专题03 二次函数的简单应用重难点题型专训（1个知识点+12大题型+自我检测）讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学讲义以二次函数应用为核心，通过“知识点梳理+题型分类”构建系统复习体系。知识点部分用步骤框架呈现解题流程，12大基础题型按图形问题、运动问题、拱桥问题等实际应用场景划分，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“基础-提高”分层练习设计，如销售问题结合利润计算培养模型意识，投球问题通过抛物线轨迹提升几何直观，含参捐赠问题锻炼推理能力。自我检测含综合题，助力学生自主诊断，教师可据此实施精准分层教学，提升不同层次学生的应用与创新素养。

专题03 二次函数的简单应用重难点题型专训（1个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、图形问题(实际问题与二次函数) 1 题型二、图形运动问题(实际问题与二次函数) 2 题型三、拱桥问题(实际问题与二次函数) 3 题型四、销售问题(实际问题与二次函数) 4 题型五、投球问题(实际问题与二次函数) 5 题型六、喷水问题(实际问题与二次函数) 6 题型七、线段周长问题(二次函数综合) 7 题型八、面积问题(二次函数综合) 8 题型九、角度问题(二次函数综合) 9 题型十、特殊三角形问题(二次函数综合) 10 题型十一、特殊四边形(二次函数综合) 11 题型十二、其他问题(二次函数综合) 12 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参） 1 题型二、二次函数中角度计算问题（45°等） 2 题型三、投球垂高、水平宽求面积最值问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）正方形边长为3，若边长增加则面积增加，求随变化的函数关系式，并以表格的形式表示当等于1、2、3、4时的值． 2．（24-25九年级上·全国·期中）苦荞是自然界中甚少的药食两用作物．山西特产专卖店销售广灵苦荞，其进价为每千克80元，按每千克110元出售，平均每天可售出100千克．经市场调查发现，单价每降低2元，平均每天可多售出20千克．当每千克的售价为多少元时，该专卖店销售广灵苦荞每天获利最大？ 【基础题型一 图形问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）设边长为的正方形的面积为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·山东济南·一模）一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中所给的数据求出水面的宽度是____cm． 1．（25-26九年级上·安徽·期中）如图，学校要用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，矩形的边为围墙的一部分，已知墙长为.要想使花圃的面积最大，求边的长及花圃的最大面积.    2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，某校用长的隔离网沿着院墙围成一个矩形形状的劳动实践基地，中间有隔离网，已知，可利用的院墙长为．当基地长度为多少时，该劳动实践基地的面积最大？请求出其最大值（不考虑隔离网的宽度）． 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【基础题型二 图形运动问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·广东深圳·期中）如图1，在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动；到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为ts，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为_________． 1．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，正方形的边长为8，动点、同时从点出发，以2的速度分别沿，和的路径向点移动．设运动时间为，由点、、、确定的图形的面积为s，求与之间的函数关系式． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为 (1)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)求的面积的最大值． 3．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点右侧），与轴交于点，且，点是抛物线上一点，且位于对称轴的左侧，过点作轴交抛物线于点，且． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)若点沿抛物线向上移动，使得，求移动过程中点的纵坐标的取值范围． 【基础题型三 拱桥问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽；如果水面下降，则水面宽度增加（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图所示是一座抛物线拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，则当水面上升3m时，水面的宽度是_______米 1． （25-26九年级上·安徽安庆·期末）一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，车从隧道正中通过，为保证安全行车，在车顶到隧道顶部的距离至少要米，若卡车宽米，则卡车限高为多少米？ 2．（2026·陕西榆林·一模）在万物复苏的春天，露营成了很多人们放松休闲的选择，它带给我们的不仅仅是亲近自然的体验，更是一种身心的放松和宁静．周末小雅一家去公园露营，他们在草坪上撑开了一个露营帐篷．该露营帐篷撑开后（如图1）上面的轮廓可近似看作抛物线．如图2，以帐篷左侧A的底部为原点O，以水平地面为x轴，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线的最高点A距离地面，水平地面上的点O，B之间的距离为．      (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． 3．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【基础题型四 销售问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）某超市销售一种商品，每件成本为50元．销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足函数关系式．若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（   ） A．90元 B．85元 C．80元 D．55元 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知某快餐店卖出盒饭的数量x（单位：盒）与所获利润y（单位：元）满足函数解析式，则当卖出盒饭的数量为______时，获得的利润最大，最大利润为______元． 1．（2026·辽宁营口·模拟预测）近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 2．（2025·湖北·模拟预测）某企业投资生产一批新能源车进行销售，其中每年固定成本为1000万元，第一年该企业生产了100台车进行销售，每台车的生产成本为6万元，每台车售价为20万元，第二年该企业决定调整生产计划，经过分析，生产的汽车在第一年的基础上每增加50台，每台车的生产成本增加0.5万元，每台车的售价仍为20万元．设第二年该企业生产台车，该企业每年生产的新能源汽车能全部销售完． (1)求第一年该企业所获得的年利润； (2)当x的值是多少时，该企业第二年所获得的年利润最大？最大年利润为多少？ (3)该企业要保证第二年利润不低于4000万，且每台车的生产成本不超过13万元，直接写出x的取值范围． 3．（2025·贵州·模拟预测）开阳枇杷，是贵州省开阳县特产，也是中国国家地理标志产品，某校开展社会实践活动，要求学生调查当地枇杷的市场情况．下表是某小组的调查记录表，请根据表中的相关信息解决问题． 某校社会实践调查记录表 活动时间 2025.4.3 活动地点 当地枇杷市场 实践内容 调查市场情况，解决销售问题 调研信息 枇杷的进价为20元/千克，物价局规定该枇杷的售价不得超过40元/千克，销售一段时间后发现，该枇杷的日销售量（千克）与售价（元/千克）的函数图象如图所示． 解决问题 建立模型 （1）求关于的函数表达式； 拟定最佳方案 （2）当该枇杷的售价为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为多少元？ （3）由于某种原因，该枇杷进价提高了元/千克（），枇杷市场在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系且依旧符合物价局规定．若日销售最大利润是1280元，请求出的值． 【基础题型五 投球问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图①所示的是一个运动员在投篮，球的运行路线可以看作是一条抛物线，图②是球运行路线的平面示意图．球的出手点D到地面EB的距离为2.25m（），当球运行至F处时，达到最大高度3.5m，水平距离为2.5m（F到DE的距离为2.5m）．已知篮圈中心A到地面EB的距离为3.05m． (1)请建立恰当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式． (2)若篮圈中心A离运动员的水平距离为4.5m，则该运动员能否将篮球投入篮圈？若能，请说明理由；若不能，算一算运动员往哪个方向移动，移动多少米，此次所投的篮球才能投入篮圈． 2．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．    图1                        图2 (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分8分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 3．（2026·安徽六安·一模）某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，已知，． (1)若抛物线经过点． ①求抛物线的解析式和顶点坐标； ②若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由． (2)要使弹珠能投入箱子，求的取值范围． 【基础题型六 喷水问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（2026·陕西·模拟预测）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·四川南充·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点． 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 2．（25-26九年级上·山东淄博·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 .    (1)求雕塑高； (2)求落水点、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立一尊高3米的雕塑，且，那么雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明. 3．（25-26九年级下·河北保定·期中）如图是一个直角三角形斜坡截面，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 2 2 (1)求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标； (2)若喷水管喷出水流恰好经过树顶点． ①求小树的最大高度； ②若点到两点距离相等，求点坐标． ③若在右侧还有一棵与其等高的小树，水流恰好经过树顶点．直接写出横坐标的取值范围． 【基础题型七 线段周长问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·四川南充·二模）如图，抛物线的顶点为M，点A是抛物线上异于点M的一动点，连接，过点M作交抛物线于点B，则点M到直线的距离的最大值为________． 1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点与轴平行的直线交抛物线于、两点（点在点的左侧），当时，求的值； (3)设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线、之间．若直线、之间的距离为16，当取最大值时，求抛物线与两直线、的几个交点围成的多边形的面积． 2．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，且B，C两点间的距离为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是线段上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，交抛物线于点F，过点F作轴，交y轴于点G，求四边形周长的最大值及此时点E的坐标． 3．（25-26九年级下·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点A、C（C在A的左侧），与y轴交于点B． (1)若，，． ①直接写出抛物线解析式： ； ②若D点与C点关于y轴对称，在直线上是否存在点M使与相似，若存在，求出点M的坐标； (2)如图2，点P和点Q在抛物线上，其中P在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线交y轴于点F，直线交y轴于点H，设直线解析式为，当，试证明为一个定值，并求出定值． 【基础题型八 面积问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【例2】（2026九年级·全国·模拟预测）已知抛物线交轴于两点，点在轴左侧，该图象对称轴为，最高点的纵坐标为4，且．若点在轴上方的抛物线上，且．则点的坐标为______． 1．（25-26九年级上·广西梧州·期末）已知抛物线经过两点，，C是抛物线与y轴的交点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设四边形ABDC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当m为何值时，S的最大值是多少？ 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，． (1)求该抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求的面积； (3)①当时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是___________． 3．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且．点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在抛物线上，点在轴上． (1)求的值； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积； (3)在（）的条件下，矩形不动，将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接．若恰好平分矩形的面积，求的值． 【基础题型九 角度问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（2026·辽宁大连·二模）抛物线与直线交于点和点H，，直线交直线于点A，交抛物线于点B． (1)求c和k的值（用含m的代数式表示）； (2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段的中点，探究与的数量关系，并说明理由． 【例2】（25-26九年级上·天津河北·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且点在轴正半轴上，与轴交于点，且，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标； (2)若点在第四象限时，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； (3)当点在抛物线上时，且时，求点的坐标． 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标． 2．（2025·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点D为二次函数图象上一点，且点D的横坐标为2． (1)求此二次函数的解析式及点D的坐标； (2)点M是抛物线上一点，是否存在点M使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过点D作垂直于x轴的直线，点P为此函数图象上任意一点，设点P的横坐标为n，作点P关于直线的对称点Q，且点P与点Q不重合，连接，设的长为d． ①求d关于n的函数解析式； ②当线段的长度随n的增大而减小，且时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的n的取值范围． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 【基础题型十 特殊三角形问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（  ） A．1＋ B．1－ C．－1 D．1－或1＋ 【例2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线经过点．若抛物线顶点为，它与轴交于两点，且为等边三角形．请回答下列问题： （1）的值为__________； （2）若抛物线顶点在第三象限，则顶点坐标为__________． 1．（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·四川自贡·期中）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)若点P在直线的下方，当点P到直线距离最大时，试求点P的坐标，并且求出点P到直线的距离． 3．（2026·重庆·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，其中点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的函数解析式； (2)为直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，求的最大值和此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线的方向平移，使得平移后的抛物线经过点，为新抛物线与轴的交点，是平移后新抛物线的对称轴上的动点．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点坐标的过程写出来． 【基础题型十一 特殊四边形（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级下·辽宁大连·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形. （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则________；当抛物线是“美丽抛物线”时，则________； （2）若抛物线是“美丽抛物线”，则，之间的数量关系为________. 1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）已知：二次函数的图象经过．点P在抛物线上，其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求抛物线在点之间部分的图象（包括端点）的最大值和最小值； (3)已知点，且Q在点N的下方． ①点P在点A的左侧时，以为顶点作四边形，当此四边形的面积被某条对角线平分时，求m的值． ②点P在点A的左侧时，以为顶点作四边形，当抛物线在此四边形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 2．（2026·西藏·模拟预测）如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求b，c的值． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形， 那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形的最大面积． 【基础题型十二 其他问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（2026·河北邯郸·模拟预测）已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当取任意正实数时，方程的实根所在的范围是__________． 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数的图像经过直线上的两点，． (1)求b，c，m，n的值． (2)判断点是否在这个函数图像上，并说明理由． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当点在轴上方时，求出的取值范围． (3)若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 3．（2026·四川眉山·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于，两点，过，两点的抛物线与x轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点E是线段上的一个动点（不与，重合），过点E作，交于点F，当的面积是时，求点E的坐标； (3)在（2）的结论下，将绕点F旋转得，试判断点是否在抛物线上，并说明理由． 【提高题型一 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参）】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【例2】（25-26九年级上·上海松江·阶段检测）某商品的销售利润y与销售单价x的关系为y＝+2650，则当x=___元时，y有最_______值，这个值为______元． 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血压血糖测试仪计划在该月销售．根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台；若每降价1元，每天可多售出4台．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不得低于120元．设每台降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 2．（25-26九年级下·辽宁盘锦·阶段检测）某商贸公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天内的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为：，且其日销售量y（）与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 40 … 日销售量y（） 118 114 108 100 80 40 … (1)已知y与t之间的变化符合一次函数关系，直接写出y与t的函数解析式． (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)在实际销售的前24天中，若公司获得的利润不低于1232元，试求天数t的取值范围． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第天（，且为整数）与该天销售量（件）之间满足函数关系如表所示： 第天 … 销售量（件） … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价（元）与第天（，且为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为元/件． (1)求关于的函数表达式； (2)求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价元销售，销售第天与该天销售量（件）仍然满足原来的函数关系，问： ①当第天（，且为整数）的销售利润取到最大值，此时的值为多少？ ②若①中销售利润的最大值是元，求此时的值． 【提高题型二 二次函数中角度计算问题（45°等）】 【例1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【例2】（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）问题提出：（1）如图①，在四边形中，对角线与的夹角的较小的角为，且，，求四边形的面积； 问题解决：（2）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图②，四边形中，厘米，点到的距离为5厘米，，且．在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元．请问每个这种四边形金属部件的最低造价是多少元？ 1．（25-26九年级下·吉林白城·阶段检测）如图，在矩形中，，，的平分线与交于点，动点从点出发沿折线向终点运动，在边上以的速度运动，在边上以的速度运动．过点作线段与射线相交于点，且，连接．设点的运动时间为，与四边形重叠部分图形的面积是．    (1)当点与点重合时，的长为______ (2)当点在上运动时，直接写出的长．（用含的代数式表示） (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 2．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求出点P的坐标； (3)设的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． 3．（25-26九年级下·湖南衡阳·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线上存在一点Q，使，求出点Q的坐标． (3)如图2，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线于点F，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 【提高题型三 投球垂高、水平宽求面积最值问题】 【例1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）一座拱桥其中一段的横截面为抛物线型，如图所示，线段表示水面，桥墩跨度为，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：左右两边的桥墩相同，高度，抛物线的顶点到轴的距离是． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)节日为了庆祝，决定在该桥上共挂三串彩灯，第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上，另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面，求挂设的三串彩灯，，长度和的最大值． 【例2】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道交于A，且，轴，测得，P到x轴的距离为4，设． (1)k的值为________，点P的坐标是________，________； (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道是否还能相交； ②在x轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 1．（2026·广东深圳·模拟预测）体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 2．（24-25九年级上·湖北荆州·阶段检测）羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系．某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 … 竖直高度y/m … 请根据上述数据，解决问题： (1)直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时，羽毛球能否越过球网？请说明理由． 3．（2026·天津河西·二模）如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点O和点A，截得的抛物线弓形的曲线上有一点P． （Ⅰ）当时，解答下列问题： ①求A点的坐标； ②连接，，求面积的最大值； ③当的面积最大时，直线也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点，连接，，当的面积最大时，求这个的最大面积与②中的最大面积的比值； （Ⅱ）将（Ⅰ）中的条件去掉后，其它条件不变，则的最大面积与的最大面积的比值是否变化？请说明理由． 1．（25-26九年级上·全国·周测）某种商品的单价为15元时，每天能卖出500个，单价每上涨1元，销量将减少20个．要使每天的销售金额最大，则单价应定为（   ） A．15元 B．18元 C．20元 D．22元 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知正方形的边长为，点P是对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，作交射线于点M，连接，设，，则y关于x的函数关系的图象大致为（） A． B． C． D． 3．（2026·广东珠海·一模）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题： ①当x＞0时，y＞0； ②若a＝﹣1，则b＝4； ③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2； ④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2， 其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2026·山东聊城·一模）篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知矩形的周长为，矩形绕着它的一条边所在直线旋转形成一个圆柱．设矩形的一条边长为，圆柱的侧面积为，则与之间的函数关系式是_______________． 7．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 8．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图像，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，m，m，水嘴高m，则水柱落地点C到水嘴所在墙的距离是______m． 9．（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于、、三点，在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，则该矩形周长的最大值________． 10．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是______． 11．（2026·湖北武汉·二模）进价为每件元的某商品，售价为每件元时，每星期可卖出件．市场调查反映∶如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出件，但售价不能低于每件元．设每件降价元(为正整数)． (1)设每星期的销售量为件，求与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)如何定价才能使每星期的利润最大？并求出每星期的最大利润． 12．（2026·江苏南京·模拟预测）【问题呈现】现在有一段长的铁丝，要把它围成一个长方形．怎样围才能使得它的面积最大？ 【分组研究】 同学们经过审题，分析解题思路，并且进行演算，最后小军和小英先后发表了自己的观点如图所示． 【请您仲裁】 请你利用所学的函数知识来裁决，小军和小英两人的说法谁正确？ 13．（25-26九年级上·吉林长春·期末）某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽为8米．上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米．他们以点A为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线所对应的函数表达式． (2)求拱桥顶面离水面的最大高度． (3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于米．请通过计算说明该游船是否能安全通过． 14．（2026·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 15．（2026·山东威海·模拟预测）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数的简单应用重难点题型专训（1个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、图形问题(实际问题与二次函数) 1 题型二、图形运动问题(实际问题与二次函数) 2 题型三、拱桥问题(实际问题与二次函数) 3 题型四、销售问题(实际问题与二次函数) 4 题型五、投球问题(实际问题与二次函数) 5 题型六、喷水问题(实际问题与二次函数) 6 题型七、线段周长问题(二次函数综合) 7 题型八、面积问题(二次函数综合) 8 题型九、角度问题(二次函数综合) 9 题型十、特殊三角形问题(二次函数综合) 10 题型十一、特殊四边形(二次函数综合) 11 题型十二、其他问题(二次函数综合) 12 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参） 1 题型二、二次函数中角度计算问题（45°等） 2 题型三、投球垂高、水平宽求面积最值问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）正方形边长为3，若边长增加则面积增加，求随变化的函数关系式，并以表格的形式表示当等于1、2、3、4时的值． 【答案】 1 2 3 4 7 16 27 40 【详解】解： ， 列表略． 2．（24-25九年级上·全国·期中）苦荞是自然界中甚少的药食两用作物．山西特产专卖店销售广灵苦荞，其进价为每千克80元，按每千克110元出售，平均每天可售出100千克．经市场调查发现，单价每降低2元，平均每天可多售出20千克．当每千克的售价为多少元时，该专卖店销售广灵苦荞每天获利最大？ 【答案】100元 【分析】本题考查的是二次函数应用，理解题意，确定利润的计算方法是解题的关键． 设每千克的售价为元，该专卖店销售广灵苦荞每天获利元，根据销售数量乘以每千克的利润，列出函数关系式，再根据二次函数最值求解即可． 【详解】解：设每千克的售价为元，该专卖店销售广灵苦荞每天获利元， 则． ， 当时，最大． 答：当每千克的售价为100元时，该专卖店销售广灵苦荞每天获利最大． 【基础题型一 图形问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）设边长为的正方形的面积为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的知识，解题的关键是掌握二次函数图象的实际运用，根据题意，则且，即可． 【详解】根据题意，， ∴对称轴为轴； ∵为正方形的边长， ∴， 故选：C． 【例2】（2026·山东济南·一模）一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中所给的数据求出水面的宽度是____cm． 【答案】2 【分析】首先建立平面直角坐标系，然后根据图中数据确定点A和点B的坐标，从而利用待定系数法确定二次函数的解析式，然后求得C、D两点的坐标，从而求得水面的宽度． 【详解】如图建立直角坐标系． 则点A的坐标为（-2，8），点B的坐标为（2，8）， 设抛物线的解析式为y=ax2， 代入点A的坐标得8=4a， 解得：a=2， 所以抛物线的解析式为y=2x2， 令y=6得：6=2x2， 解得：x=±， 所以CD=-（-）=2（cm）． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出二次函数模型，并建立正确的平面直角坐标系． 1．（25-26九年级上·安徽·期中）如图，学校要用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，矩形的边为围墙的一部分，已知墙长为.要想使花圃的面积最大，求边的长及花圃的最大面积.    【答案】边的长为米时，有最大面积，且最大面积为平方米 【分析】设为米，矩形的面积为平方米，则 米，可以得到与的函数关系式，在的取值范围内求出函数的最大值即可. 【详解】 设为米，矩形的面积为平方米，则 米， 且 ，故抛物线开口向下， ∴当 时, 有最大值是, 此时(米), 答：边的长为米时，有最大面积，且最大面积为平方米. 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件. 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，某校用长的隔离网沿着院墙围成一个矩形形状的劳动实践基地，中间有隔离网，已知，可利用的院墙长为．当基地长度为多少时，该劳动实践基地的面积最大？请求出其最大值（不考虑隔离网的宽度）． 【答案】当基地长度为时，该劳动实践基地的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，读懂题意找准等量关系，正确列出一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 设劳动实践基地的面积为，，可得关于的函数关系式，配方得到顶点式即可得到最值解题即可． 【详解】解：设劳动实践基地的面积为，，则， ． ， 当时，． 答：当基地长度为时，该劳动实践基地的面积最大，最大值为． 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【答案】(1)12或16 (2) 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可； （2）根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． 【基础题型二 图形运动问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，动点问题与函数图象，含30度角直角三角形的性质，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：，， ∴． 如图，当点M在上运动时，，． 过点M作于点F． 在中，， ． ． 当点M在点A时，，即， 解得（负值已舍去）． ； 如图，当点M在AC上运动时，，． 过点M作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 故选：D． 【例2】（24-25九年级下·广东深圳·期中）如图1，在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动；到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为ts，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，由图2可得：当点P运动到点A处时，，由此可得的长，进而可得的长．理解题意，结合图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图2可得：当点P运动到点A处时，， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，正方形的边长为8，动点、同时从点出发，以2的速度分别沿，和的路径向点移动．设运动时间为，由点、、、确定的图形的面积为s，求与之间的函数关系式． 【答案】 【分析】分和两种情况：当时，；当时，． 【详解】解：①时， 正方形的边长为8，动点、移动速度为2， ， ， ， ； ②时， 正方形的边长为8，动点、移动速度为2， ， ， ， ， 综上所述，． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及动点问题，注意分情况讨论是解题的关键． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为 (1)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）分别表示出、的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解； （2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）∵，，， ， 即； （2）由知，， ， 当时，随的增大而增大， 而， 当时，， 即的最大面积是． 【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出、的长度是解题的关键． 3．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点右侧），与轴交于点，且，点是抛物线上一点，且位于对称轴的左侧，过点作轴交抛物线于点，且． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)若点沿抛物线向上移动，使得，求移动过程中点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)，点的坐标为 (2) 【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，再根据点的对称性确定点的横坐标，即可求解； （2）当时，抛物线的对称轴为直线，而关于函数的对称轴对称，则点的横坐标为，进而求解． 【详解】（1）解：，则， 则，故点的坐标为， 将点的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为， 则抛物线的对称轴为直线， 而关于函数的对称轴对称，则点的横坐标为， 当时，，故点的坐标为； （2）解：当时， 抛物线的对称轴为直线， 而关于函数的对称轴对称，则点的横坐标为， 当时， ， 故点的纵坐标为， 当时， 同理可得，点的纵坐标为， 故点的纵坐标的取值范围为． 【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，确定点的横坐标是解题的关键． 【基础题型三 拱桥问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽；如果水面下降，则水面宽度增加（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，米，抛物线顶点C坐标为， 通过以上条件可设顶点式， 将A点坐标代入抛物线解析式可得出：， 所以抛物线解析式为， 当水面下降4米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得：， 所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 【例2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图所示是一座抛物线拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，则当水面上升3m时，水面的宽度是_______米 【答案】6 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意可知 A (-6，0)，B (6，0)，C(0，4)，设该抛物线解析式为，利用待定系数法可求出该抛物线解析式为．又可知，代入，可求出C点坐标，再结合抛物线对称性即可求出结果． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∴A (-6，0)，B (6，0)，C(0，4)． 设该抛物线解析式为， 将A (-6，0)，C(0，4)代入，得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为． 当水面上升3m时，如图点C位置， ∴， 将，代入，得， 解得：， ∴C(3，3)， 根据抛物线的对称性可知此时水面的宽度是米． 故答案为：6． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意求出该抛物线解析式是解题关键． 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，车从隧道正中通过，为保证安全行车，在车顶到隧道顶部的距离至少要米，若卡车宽米，则卡车限高为多少米？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，先求出对应的抛物线解析式，进而求出当时，的值即可得到答案， 【详解】解：如图所示，建立坐标系，则可设抛物线解析式为， 把代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， ， ∴卡车限高为． 2．（2026·陕西榆林·一模）在万物复苏的春天，露营成了很多人们放松休闲的选择，它带给我们的不仅仅是亲近自然的体验，更是一种身心的放松和宁静．周末小雅一家去公园露营，他们在草坪上撑开了一个露营帐篷．该露营帐篷撑开后（如图1）上面的轮廓可近似看作抛物线．如图2，以帐篷左侧A的底部为原点O，以水平地面为x轴，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线的最高点A距离地面，水平地面上的点O，B之间的距离为．      (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． 【答案】(1) (2)活动区域在水平方向上的最大宽度为 【分析】（1）根据题意确定，，再将点代入，进行计算即可； （2）当时，得，解得，，即可得到答案． 【详解】（1）解：，点A为抛物线的顶点，且距离地面， ，, 设该抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知，抛物线的函数表达式为， 当时，得， 解得，， ， 活动区域在水平方向上的最大宽度为． 3．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三， (2)方案一，；方案二；方案三， (3) 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 【基础题型四 销售问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）某超市销售一种商品，每件成本为50元．销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足函数关系式．若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（   ） A．90元 B．85元 C．80元 D．55元 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．根据题意，利润由销售量乘以每件利润得到建立利润关于售价的二次函数，利用顶点式求出最大值对应的售价． 【详解】解：设每月利润为元，则， 展开得：， 此为开口向下的抛物线，最大值出现在顶点处。顶点横坐标为： ， 因，符合条件， 故售价定为80元时利润最大， 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知某快餐店卖出盒饭的数量x（单位：盒）与所获利润y（单位：元）满足函数解析式，则当卖出盒饭的数量为______时，获得的利润最大，最大利润为______元． 【答案】 600 2400 【分析】将函数解析式化成顶点式，即可得到利润最大时卖出的盒饭数量和最大利润。 【详解】解：函数解析式的二次项系数为 开口向下，有最大值； 当卖出盒饭的数量为600时，获得的利润最大，最大利润为2400元． 故答案为. 【点睛】本题考查的知识点为二次函数的图像与性质以及二次函数的顶点解析式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键。 1．（2026·辽宁营口·模拟预测）近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 【答案】(1)（，且为的整数倍） (2)这天公司获得的总利润最多为元 【分析】（1）根据利润等于每辆车的利润乘以租出的车辆数，列式计算即可； （2）根据二次函数的性质分别求出前天和后天的利润最大值，然后相加即可得出获得的总利润最大值． 【详解】（1）解：根据题意得 （，且为的整数倍）； （2）解：， ， 前天：当时，取得最大值，最大值为， 当时，随着的增大而增大，后天每辆车每天的租金不超过元， 后天：当时，的最大值为， （元）． 答：这天公司获得的总利润最多为元． 2．（2025·湖北·模拟预测）某企业投资生产一批新能源车进行销售，其中每年固定成本为1000万元，第一年该企业生产了100台车进行销售，每台车的生产成本为6万元，每台车售价为20万元，第二年该企业决定调整生产计划，经过分析，生产的汽车在第一年的基础上每增加50台，每台车的生产成本增加0.5万元，每台车的售价仍为20万元．设第二年该企业生产台车，该企业每年生产的新能源汽车能全部销售完． (1)求第一年该企业所获得的年利润； (2)当x的值是多少时，该企业第二年所获得的年利润最大？最大年利润为多少？ (3)该企业要保证第二年利润不低于4000万，且每台车的生产成本不超过13万元，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)第一年该企业所获得的年利润为400万元 (2)当x的值为750时，该企业第二年所获得的年利润最大，最大年利润为4625万元 (3)x的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）用每台车的利润×数量，再减去固定成本即可； （2）根据利润的计算方法列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）求出当时x的值，然后根据二次函数的性质求出，再结合台车的生产成本不超过13万元即可求解． 【详解】（1）（万元）． ∴第一年该企业所获得的年利润为400万元； （2）第二年该企业生产台车，则每台车的生产成本为万元． 设第二年该企业所获得的年利润为W万元，则 ． ∵，， ∴当时，． 答：当x的值为750时，该企业第二年所获得的年利润最大，最大年利润为4625万元 （3）∵第二年利润不低于4000万元， ∴． ∵当时，， 解得，， ∴时，． ∵每台车的生产成本不超过13万元， ∴， 解得． 综上所述，x的取值范围为． 3．（2025·贵州·模拟预测）开阳枇杷，是贵州省开阳县特产，也是中国国家地理标志产品，某校开展社会实践活动，要求学生调查当地枇杷的市场情况．下表是某小组的调查记录表，请根据表中的相关信息解决问题． 某校社会实践调查记录表 活动时间 2025.4.3 活动地点 当地枇杷市场 实践内容 调查市场情况，解决销售问题 调研信息 枇杷的进价为20元/千克，物价局规定该枇杷的售价不得超过40元/千克，销售一段时间后发现，该枇杷的日销售量（千克）与售价（元/千克）的函数图象如图所示． 解决问题 建立模型 （1）求关于的函数表达式； 拟定最佳方案 （2）当该枇杷的售价为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为多少元？ （3）由于某种原因，该枇杷进价提高了元/千克（），枇杷市场在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系且依旧符合物价局规定．若日销售最大利润是1280元，请求出的值． 【答案】（1）；（2）当该枇杷的售价为40元/千克时，日销售利润最大，最大利润为1600元；（3） 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，熟练掌握求最值的方法是解题的关键． （1）依题意设，解方程组即可得到结论； （2）根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）根据题意得列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）设关于的函数表达式为：， 根据题意得 解得 ∴关于的函数表达式为：； （2）设该枇杷的日销售利润为元， 根据题意得， ∵，， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为1600元， 答：当该枇杷的售价为40元/千克时，日销售利润最大，最大利润为1600元； （3）根据题意得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值为1280， 代入得，解得． 【基础题型五 投球问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 【答案】5 【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可． 【详解】解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图①所示的是一个运动员在投篮，球的运行路线可以看作是一条抛物线，图②是球运行路线的平面示意图．球的出手点D到地面EB的距离为2.25m（），当球运行至F处时，达到最大高度3.5m，水平距离为2.5m（F到DE的距离为2.5m）．已知篮圈中心A到地面EB的距离为3.05m． (1)请建立恰当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式． (2)若篮圈中心A离运动员的水平距离为4.5m，则该运动员能否将篮球投入篮圈？若能，请说明理由；若不能，算一算运动员往哪个方向移动，移动多少米，此次所投的篮球才能投入篮圈． 【答案】(1) 如图， (2)不能，运动员应沿EB方向向点B移动0.5m，此次所投的篮球才能投入篮圈 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是求出函数解析式． （1）以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意得出点的坐标，设此抛物线解析式的顶点式，再把点的坐标代入解析式中，求出常数项即可； （2）把代入解析式求出x的值，与比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，以EB所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则，． 由题意知，为该抛物线的顶点，故可设抛物线的解析式为． 将代入，得， 解得． 故该抛物线的解析式为． （2）解：不能． 当时，， 解得（舍去），． ， 该运动员不能将篮球投入篮圈，， 故运动员应沿方向向点移动，此次所投的篮球才能投入篮圈． 2．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．    图1                        图2 (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分8分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】(1)关于x的函数表达式为； (2)该男生在此项考试中不能得满分 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可; （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意设y关于x的函数表达式为， 把代入得：， 解得： ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：该男生在此项考试中不能得满分， 令，则， 解得：（舍） ∵， ∴该男生在此项考试中不能得满分； 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程求解． 3．（2026·安徽六安·一模）某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，已知，． (1)若抛物线经过点． ①求抛物线的解析式和顶点坐标； ②若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由． (2)要使弹珠能投入箱子，求的取值范围． 【答案】(1)①抛物线的解析式为，顶点坐标为； ②弹珠能弹出箱子，理由如下： ∵， ∴， ∴； 当时， 解得：， ∴抛物线L与x轴的另外一个交点坐标为， 根据题意可设抛物线M的解析式为， 把点代入，得：， 解得：或， ∵抛物线M的对称轴在直线的左侧， ∴， ∴抛物线M的解析式为， ∵当时，， ∴弹珠能弹出箱子． (2) 【分析】（1）①把点，代入，再把抛物线解析式化为顶点式，可得顶点坐标，即可求解；②先求出抛物线L与x轴的两一个交点为，再根据题意可设抛物线M的解析式为，然后把代入，求出抛物线M的解析式，再求出当时，y的值即可求解． （2）由抛物线经过点，得到，则抛物线解析式为，求出，；当时，，或，要使弹珠能投入箱子，则，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：①把点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； ② 略 （2）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为 ∵， ∴， ∴，， 在中，当时，则， ∴， 解得或， ∵要使弹珠能投入箱子， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴； 当，即时，满足， 当，即时， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当时，弹珠能投入箱子． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系是解题的关键． 【基础题型六 喷水问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（2026·陕西·模拟预测）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 【例2】（2026·四川南充·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点． 【答案】8 【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5， 将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①， 喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4， 将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②， 联立可求出，， 设喷头高为h时，水柱落点距O点4m， ∴此时的解析式为， 将（4，0）代入可得， 解得h=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键． 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【答案】(1)水管的长度为米 (2)景观射灯与池中心的水平距离为7米 (3)水管要升高米 【分析】该题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）把代入解析式，即可求解； （3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解； 【详解】（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米， 将点B的坐标代入中， 得 解得， ∴． 令，得， ∴水管的长度为米； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， ∴景观射灯与池中心的水平距离为7米； （3）解：设水管要升高h米， ∴升高后的抛物线的解析式为． 当时，， ∴ ， ∴， 答：水管要升高米． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 .    (1)求雕塑高； (2)求落水点、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立一尊高3米的雕塑，且，那么雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明. 【答案】(1) (2) (3) 不会碰到水柱， 理由：令，则． 【分析】（1）求雕塑的高，直接令代入解析式求得的值即可； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）直接令，求出此时对应的值，若大于3，则不会碰到水柱，反之能碰到． 【详解】（1）解：由题意可知，点在图像上， 当时， ∴ 故：雕塑高． （2）解：当时， 解得 ∴点坐标为 ∴m ∴m 故、点之间的距离为m． （3）略 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标． 3．（25-26九年级下·河北保定·期中）如图是一个直角三角形斜坡截面，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 2 2 (1)求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标； (2)若喷水管喷出水流恰好经过树顶点． ①求小树的最大高度； ②若点到两点距离相等，求点坐标． ③若在右侧还有一棵与其等高的小树，水流恰好经过树顶点．直接写出横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）①设直线解析式为，将代入可求得的解析式为，设点的横坐标为，则点N的纵坐标为，，用含m的式子表示出，进而根据二次函数的性质可得答案；②过作于点，连接，设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为，根据得到，解方程即可得到答案；③可证明四边形是平行四边形，则，即直线与抛物线要有两个不同的交点，求出直线恰好经过点P和直线与抛物线恰好只有一个交点时点N的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，时y的值和时y的值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， 故抛物线解析式为． （2）解：①设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的横坐标为，则点N的纵坐标为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ②如图所示，过作于点，连接， 设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为 ∵， ∴为中点，即 ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点坐标为； ③如图所示，由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即直线与抛物线要有两个不同的交点， ∵直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴此时设直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴此时点N的横坐标为； 当直线与抛物线恰好只有一个交点时，联立得，即， ∴， 解得， ∴方程即为方程， 解得， ∴此时点N的横坐标为； 综上所述，． 【基础题型七 线段周长问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 【例2】（2026·四川南充·二模）如图，抛物线的顶点为M，点A是抛物线上异于点M的一动点，连接，过点M作交抛物线于点B，则点M到直线的距离的最大值为________． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，解题的关键是灵活运用相关知识． 如图，轴于轴于于，设4)，直线的解析式为：，利用待定系数法得到，又因为，则，推出，则，所以，则，得到，当时，即2时，，则直线必过定点，根据垂线段最短可知，点到直线的距离小于等于，故点到直线的最大距离为1． 【详解】解：如图，轴于轴于于， ∵ ∴ 设，直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 当时，即时，， ∴直线必过定点，根据垂线段最短可知，点到直线的距离小于等于，故点到直线的最大距离为1． 故答案为：1． 1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点与轴平行的直线交抛物线于、两点（点在点的左侧），当时，求的值； (3)设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线、之间．若直线、之间的距离为16，当取最大值时，求抛物线与两直线、的几个交点围成的多边形的面积． 【答案】(1) (2)或77 (3) 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）根据对称性可得，分类两种情况讨论，点在点右侧，点在点左侧，再根据列方程组求出，代入二次函数解析式即可得解． （3）当一条直线恰好经过抛物线的顶点，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间，最大，求出：与抛物线的交点，即可求出m，n，结合图象可知，抛物线与两直线、的几个交点围成的多边形为三角形，三角形的底边长为，高为直线、之间的距离，即可得解． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：； 抛物线的解析式． （2）解：由（1）知：， 对称轴为直线， 点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点， ，关于对称轴对称，且，的纵坐标均为， ， 当点在点右侧时， ， ， ， 把代入得：， ； 当点在点左侧时， ， ， ， 把代入得：， ； 综上所述，当时，或77． （3）解：， 抛物线的顶点坐标， 当一条直线恰好经过抛物线的顶点，则这条直线为：， 直线，之间的距离为16， 另一条直线的解析式为：，如图， 此时，当抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间时，最大， 当时，， 解得：，， ，， 的最大值为：． 此时，抛物线与两直线、的几个交点围成的多边形为等腰三角形，其面积为：． 2．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，且B，C两点间的距离为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是线段上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，交抛物线于点F，过点F作轴，交y轴于点G，求四边形周长的最大值及此时点E的坐标． 【答案】(1) (2)，四边形周长最大值为 【分析】（1）根据B，C两点间的距离为，求得点坐标，由待定系数法即可求解； （2）分两种情况讨论，即点在线段上，或点在线段上，设，列出四边形周长的表达式，利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得点在轴负半轴， 设， 根据勾股定理可得， 即， 解得（正数舍去）， ， 设抛物线的解析式为， 把代入可得 ， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设点，则， 当点在线段上时， 四边形周长， 当时，取得最大值，此时无法组成四边形，故不符合题意； 当点在线段上时， 四边形周长， 当时，四边形周长取最大值，为． 即时，四边形周长最大值为． 3．（25-26九年级下·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点A、C（C在A的左侧），与y轴交于点B． (1)若，，． ①直接写出抛物线解析式： ； ②若D点与C点关于y轴对称，在直线上是否存在点M使与相似，若存在，求出点M的坐标； (2)如图2，点P和点Q在抛物线上，其中P在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线交y轴于点F，直线交y轴于点H，设直线解析式为，当，试证明为一个定值，并求出定值． 【答案】(1)①；②存在，或 (2) ∵抛物线解析式为 当时， ∴ 设直线的解析式为，直线的解析式为 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （即 即点是的中点） ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ，， ∴ ∴ 又∵直线经过抛物线上两点、 ∴ ∴的两个根为和 ∴ ∴而 ∴ ∴ ∴为定值1． 【分析】（1）①运用待定系数法求解即可； ②分和两种情况讨论求解即可； （2）设直线的解析式为，直线的解析式为，则，，由得，联立方程组，由根与系数和关系可得出结论． 【详解】（1）解：①将，，代入 得， 解得 故抛物线解析式为； ②过作轴 ∵点与点关于轴对称 ∴，，， 当时， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴   ∴ 当时， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 故或； （2）略 【基础题型八 面积问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由题意易得点的纵坐标相等，进而可得其中有一个点是抛物线的顶点，然后问题可求解． 【详解】解：假设点A在点B的左侧， ∵二次函数的图象交轴于两点， ∴令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∵图象上有且只有三点满足， ∴点的纵坐标的绝对值相等，如图所示： ∵， ∴点， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【例2】（2026九年级·全国·模拟预测）已知抛物线交轴于两点，点在轴左侧，该图象对称轴为，最高点的纵坐标为4，且．若点在轴上方的抛物线上，且．则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数解析式以及图形面积的求法． 设抛物线的解析式为，即可得到，得到抛物线的解析式为，设点的坐标为，根据的面积求出，代入函数求出点M的横坐标，即可解答． 【详解】设抛物线的解析式为， 由， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为，； ，， ∴， ∵， 解得， 代入， 得或， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 1．（25-26九年级上·广西梧州·期末）已知抛物线经过两点，，C是抛物线与y轴的交点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设四边形ABDC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当m为何值时，S的最大值是多少？ 【答案】(1) (2)S关于m的函数关系式为；当时，S的最大值是 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可； （2）设点，求得的解析式，进而表示出，根据求得S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值． 【详解】（1）解：根据题意，有：， 解得 ∴抛物线的解析式是． （2）解：如图，设点，连接BC， 当x＝0时，， ∴， 设BC的解析式为y＝kx＋b， 又 ， 因此有：， 解得：， 所以BC的解析式为y＝－x＋3， 又OB＝3，AB＝OB＋OA＝4，OC＝3， ， ∴ 即： ∵ ∴当时，S的最大值是． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，． (1)求该抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求的面积； (3)①当时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是___________． 【答案】(1)，点D的坐标为 (2) (3)①；②． 【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用配方法求出顶点坐标； （2）先求出点的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）①根据抛物线顶点式可知，抛物线开口向下，在处有最大值为；当时，为最小值，即可得解； ②根据题意可知，平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度，即可得解． 【详解】（1）解：将点，代入二次函数得， ，解得：， 二次函数， ， 顶点D的坐标为； （2）解：令，则， 解得：，， ， ， 的面积； （3）解：①， 抛物线开口向下，在处有最大值为， 当时，；当时，， 当时，y的取值范围为； ②由①可知，抛物线开口向下，顶点坐标为， 该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点， 平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式是． 3．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且．点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在抛物线上，点在轴上． (1)求的值； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积； (3)在（）的条件下，矩形不动，将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接．若恰好平分矩形的面积，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)矩形的面积为； (3)的值为． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，二次函数的性质，平移规律等，掌握知识点的应用是解题关键． （）先求出点的坐标，由，可推出点坐标，将点坐标代入解析式可求出的值，即可写出抛物线的解析式； （）设点坐标为，用含的代数式表示出矩形的周长，利用二次函数的性质求出取其最大值时的值，即求出点的坐标，进一步可求出矩形的面积； （）连接，，，设与交于点，过点作的平行线，交于，交于点，则直线将矩形的面积分成相等的两半，依次求出直线，的解析式，再求出点的坐标，即可得出的值． 【详解】（1）解：在抛物线 中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点坐标为， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴抛物线对称轴为， ∴点到对称轴的距离为， 由对称性可知， ∴矩形的周长， ∴当时，矩形周长取最大值， ∴此时， ∴，， ∴矩形的面积为； （3）解：如图，连接，，，设与交于点，过点作的平行线，交于，交于点，则直线将矩形的面积分成相等的两半， 由（）知，抛物线对称轴为，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ ， ∵， ∴将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接，则恰好平分矩形的面积， ∴的值为． 【基础题型九 角度问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（2026·辽宁大连·二模）抛物线与直线交于点和点H，，直线交直线于点A，交抛物线于点B． (1)求c和k的值（用含m的代数式表示）； (2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段的中点，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由如下： 连接， 由（2）得，，，． 抛物线的对称轴为直线． 轴， ∴点B，D关于直线对称． 为中点， ． 设抛物线的对称轴与交于点Q，则． ． ． 又∵M，N关于直线对称， ． ． ，， ，． ． ． ． 【分析】（1）把分别代入和，即可求得答案； （2）由题意可得，，，，求得，再根据不等式的性质即可求得的取值范围； （3）连接，设抛物线的对称轴与交于点Q，则，根据中点得到，则，，即可证明，得到，则． 【详解】（1）解：把分别代入和， 得，， ，； （2）解：由（1）得，直线解析式为，抛物线解析式为． 当时，． ． 当时，． ． ， ∴点B在点A的上方． ． 当时，． 解得，． ，点M在点N的左侧， ，． ． ． ， ， ， ． （3）略 【例2】（25-26九年级上·天津河北·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且点在轴正半轴上，与轴交于点，且，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标； (2)若点在第四象限时，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； (3)当点在抛物线上时，且时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)，最大面积为 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用点和得出，然后代入得解析式，再求点B． （2）先求出直接的解析式，过点P作交于点E，则，然后根据二次函数的性质即可得出答案． （3）分两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，抛物线与轴交于点和点，且点在轴正半轴上， ∴，即， 将代入， 得：， 解得 ∴ 抛物线解析式为． 令，得， 解得， ∴ （2）解：设的解析式为：， 则，解得， 则的解析式为：， 如下图：过点P作交与点E， 则，， ∴， ∴， 当时，S取得最大值为1， ∴． （3）解：当点P在上方时，如下图， 设直线解析式为， ∵ 则， 解得 则直线解析式为， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∵， ∴， ∴， 则直线解析式为， 联立解析式得， 解得：，或（舍去） 点P坐标为； 当点P在下方时，如图中点，设、与y轴分别交于点E、F，如图， 则点， ∵ 又∵，， ∴， ∴， ∴ 设直线解析式为， 则，解得 ∴直线解析式为 联立解析式得， 解得或（舍去） ∴ 综上所述：当点P坐标为或． 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，二次函数的应用——角度问题，角平分线性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）设与轴交于点，过点作于点，由角平分线性质可得，，证明，所以，在中，，则，从而求得，再求出直线解析式为，再根据当时，，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设与轴交于点，过点作于点， ∵平分， ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴． 2．（2025·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点D为二次函数图象上一点，且点D的横坐标为2． (1)求此二次函数的解析式及点D的坐标； (2)点M是抛物线上一点，是否存在点M使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过点D作垂直于x轴的直线，点P为此函数图象上任意一点，设点P的横坐标为n，作点P关于直线的对称点Q，且点P与点Q不重合，连接，设的长为d． ①求d关于n的函数解析式； ②当线段的长度随n的增大而减小，且时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的n的取值范围． 【答案】(1)，点D的坐标为 (2)存在，点M的坐标为 (3)①②当或时，线段与二次函数的图象只有1个交点；当时，线段与二次函数的图象有2个交点 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数和图形的结合，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，以及分类讨论的思想． （1）利用待定系数法求函数解析式即可，通过解析式求点的坐标； （2）假设出点的坐标，过点M作轴于点N，证明，利用对应边成比例，列出方程求解即可； （3）①根据，分两种情况讨论点的情况，根据轴对称的性质，表示出点的坐标，然后表示出d关于n的函数解析式即可； ②根据一次函数的性质和线段的取值范围，确定的取值范围，分三种情况讨论线段与二次函数图象的交点问题即可． 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得， ∴此二次函数的解析式为． 将代入解析式，得， ∴点D的坐标为； （2）解：存在点M，使， 设点M的坐标为， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴， 如图，过点M作轴于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴点M的坐标为； （3）解：①∵点P的横坐标为n，点P与点Q不重合， ∴点， ∵点Q与点P关于直线对称， ∴点Q与点P到直线的距离相等， 当时，，则， ∴； 当时，，则， ∴， ∴d关于n的函数解析式为， ②由①可知，当的长度随n的增大而减小时，． 又， ∴， ∴． 当时，与函数图象有1个交点（如图1）； 当时，与函数图象有2个交点（如图2）； 当时，与函数图象有1个交点（如图3）． 综上所述，当或时，线段与二次函数的图象只有1个交点； 当时，线段与二次函数的图象有2个交点． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据题意得出的面积与的面积相等，先求出直线的解析式为，进而得到经过点A且与直线平行的直线解析式为，再由平行线间间距相等且和有公共边，因此当点在直线上时，满足题意，据此联立，解方程即可得到答案； （3）分两种情况①根据题意得出的坐标，进而得出是直角三角形，再过点作垂直于，连接，且，求出，进而得出直线解析式，即可得出点坐标；②先求出直线解析式，根据只要，则有，设直线为，代入点坐标，求出直线解析式为，联立：，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴点在x轴上或x轴下方的抛物线上，的面积与的面积相等， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设经过A点且与直线平行的直线解析式为， 则，解得：， ∴， ∴当点在直线上时，满足题意， 联立， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下：①连接， ∵函数的解析式为：， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 过点作垂直于，且，连接， ∵， ， 过点作轴于点，则， ∴， 在和中， ， ∴， 则， 此时与抛物线的交点就是满足条件的点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：． ∴直线解析式为：， ， 解得：（不合题意舍去），， ， ∴点坐标为：； ②设直线解析式为，代入坐标，得， 解得：， ∴直线为， 只要，则有， 设直线为，代入点坐标： 则， 直线解析式为， 联立：， ， 解得：（舍去 ），， 把代入解析式可得，， ， 综上所述：点坐标为：或． 【基础题型十 特殊三角形问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（  ） A．1＋ B．1－ C．－1 D．1－或1＋ 【答案】A 【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可． 【详解】令x=0，则y=-3， 所以，点C的坐标为（0，-3）， ∵点D的坐标为（0，-1）， ∴线段CD中点的纵坐标为， ∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形， ∴点P的纵坐标为-2， ∴x2-2x-3=-2， 解得x1=，x2=， ∵点P在第四象限， ∴点P的横坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并确定出点P的纵坐标是解题的关键． 【例2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线经过点．若抛物线顶点为，它与轴交于两点，且为等边三角形．请回答下列问题： （1）的值为__________； （2）若抛物线顶点在第三象限，则顶点坐标为__________． 【答案】 【分析】（1）抛物线顶点，与轴交于，，则，由于是等边三角形，顶点到轴距离为，顶点纵坐标绝对值为高，可得，代入，化简得，解得； （2）顶点在第三象限，需满足横坐标，即，纵坐标，当时，顶点横坐标，纵坐标，符合第三象限． 【详解】（1）解：由题意，，　 ∴， 抛物线顶点为， 设， ∵， ∵为等边三角形， ∴ 即 ∵， ∴， ∵，　 ∴， ． （2）解：或， ∵抛物线顶点在第三象限, ∴, 即, 故舍去, 将代入得， ∵抛物线顶点在第三象限， ∴顶点坐标为． 1．（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在实数a，使得为直角三角形． 理由如下： ①由图可知，A为直角顶点，不可能； ②若C为直角顶点，此时与原点O重合，由题意可知，也不可能； ③若B为直角顶点，则， 令，可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得， 解得， 由（2）可知，， ∴，不合题意，舍去； 综上所述，不存在实数a，使得为直角三角形． 【分析】（1）把点和点代入，即可求解； （2）先求出顶点M的坐标，再利用得到关于a的方程，即可求解； （3）分A为直角顶点，C为直角顶点，B为直角顶点，三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入，得， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴顶点M的纵坐标为， ∵， ∴ ∴， 整理得， 解得， 由图象可知， ∵顶点M在第二象限， ∴对称轴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）略 2．（24-25九年级上·四川自贡·期中）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)若点P在直线的下方，当点P到直线距离最大时，试求点P的坐标，并且求出点P到直线的距离． 【答案】(1) (2) (3)；点P到直线的距离为． 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，列式计算，解得，（舍去），故； （3）先求得直线的解析式，作轴交于K点，再设，则，利用得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴：， 作轴交于K点， 设，则， ∴ ， ∴当时，最大为， ， ，且， 解得， ∴点P到直线的距离为． 3．（2026·重庆·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，其中点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的函数解析式； (2)为直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，求的最大值和此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线的方向平移，使得平移后的抛物线经过点，为新抛物线与轴的交点，是平移后新抛物线的对称轴上的动点．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点坐标的过程写出来． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时 (3)点的坐标为或或，见解析 【分析】（1）首先求出，，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，过点作轴交轴于点，证明出，得到，．设，，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）首先得到平移后的抛物线为，得到，对称轴为，设，则表示出，，，然后分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵直线 ∴当时， ∴ ∴当时， 解得 ∴ 将，代入， 得解得 抛物线的解析式为； （2），， ，，． 过点作轴交轴于点， ， ∴ ， ， ． 设，， 则，， ． ，， 当时，的最大值为， 此时． （3）由（2）知，，点平移前的对应点为点， 新抛物线是原抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的． ， ，对称轴为． 设，由（1）知，， 则， ，． ①当时，， 解得， ； ②当时，，解得， ，． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【基础题型十一 特殊四边形（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级下·辽宁大连·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 【例2】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形. （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则________；当抛物线是“美丽抛物线”时，则________； （2）若抛物线是“美丽抛物线”，则，之间的数量关系为________. 【答案】 8 【分析】（1）根据抛物线解析式，确定对称轴以及顶点坐标，再根据“美丽抛物线”求解即可； （2）根据抛物线解析式，确定对称轴以及顶点坐标，再根据“美丽抛物线”求解即可； 【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标为，对称轴为， 则， 抛物线是“美丽抛物线”，则四边形为正方形， 则 将代入可得：，解得， 抛物线的顶点坐标，对称轴为， 则， 抛物线是“美丽抛物线”，则四边形为正方形， 则 将代入可得：，解得（舍去）或 （2）抛物线的顶点坐标，对称轴为， 则， 抛物线是“美丽抛物线”，则四边形为正方形， 则 将代入可得：，解得（舍去）或 故答案为：，，． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，解题的关键是理解“美丽抛物线”的含义，掌握二次函数的有关性质． 1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）已知：二次函数的图象经过．点P在抛物线上，其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求抛物线在点之间部分的图象（包括端点）的最大值和最小值； (3)已知点，且Q在点N的下方． ①点P在点A的左侧时，以为顶点作四边形，当此四边形的面积被某条对角线平分时，求m的值． ②点P在点A的左侧时，以为顶点作四边形，当抛物线在此四边形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)最大值为，最小值为； (3)①或；②或或． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）抛物线在点处点取最大值，在顶点处取最小值； （3）①根据点的位置可知，再由点的坐标特点可知轴，轴，当四边形的面积被对角线平分，即，求解即可得解； ②结合图形分类讨论的不同取值区间，判断抛物线落在四边形内部部分的增减性，筛选出满足条件的的取值范围． 【详解】（1）解：将、代入， ， 解得， ； （2）解：， ， ， 顶点为， ∵， 抛物线在点、之间部分的图象当时，取最大值为，当时，取最小值为； （3）解：①∵点P在点左侧， ， 点在点下方， ， ， ，， ，，，， 轴，轴， 当以为顶点的四边形的面积被对角线平分时， ∵轴轴， ∴，即是直角三角形，的高等于的长， 当以点为顶点作四边形的面积被对角线平分时，， ∴， ∴， 当以为顶点的四边形的面积被对角线平分时，同理可得， ∵轴， ∴， 或， 解得， 解得（舍去）或； ②∵点P在点左侧， ， 点在点下方， ， ， ，， ，，，， 轴，轴， 当点与重合时，有， 解得， 当，重合时，解得或， 设直线的解析式为， ， ， ∴ 解得，， ∴直线的解析式为， 当直线过抛物线顶点时，， 解得或， 经检验，或，都是的解， 当点P与顶点重合时，， 当时，如图，此时，，重合，不符合题意； 当时，如图，此时抛物线在此四边形内的部分所对应的函数值随的增大而减小； 当时，如图，此时抛物线不在四边形内部，不符合题意，应舍去； 当时，如图，此时抛物线在此四边形内的部分所对应的函数值随的增大而增大； 当时，如图，此时抛物线在此四边形内的部分所对应的函数值既有随的增大而增大，又有随的增大而减小，不符合题意； 当时，如图，此时抛物线在此四边形内的部分所对应的函数值既有随的增大而增大； 当时，此时抛物线不在四边形内部，不符合题意，应舍去， ∴或或时，抛物线在此四边形内的部分所对应的函数值随的增大而增大或随的增大而减小． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质、解一元二次方程、矩形的判定及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，确定四边形与抛物线的位置中几个临界点是解题的关键． 2．（2026·西藏·模拟预测）如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出A、B坐标，代入抛物线的解析式即可求出a、k，进而得到答案； （2）过点作对称轴于点，设，根据并结合勾股定理求出t即可； （3）作出图象，可知以为顶点的四边形为正方形时，和分别为对角线，利用对称性和勾股定理即可求解． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理解三角形、正方形的性质等，作出合理的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，； 当时，． 抛物线经过点， ∴，解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：如图1，过点作对称轴于点， 设抛物线的对称轴与轴交于点，则， 设，则， 解得 ； （3）解：如图2， 由正方形的性质可知，且平分， 易求， ， 解得， 即正方形的边长为． 3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求b，c的值． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形， 那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)存在点P，使四边形为菱形，P点的坐标为 (3)P点的坐标为，四边形的面积的最大值为 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据菱形的性质，轴对称的性质，设，得，解方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点， 得 解得： 故二次函数的表达式为：． （2）存在点P，使四边形为菱形，P点的坐标为． 理由如下： 由沿翻折，得到四边形， 得，垂足为点E， 则，轴， ∵四边形为菱形，， ∴, ∴， 根据题意，设， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， 故存在点P，使四边形为菱形，且P点的坐标为． （3）解：过点P作轴于点F，交直线于点Q， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，，的面积最大，且最大值为． 又， 故四边形的面积的最大值为，此时． 【基础题型十二 其他问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（2026·河北邯郸·模拟预测）已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与直线有且只有一个公共点可得到的值，然后即可得到函数的解析式，再根据二次函数的性质和题意，即可得到的取值范围． 【详解】解：令，即， 二次函数的图象与直线有且只有一个公共点， ， 解得：， 函数， 该函数图象的对称轴为直线，顶点为， 当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，， 解得：或， 根据对称性得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、二次函数与一次函数的关系，解答本题的关键是求出的值，利用二次函数的性质解答． 【例2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当取任意正实数时，方程的实根所在的范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数综合，理解题意，能用数形结合思想求解是解题的关键．方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，结合图象得当m取任意正实数时，函数的图象沿y轴上下平移，且总在x轴上方，抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，当时， 与的交点A的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵方程变形为， ∴方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标， ∵当m取任意正实数时，函数的图象过第一、二象限，函数的图象分别在第一、三象限， ∴它们的交点在第一象限，即它们的交点的横坐标为正数， ∵当m取任意正实数时，函数的图象沿y轴上下平移，且总在x轴上方，抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，当时， 与的交点A的坐标为， ∴当m取任意正实数时，方程的实根一定在的范围内． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数的图像经过直线上的两点，． (1)求b，c，m，n的值． (2)判断点是否在这个函数图像上，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)不在，理由如下： 由（1）知，二次函数为：， ， 将C点代入， 左边，右边， 两边不相等，∴C点不在函数图像上． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图像上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式即可． （1）把点的横，纵坐标分别代入函数解析式求得相关字母的取值即可． （2）把点的横纵坐标分别代入函数解析式的两边，若等式成立，则点在函数图像上，否则点不在函数的图像上． 【详解】（1）解：把，代入， 得：，， ∴，， ∴， 把，代入， 得：， 解得：，， （2）略． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当点在轴上方时，求出的取值范围． (3)若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或4 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点B坐标，再结合图象可得答案； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，然后分和两种情况，利用二次函数的性质，结合一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，令，则，即， 解得，， ， ∴结合图象可知，当点在轴上方时，； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 若，则点右侧部分（含点）的最高点为抛物线顶点， ∴当时，，解得； 若，则点右侧部分（含点）的最高点为点P， 当时，，解得（舍去），． 综上所述，的值为或4． 3．（2026·四川眉山·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于，两点，过，两点的抛物线与x轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点E是线段上的一个动点（不与，重合），过点E作，交于点F，当的面积是时，求点E的坐标； (3)在（2）的结论下，将绕点F旋转得，试判断点是否在抛物线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点不在抛物线上，理由如下： 由（2）知，，， 点， 绕点F旋转得， 点与点E关于点F对称， 则点， 当时，， 故点不在抛物线上． 【分析】（1）求出点，的坐标分别为，，即可求解； （2）利用，即可求解； （3）绕点F旋转得，则点，将该点坐标代入二次函数表达式即可检验． 【详解】（1）， 令，，令，则， 故点、的坐标分别为、， 抛物线过点， 抛物线的表达式可设为， 把代入得，解得， ， 故抛物线的表达式为； （2）解：设点， 设直线表达式为， ，， 解得 直线表达式为， ， 直线的表达式可设为， 将点E坐标代入上式得， ， 直线的表达式为， 解方程组得 即， ， 解得， 故点； （3）略． 【提高题型一 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参）】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， ∵ 该二次函数的二次项系数 ， ∴ 函数图象开口向下，有最大值， 配方得， ∴ 当时，取得最大值. 【例2】（25-26九年级上·上海松江·阶段检测）某商品的销售利润y与销售单价x的关系为y＝+2650，则当x=___元时，y有最_______值，这个值为______元． 【答案】 50 大 2650 【分析】根据二次函数的性质，在顶点处取得最大值． 【详解】解：∵<0， ∴抛物线开口向下， ∵销售利润y与销售单价x的关系为y＝﹣+2650， ∴当单价定价为每件50元时，可获得最大利润2650元． 故答案为：50，大，2650． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用—销售问题．在求最大利润的时候要注意x的取值范围． 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血压血糖测试仪计划在该月销售．根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台；若每降价1元，每天可多售出4台．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不得低于120元．设每台降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)函数表达式为，x的取值范围是 (2)当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元 【分析】（1）根据每天的销售利润每台的利润销售量列式求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得：， ∵每台的利润不低于120元， ∴， 解得； ∴x的取值范围是； （2）解：在中， ∵，∴函数开口向下， ∵对称轴为，且， ∴时，y随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元． 2．（25-26九年级下·辽宁盘锦·阶段检测）某商贸公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天内的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为：，且其日销售量y（）与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 40 … 日销售量y（） 118 114 108 100 80 40 … (1)已知y与t之间的变化符合一次函数关系，直接写出y与t的函数解析式． (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)在实际销售的前24天中，若公司获得的利润不低于1232元，试求天数t的取值范围． 【答案】(1) (2)第10天利润最大，最大利润为1250元 (3)（t为整数） 【分析】（1）设，利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）设第t天的销售利润为w元，分别求出两个范围内关于的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可； （3）当时，，令，求出方程的解，再根据二次函数与不等式的关系求解即可． 【详解】（1）解：设，把代入得到： ∴． ∴． ∴． （2）解：设第t天的销售利润为w元． 当时，由题意，， ∴时，w最大值为1250元． 当时， ∵对称轴， ∴在对称轴左侧w随t增大而减小， ∴时，w最大值， ∵， ∴第10天利润最大，最大利润为1250元． （3）解：由题意，当时，， 令， ∴． ∴或． ∵抛物线开口向下， ∴当时，， 又∵，且t为整数， ∴天数t的取值范围是（t为整数）． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第天（，且为整数）与该天销售量（件）之间满足函数关系如表所示： 第天 … 销售量（件） … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价（元）与第天（，且为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为元/件． (1)求关于的函数表达式； (2)求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价元销售，销售第天与该天销售量（件）仍然满足原来的函数关系，问： ①当第天（，且为整数）的销售利润取到最大值，此时的值为多少？ ②若①中销售利润的最大值是元，求此时的值． 【答案】(1) (2)第天利润最大，最大利润为元 (3)①；② 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的最值求解以及分段函数的利润分析，熟练掌握一次函数解析式的求法、二次函数的性质及利润计算公式是解答本题的关键． （1）根据表格中销售量与天数的线性变化规律，设一次函数解析式，代入两组数据求出关于的函数表达式； （2）根据“销售利润销售量(单件售价单件成本)”，结合已知的单价函数与成本价，构建关于的二次函数，利用二次函数的顶点性质求解最大利润及对应的天数； （3）①分析第天起单价下调元后的利润函数，根据二次函数的开口方向与对称轴位置，判断在区间内利润随的变化趋势，确定利润最大值对应的； ②将①中求得的代入利润表达式，结合已知的最大利润值，建立关于的方程并求解． 【详解】（1）解：由表格信息可设，将表格中的数据代入得， ， 解得：， 关于的函数表达式为； （2）解：设总利润为元，则 ， 当时，取得最大值，最大值为25000， 答：第天利润最大，最大利润为元； （3）解：①由题意得，第天开始每件商品的单价为元， 每件商品的利润为：元， 设此时利润为元，则 ， ， 且， 随的增大而减小， 当时，利润取到最大值； ②当时，利润取到最大值， ， 解得：． 【提高题型二 二次函数中角度计算问题（45°等）】 【例1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会分类讨论． （1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标，证明，可得； （2）分两种情况，即点在轴上方或点在轴下方，利用等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ； （2）解：当时，，，，， 当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点， ，，， ， 设， ， 解得， ； 当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点， ， 同理可得， 设， ，即 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【例2】（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）问题提出：（1）如图①，在四边形中，对角线与的夹角的较小的角为，且，，求四边形的面积； 问题解决：（2）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图②，四边形中，厘米，点到的距离为5厘米，，且．在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元．请问每个这种四边形金属部件的最低造价是多少元？ 【答案】（1）四边形的面积；（2）每个这种四边形金属部件的最低造价是元 【分析】（1）分别过点A、C作的垂线，垂足为E、F，根据可得，进而计算即可； （2）过点C作，过点D作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点B作于点F，连接，证明，可得，根据点C到的距离为5，可得，则设， ，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图①，分别过点A、C作的垂线，垂足为E、F， ∵， ∴， ∴ ； （2）如图②，过点C作，过点D作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点B作于点F，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点C到的距离为5， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为平方厘米， ∴最低造价为（元）， ∴每个这种四边形金属部件的最低造价是元． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 1．（25-26九年级下·吉林白城·阶段检测）如图，在矩形中，，，的平分线与交于点，动点从点出发沿折线向终点运动，在边上以的速度运动，在边上以的速度运动．过点作线段与射线相交于点，且，连接．设点的运动时间为，与四边形重叠部分图形的面积是．    (1)当点与点重合时，的长为______ (2)当点在上运动时，直接写出的长．（用含的代数式表示） (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）证明，即可推出； （2）分两种情况：当时，点P在线段上；当时，点在上，分别求解； （3）根据点P所在的位置，分三种情况分别求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，点与点重合， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：当时，点P在线段上， 过点P作于点N，    ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 当时，点在上，连接，    ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴， 综上，的长为； 故答案为：； （3）解：当时，如图所示，，此时是等腰直角三角形，    ∴； 当时，如图所示，， ∵，    ∴， ∴； 当时，如图所示，， ∴，    ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，求函数解析式，综合掌握各知识点是解题的关键． 2．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求出点P的坐标； (3)设的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)8，． 【分析】（1）将两个已知交点代入抛物线方程，解二元一次方程组求即可； （2）由知到轴的距离等于其纵坐标的绝对值，设，列方程求解并舍去不合题意的根即可； （3）设 ，作铅垂线交于，用表示三角形面积，得到二次函数后配方求最大值及对应点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 这个二次函数的表达式为． （2）解：如图1，作轴于点D， ∵，， ∴， ∴， 设点P的坐标为，则， ∵点P在第四象限， ∴，， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点P的坐标为． （3）解：如图2，设点P的坐标为， 作轴于点F，交线段于点E， 当时，则， ∴， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且 ∴当时，， ∴S的最大值为8，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数解析式求解、坐标系内角度条件转化及面积最值的铅垂高法， 关键是将转化为到坐标轴距离相等，以及将面积用水平宽与铅垂高表示，最终通过解方程和二次函数配方求得最值． 3．（25-26九年级下·湖南衡阳·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线上存在一点Q，使，求出点Q的坐标． (3)如图2，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线于点F，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)Q点坐标为或 (3)存在，点P坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，解方程组即可； （2）由可得点到的距离与点到的距离相等，利用平行线间的距离处处相等可得，利用一次函数图象平行时相等可求出的解析式，结合抛物线解析式即可求解； （3）由题意可得，分射线在的右侧和射线在的左侧两种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由抛物线的解析式为，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，，即， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， ∴点的坐标为或． （3）解：存在． ∵抛物线交y轴于点，经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当射线在的右侧时， ∵， ∴轴， ∴点与点重合， ∵， ∴， ∴； ②当射线在的左侧时， ∵， ∴， 设，则， ∵抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】解题时重点运用平行线间距离处处相等，方程的思想，分类讨论的思想． 【提高题型三 投球垂高、水平宽求面积最值问题】 【例1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）一座拱桥其中一段的横截面为抛物线型，如图所示，线段表示水面，桥墩跨度为，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：左右两边的桥墩相同，高度，抛物线的顶点到轴的距离是． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)节日为了庆祝，决定在该桥上共挂三串彩灯，第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上，另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面，求挂设的三串彩灯，，长度和的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为31.6米 【分析】（1）先理解题意，则设该抛物线的函数表达式，再把代入，进行计算得，即可作答． （2）设点，，则，将转化为，利用二次函数最值解答即可． 本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的线段综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵线段表示水面，桥墩跨度为，抛物线的顶点到轴的距离是． ∴，抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式， ∵高度， ∴把代入， 得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式， （2）解：由（1）得，对称轴为直线， ∵第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上， 设点， ∵点，关于对称轴对称， 则， ∴， ∵另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面， ∴， ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大值为31.6米． 【例2】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道交于A，且，轴，测得，P到x轴的距离为4，设． (1)k的值为________，点P的坐标是________，________； (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道是否还能相交； ②在x轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 【答案】(1)24，，12 (2)①， 抛物线G与滑道不能再相交，理由： ∵，轴， ∴当时，， ∴抛物线G与滑道不能再相交； ②向上平移距离d的最大值为，最小值为4 【分析】（1）由题意得到点A的坐标，代入即可求出k值，得到，将点P的纵坐标和分别代入求解即可； （2）①由抛物线G的最高点Q的坐标写出抛物线的顶点式，将代入求出a值，即可得到抛物线的解析式；求出抛物线上时对应的y值，判断此点在点M的上方还是下方，即可得出抛物线与是否相交； ②首先得到，然后得到点和在抛物线上，然后判断即可． 【详解】（1）解：∵平台（水平）与x轴的距离为8，， ∴， 将代入得，， ∴； ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵，， ∴， 将代入得， 解得； （2）解：①； 抛物线G与滑道不能再相交，理由如下： ∵最高点Q的坐标为， 设抛物线G的解析式为， ∵点在抛物线G上， ∴． 解得， ∴抛物线G的解析式为； 抛物线G与滑道不能再相交，理由略； ②∵， ∴， 当时，， 若小球恰好能被点N接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； 若小球恰好能被点C接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； ∴向上平移距离d的最大值为，最小值为4． 1．（2026·广东深圳·模拟预测）体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 【答案】(1)2， (2) (3)邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴邓同学在此次训练中能得到满分； (4)m的值为或 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据题意得到出手时实心球的竖直高度即为时y的值，再通过观察表格数据，利用二次函数的对称性确定对称轴和顶点坐标； （2）由（1）知顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）令得到一元二次方程，解方程与米比较即可； （4）根据，分别位于对称轴两侧求出的取值范围，再分情况讨论：求出当M为最低点，或N为最低点时的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得：当时，， 则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，可得： 对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得：当时，， 则实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 抛物线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3）略； （4）解：由（1）知，抛物线对称轴为直线， ，分别位于对称轴两侧， 解得： ①如图，当时，， 即， 解得：或； 与相矛盾，故舍去， ； ②如右图，当时，， 即， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，m的值为或． 2．（24-25九年级上·湖北荆州·阶段检测）羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系．某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 … 竖直高度y/m … 请根据上述数据，解决问题： (1)直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时，羽毛球能否越过球网？请说明理由． 【答案】(1)， (2)能，理由： 把代入得： ， ∵， ∴羽毛球能越过球网． 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键； （1）先求解抛物线的对称轴与顶点坐标，再设设抛物线的关系式为，再代入，即可得到答案； （2）把代入可得，再比较即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，当时，，当时，， ∴点与关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， 根据表格中的数据可知，当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 即羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值为； 设抛物线的关系式为， 把，代入得：， 解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）略 3．（2026·天津河西·二模）如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点O和点A，截得的抛物线弓形的曲线上有一点P． （Ⅰ）当时，解答下列问题： ①求A点的坐标； ②连接，，求面积的最大值； ③当的面积最大时，直线也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点，连接，，当的面积最大时，求这个的最大面积与②中的最大面积的比值； （Ⅱ）将（Ⅰ）中的条件去掉后，其它条件不变，则的最大面积与的最大面积的比值是否变化？请说明理由． 【答案】（Ⅰ）①；②；③；（Ⅱ）不变，见解析； 【分析】（Ⅰ）①当时得抛物线解析式为，解方程组，即可求得A的坐标； ②设过点P与平行的直线为，由得，由此求出，利用三角形面积公式计算得到面积最大值； ③由②直线的解析式，设与平行的直线为，由，求出面积最大值为，即可求得答案； （Ⅱ）不变．由与直线交点为和，设过点P与平行的直线为，由得，得到，得到，求得此时面积最大值为．由，设与平行的直线为，由得，求出面积最大值为，由此得到答案． 【详解】解：（Ⅰ）①当时，抛物线解析式为， 解方程组，解得， ∴； ②设过点P与平行的直线为， 由得，由，可得， ∴， ∴， 此时面积最大值为． ③由②直线的解析式， 设与平行的直线为， 由得，由，可得， ∴面积最大值为， ∴的面积与的面积的比． （Ⅱ）不变． 理由：与直线交点为和， 设过点P与平行的直线为， 由得，由，可得， ∴， ∴，此时面积最大值为． 由， 设与平行的直线为， 由得，由，可得， ∴面积最大值为， ∴的面积与的面积的比． 【点睛】此题考查求直线与抛物线的交点坐标，平行的直线解析式的求法，图形面积的计算，熟练掌握两个函数图象交点的求法是解题的关键． 1．（25-26九年级上·全国·周测）某种商品的单价为15元时，每天能卖出500个，单价每上涨1元，销量将减少20个．要使每天的销售金额最大，则单价应定为（   ） A．15元 B．18元 C．20元 D．22元 【答案】C 【分析】设单价定为元，根据题意建立销售金额的二次函数，利用顶点公式求出最大值对应的单价。 【详解】设单价定为元，则销量为个。 销售金额 ，化简得： 该二次函数开口向下，最大值出现在顶点处。顶点横坐标为 。 ∴当单价定为元时，销售金额最大，对应选项C。 故答案选C 【点睛】考察二次函数实际应用的销售问题 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知正方形的边长为，点P是对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，作交射线于点M，连接，设，，则y关于x的函数关系的图象大致为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形性质、等腰直角三角形性质、三角形全等判定与性质以及二次函数的应用 ，解题关键是通过作辅助线，利用相关几何性质建立与长度的函数关系。 作，，利用正方形性质得出是等腰直角三角形，得到线段、、、关于的表达式，证明四边形是正方形,通过角度关系证明，得出,在中，结合勾股定理得到，再在中求出关于的表达式，进而得到关于的函数关系式，根据函数性质确定图象。 【详解】解：过点作于点，交于点；过点作于点． ∵四边形是正方形，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵正方形边长为， ∴． ∵， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴，即． ∵，且， ∴， ∴． 在中， 根据勾股定理， ∵， ∴． 在中， ， 将，代入可得： 则， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， 故选：A． 3．（2026·广东珠海·一模）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题： ①当x＞0时，y＞0； ②若a＝﹣1，则b＝4； ③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2； ④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2， 其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①错误，由图象可知当a＜x＜b时，y＞0；②错误，当时，；③错误，△MCE的周长的最小值为22；④正确，函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，则y2＜y1． 【详解】解：①当a＜x＜b时，二次函数图象在轴上方，则y＞0，故①错误； ②1， ∴当a＝﹣1时，b＝3，故②错误； ③这是将军饮马问题，作E关于x轴的对称点，连接、，如图所示： 当m＝2时，C（0，3），E（2，3）， 与E关于x轴对称， ∴（2，﹣3）， ∴△MCE的周长的最小值就是三点共线时取到为＝2， ∴△MCE的周长的最小值为22，故③错误； ④设x1关于对称轴的对称点 ， ∴＝2﹣x1， ∵x1+x2＞2， ∴x2＞﹣x1+2， ∴x2＞， ∵x1＜1＜x2， ∴x1＜1＜＜x2， ∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小， ∴y2＜y1，则④正确； 故选：A． 【点睛】 本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴题． 4．（2026·山东聊城·一模）篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据表格数据和二次函数的性质逐项判断可得答案． 【详解】解：①根据表格数据，当时，，即发球机出球口离地面竖直高度为，故①正确； ②根据表格数据，当和时，， ∴该抛物线的对称轴为直线， 由题意，该抛物线的开口向下， ∴当时，y取得最大值， 即当篮球飞行水平距离为时，达到最大高度，故②错误； ③根据表格数据，当时，， 故当篮球飞行水平距离为时，篮球离地面竖直高度为，未落地，故③错误； ④设该抛物线的解析式为， 将时，，时，代入， 得，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴当时，，满足， 小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球，故④正确， 综上，正确的是①④，共2个． 5．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于点，根据正方形与抛物线的对称性，可得阴影部分面积为，先求得抛物线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为，根据对称性设，进而求得点的坐标，点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵是正三角形，， ∴ ∴ 设过的抛物线解析式为， 将点代入，得 ∴ ∴抛物线解析式为， ∵四边形是正方形，且关于轴对称， ∴ 设， ∵在上， ∴， 解得（舍去） ∵， 设直线的解析式为， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵在上， ∴的横坐标为 代入 得 ∴ ∴ ∴阴影部分面积为 故选D 【点睛】本题考查了抛物线的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，求得点的坐标是解题的关键． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知矩形的周长为，矩形绕着它的一条边所在直线旋转形成一个圆柱．设矩形的一条边长为，圆柱的侧面积为，则与之间的函数关系式是_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用、圆柱的侧面积公式以及矩形的周长公式，将实际问题中的数量关系用二次函数表示是解题的关键． 设圆柱的高为底面圆的半径为．则根据题意可得：m，m；再根据圆柱的侧面积公式可得，整理化简即可． 【详解】解：设圆柱的高为底面圆的半径为． 由题意得，矩形的一边长为m 矩形绕着它的一条边所在直线旋转形成一个圆柱 m，m 圆柱的底面圆的周长为m 故答案为：． 7．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 【答案】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 8．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图像，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，m，m，水嘴高m，则水柱落地点C到水嘴所在墙的距离是______m． 【答案】5 【分析】以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度． 【详解】解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， ∵点P是最高点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点D坐标代入，可得：， 解得：， ∴， 令，解得：，， ∴点， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键． 9．（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于、、三点，在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，则该矩形周长的最大值________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，矩形的性质；设点的坐标为，先解方程得，，则抛物线的对称轴为直线，利用抛物线的对称性得到，由于，则矩形的周长可表示为，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， 解得， ，， 抛物线的对称轴为直线， ，， ， 矩形的周长， 矩形的周长， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是______． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 先利用交点式表示抛物线解析式得到，则，，于是可对①②③进行判断；利用配方法得到，则当时，有最小值，所以，于是可对④进行判断；过点作于点，如图，利用等腰直角三角形得到，即，则可对⑤进行判断；利用勾股定理得到，，，根据等腰三角形的性质，当时，，当时，，然后分别解方程求出的值，从而可对⑥进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 即， ∵， ∴，所以②正确； ∵抛物线开口向上， ， ，即， ， ，所以①正确； ∵， ∴，故，所以③错误； ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最小值， ， 即，所以④正确； 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ，即， 解得，所以⑤正确； ∵，，， ，，， 当时，， 解得，（舍去）， 当时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为或，所以⑥错误． 故答案为：①②④⑤． 11．（2026·湖北武汉·二模）进价为每件元的某商品，售价为每件元时，每星期可卖出件．市场调查反映∶如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出件，但售价不能低于每件元．设每件降价元(为正整数)． (1)设每星期的销售量为件，求与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)如何定价才能使每星期的利润最大？并求出每星期的最大利润． 【答案】(1)，且x为正整数 (2)定价或元，最大利润为元 【分析】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值在时取得． （1）用原来的销售量加上增加的销售量即可求出y与x的函数关系式，再根据售价不能低于每件元，x为正整数，即可求出x的取值范围； （2）根据销售利润=销售量x (售价-进价)，列出平均每天的销售利润w (元)与降价x元之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【详解】（1）解：， ∵ 所求的函数关系式为，其中为正整数． （2）设每星期的利润为元． 当时，有最大值元． 为正整数． 当时，元； 当时，元． 故定价或元时有最大利润，最大利润为元 12．（2026·江苏南京·模拟预测）【问题呈现】现在有一段长的铁丝，要把它围成一个长方形．怎样围才能使得它的面积最大？ 【分组研究】 同学们经过审题，分析解题思路，并且进行演算，最后小军和小英先后发表了自己的观点如图所示． 【请您仲裁】 请你利用所学的函数知识来裁决，小军和小英两人的说法谁正确？ 【答案】小军说的正确 【分析】根据长方形面积公式列出二次函数，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设围成的长方形的长为，宽为，面积为， 根据题意得，， 则， ∴当时，长方形的面积有最大值，最大值为， ∴围成一个长方形的长为，宽为， 即把它围成一个正方形面积最大， 故小军说的正确． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数是解题的关键． 13．（25-26九年级上·吉林长春·期末）某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽为8米．上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米．他们以点A为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线所对应的函数表达式． (2)求拱桥顶面离水面的最大高度． (3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于米．请通过计算说明该游船是否能安全通过． 【答案】(1)该抛物线所对应的函数表达式为 (2)拱桥顶面离水面的最大高度为4米 (3)该游船能安全通过，理由： ∵游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米，游船从拱桥下面正中间通过， ∴船离点A的距离为米． 把代入中， ． ∵， ∴该游船能安全通过． 【分析】(1) 设抛物线解析式为，将，代入上式，确定a、b的值即可． (2) 把抛物线的解析式化为顶点式，求出抛物线的最大值即可． (3) 根据对称性，确定船左侧的坐标，根据解析式，计算函数值，比较与安全距离米的大小，大于则安全通过，小于或等于，都不安全． 【详解】（1）设，将，代入上式， 得， 解得， ∴该抛物线所对应的函数表达式为． （2）， 当时，． ∴拱桥顶面离水面的最大高度为4米． （3）略 【点睛】本题考查了抛物线的应用，熟练掌握待定系数法，求函数的最值，对称性是解题的关键． 14．（2026·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)能，点Q的坐标为或 【分析】（1）因为已知抛物线对称轴、点A的坐标，所以根据对称性求出点B的坐标，设抛物线解析式为交点式，将点C的坐标代入求解系数a，即得解析式． （2）首先求直线的解析式，设点P的横坐标为参数，用参数表示点P的坐标；因为平行于x轴，垂直于，所以分别用参数表示D、E的坐标，进而得到和的长度表达式，将整理为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最大值． （3）判断平行四边形存在性：分为边、为对角线两类讨论．如果为边，那么平行且等于，据此建立点P和点Q坐标的关系，结合点Q在直线上、点P在抛物线上的条件列方程求解；如果为对角线，那么和互相平分，利用中点坐标公式建立坐标关系，联立方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交于， ∴， ∴点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即． （2）解：如图所示，设，直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，，点D，E都在直线上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 分别将点的坐标代入直线， 得，， ∴， ， ∴当时，取得最大值，最大值是3． （3）解：能，理由如下： ∵， ∴， 若以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形， ①当以为边时，则且， ∵点在直线下方，如图所示， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴，， ∴； ②当以为对角线时，连接交于点G，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点M，于点N，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴． 综上所述，以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点Q的坐标为或． 15．（2026·山东威海·模拟预测）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)，且 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于A、E两点，可得点A和点E坐标，再求出点B、C的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点， ∴令，则，解得； 令,则， ∴点，点． ，， 点B的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 抛物线的表达式为， 顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为． 、点， ， 故； 直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ， 故，且． （3）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， 联立， 得，， ∴，， ∵P点在直线的上方， ∴． ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ，， ， ，， ， ，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， 点． ②当时，如图，过Q点作y轴的垂线，过P、H分别作的垂线，交于M、N两点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴，， ∴，， 解得，， 又∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，过H点作直线轴，分别过P、Q点作直线的垂线，垂足分别为M、N ， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 又∵， ∴， 解得（舍去），， 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $