11.1 柱体（分层作业练题型）（分层作业练题型）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 该同步练习以“巩固-进阶-拔高-高考”分层设计，覆盖柱体结构、表面积与体积等核心知识点，通过基础概念辨析、综合应用及高考真题衔接，构建从单一到综合的知识巩固路径，培养空间观念与数学思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|棱柱与圆柱的结构特征、表面积及体积计算|以选择填空为主，如棱柱结构判断、圆柱体积基本运算，夯实基础概念与运算能力| |B组能力进阶|截面问题、展开图最短距离、组合体体积|结合空间图形变换，如蚂蚁爬行最短路程，发展几何直观与推理意识| |C组思维拔高+拓展|榫卯结构体积、圆柱表面积优化、高考真题|融入实际情境与高考题型，如“人造太阳”涂漆问题，培养创新意识与应用能力|

分层作业 11.1 柱体 目 录 A组 巩固过关 题型01棱柱的结构特征 题型02棱柱的展开图及最短距离问题 题型03圆柱的结构特征 题型04柱体体积的有关计算 题型05圆柱轴截面的相关计算 题型06棱柱的侧面积及表面积 题型07圆柱的側面积及表面积 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )棱柱的结构特征 1．下列命题中，正确的是（    ） A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 2．如图，长方体被一个平面截成两个几何体，且，这两个几何体分别是（    ） A．三棱柱和五棱柱 B．三棱台和五棱柱 C．三棱柱和五棱台 D．三棱台和五棱台 3．下列关于棱柱的说法错误的是（    ） A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行 C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 D．棱柱至少有五个面 4．如图所示，在长方体中，和棱不相交的棱有________条． ( 题型0 2 )棱柱的展开图及最短距离问题 5．已知在长方体中，，，为线段的中点，是棱上的动点．若点为线段上的动点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 6．已知正方体中，棱长为2，点为线段上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 7．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（    ） ①；②CD与EF是共面直线；③；④GH与EF是异面直线． A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 8．如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要多长？ ( 题型0 3 )圆柱的结构特征 9．下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 10．某品牌的有芯卷筒卫生纸是将卫生纸绕在圆柱形的空心纸筒上，未使用时整卷卫生纸的直径为，其中中间空心纸筒的直径为；若该品牌卫生纸每张的厚度是，且某人每次使用长的卫生纸，则一整筒卫生纸他大约可以使用的次数为（    ） A．66 B．132 C．264 D．314 11．圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是（    ） A．1 B．2 C． D． 12．在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水面可以呈现出的几何形状不可能是（   ） A．圆面 B．矩形面 C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面 13．圆柱侧面的母线有_______条. 14．圆柱的轴截面有________个，它们________(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有________条，它们与圆柱的高________． ( 题型0 4 )柱体体积的有关计算 15．已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为__________. 16．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3 cm，外径长4 cm，筒高6 cm，中部是棱长为4 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________； 17．如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，则当底面水平放置时，水面高为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 18．如图1是透明塑料制成的长方体容器，其中，将容器灌进一些水，水深为，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜成图2，此时的值为（   ） A． B． C． D． 19．正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 5 )圆柱轴截面的相关计算 20．已知某圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 21．圆柱的轴截面为正方形，一个圆锥的底面半径与该圆柱的底面半径相同，且侧面积相等，则圆锥的高与圆柱的高之比为（   ） A． B． C． D． 22．已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________. 23．如图，四边形是圆柱的轴截面，，分别在母线，上，过，两点且垂直于平面的平面与圆柱表面的交线是椭圆，椭圆面积公式为，其中分别是椭圆的半长轴、半短轴的长若，,,则的值为___________． ( 题型0 6 )棱柱的侧面积及表面积 24．已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形如图所示.若则该直四棱柱的表面积为（） A． B． C． D． 25．正三棱柱的侧面积为，体积为，则此棱柱的高为______________，底面边长为______________． 26．一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是_____. 27．如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：） (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁； (2)要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少克． 28．如图，这是一个六角螺帽，它可视作从一个正六棱柱中挖掉一个圆柱，且该圆柱底面圆的圆心与正六棱柱底面中心重合．正六棱柱底面六边形的边长为8毫米，圆柱底面圆的半径为5毫米，六角螺帽的高为10毫米． (1)求这个六角螺帽的体积； (2)求这个六角螺帽的表面积． ( 题型0 7 )圆柱的侧面积及表面积 29．《九章算术》记载的“圆囷”是圆柱形粮仓.现用总长米的篱笆围成一个圆柱形粮仓的侧面（不计上下底），已知圆柱侧面积，侧面用料长度满足（其中为两条母线的长度和，为底面半径，为高，单位均为米）.若要使圆柱侧面积最大，则其高与底面半径之比的值为（    ） A． B． C． D． 30．“人造太阳”（托卡马克）的外形像一个巨大的“甜甜圈+圆柱塔”．其底座是圆柱体．某科技馆拟造一个“人造太阳”模型，其底座的直径为，高为．现要给底座的外侧面涂漆，每平方米需要的涂料，则需要（    ）千克的涂料？ A． B． C． D． 31．下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ） A． B． C． D． 32．已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为______cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为______ 33．将边长为1的正方形绕边所在直线旋转，得到如图所示的几何体，它是圆柱的一部分． (1)求该几何体的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 1．如图所示，经过正三棱柱底面一边，作与底面成角的平面，已知截面三角形的面积为32，且点是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（     ）    A． B． C． D． 2．如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为4的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），四边形是轴截面，是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为__________． 4．已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为________． 5．我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长一丈六尺，围之六尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长1丈6尺，圆周为6尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长_________尺”.（注：丈等于尺） 6．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面图，圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为，已知区域和是被瓦片覆盖的区域则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为______. 7．如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在平面上的射影是的中点.则该棱柱的体积为__________. 1．我国传统古建筑经常采用榫卯交叉结构，如图所示的榫卯交叉结构是：两个完全相同的正四棱柱垂直贯穿拼接成一个装饰多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点．已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为4，则该榫卯交叉结构的体积为（    ）    A． B． C． D． 2．劳动实践课上制作圆柱体模型，已知该圆柱的体积为，若用锡纸完整包裹其表面，则所需锡纸面积的最小值为________． 3．申辉中学某个数学建模小组发现：人走路时，启动或者停下的瞬间，手中水平拿着的杯子里的水可能会被晃动得溢出杯口. 查询资料后发现：液面和水平面的夹角与人走路的加速度以及重力加速度有关，满足关系：，其中. 若甲同学走路启动瞬间的加速度为，手中水平拿着一个底面边长为4cm和6cm，高为14cm的长方体形状的杯子，则杯中最多装__________的水，存在甲同学走路启动的瞬间杯中水不溢出的可能. 1．（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（2022·天津·高考真题） 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若,,则该几何体的体积为（    ） A． B． C．27 D． 3．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．    1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 ( 题型0 1 )棱柱的结构特征 1．【答案】D 【详解】对于A，不符合棱柱的侧棱平行的特点，故A错误； 对于B选项，如图（1），构造四棱柱，令四边形是梯形， 可知平面平面，但这两个面不能作为棱柱的底面，故B错误； 选项C中，如图（2），底面可以是平行四边形，故C错误； 对于D，说明了棱柱的特点，故D正确. 故选：D． 2．【答案】A 【详解】由于，所以,所以几何体为三棱柱，几何体为五棱柱， 故选：A. 3．【答案】C 【详解】对于A，根据棱柱的定义知，棱柱的两个底面相互平行，所以A正确； 对于B，根据棱柱的定义知，棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行，所以B正确； 对于C，由棱柱的定义是这样的；有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱， 显然题中漏掉了“且该多面体的顶点都在这两个面上”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱，如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误； 对于D，棱柱的底面多边形的边数最少的为三角形，即底面多边形边数最少的棱柱为三棱柱，此时三棱柱有五个面，所以棱柱至少有五个面，所以D正确. 4．【答案】7 【详解】长方体总共有12条棱，先去掉目标棱自身，剩余条棱； 任意一条棱有2个端点，每个端点除目标棱外，还连接了2条和目标棱相交的棱， 因此和目标棱相交的棱总共有 条； 因此和目标棱不相交的棱数量为 ，即本题答案为7. ( 题型0 2 )棱柱的展开图及最短距离问题 5．【答案】C 【详解】如图， 连接、，设，点、、在平面中， 在长方形中，，则， 因为平面，平面，所以， 又因为，且，， 故四边形是边长为的正方形，所以为的中点， 点在上，在线段上取点，使得， 在和中，，，， 故，所以，故， 故当、、三点共线，且时，取最小值， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，此时点与线段的中点重合，且， 故的最小值是. 6．【答案】C 【详解】因为平面，平面，所以，， 在正方形中，对角线平分直角，得， 将平面沿展开，与平面共面， 此时，且， 当三点共线时最小，此时， 由余弦定理可得， 开方得：，即的最小值为. 7．【答案】D 【详解】 由图可知，还原正方体后，点C与G重合，点F与B重合，则，故①正确； 可知CD与EF是平行直线，即共面直线，故②正确； AB与EF是相交直线，故③错误；GH与EF是异面直线，故④正确． 8．【答案】10cm． 【详解】将长方体展开，连接， 因为，，． 根据两点之间线段最短，得所用细线最短需要10cm． ( 题型0 3 )圆柱的结构特征 9．【答案】D 【详解】对于A，根据圆柱的定义和性质，圆柱的母线与底面垂直，A错误； 对于B，当两个截面与底面不平行时，截得的平面不是一个圆柱体，B错误； 对于C，直线绕定直线旋转有也可能形成一个锥面，C错误； 对于D，以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱，D正确. 故选：D 10．【答案】B 【详解】该卷筒卫生纸的层数， 最里一层的周长为cm，最外一层的周长为cm， 整卷卫生纸的长度为， 所以他可用的次数约为（次）. 故选：B. 11．【答案】D 【详解】令圆柱母线为，底面半径为，则，故. 故选：D 12．【答案】C 【详解】将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面； 将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，但圆柱桶内的水面不可以呈现出梯形面． 13．【答案】无数 【详解】以矩形一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线， 故圆柱的母线就是圆柱侧面上同时垂直于两底面的直线段，它有无数条. 故答案为：无数 14．【答案】 无穷多 全等 无穷多 相等 【详解】根据圆柱的定义，可得圆柱的轴截面有无穷多个，它们是全等的，圆柱的母线有无穷多条，它们与圆柱的高是相等的. 故答案为：无穷多；全等；无穷多；相等. ( 题型0 4 )柱体体积的有关计算 15．【答案】 【详解】球的表面积为，可得其半径， 圆柱的底面直径为，半径为， 在轴截面中，可知圆柱的高为，所以圆柱的体积为． 16．【答案】 【详解】圆筒体积为底面半径2cm，高度为6cm的圆柱体的体积减去底面半径为cm，高度为6cm的圆柱体的体积， 故其体积； 中间部分的体积为棱长为4 cm的正方体的体积减去底面半径为2cm，高为4 cm的圆柱体的体积， 故其体积； 故玉琮的体积. 17．【答案】C 【详解】设正三棱柱的底面积为，又水面恰好过，，，的中点，所以水的体积， 当底面水平放置时，设水面高为，所以水的体积，解得． 18．【答案】B 【详解】，所以. 19．【答案】C 【详解】如图：设平面与棱交于点， 由棱柱的性质知，平面，平面， 所以平面，且平面，平面平面， 所以，因此，所以几何体是三棱台， ， ， ，， 所以，小的几何体与大的几何体的体积比值为. ( 题型0 5 )圆柱轴截面的相关计算 20．【答案】A 【详解】设圆柱的底面半径，因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为， 则，则，所以该圆柱的侧面积为. 21．【答案】C 【详解】设圆柱的底面半径为，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为， 依题意圆锥的底面半径为，设圆锥的母线长为， 因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以，解得， 则圆锥的高为， 所以圆锥的高与圆柱的高之比为. 故选：C. 22．【答案】 【详解】设圆柱底面半径为，高为，则轴截面周长为，即， 侧面积， 当，即，时等号成立，此时侧面积最大， 设圆柱外接球的半径为，又外接球直径等于轴截面对角线长， 所以，得到， 所以球的体积. 23．【答案】 【详解】由圆柱截面的性质得出椭圆的短半轴长为圆柱底面半径，即， 依题意，椭圆的长半轴即，过点作的垂线交于点， ，，， 则，，则， 故，则. 故答案为： . ( 题型0 6 )棱柱的侧面积及表面积 24．【答案】C 【详解】由直观图可得底面四边形的平面图形如下，由， 则，所以， 则， 所以直棱柱的底面周长，又直棱柱的高， 所以棱柱的侧面积， 所以棱柱的表面积. 25．【答案】 / 10 【详解】设底面边长为，高为， 则，且，解得，． 故答案为：；10. 26．【答案】16 【详解】因为一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是. 故答案为：16 27．【答案】(1)4992g (2)72000g 【分析】 【详解】（1）圆柱部分体积为， 正四棱柱部分体积为，因此零件的体积为， 而铁的密度为，所以生产一件这样的铸铁零件需要克铁. （2）此零件的表面积为（）， 因此1000个零件的表面积为， 所以需油漆的质量为（）. 28．【答案】(1)（立方毫米）． (2)（平方毫米）． 【分析】 【详解】（1）由题意可得，正六棱柱底面六边形的面积（平方毫米）， 圆柱底面圆的面积（平方毫米）， 正六棱柱和圆柱的高（毫米）， 则这个六角螺帽的体积（立方毫米）． （2）由（1）可知这个六角螺帽的上、下底面的面积之和 （平方毫米）， 正六棱柱的侧面积（平方毫米）， 圆柱的侧面积（平方毫米）， 则这个六角螺帽的表面积（平方毫米）． ( 题型0 7 )圆柱的侧面积及表面积 29．【答案】B 【详解】由，可得，将代入圆柱的侧面积公式， 可得， 因为，所以当时，取得最大值， 将代入，可得，所以. 30．【答案】A 【详解】对应外侧面为圆柱的侧面积，因为底座的直径为,高为， 故圆柱侧面积，而每平方米需要涂料， 因此一共需要涂料. 31．【答案】D 【详解】由题意知区域和全等，且都是底面半径为10 m，高为40 m的圆柱的侧面的一部分. 将区域还原到如图所示圆柱中，可知，，. 由扇形的弧长公式可知，， 由圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：D. 32．【答案】 9 【详解】矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的边长为cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大， 则圆柱的高为cm，则圆柱的底面半径为cm， 则圆柱的侧面积为， 故当矩形的边长为9cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为. 故答案为：9， 33．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）几何体的表面积为; （2）因为，所以异面直线与所成的角即或其补角， 连接, ， 所以，又， 所以， 所以异面直线与所成角的大小为. 1．【答案】C 【详解】因为这个三棱柱是正三棱柱，所以是正三角形，且所在直线与所在的平面垂直，则,如图：    作的高CE，连接DE，则平面，而平面，所以， 所以是二面角 的平面角，，，， 用S表示的面积，则，， ， ， 因为点是棱柱所在侧棱的中点，所以侧棱长为， 所以正三棱柱的侧面积为 2．【答案】A 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点的截面， 因为正方体的棱长为， 所以，， ， 则其周长为. 3．【答案】 【详解】该几何体为圆柱，侧面展开图为矩形，其中，，将问题转化为在上找一点，使最短． 作关于的对称点，连接， 令与交于点，则得的最小值就是，其中， 所以． 4．【答案】 【详解】由题意可知：圆柱的高，底面半径， 所以该圆柱的表面积. 5．【答案】20 【详解】 由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，且为圆木的高且为16尺， 因为葛藤绕圆木两周，故将圆柱侧面展开两次， 则长为圆木底面周长的两倍即为12尺， 所以，，即葛藤最少长为20尺. 6．【答案】 【详解】依题意，区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分，将区域还原到圆柱中，如图： 由图可知，，， 由扇形的弧长公式知，的长为， 由圆柱的侧面积公式知，则， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故答案为： 7．【答案】 【分析】 【详解】设棱的中点为. ，. 因点在平面上的射影是的中点， 故平面. 因平面， 故. 因底面是边长为2的正三角形，且为中点， 故三角形面积，. 因， 故在直角三角形中，. 故三棱柱的体积. 故答案为： 1．【答案】C 【详解】如图，作出符合题意的图形，    单个正四棱柱体积是,两个棱柱的总体积和为, 两个正四棱柱的重叠部分为多面体,取CS的中点为I， 利用空间对称性，可将多面体,分解为8 个全等的小四棱锥， 只需计算1个小四棱锥，的面积是 ， 且平面GOI，，所以小四棱锥的体积为， 因此重叠部分总体积， 所以该榫卯交叉结构的体积为. 2．【答案】 【详解】设圆柱底面半径为，高为. 因为圆柱体积，化简得，即 . 包裹圆柱所需锡纸面积即圆柱表面积，且， 将​代入得. 利用三元基本不等式（，等号成立当且仅当）， 所以. 当且仅当​，即时，再代入得，即，时等号成立. 因此当圆柱底面半径为，高为时圆柱的表面积有最小值， 故所需锡纸面积的最小值为. 3．【答案】 【详解】当沿着最短的朝向也就是当人沿着杯子底面4cm长的边所在方向加速时，杯内液面的高度差为cm， 此时杯中不溢出的最大水量为； 当沿着其他方向加速时，因为水面要向更远的地方“爬”，在同样的倾斜角度下上升的高度会更高， 比如当沿着6cm长的边所在的方向加速时，杯内液面的高度差为cm， 此时杯中不溢出的最大水量为 ， 所以杯中最多装的水. 1．【答案】C 【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 2．【答案】C 【详解】如图所示，该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， . 所以 . 故选：C. 3．【答案】 【详解】因为且四边形为正方形，故， 而，故，故， 故所求体积为， 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 11.1 柱体 目 录 A组 巩固过关 题型01棱柱的结构特征 题型02棱柱的展开图及最短距离问题 题型03圆柱的结构特征 题型04柱体体积的有关计算 题型05圆柱轴截面的相关计算 题型06棱柱的侧面积及表面积 题型07圆柱的側面积及表面积 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )棱柱的结构特征 1．下列命题中，正确的是（    ） A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【详解】对于A，不符合棱柱的侧棱平行的特点，故A错误； 对于B选项，如图（1），构造四棱柱，令四边形是梯形， 可知平面平面，但这两个面不能作为棱柱的底面，故B错误； 选项C中，如图（2），底面可以是平行四边形，故C错误； 对于D，说明了棱柱的特点，故D正确. 故选：D． 2．如图，长方体被一个平面截成两个几何体，且，这两个几何体分别是（    ） A．三棱柱和五棱柱 B．三棱台和五棱柱 C．三棱柱和五棱台 D．三棱台和五棱台 【答案】A 【详解】由于，所以,所以几何体为三棱柱，几何体为五棱柱， 故选：A. 3．下列关于棱柱的说法错误的是（    ） A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行 C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 D．棱柱至少有五个面 【答案】C 【详解】对于A，根据棱柱的定义知，棱柱的两个底面相互平行，所以A正确； 对于B，根据棱柱的定义知，棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行，所以B正确； 对于C，由棱柱的定义是这样的；有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱， 显然题中漏掉了“且该多面体的顶点都在这两个面上”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱，如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误； 对于D，棱柱的底面多边形的边数最少的为三角形，即底面多边形边数最少的棱柱为三棱柱，此时三棱柱有五个面，所以棱柱至少有五个面，所以D正确. 4．如图所示，在长方体中，和棱不相交的棱有________条． 【答案】7 【详解】长方体总共有12条棱，先去掉目标棱自身，剩余条棱； 任意一条棱有2个端点，每个端点除目标棱外，还连接了2条和目标棱相交的棱， 因此和目标棱相交的棱总共有 条； 因此和目标棱不相交的棱数量为 ，即本题答案为7. ( 题型0 2 )棱柱的展开图及最短距离问题 5．已知在长方体中，，，为线段的中点，是棱上的动点．若点为线段上的动点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 连接、，设，点、、在平面中， 在长方形中，，则， 因为平面，平面，所以， 又因为，且，， 故四边形是边长为的正方形，所以为的中点， 点在上，在线段上取点，使得， 在和中，，，， 故，所以，故， 故当、、三点共线，且时，取最小值， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，此时点与线段的中点重合，且， 故的最小值是. 6．已知正方体中，棱长为2，点为线段上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】因为平面，平面，所以，， 在正方形中，对角线平分直角，得， 将平面沿展开，与平面共面， 此时，且， 当三点共线时最小，此时， 由余弦定理可得， 开方得：，即的最小值为. 7．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（    ） ①；②CD与EF是共面直线；③；④GH与EF是异面直线． A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】 由图可知，还原正方体后，点C与G重合，点F与B重合，则，故①正确； 可知CD与EF是平行直线，即共面直线，故②正确； AB与EF是相交直线，故③错误；GH与EF是异面直线，故④正确． 8．如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要多长？ 【答案】10cm． 【详解】将长方体展开，连接， 因为，，． 根据两点之间线段最短，得所用细线最短需要10cm． ( 题型0 3 )圆柱的结构特征 9．下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D 【详解】对于A，根据圆柱的定义和性质，圆柱的母线与底面垂直，A错误； 对于B，当两个截面与底面不平行时，截得的平面不是一个圆柱体，B错误； 对于C，直线绕定直线旋转有也可能形成一个锥面，C错误； 对于D，以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱，D正确. 故选：D 10．某品牌的有芯卷筒卫生纸是将卫生纸绕在圆柱形的空心纸筒上，未使用时整卷卫生纸的直径为，其中中间空心纸筒的直径为；若该品牌卫生纸每张的厚度是，且某人每次使用长的卫生纸，则一整筒卫生纸他大约可以使用的次数为（    ） A．66 B．132 C．264 D．314 【答案】B 【详解】该卷筒卫生纸的层数， 最里一层的周长为cm，最外一层的周长为cm， 整卷卫生纸的长度为， 所以他可用的次数约为（次）. 故选：B. 11．圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】令圆柱母线为，底面半径为，则，故. 故选：D 12．在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水面可以呈现出的几何形状不可能是（   ） A．圆面 B．矩形面 C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面 【答案】C 【详解】将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面； 将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，但圆柱桶内的水面不可以呈现出梯形面． 13．圆柱侧面的母线有_______条. 【答案】无数 【详解】以矩形一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线， 故圆柱的母线就是圆柱侧面上同时垂直于两底面的直线段，它有无数条. 故答案为：无数 14．圆柱的轴截面有________个，它们________(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有________条，它们与圆柱的高________． 【答案】 无穷多 全等 无穷多 相等 【详解】根据圆柱的定义，可得圆柱的轴截面有无穷多个，它们是全等的，圆柱的母线有无穷多条，它们与圆柱的高是相等的. 故答案为：无穷多；全等；无穷多；相等. ( 题型0 4 )柱体体积的有关计算 15．已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为__________. 【答案】 【详解】球的表面积为，可得其半径， 圆柱的底面直径为，半径为， 在轴截面中，可知圆柱的高为，所以圆柱的体积为． 16．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3 cm，外径长4 cm，筒高6 cm，中部是棱长为4 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________； 【答案】 【详解】圆筒体积为底面半径2cm，高度为6cm的圆柱体的体积减去底面半径为cm，高度为6cm的圆柱体的体积， 故其体积； 中间部分的体积为棱长为4 cm的正方体的体积减去底面半径为2cm，高为4 cm的圆柱体的体积， 故其体积； 故玉琮的体积. 17．如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，则当底面水平放置时，水面高为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【详解】设正三棱柱的底面积为，又水面恰好过，，，的中点，所以水的体积， 当底面水平放置时，设水面高为，所以水的体积，解得． 18．如图1是透明塑料制成的长方体容器，其中，将容器灌进一些水，水深为，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜成图2，此时的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以. 19．正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：设平面与棱交于点， 由棱柱的性质知，平面，平面， 所以平面，且平面，平面平面， 所以，因此，所以几何体是三棱台， ， ， ，， 所以，小的几何体与大的几何体的体积比值为. ( 题型0 5 )圆柱轴截面的相关计算 20．已知某圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆柱的底面半径，因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为， 则，则，所以该圆柱的侧面积为. 21．圆柱的轴截面为正方形，一个圆锥的底面半径与该圆柱的底面半径相同，且侧面积相等，则圆锥的高与圆柱的高之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆柱的底面半径为，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为， 依题意圆锥的底面半径为，设圆锥的母线长为， 因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以，解得， 则圆锥的高为， 所以圆锥的高与圆柱的高之比为. 故选：C. 22．已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________. 【答案】 【详解】设圆柱底面半径为，高为，则轴截面周长为，即， 侧面积， 当，即，时等号成立，此时侧面积最大， 设圆柱外接球的半径为，又外接球直径等于轴截面对角线长， 所以，得到， 所以球的体积. 23．如图，四边形是圆柱的轴截面，，分别在母线，上，过，两点且垂直于平面的平面与圆柱表面的交线是椭圆，椭圆面积公式为，其中分别是椭圆的半长轴、半短轴的长若，,,则的值为___________． 【答案】 【详解】由圆柱截面的性质得出椭圆的短半轴长为圆柱底面半径，即， 依题意，椭圆的长半轴即，过点作的垂线交于点， ，，， 则，，则， 故，则. 故答案为： . ( 题型0 6 )棱柱的侧面积及表面积 24．已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形如图所示.若则该直四棱柱的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直观图可得底面四边形的平面图形如下，由， 则，所以， 则， 所以直棱柱的底面周长，又直棱柱的高， 所以棱柱的侧面积， 所以棱柱的表面积. 25．正三棱柱的侧面积为，体积为，则此棱柱的高为______________，底面边长为______________． 【答案】 / 10 【详解】设底面边长为，高为， 则，且，解得，． 故答案为：；10. 26．一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是_____. 【答案】16 【详解】因为一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是. 故答案为：16 27．如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：） (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁； (2)要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少克． 【答案】(1)4992g (2)72000g 【分析】 【详解】（1）圆柱部分体积为， 正四棱柱部分体积为，因此零件的体积为， 而铁的密度为，所以生产一件这样的铸铁零件需要克铁. （2）此零件的表面积为（）， 因此1000个零件的表面积为， 所以需油漆的质量为（）. 28．如图，这是一个六角螺帽，它可视作从一个正六棱柱中挖掉一个圆柱，且该圆柱底面圆的圆心与正六棱柱底面中心重合．正六棱柱底面六边形的边长为8毫米，圆柱底面圆的半径为5毫米，六角螺帽的高为10毫米． (1)求这个六角螺帽的体积； (2)求这个六角螺帽的表面积． 【答案】(1)（立方毫米）． (2)（平方毫米）． 【分析】 【详解】（1）由题意可得，正六棱柱底面六边形的面积（平方毫米）， 圆柱底面圆的面积（平方毫米）， 正六棱柱和圆柱的高（毫米）， 则这个六角螺帽的体积（立方毫米）． （2）由（1）可知这个六角螺帽的上、下底面的面积之和 （平方毫米）， 正六棱柱的侧面积（平方毫米）， 圆柱的侧面积（平方毫米）， 则这个六角螺帽的表面积（平方毫米）． ( 题型0 7 )圆柱的侧面积及表面积 29．《九章算术》记载的“圆囷”是圆柱形粮仓.现用总长米的篱笆围成一个圆柱形粮仓的侧面（不计上下底），已知圆柱侧面积，侧面用料长度满足（其中为两条母线的长度和，为底面半径，为高，单位均为米）.若要使圆柱侧面积最大，则其高与底面半径之比的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得，将代入圆柱的侧面积公式， 可得， 因为，所以当时，取得最大值， 将代入，可得，所以. 30．“人造太阳”（托卡马克）的外形像一个巨大的“甜甜圈+圆柱塔”．其底座是圆柱体．某科技馆拟造一个“人造太阳”模型，其底座的直径为，高为．现要给底座的外侧面涂漆，每平方米需要的涂料，则需要（    ）千克的涂料？ A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对应外侧面为圆柱的侧面积，因为底座的直径为,高为， 故圆柱侧面积，而每平方米需要涂料， 因此一共需要涂料. 31．下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知区域和全等，且都是底面半径为10 m，高为40 m的圆柱的侧面的一部分. 将区域还原到如图所示圆柱中，可知，，. 由扇形的弧长公式可知，， 由圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：D. 32．已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为______cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为______ 【答案】 9 【详解】矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的边长为cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大， 则圆柱的高为cm，则圆柱的底面半径为cm， 则圆柱的侧面积为， 故当矩形的边长为9cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为. 故答案为：9， 33．将边长为1的正方形绕边所在直线旋转，得到如图所示的几何体，它是圆柱的一部分． (1)求该几何体的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）几何体的表面积为; （2）因为，所以异面直线与所成的角即或其补角， 连接, ， 所以，又， 所以， 所以异面直线与所成角的大小为. 1．如图所示，经过正三棱柱底面一边，作与底面成角的平面，已知截面三角形的面积为32，且点是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为这个三棱柱是正三棱柱，所以是正三角形，且所在直线与所在的平面垂直，则,如图：    作的高CE，连接DE，则平面，而平面，所以， 所以是二面角 的平面角，，，， 用S表示的面积，则，， ， ， 因为点是棱柱所在侧棱的中点，所以侧棱长为， 所以正三棱柱的侧面积为 2．如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点的截面， 因为正方体的棱长为， 所以，， ， 则其周长为. 3．如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为4的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），四边形是轴截面，是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为__________． 【答案】 【详解】该几何体为圆柱，侧面展开图为矩形，其中，，将问题转化为在上找一点，使最短． 作关于的对称点，连接， 令与交于点，则得的最小值就是，其中， 所以． 4．已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为________． 【答案】 【详解】由题意可知：圆柱的高，底面半径， 所以该圆柱的表面积. 5．我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长一丈六尺，围之六尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长1丈6尺，圆周为6尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长_________尺”.（注：丈等于尺） 【答案】20 【详解】 由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，且为圆木的高且为16尺， 因为葛藤绕圆木两周，故将圆柱侧面展开两次， 则长为圆木底面周长的两倍即为12尺， 所以，，即葛藤最少长为20尺. 6．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面图，圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为，已知区域和是被瓦片覆盖的区域则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为______. 【答案】 【详解】依题意，区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分，将区域还原到圆柱中，如图： 由图可知，，， 由扇形的弧长公式知，的长为， 由圆柱的侧面积公式知，则， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故答案为： 7．如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在平面上的射影是的中点.则该棱柱的体积为__________. 【答案】 【分析】 【详解】设棱的中点为. ，. 因点在平面上的射影是的中点， 故平面. 因平面， 故. 因底面是边长为2的正三角形，且为中点， 故三角形面积，. 因， 故在直角三角形中，. 故三棱柱的体积. 故答案为： 1．我国传统古建筑经常采用榫卯交叉结构，如图所示的榫卯交叉结构是：两个完全相同的正四棱柱垂直贯穿拼接成一个装饰多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点．已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为4，则该榫卯交叉结构的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作出符合题意的图形，    单个正四棱柱体积是,两个棱柱的总体积和为, 两个正四棱柱的重叠部分为多面体,取CS的中点为I， 利用空间对称性，可将多面体,分解为8 个全等的小四棱锥， 只需计算1个小四棱锥，的面积是 ， 且平面GOI，，所以小四棱锥的体积为， 因此重叠部分总体积， 所以该榫卯交叉结构的体积为. 2．劳动实践课上制作圆柱体模型，已知该圆柱的体积为，若用锡纸完整包裹其表面，则所需锡纸面积的最小值为________． 【答案】 【详解】设圆柱底面半径为，高为. 因为圆柱体积，化简得，即 . 包裹圆柱所需锡纸面积即圆柱表面积，且， 将​代入得. 利用三元基本不等式（，等号成立当且仅当）， 所以. 当且仅当​，即时，再代入得，即，时等号成立. 因此当圆柱底面半径为，高为时圆柱的表面积有最小值， 故所需锡纸面积的最小值为. 3．申辉中学某个数学建模小组发现：人走路时，启动或者停下的瞬间，手中水平拿着的杯子里的水可能会被晃动得溢出杯口. 查询资料后发现：液面和水平面的夹角与人走路的加速度以及重力加速度有关，满足关系：，其中. 若甲同学走路启动瞬间的加速度为，手中水平拿着一个底面边长为4cm和6cm，高为14cm的长方体形状的杯子，则杯中最多装__________的水，存在甲同学走路启动的瞬间杯中水不溢出的可能. 【答案】 【详解】当沿着最短的朝向也就是当人沿着杯子底面4cm长的边所在方向加速时，杯内液面的高度差为cm， 此时杯中不溢出的最大水量为； 当沿着其他方向加速时，因为水面要向更远的地方“爬”，在同样的倾斜角度下上升的高度会更高， 比如当沿着6cm长的边所在的方向加速时，杯内液面的高度差为cm， 此时杯中不溢出的最大水量为 ， 所以杯中最多装的水. 1．在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 2． 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若,,则该几何体的体积为（    ） A． B． C．27 D． 【答案】C 【详解】如图所示，该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， . 所以 . 故选：C. 3．如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．    【答案】 【详解】因为且四边形为正方形，故， 而，故，故， 故所求体积为， 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $