专题03 整式相关压轴题（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以解题通法为核心，通过8类典型题型构建“方法-典例-变式”训练体系，渗透整体思想与模型意识，实现整式综合应用能力的专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法总结|合并同类项化简、系数为0、倒推法等通法|从整式运算基础到综合应用的逻辑延伸| |题型归纳|8题型（1典例+3变式）|各题型特征+针对性解法（规律观察、新运算转化等）|覆盖信息丢失、无关问题等高频考法，衔接抽象能力与推理意识| |压轴挑战|15道综合题|通法与思想综合应用|聚焦中考压轴题型，提升运算能力与问题解决能力|

专题03 整式相关压轴题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、信息丢失 题型二、“不含“问题 题型三、整式相关规律性问题 题型四、定义新运算 题型五、错解还原 题型六、“无关”问题 题型七、利用“整体”思想解题 题型八、方案问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 先合并同类项化简，然后令含该字母项的系数 = 0。如果括号前有系数，去括号时务必先乘开再合并。不管错看成什么，都把“看错后的结果”当作已知条件，先还原出原多项式，再代入正确题目。如果整式作为分母出现，默认分母不为0；若题里说 x 是正整数，解出的参数必须满足这个前提。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、信息丢失 典例1 下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面． ，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意， ， ∴被墨水遮住的一项应是， 故选：C． 题型模版 1.特征：原题部分条件丢失。 2.方法：先对多项式的加减运算进行化简，再根据化简结果求出被墨汁遮住的一项． 变式1-1下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： ，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．根据整式的加减计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ∴被墨水遮住的一项应是， 故选：A． 变式1-2．下面是小芳做的－道多项式的加减运算题，但她不小心把－滴墨水滴在了上面． ，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确计算是解题的关键． 【详解】 ， 故选：B． 变式1-3．下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 对比题中的结果，可知被墨汁遮住的一项为． 故选：A． 题型二、“不含“问题 典例1 多项式合并同类项后，不含项，则m的值是（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：， ∵多项式合并同类项后，不含项， ∴， ∴． 故选：A． 题型模版 1.特征：题干中含有“不含”作为条件。 2.方法：使系数为零，即可求出参数的值． 变式1-1如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【详解】解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 变式1-2．若关于a，b的多项式中不含项，则m的值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】D 【详解】解： ， ∵不含项， ∴， ∴． 故选：D． 变式1-3．若关于的多项式与的和不含二次项，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解： ， ∵关于的多项式与的和不含二次项， ∴， 解得：． 故选：A． 题型三、整式相关规律性问题 典例1 如图，观察点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）根据前三个等式所反映的规律，补全④后面的等式：______； （2）根据上面算式的规律，直接写出：______ 【答案】 、（1）根据图形和数字规律分析，即可得到答案； （2）根据数字计算规律的性质分析，总结出规律，即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意得：④后面相应的等式为：， 故答案为：； （2）， ， ， …… ， 故答案为：． 题型模版 1.特征：图形和数字规律的知识. 2.方法：正确根据题意找到规律是解题的关键．观察可知，从第3个代数式开始，据此规律利用整式的加减计算法则求解即可． 变式1-1观察下列关于的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第100个单项式是___________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式，找到正确的规律是解决本题的关键． 根据关于x的单项式发现规律即可求解． 【详解】解：∵第一个单项式是：， 第二个单项式是：， 第三个单项式是：， 第四个单项式是：， ∴第n个单项式是：， ∴第100个单项式是． 故答案为：． 变式1-2．一组代数式按照一定规律排列：，，，，，……按照这个规律写下去，这组代数式中第7个代数式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，代数式有关的规律， 【详解】解：第1个代数式为a， 第2个代数式为b， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， 第6个代数式为， ∴第7个代数式为； 故答案为：． 变式1-3．按一定规律排列的一组代数式：，，，，，…，则第n个式子是_______________． 【答案】 【分析】分别分析每个式子中第一项、第二项的变化规律，即可得到第n个式子的表达式 【详解】解：观察已知代数式， 第一项的系数依次为：， 可得第n个式子第一项的系数为，即第一项为. 第二项中的指数依次为：， 可得第n个式子中的指数为，即第二项为. 因此第n个式子为. 题型四、定义新运算 典例1 定义新运算“”：对于任意有理数，都有，且有括号先做括号内的运算．例如，那么______；当为有理数时，______． 【答案】 / 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，对于第一部分，直接代入新运算定义计算；对于第二部分，先分别计算和，再相减． 【详解】解：， ； ， ， ， 故答案为：；． 题型模版 1.特征：新运算法则、代数式求值等知识点. 2.方法：正确理解新定义，熟练掌握整式的加减运算法则． 变式1-1定义一种新运算“”，规定：，例如：．若，则的值是_____． 【答案】 【详解】解： 当时， 原式 ． 故答案为：． 变式1-2．定义一种新运算：，例如：，则化简后的结果是___________． 【答案】/ 【详解】解：﹒ 变式1-3．定义一种新运算“”：．例如，．若，则的值为______． 【答案】6 【详解】解：由题意得，， 整理得． ∴． 故答案为：6． 题型五、错解还原 典例1 已知，小明同学在做整式加减运算时，误将“”看成了“”，计算的结果是． (1)请你帮小明同学求出正确的结果； (2)若是不大于的最大整数，将代入（1）问的结果求值． 【答案】(1) (2)10 【详解】（1）解：∵，且， ∴ ， ∴ ． （2）解：∵是不大于的最大整数，， ∴， ∴原式 ． 题型模版 1.特征：解题时看错题目条件，使得结果错误。 2.方法：用倒推法解题. 变式1-1（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 【答案】 （1）证明： ， ∵a取正负2时，的结果相等，b取正负1时，的结果相等， ∴把，错看成“，”，最后计算的结果相同，都是正确的； （2） 【详解】解：（1）略 （2）由题意得，， ∴ ， ∴ ． 变式1-2．已知代数式，马小虎同学在做整式加减运算时，误将“”看成“”了，计算的结果是． (1)请你帮马小虎同学求出正确的结果； (2)是最大的负整数，将代入（1）问的结果求值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意知 ， 则 ； （2）解：是最大的负整数， ， 则原式 ． 变式1-3．已知，在计算整式的加减时，小聪将“”错看成了“”，得到的结果为． (1)求整式B． (2)请你帮助小聪同学求出正确的结果． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：依题意得： ， ∴． （2） ． 题型六、“无关”问题 典例1 已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：整式的加减无关型问题. 2.方法：使系数为零，即可求出参数的值． 变式1-1【知识再现】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把，看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0， 即原式，其中，则． 【方法应用】 (1)当______，______时，关于的多项式不含项和项． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)，1 (2) 【详解】（1）解：∵关于的多项式不含项和项 ∴，， ∴，； （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴ ∴． 变式1-2．知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则．理解应用：若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值． 【答案】 【详解】解： ， ∵其值与x的取值无关， ∴， 解得：， 即：当时，多项式的值与x的取值无关． 变式1-3．已知代数式A＝2x2+5xy﹣7y﹣3，B＝x2﹣xy+2． （1）求3A﹣（2A+3B）的值； （2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值； （3）若3A﹣（2A+3B）的值与y的取值无关，求此时3A﹣（2A+3B）的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵A＝2x2+5xy﹣7y﹣3，B＝x2﹣xy+2， ∴3A﹣（2A+3B）， ＝3A﹣2A﹣3B， ＝A﹣3B， ＝（2x2+5xy﹣7y﹣3）﹣3（x2﹣xy+2）， ＝2x2+5xy﹣7y﹣3﹣3x2+3xy﹣6， ＝﹣x2+8xy﹣7y﹣9； （2）∵A＝2x2+5xy﹣7y﹣3，B＝x2﹣xy+2， ∴A﹣2B， ＝（2x2+5xy﹣7y﹣3）﹣2（x2﹣xy+2）， ＝2x2+5xy﹣7y﹣3﹣2x2+2xy﹣4， ＝7xy﹣7y﹣7， ＝7y（x﹣1）﹣7， ∵A﹣2B的值与x的取值无关，则x=1 ∴y＝0； （3）∵3A﹣（2A+3B）， ＝﹣x2+8xy﹣7y﹣9， ＝﹣x2+（8x﹣7）y﹣9， 又∵3A﹣（2A+3B）的值与y的取值无关， ∴8x﹣7＝0， ∴x＝， ∴3A﹣（2A+3B）， ＝﹣x2﹣9， ＝﹣（）2﹣9， ＝． 题型七、利用“整体”思想解题 典例1 整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____； (2)如果，求的值； (3)当时，代数式的值为m，当时，求代数式的值；（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2)2019 (3) 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 由题意得， ； （3）解：当时， ， ∴， 当时， ． 题型模版 1.特征：多项式具有相同的形式。. 2.方法：将多项式作为一个整体，看成同类项进行合并。 变式1-1请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 整体思想 在数学解题过程中，“整体思想”是一种重要的思想方法，它能将复杂问题转化为简单问题，在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例如：合并同类项时，，这里是将“”看成一个整体进行运算．类似地，我们也可以把多项式看成一个整体．比如把看成一个整体，则： ． 任务： (1)把看成一个整体，计算的结果为___________． (2)已知，求代数式的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：把看成一个整体， 则 ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， 则 ． 变式1-2．我们知道：，同理，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ． （2）解：， ． （3）解：，，， ， ， ． 变式1-3．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1)2028 (2)15 (3) 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， 由得：， 整理得：， ∴． 题型八、方案问题 典例1 某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案： 方案一：买1个足球送1个护腿板； 方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个． (1)方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）； (2)当时，哪种方案更省钱？计算说明理由； (3)当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用． 【答案】(1), (2)方案一更省钱 (3)存在，混合采购方案为：用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元 【详解】（1）解：由题知，方案一的总付款金额为：元， 方案二的总付款金额为元； 故答案为：，； （2）解：当时， 方案一的总付款金额为：（元）， 方案二的总付款金额为：（元）， ， 方案一更省钱； （3）解：存在，用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买， 混合总费用为：（元）， ， 存在更省钱的混合采购方案，方案为用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元． 题型模版 1.特征：需通过计算比较得出方案。. 2.方法：用不同的多项式表示出不同方案，化简后进行比较。 变式1-1某大型商场销售一种茶壶和茶碗，茶壶每把定价200元，茶碗每只定价20元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一把茶壶送一只茶碗；方案二，茶壶和茶碗按定价的九五折付款，现在某客户要到商场购买茶壶30把，茶碗x只（）． (1)若客户按方案一，需要付款 元；若客户按方案二，需要付款 元；（用含x的代数式表示） (2)若，试通过计算说明此时哪种购买方案更省钱？ (3)当，能否找到一种比（2）问中更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，说明理由． 【答案】(1)； (2)方案一更合适 (3) 可以有更合适的购买方式． 按方案一购买30把茶壶和30只茶碗，需要（元）， 按方案二购买剩余50只茶碗，需要（元）， 共计（元）． 故此方案应付钱数为6950元． 【详解】（1）解：若客户按方案一，需要付款元； 若客户按方案二，需要付款元． 故答案为：；； （2）解：当时， 方案一：， 方案二：， 因为， 所以方案一更省钱； （3）略 变式1-2．某体育用品商店出售的网球拍和网球的进价、售价如表： 进价 （元） 售价 （元） 网球拍 100元/副 元/副 网球 5 元/个 元/个 某中学计划从该体育用品商店购买20副网球拍，720个网球．“双十一”期间，该商店推出了两种不同的促销方案： 方案一：每购买一副网球拍赠送15个网球； 方案二：每购买120个网球，赠送 1副网球拍． (1)分别按方案一、方案二购买，各需花费多少元？（结果用含a，b的代数式表示） (2)若，则按方案一、方案二购买，各需花费多少元？ (3)在（2）的条件下，若允许两种方案可以同时使用，该中学最少需花费 元． 【答案】(1)方案一：元、方案二：元． (2)6320元和6980元． (3)5920 【详解】（1）解：方案一： 元； 方案二： ． 所以方案一、方案二购买的花费分别为元和元． （2）解：当时， 按方案一的消费为：元； 按方案二的消费为：元． 所以按方案一、方案二购买，花费分别为6320元和6980元． （3）解：若两种方案同时使用，则为方案三：先买480只网球，则送4副球拍，同时再买16副球拍，则送240个网球， 则花费为： ， ∵， ∴两种方案同时购买的花费最省，为5920元． 故答案为：5920． 变式1-3．某商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价200元，茶碗每只定价20元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案， 方案一：买一套茶具送一只茶碗； 方案二，茶具和茶碗都打九五折销售； 现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只． (1)若客户按方案一购买，需要付款 元；若客户按方案二购买，需要付款 元．（用含x的代数式表示） (2)当时，若顾客只能选择其中一种方案购买，试通过计算说明哪种购买方案比较省钱？ (3)若顾客想买30套茶具与50只茶碗，如何购买最节省，需要花费多少元？请写出购买方案． 【答案】(1)， (2) 方案一更省钱； 若按方案一购买，需花费（元）； 若按方案二购买，需花费（元）； 按方案一购买更省钱． (3)先按方案一购买茶具30套和30只茶碗，余下的20只茶碗按方案二购买，需要花费元 【详解】（1）解：由题意得：方案一：元， 方案二：元； 故答案为：，； （2）略 （3）先按方案一购买茶具30套，可得赠送的30只茶碗，余下的20只茶碗按方案二购买，需要花费（元）． 答：先按方案一购买茶具30套和30只茶碗，余下的20只茶碗按方案二购买． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若式子的值与字母x的取值无关，则m的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】代数式的值与某个字母的取值无关，说明该字母对应所有项的系数为0，据此即可求出m的值． 【详解】解：∵式子的值与的取值无关， ∴， ∴． 2．若关于x，y的多项式不含二次项，则的值为（   ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式加减中的无关型问题，先化简多项式，合并同类项后，根据不含二次项，令所有二次项的系数为零，解出a和b的值，再计算即可． 【详解】解： ∵多项式不含二次项， ∴二次项系数为零：即且， 解得，， ∴． 故选：Ａ． 3．代数式的值与的取值无关，则常数与的和为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减，首先去括号、合并同类项，因为代数式的值与无关，所以含的项系数均为零. 【详解】解： ， 代数式的值与无关， ，， 解得：，， . 故选：B． 4．王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，则所捂住的多项式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，根据图可知，所捂的多项式为：，然后计算即可． 【详解】解：由图可得， 所捂的多项式为： ， 故选：C． 5．按一定规律排列的一列单项式如下：，，，，…，则第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别观察单项式中的指数和系数分母的变化规律，得到第个单项式的一般形式，再代入计算得到结果． 【详解】解：观察已知单项式： 第个：； 第个：； 第个：； 第个：； ； ∴第个单项式为； 将代入得：． 6．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】利用整体代入法求解，先将原式整理为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∴ ． 7．已知多项式，若多项式不含一次项，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解： ∵多项式不含一次项， ∴， 解得： ； 故答案为：． 8．已知，，若的值与x无关，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意计算，合并同类项后根据的值与x无关，得出，，求得，，代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵的值与x无关， ∴，， 解得：，， ∴． 9．化简代数式时，小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项，则正确的化简结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减中不含项问题，熟练掌握解题的基本思路是解题的关键．先合并同类项，确定项的系数，根据题意，求得m值，化简即可得到最后的答案． 【详解】解：∵小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项， ∴小华的计算过程为：， ∴，解得， ∴正确的化简结果为， 故答案为：． 10．某同学做一道数学题：“两个多项式A，B，其中，试求A＋2B”，这位同学把“A＋2B”看成了“A－2B”，结果求出答案是，那么A＋2B的正确答案是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先根据错误计算的结果求出多项式，再代入计算正确值即可． 【详解】∵，， ∴ ∴ ． 故答案为:． 11．若，则代数式___________． 【答案】4050 【分析】先化简所求代数式，将其整理为含的形式，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 12．大刚计算“一个整式减去”时，误算为加上此式，得到的结果是，则正确的答案是 __． 【答案】 【详解】根据整式的加减运算进行解答即可． 【解答】解：由题意，原整式为： ， 正确的算式为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键． 13．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则“整体思想”是解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，化简． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简，代数式的求值，掌握整体思想是解题的关键； （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）把变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以． 14．小虎同学做一道题，已知两个多项式，，其中，在计算时，他误将“”看成了“”，求得的结果是，求多项式． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据，代入B即可求得多项式A． 【详解】解：根据题意得，， ， 多项式是． 15．学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供两种优惠方案：A方案：买一个篮球送一条跳绳；B方案：篮球和跳绳都按定价的付款．已知要购买篮球50个，跳绳x条（） (1)若按A方案购买，一共需付款______元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款______元（用含x的代数式表示）． (2)当时，哪一种购买方案最省钱？说说你的理由． 【答案】(1)方案：；方案： (2)A方案最省钱，理由如下： 当时， A方案：（元）； 方案：（元）， ， 所以A方案最省钱﹒ 【分析】本题考查了整式的加减的应用，求代数式的值等知识﹒ （1）根据两种方案列出代数式并化简即可求解； （2）把分别代入两种方案，进行比较即可求解﹒ 【详解】（1）解：若按A方案购买，一共需付款钱数为：； 若按B方案购买，一共需付款钱数为﹒ 故答案为：，； （2）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式相关压轴题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、信息丢失 题型二、“不含“问题 题型三、整式相关规律性问题 题型四、定义新运算 题型五、错解还原 题型六、“无关”问题 题型七、利用“整体”思想解题 题型八、方案问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 先合并同类项化简，然后令含该字母项的系数 = 0。如果括号前有系数，去括号时务必先乘开再合并。不管错看成什么，都把“看错后的结果”当作已知条件，先还原出原多项式，再代入正确题目。如果整式作为分母出现，默认分母不为0；若题里说 x 是正整数，解出的参数必须满足这个前提。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、信息丢失 典例1 下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面． ，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：原题部分条件丢失。 2.方法：先对多项式的加减运算进行化简，再根据化简结果求出被墨汁遮住的一项． 变式1-1下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： ，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．下面是小芳做的－道多项式的加减运算题，但她不小心把－滴墨水滴在了上面． ，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 题型二、“不含“问题 典例1 多项式合并同类项后，不含项，则m的值是（   ） A．5 B． C．1 D． 题型模版 1.特征：题干中含有“不含”作为条件。 2.方法：使系数为零，即可求出参数的值． 变式1-1如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 变式1-2．若关于a，b的多项式中不含项，则m的值为（    ） A． B． C．5 D．6 变式1-3．若关于的多项式与的和不含二次项，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 题型三、整式相关规律性问题 典例1 如图，观察点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）根据前三个等式所反映的规律，补全④后面的等式：______； （2）根据上面算式的规律，直接写出：______ 题型模版 1.特征：图形和数字规律的知识. 2.方法：正确根据题意找到规律是解题的关键．观察可知，从第3个代数式开始，据此规律利用整式的加减计算法则求解即可． 变式1-1观察下列关于的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第100个单项式是___________． 变式1-2．一组代数式按照一定规律排列：，，，，，……按照这个规律写下去，这组代数式中第7个代数式是______． 变式1-3．按一定规律排列的一组代数式：，，，，，…，则第n个式子是_______________． 题型四、定义新运算 典例1 定义新运算“”：对于任意有理数，都有，且有括号先做括号内的运算．例如，那么______；当为有理数时，______． 题型模版 1.特征：新运算法则、代数式求值等知识点. 2.方法：正确理解新定义，熟练掌握整式的加减运算法则． 变式1-1定义一种新运算“”，规定：，例如：．若，则的值是_____． 变式1-2．定义一种新运算：，例如：，则化简后的结果是___________． 变式1-3．定义一种新运算“”：．例如，．若，则的值为______． 题型五、错解还原 典例1 已知，小明同学在做整式加减运算时，误将“”看成了“”，计算的结果是． (1)请你帮小明同学求出正确的结果； (2)若是不大于的最大整数，将代入（1）问的结果求值． 题型模版 1.特征：解题时看错题目条件，使得结果错误。 2.方法：用倒推法解题. 变式1-1（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 变式1-2．已知代数式，马小虎同学在做整式加减运算时，误将“”看成“”了，计算的结果是． (1)请你帮马小虎同学求出正确的结果； (2)是最大的负整数，将代入（1）问的结果求值． 变式1-3．已知，在计算整式的加减时，小聪将“”错看成了“”，得到的结果为． (1)求整式B． (2)请你帮助小聪同学求出正确的结果． 题型六、“无关”问题 典例1 已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 题型模版 1.特征：整式的加减无关型问题. 2.方法：使系数为零，即可求出参数的值． 变式1-1【知识再现】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把，看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0， 即原式，其中，则． 【方法应用】 (1)当______，______时，关于的多项式不含项和项． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． 变式1-2．知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则．理解应用：若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值． 变式1-3．已知代数式A＝2x2+5xy﹣7y﹣3，B＝x2﹣xy+2． （1）求3A﹣（2A+3B）的值； （2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值； （3）若3A﹣（2A+3B）的值与y的取值无关，求此时3A﹣（2A+3B）的值． 题型七、利用“整体”思想解题 典例1 整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____； (2)如果，求的值； (3)当时，代数式的值为m，当时，求代数式的值；（用含m的代数式表示） 题型模版 1.特征：多项式具有相同的形式。. 2.方法：将多项式作为一个整体，看成同类项进行合并。 变式1-1请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 整体思想 在数学解题过程中，“整体思想”是一种重要的思想方法，它能将复杂问题转化为简单问题，在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例如：合并同类项时，，这里是将“”看成一个整体进行运算．类似地，我们也可以把多项式看成一个整体．比如把看成一个整体，则： ． 任务： (1)把看成一个整体，计算的结果为___________． (2)已知，求代数式的值． (3)已知，求代数式的值． 变式1-2．我们知道：，同理，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 变式1-3．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 题型八、方案问题 典例1 某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案： 方案一：买1个足球送1个护腿板； 方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个． (1)方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）； (2)当时，哪种方案更省钱？计算说明理由； (3)当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用． 题型模版 1.特征：需通过计算比较得出方案。. 2.方法：用不同的多项式表示出不同方案，化简后进行比较。 变式1-1某大型商场销售一种茶壶和茶碗，茶壶每把定价200元，茶碗每只定价20元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一把茶壶送一只茶碗；方案二，茶壶和茶碗按定价的九五折付款，现在某客户要到商场购买茶壶30把，茶碗x只（）． (1)若客户按方案一，需要付款 元；若客户按方案二，需要付款 元；（用含x的代数式表示） (2)若，试通过计算说明此时哪种购买方案更省钱？ (3)当，能否找到一种比（2）问中更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，说明理由． 变式1-2．某体育用品商店出售的网球拍和网球的进价、售价如表： 进价 （元） 售价 （元） 网球拍 100元/副 元/副 网球 5 元/个 元/个 某中学计划从该体育用品商店购买20副网球拍，720个网球．“双十一”期间，该商店推出了两种不同的促销方案： 方案一：每购买一副网球拍赠送15个网球； 方案二：每购买120个网球，赠送 1副网球拍． (1)分别按方案一、方案二购买，各需花费多少元？（结果用含a，b的代数式表示） (2)若，则按方案一、方案二购买，各需花费多少元？ (3)在（2）的条件下，若允许两种方案可以同时使用，该中学最少需花费 元． 变式1-3．某商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价200元，茶碗每只定价20元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案， 方案一：买一套茶具送一只茶碗； 方案二，茶具和茶碗都打九五折销售； 现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只． (1)若客户按方案一购买，需要付款 元；若客户按方案二购买，需要付款 元．（用含x的代数式表示） (2)当时，若顾客只能选择其中一种方案购买，试通过计算说明哪种购买方案比较省钱？ (3)若顾客想买30套茶具与50只茶碗，如何购买最节省，需要花费多少元？请写出购买方案． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若式子的值与字母x的取值无关，则m的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 2．若关于x，y的多项式不含二次项，则的值为（   ） A． B．0 C．3 D． 3．代数式的值与的取值无关，则常数与的和为（       ） A． B． C． D． 4．王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，则所捂住的多项式为（ ） A． B． C． D． 5．按一定规律排列的一列单项式如下：，，，，…，则第个单项式是（     ） A． B． C． D． 6．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 7．已知多项式，若多项式不含一次项，那么的值是___________． 8．已知，，若的值与x无关，则的值为________． 9．化简代数式时，小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项，则正确的化简结果为______． 10．某同学做一道数学题：“两个多项式A，B，其中，试求A＋2B”，这位同学把“A＋2B”看成了“A－2B”，结果求出答案是，那么A＋2B的正确答案是______． 11．若，则代数式___________． 12．大刚计算“一个整式减去”时，误算为加上此式，得到的结果是，则正确的答案是 __． 13．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则“整体思想”是解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，化简． (2)已知，求的值． 14．小虎同学做一道题，已知两个多项式，，其中，在计算时，他误将“”看成了“”，求得的结果是，求多项式． 15．学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供两种优惠方案：A方案：买一个篮球送一条跳绳；B方案：篮球和跳绳都按定价的付款．已知要购买篮球50个，跳绳x条（） (1)若按A方案购买，一共需付款______元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款______元（用含x的代数式表示）． (2)当时，哪一种购买方案最省钱？说说你的理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $