专题03 解三角形及其应用（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统梳理了解三角形及其应用专题，涵盖正余弦定理及应用、解三角形实际应用、三角形最值范围、角平分线与中线应用等核心内容，通过知识脑图搭建框架，分基础梳理与高阶探究构建知识体系。 清单采用考点分层突破与题型分类深研模式，如基础考点含正余弦定理变形及面积公式，高阶难点解读角平分线定理与中线长定理应用，培养学生数学思维与逻辑推理能力。特设母题探究关联高考真题，易错点警示标注忽视角的讨论等陷阱，助力学生自主复习，教师可据此精准突破重难点，提升备考效率。

专题03 解三角形及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01正、余弦定理及应用 考点02解三角形的实际应用 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01三角形的最值范围问题 难点解读02三角形角平分线的应用 难点解读03三角形中线的应用 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01解三角形及其应用 ▶重点突破・考法深研 重点01三角形的多解问题 重点02边角混合条件统一转化 重点03三角形的形状判断 重点04三角形的面积及应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01正弦定理解三角形 技法点拨02余弦定理解三角形 技法点拨03正弦定理解三角形外接圆 技法点拨04测量距离问题的方法 技法点拨05测量高度问题的方法 技法点拨06测量角度问题的方法 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视对角的讨论 易错点02边角互化时忽略齐次式 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 \ 考点深研·知能分层突破 考点01 正、余弦定理及应用 1、正、余弦定理与变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 2、解三角形中的常用结论 （1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. （2）三角形中的三角函数关系 ①sin(A＋B)＝sin C； ②cos(A＋B)＝－cos C； ③sin ＝cos ； ④cos ＝sin . （3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. （4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3、三角形常用面积公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 【新题对点练】（2026·山东青岛·二模）在中，角所对的边分别为，，，则边上的高为（    ） A． B．1 C． D．2 考点02 解三角形的实际应用 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． （2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 【新题对点练】（2026·甘肃张掖·模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 难点解读01 三角形的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 【典例1（角度）】（2026·河南南阳·模拟预测）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2（边长或周长）】（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知锐角的三个角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围为______． 【典例3（面积）】（2026·河南开封·三模）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． (1)求角C的大小： (2)若边，求的面积S的取值范围． 难点解读02 三角形角平分线的应用 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 【典例1】（26-27高三上·云南玉溪·阶段检测）在中，角所对的边分别是，已知，． (1)求角的大小； (2)若，是上的点，平分，求的长． 【典例2】（2026·广东深圳·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长. 难点解读03 三角形中线的应用 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 【典例1】（2026·河北秦皇岛·二模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求; (2)若，，为的中点，求的长. 【典例2】（2026·福建漳州·三模）在中，角所对的边分别为，已知． (1)判断的形状； (2)若边上的两条中线相交于点，求． 素养进阶·答题技法突破 题型01 解三角形及其应用 考情定位：新高考解三角形板块唯一核心母题，涵盖基础计算、性质判定、最值范围、实际建模全考法，既可作为选填中档题单独考查，也常作为解答题基础大题综合命题，是三角函数板块的核心应用题型． 核心考法：①利用正、余弦定理完成边角互化，求解三角形未知边长与角度；②处理两边一对角题型，精准判定一解、两解、无解情况；③结合面积公式、三角恒等变换求解三角形面积、判定三角形形状；④结合基本不等式、三角函数值域求解边长、周长、面积的最值与取值范围；⑤依托仰角俯角、方位角、多三角形嵌套模型，完成实际测量与优化问题求解． 解题要点：解题优先根据题干条件匹配正、余弦定理，遵循“结构选定理、混合统一边角”原则，齐次式优先角化边、平方结构优先边化角；求解角度后依托大边对大角、三角形内角和与三边关系筛除伪解；最值与范围问题兼顾三角形成立条件与不等式取等条件；实际应用题型先画图建模、找准公共边角过渡，分步求解后还原实际情境，严谨取舍有效答案． 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【典例2】（2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 重点01 三角形的多解问题 解题要点：使用正弦定理求角时，优先判断已知边、角大小关系，结合大边对大角、内角和小于180度判定解的个数，严格筛选锐角、钝角合理性． 高频陷阱：不判范围直接保留两解；忽略三角形内角和导致角度超标；遗漏无解情况． 【典例1】（2026·安徽·三模）在中，已知，，，则__________． 【典例2】（25-26高三下·江西赣州·期中）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，能使得存在且唯一的是（    ） A．，，外接圆的半径为1 B．，， C．，， D．，， 重点02 边角混合条件统一转化 题干出现边、角共存的混合等式是解三角形综合题的核心特征，解题核心原则为统一维度、归一化简，杜绝边角混杂变形．可分为两类标准化转化路径： 一是角化边，适用于式子为齐次结构、含正弦余弦无平方项的题型，利用正弦定理将所有角统一替换为对应边长比例，完全转化为纯边等式，结合余弦定理判断角度、三角形形状； 二是边化角，适用于式子含边长平方、单独边长、常数项，无法直接齐次化的题型，将边长统一转化为对应角度正弦值，结合三角恒等变换、内角和关系化简，求解角度大小与角度关系． 【典例1】（2026·湖北武汉·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·云南昭通·二模）记的面积为，的外接圆半径为，且，则___________． 重点03 三角形的形状判断 1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． 【典例1】（2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【典例2】（2026·湖北·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 重点04 三角形的面积及应用 1、三角形面积公式的使用原则：对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是使用哪一个角就使用哪一个公式； 2、与面积有关的问题：一般要用到正弦定理和余弦定理进行边角互化； 3、三角形的周长问题：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)2-2ab将问题转化为求两边之和的问题． 【典例1】（2026·河南·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·广东阳江·二模）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 技法点拨01 正弦定理解三角形 适配两类标准解题模型：两角一边型、两边一对角型． 解题固定流程：先利用内角和求出剩余角度，再通过正弦定理比例式同步求解对应边长；若为已知两边及其中一边对角的易错模型，必须执行“先比大小、再判解数”的规范步骤，依托大边对大角、内角和取值范围，严格区分无解、一解、两解临界情况． 【典例1】（2026·重庆江北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【典例2】（2026·山东潍坊·三模）设的内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 技法点拨02 余弦定理解三角形 核心适用模型：已知三边、已知两边及夹角、含边长平方结构的边角等式． 解题固定流程：已知两边夹角直接套公式求第三边，已知三边通过余弦推论逐角求内角，优先求解最大边对应的最大角，可快速判定三角形为锐角、直角、钝角三角形． 【典例1】（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（    ） A． B． C． D．4 【典例2】（2026·重庆·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 技法点拨03 正弦定理解三角形外接圆 利用正弦定理：可求解三角形外接圆的半径． 若要求三角形外接圆半径的范围，一般将用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围． 【典例1】（25-26高三下·山东·阶段检测）设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【典例2】（2026·安徽安庆·二模）在圆内接六边形中，，，则其外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 技法点拨04 测量距离问题的方法 1、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解． 2、求距离问题的注意事项 （1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 【典例1】（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 【典例2】（26-27高三上·广东梅州·开学考试）如图，为了测量障碍物两侧，之间的距离，根据以下数据，不能确定长度的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 技法点拨05 测量高度问题的方法 1、要理解仰角、俯角的定义； 2、在实际问题中可能遇到空间与平面（底面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形； 3、注意山或塔垂直于底面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 【典例1】（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（    ）（参考数据：取，） A．46米 B．48米 C．50米 D．52米 【典例2】（2026·辽宁锦州·二模）《海岛算经》问题一：今有望海岛，立两表齐高三丈（五步），前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目著地取望海峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目著地取望海峰，亦与表末参合．问岛高几何大意为：现在有人观测海岛，立两根竿（表）皆高3丈（5步），前后相距步，令后表与前表及岛峰三者在同一平面内，从前表退行步，人目着地观测岛峰，与竿顶端重合，从后表退行步，人目着地观测岛峰，也与竿顶端重合，则岛高为（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 技法点拨06 测量角度问题的方法 首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点． 【典例1】（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的______________方向用方向角作答 【典例2】（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 易错点01 忽视对角的讨论 辨析：当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”． 【典例1】（2026·吉林延边·二模）在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 (1)求角B； (2)若，，求的面积． 易错点02 边角互化时忽略齐次式 辨析：使用正弦定理进行边角互化时要注意只有齐次式才可以消掉2R，若非齐次式要注意只能将齐次部分消去2R，或者使用其他方式进行边角互化． 【典例1】（2026·陕西商洛·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 【典例2】（24-25高三下·陕西西安·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，，则角B的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，若，，，则（    ） A．3 B．5 C． D． 4．（2026·福建漳州·三模）为了测量某古塔的高度，设点为塔顶，点为在地平面上的投影，小张遥控无人机（将无人机视为质点）从地平面上的处竖直向上飞行6米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，然后继续竖直向上飞行10米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，则该古塔的高度为（    ） A．21米 B．米 C．米 D．米 5．（2026·江苏苏州·三模）已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 7．（25-26高三下·河南·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏·模拟预测）在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（    ） A．6 B． C． D． 二、多选题 9．（2026·四川广安·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则使此三角形只有唯一解的的值可以是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 10．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则符合条件的有且仅有一个 B．若，则是等边三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 11．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）在中，角所对的边分别为，且，则（    ） A． B．为钝角三角形 C．的面积为4 D．外接圆的面积为 三、填空题 12．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）在中，若，则_________. 13．（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 14．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在中，内角的对边分别是，若，，则的面积最大值为___________． 四、解答题 15．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，求周长的最大值． 16．（26-27高三上·湖北·开学考试）记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点． (1)若为的角平分线，，，求的面积； (2)若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． $专题03 解三角形及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01正、余弦定理及应用 考点02解三角形的实际应用 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01三角形的最值范围问题 难点解读02三角形角平分线的应用 难点解读03三角形中线的应用 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01解三角形及其应用 ▶重点突破・考法深研 重点01三角形的多解问题 重点02边角混合条件统一转化 重点03三角形的形状判断 重点04三角形的面积及应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01正弦定理解三角形 技法点拨02余弦定理解三角形 技法点拨03正弦定理解三角形外接圆 技法点拨04测量距离问题的方法 技法点拨05测量高度问题的方法 技法点拨06测量角度问题的方法 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视对角的讨论 易错点02边角互化时忽略齐次式 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 \ 考点深研·知能分层突破 考点01 正、余弦定理及应用 1、正、余弦定理与变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 2、解三角形中的常用结论 （1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. （2）三角形中的三角函数关系 ①sin(A＋B)＝sin C； ②cos(A＋B)＝－cos C； ③sin ＝cos ； ④cos ＝sin . （3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. （4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3、三角形常用面积公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 【新题对点练】（2026·山东青岛·二模）在中，角所对的边分别为，，，则边上的高为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由正弦定理和可得， 又，， 所以， 因为，所以， 所以，得，即， 由余弦定理可得，即， 记边上的高为，则由面积公式得，得. 考点02 解三角形的实际应用 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． （2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 【新题对点练】（2026·甘肃张掖·模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 【答案】D 【解析】在中，， 由正弦定理得 n mile， 在中，， 由余弦定理得， 所以 n mile. 难点解读01 三角形的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 难点破解 【典例1（角度）】（2026·河南南阳·模拟预测）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，故题干条件可化为， 由余弦定理得，故， 又由正弦定理化简得：， 整理得，故或（舍去），得 为锐角三角形，故，解得， 故，故选：C 【典例2（边长或周长）】（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知锐角的三个角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】因为，所以， 则变为， 由正弦定理 ，得， 中，约去得 ， 因为，是锐角三角形，，， 所以，得，，得，所以， 是锐角三角形，所以，且，即， 所以 ， ，， ，， 所以 因为，所以，所以. 【典例3（面积）】（2026·河南开封·三模）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． (1)求角C的大小： (2)若边，求的面积S的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由及正弦定理，得， 所以，即， 因为为锐角三角形，所以，且， 所以，， 又，所以． （2）由正弦定理，得，所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，，即， 由，得， 所以，，， 所以的面积S的取值范围为. 难点解读02 三角形角平分线的应用 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 难点破解 【典例1】（26-27高三上·云南玉溪·阶段检测）在中，角所对的边分别是，已知，． (1)求角的大小； (2)若，是上的点，平分，求的长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）已知，由余弦定理可得， 因为，代入得，所以， 所以，所以， 因为，所以． （2）因为，，由余弦定理得， 即，又因为，所以， 由面积公式可得，， 所以，可得． 【典例2】（2026·广东深圳·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由及正弦定理，得， ，， ，，，，或. ，，，即. （2）如图： ， ，①， 又在中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，或（舍）, . 的周长为. 难点解读03 三角形中线的应用 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 难点破解 【典例1】（2026·河北秦皇岛·二模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求; (2)若，，为的中点，求的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由正弦定理得 由，得. 因为，所以 ，故. 即.又因为 ，所以， 所以，故. （2）在中，由余弦定理得， 所以 ，又，所以. 因为为的中点，， 则，所以. 【典例2】（2026·福建漳州·三模）在中，角所对的边分别为，已知． (1)判断的形状； (2)若边上的两条中线相交于点，求． 【答案】(1)等腰三角形或直角三角形；(2) 【解析】（1）解法一：由，得， 由正弦定理得， 即，即， 因为，所以， 所以根据的图象可得，或，或， 所以，或，或， 又，所以，或， 所以是等腰三角形或直角三角形； 解法二：由，得， 由余弦定理得， 即， 化简得， 从而，或， 所以是等腰三角形或直角三角形； （2）解法一：①若，则，则，不满足三角形三边关系，舍去； ②若，则， 以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系， 则， 所以， 所以 . 解法二：①若，则，则，不满足三角形三边关系，舍去； ②若，则， ， ， 因为边上的两条中线相交于点，所以为的重心， 所以， 所以． 解法三：①若，则，不满足三角形三边关系，舍去； ②若，则，所以， ，所以． 又，所以， 在中，， 所以 ． 素养进阶·答题技法突破 题型01 解三角形及其应用 考情定位：新高考解三角形板块唯一核心母题，涵盖基础计算、性质判定、最值范围、实际建模全考法，既可作为选填中档题单独考查，也常作为解答题基础大题综合命题，是三角函数板块的核心应用题型． 核心考法：①利用正、余弦定理完成边角互化，求解三角形未知边长与角度；②处理两边一对角题型，精准判定一解、两解、无解情况；③结合面积公式、三角恒等变换求解三角形面积、判定三角形形状；④结合基本不等式、三角函数值域求解边长、周长、面积的最值与取值范围；⑤依托仰角俯角、方位角、多三角形嵌套模型，完成实际测量与优化问题求解． 解题要点：解题优先根据题干条件匹配正、余弦定理，遵循“结构选定理、混合统一边角”原则，齐次式优先角化边、平方结构优先边化角；求解角度后依托大边对大角、三角形内角和与三边关系筛除伪解；最值与范围问题兼顾三角形成立条件与不等式取等条件；实际应用题型先画图建模、找准公共边角过渡，分步求解后还原实际情境，严谨取舍有效答案． 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 【典例2】（2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 重点01 三角形的多解问题 解题要点：使用正弦定理求角时，优先判断已知边、角大小关系，结合大边对大角、内角和小于180度判定解的个数，严格筛选锐角、钝角合理性． 高频陷阱：不判范围直接保留两解；忽略三角形内角和导致角度超标；遗漏无解情况． 【典例1】（2026·安徽·三模）在中，已知，，，则__________． 【答案】或 【解析】因为中，，由正弦定理， 得，因为，所以或， 因为，经检验，或均符合题意. 【典例2】（25-26高三下·江西赣州·期中）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，能使得存在且唯一的是（    ） A．，，外接圆的半径为1 B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【解析】对A：由正弦定理可得，则， ，，则， 故存在且唯一，故A正确； 对B：由，故，又，则， 故不存在这样的，故B错误； 对C：由正弦定理可得，， 又，则，此时有两解，故C错误； 对D：由余弦定理可得， 故唯一确定，即该三角形三边确定，故存在且唯一，故D正确. 重点02 边角混合条件统一转化 题干出现边、角共存的混合等式是解三角形综合题的核心特征，解题核心原则为统一维度、归一化简，杜绝边角混杂变形．可分为两类标准化转化路径： 一是角化边，适用于式子为齐次结构、含正弦余弦无平方项的题型，利用正弦定理将所有角统一替换为对应边长比例，完全转化为纯边等式，结合余弦定理判断角度、三角形形状； 二是边化角，适用于式子含边长平方、单独边长、常数项，无法直接齐次化的题型，将边长统一转化为对应角度正弦值，结合三角恒等变换、内角和关系化简，求解角度大小与角度关系． 【典例1】（2026·湖北武汉·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理得，， 代入，得，即， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以，所以当，即时， 【典例2】（2026·云南昭通·二模）记的面积为，的外接圆半径为，且，则___________． 【答案】4 【解析】由正弦定理知，所以，，. 则， 由余弦定理知，则 又，所以. 又，，所以， 所以. 重点03 三角形的形状判断 1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． 【典例1】（2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【答案】B 【解析】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 【典例2】（2026·湖北·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【解析】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 重点04 三角形的面积及应用 1、三角形面积公式的使用原则：对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是使用哪一个角就使用哪一个公式； 2、与面积有关的问题：一般要用到正弦定理和余弦定理进行边角互化； 3、三角形的周长问题：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)2-2ab将问题转化为求两边之和的问题． 【典例1】（2026·河南·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理得，，即解得，. 因为，所以. 所以. 【典例2】（2026·广东阳江·二模）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理得，， 因为，所以，则，， 的面积为． 技法点拨01 正弦定理解三角形 适配两类标准解题模型：两角一边型、两边一对角型． 解题固定流程：先利用内角和求出剩余角度，再通过正弦定理比例式同步求解对应边长；若为已知两边及其中一边对角的易错模型，必须执行“先比大小、再判解数”的规范步骤，依托大边对大角、内角和取值范围，严格区分无解、一解、两解临界情况． 【典例1】（2026·重庆江北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理得，交叉变形可得， 已知，因此， 结合题设，将上述值代入，可得： ，解得 【典例2】（2026·山东潍坊·三模）设的内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 由正弦定理可得：. 又，，，. 又，可得. 技法点拨02 余弦定理解三角形 核心适用模型：已知三边、已知两边及夹角、含边长平方结构的边角等式． 解题固定流程：已知两边夹角直接套公式求第三边，已知三边通过余弦推论逐角求内角，优先求解最大边对应的最大角，可快速判定三角形为锐角、直角、钝角三角形． 【典例1】（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】在中，设， 因为，所以， 根据余弦定理可得，，又， 所以，故， 求解可得，所以. 【典例2】（2026·重庆·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 【答案】8 【解析】 对于，由余弦定理得， 代入，，，且，得： ， 整理得，解得或， 由于三角形边长为正数，舍去负根，因此. 技法点拨03 正弦定理解三角形外接圆 利用正弦定理：可求解三角形外接圆的半径． 若要求三角形外接圆半径的范围，一般将用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围． 【典例1】（25-26高三下·山东·阶段检测）设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】. 由余弦定理得，， 整理得，，即. 又，所以. 所以是以为斜边的直角三角形， 所以外接圆半径为. 【典例2】（2026·安徽安庆·二模）在圆内接六边形中，，，则其外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，相等弦对应圆心角相等， 设对应的圆心角为，对应的圆心角为. 整个圆周角和为，因此，得. 弦长（为半圆心角），因此， ，由， 展开得，两边乘以代入得， 整理得， 对上式两边平方，结合， 以及， 代入化简后得，因此外接圆半径为. 技法点拨04 测量距离问题的方法 1、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解． 2、求距离问题的注意事项 （1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 【典例1】（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 【答案】B 【解析】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此， 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值， ， 化简得：，解得或， 依题意开始受到侵袭的时间，取较小值. 【典例2】（26-27高三上·广东梅州·开学考试）如图，为了测量障碍物两侧，之间的距离，根据以下数据，不能确定长度的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】对于A项，已知两边及其夹角， 根据余弦定理，可以唯一求出的长度，故A项能确定； 对于B项，已知三个内角，只能确定三角形的形状（即三角形相似）， 无法确定三角形的大小，因此的长度不确定，故B项不能确定； 对于C项，已知，根据三角形内角和定理可得， 再由正弦定理，可得，可以唯一求出的长度，故C项能确定； 对于D项，已知，根据三角形内角和定理可得， 再由正弦定理，可得，可以唯一求出的长度，故D项能确定. 综上所述，不能确定长度的是B项. 技法点拨05 测量高度问题的方法 1、要理解仰角、俯角的定义； 2、在实际问题中可能遇到空间与平面（底面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形； 3、注意山或塔垂直于底面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 【典例1】（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（    ）（参考数据：取，） A．46米 B．48米 C．50米 D．52米 【答案】D 【解析】依题意，， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，， 所以（米）. 【典例2】（2026·辽宁锦州·二模）《海岛算经》问题一：今有望海岛，立两表齐高三丈（五步），前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目著地取望海峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目著地取望海峰，亦与表末参合．问岛高几何大意为：现在有人观测海岛，立两根竿（表）皆高3丈（5步），前后相距步，令后表与前表及岛峰三者在同一平面内，从前表退行步，人目着地观测岛峰，与竿顶端重合，从后表退行步，人目着地观测岛峰，也与竿顶端重合，则岛高为（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【解析】设海岛到前表水平距离为，岛高为， 则，解得， 岛高为步． 技法点拨06 测量角度问题的方法 首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点． 【典例1】（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的______________方向用方向角作答 【答案】南偏西 【解析】如图，在中，， 由正弦定理得 ，解得， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以解得， 由正弦定理得 ，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 故答案为：南偏西 【典例2】（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，， 在中，由余弦定理可知 ， 所以. 又由正弦定理可知，即， 所以. 易错点01 忽视对角的讨论 辨析：当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”． 【典例1】（2026·吉林延边·二模）在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，， 根据正弦定理，可得， 化简得， 即， 又，所以， 所以， 所以①，即，不符合题意， ②，即， 所以， 又，所以. 【典例2】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 (1)求角B； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知：， 化简可知：， 得， ①时，，又，则，A为锐角，不符合题意； ②，此时可得（B为锐角），此时符合题意． 综上， （2）， 可得，， ， ，， ． 易错点02 边角互化时忽略齐次式 辨析：使用正弦定理进行边角互化时要注意只有齐次式才可以消掉2R，若非齐次式要注意只能将齐次部分消去2R，或者使用其他方式进行边角互化． 【典例1】（2026·陕西商洛·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 【答案】2 【解析】由余弦定理知：，则： ， 由余弦定理得：， 即，解得或（舍），． 【典例2】（24-25高三下·陕西西安·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】由余弦定理，有， 由正弦定理可得， 因为，所以，即，解得.故选：A. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，，则角B的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】由正弦定理：，代入，，可得： ， 则或， 由，得，故. 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 由正弦定理可知，即， 所以. 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，若，，，则（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 所以. 由余弦定理，得， 解得或. 若，则，得，又由且，得， 所以，与矛盾； 若，由余弦定理得， 又，且， 所以，符合题意． 综上所述，. 4．（2026·福建漳州·三模）为了测量某古塔的高度，设点为塔顶，点为在地平面上的投影，小张遥控无人机（将无人机视为质点）从地平面上的处竖直向上飞行6米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，然后继续竖直向上飞行10米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，则该古塔的高度为（    ） A．21米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】如图，作于于， 则为矩形，， 则， 所以， 所以，， 所以（米）. 5．（2026·江苏苏州·三模）已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知钝角三角形的三边分别为，，， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 6．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 7．（25-26高三下·河南·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，由正弦定理得，， 所以，由余弦定理可得，， 即，所以， 即，又因为，所以. 8．（2026·江苏·模拟预测）在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， 根据余弦定理，可得，化简得，即， 所以， 根据基本不等式，可得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 又，由余弦函数的性质，可知单调递减，所以， 所以角的最大值为，且， 又由余弦定理得，， 所以，又，所以，所以， 所以的周长为，所以B正确. 二、多选题 9．（2026·四川广安·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则使此三角形只有唯一解的的值可以是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】ACD 【解析】对于A：当时，，结合得，三角形只有唯一解，A正确； 对于B：当时，，由于， 此时可取锐角也可取钝角，对应两个不同的三角形，B错误； 对于C：当时，，由等边对等角得，，三角形只有唯一解，C正确； 对于D：当时，，又， 由大边对大角得，即只能取锐角，对应一个三角形，D正确. 10．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则符合条件的有且仅有一个 B．若，则是等边三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】BCD 【解析】由余弦定理得，即，解得， 故符合条件的有两个，A错误； 由于，所以， 故0，整理得，所以为等边三角形，B正确； 因为，所以，，所以是锐角三角形，C正确； 由正弦定理及，得， 所以，即， 显然，， 函数在，上单调递增，且当时，， 当时，， 由，可得，是等腰三角形，D正确． 11．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）在中，角所对的边分别为，且，则（    ） A． B．为钝角三角形 C．的面积为4 D．外接圆的面积为 【答案】ABD 【解析】对于A，由余弦定理知， 因为，所以，A正确； 对于B，因为，所以最大， 由余弦定理知， 所以，故为钝角三角形，B正确； 对于C，的面积，C错误； 对于D，因为， 所以外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，D正确. 三、填空题 12．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）在中，若，则_________. 【答案】 【解析】因为， 由正弦定理得，，（为外接圆半径）， 代入条件得：，两边约去后整理得，即， 由余弦定理，代入得， 因为，故. 13．（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 【答案】 【解析】由题意可得，，，，则， 根据正弦定理可得，又，所以，所以地震的位置C在A地正东处. 14．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在中，内角的对边分别是，若，，则的面积最大值为___________． 【答案】 【解析】由，则， 化简整理得，即， 则，此时，则， 或，，则，在三角形中不合题意， 因此，， 由余弦定理可得，又，代入化简得， 由基本不等式可知，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此，的面积最大值为. 四、解答题 15．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由二倍角公式可得， 又． 所以， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：，所以， 又，所以． （2）由正弦定理得，，其中R为外接圆半径．． 由正弦定理得，． 由余弦定理得：，， 由基本不等式可知： ，当且仅当时取等号， 所以当时，的周长取最大值，最大值为． 16．（26-27高三上·湖北·开学考试）记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点． (1)若为的角平分线，，，求的面积； (2)若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）因为是的角平分线，所以． 因为，所以． 因为， 所以，化简得． 又因为，由余弦定理得，所以． 所以，解得． 所以的面积为． （2）由余弦定理，得，即． 因为为边的中线，所以． 所以． 由正弦定理，得， 所以． 所以 ． 因为为锐角三角形，， 所以，解得． 所以． 所以． 所以，即． $