使公园面积最小? (2)若公园建设总费用为74万元,则健身步道的总长至少为多少? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　基本不等式的简单应用 1.A　[解析] 因为正数x,y满足+=1,所以2x+y=(2x+y)=2+++2≥2+4=8,当且仅当=,即x=2,y=4时取等号,所以2x+y的最小值是8.故选A. 2.C　[解析] 设矩形模型一条边的长为x cm,相邻边的长为y cm,则x>0,y>0,由题意可得2(x+y)=8,所以x+y=4.设矩形模型的面积为S cm2,则S=xy≤==4,当且仅当x=y=2时等号成立,故选C. 3.D　[解析] 因为0<a<1,0<b<1,所以a2<a,b2<b,所以a2+b2<a+b,又a2+b2>2ab,所以2ab<a2+b2<a+b.又因为a+b>2,所以a+b的值最大,故选D. 4.B　[解析] 当a=b<0时,=不成立,充分性不成立;当=时,有a≥0且b≥0,a+b-2=0,即(-)2=0,得a=b,必要性成立.所以“a=b”是“=”的必要不充分条件.故选B. 5.ABC　[解析] 对于A,根据基本不等式可知当a>0时,a2+1≥2a>a,当且仅当a=1时等号成立,所以a2+1>a,故A恒成立;对于B,当a>0,b>0时,a+≥2=2,当且仅当a=1时等号成立,b+≥2=2,当且仅当b=1时等号成立,所以≥4,当且仅当a=b=1时等号成立,故B恒成立;对于C,(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b时等号成立,故C恒成立;对于D,当a=3时,a2+9=6a,故D不恒成立.故选ABC. 6.B　[解析] 根据题意得100(1+a)(1+b)=100(1+x)2,则1+x=,又≤=1+,当且仅当a=b时取等号,所以x≤.故选B. 7.9　[解析] 因为a>0,b>0,a+b=1,所以+=+=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=,b=时,等号成立,故+的最小值为9. 8.　[解析] 因为a+b=4,a>0,b>0,所以+=[(a+1)+(b+1)]= ≥=,当且仅当=,即a=,b=时取等号,故+的最小值为. 9.解:(1)卡车行驶的时间为小时,所以卡车这次行车的油费为元,司机的工资为元,所以y=××6+×140=260, 故y=260,50≤x≤100. (2)因为+≥2=, 所以当x=4≈95.5时,这次行车的总费用最低,最低总费用为260×≈413.83(元). 10.B　[解析] 因为正数x,y满足x+2y-2xy=0,所以+=1,即+=1,所以2x+y=(2x+y)×=++2+≥+2=,当且仅当=,即x=y=时等号成立,所以2x+y的最小值是.故选B. 11.C　[解析] 由题意可得,a+b+c=3,所以+=(a+b+c) =≥=3,当且仅当a+b=2c时取等号.故选C. 12.CD　[解析] 设MB=x米,BN=y米,由题意知△EMB∽△BNF,则=,又EM=25米,NF=40米,所以=,化简得xy=1000.设矩形绿地的周长为l米,则l=2(2x+2y)≥2×2=8×10=80,当且仅当x=y=10时取等号.结合选项知,该矩形绿地的周长可能为80米,90米.故选CD. 13.5　[解析] 每台机器运转x年的年平均利润为万元,由题知=18-,且x∈N*,由基本不等式可得x+≥2=10,所以≤18-10=8,当且仅当x=5时等号成立,所以当每台机器运转5年时,年平均利润最大. 14.解:(1)①∵a+b≥2,∴2≥2,∴ab≤1,当且仅当a=b=1时取等号,∴ab的最大值为1. ②+=(a+b)=≥ =,当且仅当=,即a=2-2,b=4-2时取等号,∴+的最小值为. ③∵a=2-b,∴a2+2b2=4-4b+b2+2b2=3b2-4b+4=3+≥,当且仅当a=,b=时取等号,∴a2+2b2的最小值为. (2)证明:∵a,b,c都是正实数,且a+b+c=3,∴++=(a+b+c)=≥=3,当且仅当a=b=c=1时,等号成立, ∴++≥3. 15.C　[解析] 易知+=[(a+b)+(b+c)]·=≥=,当且仅当b+c=2(a+b)时取等号.故选C. 16.解:(1)依题意得,3x+4y=2×xy(x>0,y>0),即3x+4y=xy, 因为3x+4y≥2=4,所以4≤xy,可得xy≥48,当且仅当3x=4y,即x=8,y=6时,等号成立,此时公园的面积S=2×xy=xy=48, 故AC的长为8米,BC的长为6米时,公园面积最小. (2)依题意得,6x+8y+2xy=74, 所以3x+4y+xy=37, 所以(x+4)(y+3)=49, 所以2x+2y=2(x+4)+2(y+3)-14≥2-14=2-14=14,当且仅当x+4=y+3,即x=3,y=4时,等号成立,此时2x+2y=14, 故健身步道的总长至少为14米. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $