专题8.6 抛物线方程（8重难点题型+高分技法+高考真题）专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题8-6 抛物线方程 1．（2026·全国二卷·高考真题）（多选题）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】A选项，根据抛物线方程得，进而得出准线方程；B选项，设直线为，和抛物线方程联立消去，令求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点，假设过焦点，则得到，根据两直线的夹角的公式推出的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理. 【详解】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 2．（2025·全国一卷·高考真题）（多选题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】抛物线定义的理解、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 3．（2026·上海·高考真题）已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________. 【答案】 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】设，根据条件，利用抛物线的定义得，即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线方程为，设， 由题有，解得， 故答案为：. 4．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线的几何性质可求的值. 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 5．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a． (1)若A到准线距离为3，求a； (2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离； (3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】抛物线定义的理解、求直线与椭圆的交点坐标、抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）代入求出，利用抛物线定义即可求出值； （2）代入值求出，设，则得到的中点坐标，再代入抛物线方程则得值，则得到直线的方程，利用点到直线的距离即可； （3）设，写出直线的方程，求出点坐标，则，分和讨论即可. 【详解】（1）令，解得，即，而抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义有，解得，因为为第一象限的点，则. （2）由代入抛物线方程有，解得，则， 设，则的中点为, 代入抛物线方程有，解得， 直线的斜率为，其方程为，即, 坐标原点到的距离为. （3）设，根据， 则，则直线方程为， 化简得， 令，则，又，， 化简得 ①对任意的 恒成立. 则, 结合，， 当时，，则，则①也成立. 综上所述:.    【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是设，从而写出直线的方程，再得到，再转化为恒成立问题，分类讨论即可. 重难点题型1 抛物线的定义及其应用 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征： （1）关于坐标轴对称的点； （2）标记为F的点； （3）圆心； （4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围． 1．（2026·陕西·三模）设抛物线：的焦点为，斜率不为1的直线过点，过点作直线的垂线，垂足为，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轨迹问题——圆、抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为. 直线过定点，且，即. 根据直角三角形的性质可得直角顶点的轨迹是以线段为直径的圆（除外）， 圆心为中点，半径. 根据抛物线的定义可得抛物线上任意动点到焦点的距离等于到准线的距离， 即（为到直线的距离）. . 根据几何性质，对固定的，的最小值是到上述圆心的距离减去半径； 所以， 又的最小值是圆心到准线的距离，圆心到准线的距离为， 因此的最小值为. 2．（2026·云南·三模）已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线的定义，结合三点共线即可求解. 【详解】设抛物线的焦点为，设 由抛物线定义知，， 因，则, 由图知，， 解得，即当过点时，的最小值为. 3．（2026·四川成都·模拟预测）如图，抛物线的焦点为，上一点（在第一象限）满足直线的斜率为，则到抛物线的准线的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线定义建立等量关系求解即可. 【详解】如图，设，过作轴的垂线，垂足为， 因为的斜率为，所以， 所以在中，，因此，，解得， 即到抛物线的准线的距离为. 4．（2026·山西晋城·三模）已知为抛物线上一点，若点到抛物线准线的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】设点的横坐标为，可知，准线为， 所以，解得． 5．（2026·吉林长春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 【答案】 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】由题设得，作抛物线的准线于，结合抛物线的定义确定三角形周长的最小值. 【详解】由抛物线的焦点为，则，即， 作抛物线的准线于，则，且， 所以周长为， 结合图知，当且仅当共线，即时周长最小， 所以. 6．（2026·河南郑州·模拟预测）已知抛物线上一点P到x轴的距离为，则点P到C的焦点的距离为_________． 【答案】3 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值 【详解】由题设，不妨设，所以， 又，则，故准线方程为， 所以点P到C的焦点的距离为． 7．（2026·江苏·模拟预测）已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上．若线段中点的纵坐标为，且，，则______． 【答案】 【知识点】抛物线定义的理解 【详解】如图，过点作垂直准线于，过点作于点， 由抛物线的定义可知，， ∴， 又∵线段中点的纵坐标为，∴， ∴， ∵在第一象限，∴，， ∴，∴，即， ∴. 8．（2026·天津河西·三模）已知抛物线：的焦点为，准线为，抛物线上一点位于第四象限，且，以为圆心，且与相切的圆交直线于，两点，若直线过点，且与直线垂直，则_________． 【答案】 【知识点】由两条直线垂直求方程、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【详解】抛物线的焦点为，准线， 则以为圆心，且与相切的圆的方程为， 抛物线上一点位于第四象限，设， ，即，解得，所以， 直线过点，且与直线垂直，所以直线的斜率为， 直线的方程为，即， 直线与圆相交于两点， 联立可得，代入可得， 解得，因此， 所以. 重难点题型2 抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程的步骤为： （1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： （2）根据题目条件列出P的方程 （3）解方程求出P，即得标准方程 1．（2026·山西晋中·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程 【详解】如下图： 由题可知，设，且， 则两式相减得， 则直线的方程为， 因为中点的纵坐标为2，得， 由抛物线的定义可知， 即， 解得或， 故的方程为或. 2．（2026·北京·二模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】根据已知求出抛物线方程，即可求解抛物线C的准线方程． 【详解】因为点在抛物线上， 所以，即抛物线方程， 所以抛物线C的准线方程为． 3．（2026·四川雅安·二模）已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程 【详解】由抛物线的定义结合题意可得， 所以抛物线的方程为. 4．（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据定义求抛物线的标准方程 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 5．（2026·内蒙古赤峰·一模）以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________． 【答案】 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【详解】记抛物线（）的焦点为， 设准线上的两点与构成边长为的等边三角形， 则由正三角形的对称性，可得. 所以焦点到准线的距离为， 所以抛物线的标准方程为. 6．（2026·吉林白山·一模）双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为_______． 【答案】 【知识点】求双曲线的焦点坐标、根据抛物线方程求焦点或准线、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】由双曲线和抛物线的几何性质，结合题意，得到方程，求得的值，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 又由抛物线的准线的方程为， 因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故答案为：. 7．（2026·湖南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，且关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于A，B两点，A，B在轴上的投影分别为，，且梯形的中位线的长度为9，求的方程． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、直线与抛物线相交求直线方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据抛物线的方程写出焦点的坐标及准线方程，从而求得关于该准线的对称点的坐标，求得的值，得到的方程； （2）设直线，与抛物线方程联立，由韦达定理结合梯形中位线定理，得到关于的方程，求解可得的值，从而求得直线的方程. 【详解】（1）由题意得，的准线方程为， 则， 得． 故的方程为． （2）易得的斜率存在，设，，． 由得， 得 由题意得． 因为， （或）， 所以． 故的方程为或． 8．已知抛物线（）的焦点为，过点的直线与交于两点，且 (1)求的方程； (2)已知为轴上的点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，当直线的斜率为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由，可得，进而可得结果； （2）利用韦达定理，结合斜率公式即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为，即， 因为，所以， 因为，所以，解得， 因此C的方程为. （2）如下图所示，设，，，，， 直线EA的方程为，    联立可得，代入可得， 因为，所以，同理可得， 所以直线MN的斜率为， 即， 设直线的方程为，联立可得，代入可得， 则，所以， 所以点的坐标为. 重难点题型3 抛物线的几何性质 1．（2026·湖南·模拟预测）抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．设抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．30 【答案】A 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设，由题知三点共线，则，，再解方程得，最后根据焦半径公式求解即可. 【详解】由题知，代入抛物线方程得，即， 因为抛物线的焦点为， 所以，设， 因为三点共线，则，即， 即，解得或（舍），所以， 所以，由焦半径公式得 2．（2026·湖北·三模）卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴， 设抛物线方程为，焦点，焦点到顶点距离为． 天线口径（直径），深度，故抛物线过点（或）， 将代入：， 焦点到顶点距离为． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两抛物线和，且为的焦点，为与的公共点，若，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【知识点】抛物线的焦半径公式、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】根据题意，联立方程得，再结合距离公式得，最后根据焦半径公式求解即可. 【详解】根据题意，联立方程得，整理得， 解得，，代入得，， 所以与的交点为，， 因为，所以，解得， 所以，，， 因为为的焦点， 所以，根据焦半径公式， 4．（2026·甘肃酒泉·二模）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，点在抛物线上，且.过焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】根据题意得出抛物线方程和直线方程，联立这两个方程，然后利用韦达定理以及抛物线的定义即可求解. 【详解】 如图所示，设抛物线方程为，焦点为， 由于点在抛物线上，且， 则有，代入得， 故抛物线方程为，焦点为， 设，，由于直线经过焦点且倾斜角为，因此直线方程为， 与抛物线联立得， 由韦达定理得，则， 根据抛物线的定义，有，， 因此，故C正确. 5．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则以点为圆心长为半径的圆在轴上截得的弦长为__________． 【答案】 【知识点】圆的弦长与中点弦、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】利用抛物线定义、垂直平分弦的性质求出，结合圆的弦长公式求解． 【详解】 抛物线的焦点，准线， 准线与轴交点， 设抛物线上点，由得， 为线段的垂直平分线，则， 即，的横坐标，则， 则， 解得，此时，， 圆心到轴的距离， 由弦长公式得：． 6．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交E于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，若，且三角形的面积等于，则p的值等于______. 【答案】 【知识点】抛物线的焦半径公式、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据韦达定理求参数 【分析】由抛物线的定义，化简得到直线的斜率，则可求出直线的方程，联立方程组，利用根与系数的关系结合抛物线的过焦点的弦长公式求得，继而求得的长，利用三角形面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，作,垂足为M，则, 由抛物线的定义可知， 则，故 则，结合题意知，故, 则，则， 所以直线的斜率为，而，则直线的方程为， 设，联立方程组，整理得， 所以，所以，则， 所以的面积为，解得. 故答案为： 7．（2025·广东汕尾·一模）已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为5，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为__________. 【答案】16 【知识点】抛物线的焦半径公式、根据抛物线上的点求标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】先由抛物线的定义求出的值，然后利用焦点弦与原点构成的三角形面积公式求出焦点弦的倾斜角，最后结合抛物线的焦点弦性质求值． 【详解】由已知得，则，所以抛物线方程为， 设直线的倾斜角为， 因为直线过焦点，所以， 又因为， 所以. 故答案为：16 8．（23-24高三下·山东·开学考试）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，直线过点交抛物线于两点，且.直线分别过点且均与轴平行，在直线上分别取点（均在点的右侧），和的角平分线相交于点，则的面积为__________. 【答案】 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】当直线的斜率不存在时，写出直线的方程，求出，不合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，,，,，联立抛物线的方程，由，求出，根据锐角三角函数表达边长，再进一步求出的面积． 【详解】由的右焦点为，所以抛物线的焦点为， 故，则，因此抛物线， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入抛物线的方程，得， 所以，，所以，不合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，,，,， 联立，得，所以， 所以，所以， 由对称性不妨设，则， 因为和的平分线相交于点，， 所以，，， 所以在中，， ， 所以 ， 故答案为：． 重难点题型4 直线与抛物线的位置关系 1．（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，曲线：（，），点，直线与轴交于点，同时与曲线交于点，点，分别是曲线与线段上的动点． (1)若直线与轴垂直，且，求点的坐标； (2)若为曲线上一点，是否存在点使得四边形是以，为邻边的矩形，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】数量积的坐标表示、抛物线中存在定点满足某条件问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）设，进而得，由向量的数量积得，再代入曲线可得所求点的坐标； （2）设，由矩形得，进而可得，再由得，再由在曲线上可得，最后再检验在曲线上及在线段上可得. 【详解】（1）因为直线与曲线：（，），交于点，所以，.    设，由直线与轴垂直，所以，， 又因为，所以，即，解得， 再将代入得（因为，故舍去）. 因此点的坐标. （2）设，    因为四边形是以，为邻边的矩形，所以， 因此，得， 又因为，所以，因此，得， 因为在曲线上，所以，再将代入， 得，，， ，令，则， 解得（负根舍去），即. 所以，显然，满足在曲线上. 由， 所以, 所以，所以，即，因此点在线段上. 因此，存在点使得四边形是以，为邻边的矩形，此时点的横坐标为. 2．（2026·河南新乡·三模）某探照灯的反射镜面与其轴截面的交线是抛物线，把点光源置于它的焦点处，光线经镜面反射后成为平行光束，使照射距离加大.若抛物线的方程为，焦点为，过的直线交于M，N两点，当直线MN垂直于轴时，. (1)求的方程. (2)光的反射定律告诉我们：光从一种介质入射到两种介质的分界面时发生反射，反射光线与入射光线、法线处在同一平面内；反射光线与入射光线分别位于法线的两侧；反射角等于入射角.如图，从点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射，反射光线为，证明：所在直线平行于轴. 【答案】(1) (2)证明：因为不是顶点，故抛物线在处的切线的斜率必存在且不为零且纵截距也不为零， 如图，设抛物线在处的切线的方程为， 由得，① 则，得， 代入①式，得，故点的坐标为. 过点作直线AP垂直于直线l，AP与轴交于点， 则直线AP的方程为. 令，可得，又，所以. 又，所以， 所以，又由反射定律知，所以， 所以AH所在直线平行于轴. 【知识点】求抛物线的切线方程、抛物线的通径问题 【分析】（1）由题设得抛物线的通径，求出后可得抛物线的方程； （2）设抛物线在处的切线的方程为，联立直线方程和抛物线方程后可求的坐标，从而可求法线方程与轴的交点坐标，故可证，结合题设中的反射定律可证所在直线平行于轴. 【详解】（1）由题设，通径的长为，故，所以抛物线的方程为. （2）略 3．（2026·云南昆明·二模）已知抛物线的焦点为，过作垂直于轴的直线与交于两点，. (1)求的标准方程； (2)过的直线与交于两点（点在轴上方），直线交轴于点，求证：. 【答案】(1)； (2)的坐标为， ， 设直线的方程为， 联立，消去得：. 由韦达定理可知， 由，则直线的方程为，令，则， 所以的坐标为， 即得， 又因为， 所以. 故. 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）先根据设点，再代入计算求解抛物线方程； （2）先设直线的方程为，再联立方程组得出，进而计算即可证明. 【详解】（1）由题意，的坐标为，设在轴的上方，因为， 所以，代入方程得：，所以， 故的标准方程为； （2）略 4．（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过上一动点作的准线的垂线，垂足为.当时，的面积为8. (1)求的方程； (2)直线与交于两点，点均在第一象限，为坐标原点，当为的中点时，求外接圆的半径. 【答案】(1) (2) 【知识点】抛物线的焦半径公式、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）利用抛物线定义得到点横坐标与的关系，结合三角形面积求出点纵坐标，再代入抛物线方程解得，从而得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，结合中点条件求出的坐标，通过向量点积判断为直角三角形，进而用斜边长度求出外接圆半径. 【详解】（1）由抛物线的定义，得，则. 由的面积为8，知点到直线的距离为，则. 由，得，解得. 故的方程为. （2）由（1）可得，设，由题可知. 由，可得， 则. 若点为的中点，则，其中， 所以，解得（负值舍去），则，代入，得. 而，得，则，所以. 由于，故是直角三角形， 故所求外接圆半径. 重难点题型5 焦半径问题 （1）． （2）． （3）． 1．（2026·江苏·模拟预测）设抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（　　） （已知：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点） A． B． C．13 D．15 【答案】D 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】求出点的坐标，利用抛物线的光学性质，结合三点共线求出点的坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，由轴，点，得， 由抛物线的光学性质，得点共线， 设，则， 解得，点，于是，，， 所以的周长为. 故选：D 2．（2025·浙江金华·二模）过抛物线：的焦点且斜率为的直线与交于，两点，线段，的中点分别为，，为坐标原点，直线，与抛物线的另一个交点分别为，，记点，到轴距离分别为，，则（   ） A． B． C．轴 D．若，则 【答案】C 【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设，,的直线方程，求出,进而求出，判断选项A,B,求出直线方程，表达出,判断选项C,再根据,求出的值，判断选项D. 【详解】设，,的直线方程， 因为线段的中点分别为, 所以， 根据中位线性质，则，， 由抛物线的定义可得，，，故A,B错误； 设直线方程：， 联立可得，，则， 故， 同理可得 又,则 故，故 则，故轴,故C正确；    由,则， 则，再由，故 则或（舍去），故 故，则，故D错误. 故选：C. 3．（2025·河北张家口·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】联立直线线和抛物线方程，设，由韦达定理求出，再结合抛物线焦点弦长公式即可求解. 【详解】由题，所以直线的方程为，代入得， 设，则， 所以， 所以. 故选：C 4．（2025·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据以及抛物线定义可得直线的斜率，则可求，以及坐标，即可得点到直线的距离，最后利用面积公式即可. 【详解】如图，过点作，直线与轴分别交与点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得，解得， 则直线：，，得 故点到直线的距离为， 故的面积为. 故选：A 5．（2026·四川成都·三模）（多选题）设抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，B两点，且，，则（   ） A．的焦点坐标为 B．的准线方程为 C． D．的面积为2 【答案】BC 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【详解】由，可得焦准距，则的焦点坐标为，准线方程为，故A错误，B正确； 设，因，则， 把代入，可得， 由抛物线的对称性，不妨设，则，故C正确； 因为，则的面积，故D错误． 6．（2026·甘肃平凉·模拟预测）（多选题）已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（    ） A．点在C上 B．C关于x轴对称 C．过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点 D．若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为 【答案】ABC 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线上的点到定点的距离及最值、求抛物线的对称轴、抛物线中的直线过定点问题 【分析】根据给定条件求出轨迹的方程，验证判断A；利用轴对称的特征判断B；求出点的坐标，进而求出直线的方程判断C；求出点到圆心距离判断D. 【详解】设点，由点P到点F的距离比到直线l的距离大2， 则得，整理得轨迹的方程为， 对于A，当时，，因此点在C上，A正确； 对于B，显然点满足方程，而点与关于轴对称， 因此轨迹C关于x轴对称，B正确； 对于C，设直线方程为，由，得, 则直线的方程为， 由，得或，则得点， 同理可得点， 当直线不垂直于轴时，直线的方程为，整理得， 当直线时，由，解得,则直线，故直线恒过定点，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，设，则， 于是，当且仅当时取等号， 因此的最小值为，D错误.    7．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选题）已知过抛物线C：的焦点F的直线与C交于A，B两点，则下列说法正确的是（   ） A．线段的长度的最小值为8 B．若，则 C．若点，则直线，的斜率之和为零 D．上一个动点到直线的距离的最小值为 【答案】ACD 【知识点】求点到直线的距离、根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】对于选项A，求出焦点的坐标，得到的方程，解出的值，从而得到抛物线的方程，将直线 方程代入抛物线，整理得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出，利用弦长公式求出，利用得到的最小值；对于选项B，求出，利用得到，利用得到的值，代入得解；对于选项C，求出，，计算得解；对于选项D，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，整理得到，利用求出，利用两平行线间的距离公式求出直线与直线的距离，即为上一动点到直线的距离的最小值． 【详解】由题知，设直线的方程为， 点，，联立方程， 消去后整理为，则，. 由，得的最小值为8，A正确； 由，知，则，， 故，，即，， 所以，B错误； ，C正确； 设直线与C相切，联立方程 消去后整理得， 由，得， 故C上一个动点P到直线的距离的最小值为，D正确． 8．（2026·河南开封·模拟预测）（多选题）设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则点的坐标为 C．的最小值为 D．满足面积为的点有3个 【答案】BD 【知识点】求平面两点间的距离、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】A项由抛物线方程可知；B项由抛物线定义可得；C项可利用特值举反例，D项，将面积条件转化为点线距离，设点坐标求解方程可得. 【详解】对于A，抛物线弧的焦点为，故A错误； 对于B，若，解得， 所以，即点的坐标为，故B正确； 对于C，由选项B可知，点在抛物线弧上，设为， 则， 如图，可取，则， 由，又， 所以，即，即，故C错误； 对于D，直线的斜率为，所以方程为， ，设边上的高为， 若面积为，则，解得， 设点，则点到直线的距离即的高， 又，则， 所以或，又， 解得或， 所以满足面积为的点有3个（如图），故D正确． 重难点题型6 定点问题 1．（2026·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，动圆P与圆外切，且与直线相切，记P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若直线l与E交于x轴异侧两点A，B，且．证明：l过定点 【答案】(1) (2)当直线l斜率为0时，l与抛物线有且只有一个交点， 则可设直线l的方程为，，，联立， 得，，，， ， ， ，或，由题（舍去），则，l过定点． 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）根据几何关系，结合抛物线定义即可得解； （2）设直线l的方程为，联立抛物线方程消去，利用韦达定理代入求出即可得证. 【详解】（1）由题意，动圆圆心P到点的距离比其到直线的距离大1， 圆心P到点的距离等于它到直线的距离， 圆心P的轨迹E是以点为焦点，以直线为准线的抛物线， 设E的方程为（），则，，E的方程为． （2）略. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． (1)若C的焦点恰好是的垂心，求； (2)若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据题意，结合图形可得，，设，由求出的值，即得； （2）（ⅰ）依题设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用直线OA与直线OB的斜率之积为，列方程求得，即可得证； （ii）由（ⅰ）结合条件可得，求得点的坐标，写出直线MN的方程，与直线直线AB的方程联立，求得点的坐标，进而得到点的坐标，利用三角形的面积公式即可求得答案. 【详解】（1）记C的焦点为F，因为C的焦点恰好是的垂心，所以，， 设，则，又，由可得 ， 解得或，所以． （2）（ⅰ）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 由，得，所以 ，，， 又直线OA与直线OB的斜率之积为，所以 ，解得， 所以直线AB的方程为，故直线AB过定点． （ⅱ）由题意知，可得，即，所以或， 当时，MN的中点为，直线MN的斜率为，方程为． 此时直线AB的方程为，由，得，解得或， 即，或，， 故，又，点到直线MN的距离为， 所以； 当时，同理可得． 综上，的面积为． 3．（2026·陕西渭南·三模）已知为抛物线上一点，点到抛物线C焦点的距离是M到直线的距离的两倍． (1)求抛物线C的方程； (2)过点作C的两条切线，切点分别为．求证：以线段为直径的圆过点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中存在定点满足某条件问题 【分析】(1)利用抛物线定义结合距离条件求解参数得到抛物线方程； (2)通过导数推导切线方程，确定切点弦的表达式，联立抛物线得到韦达定理，借助向量点积为零完成垂直证明. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由抛物线定义，点到焦点的距离为. 点到直线的距离为. 由题设距离关系，得， 解得，. 因此，抛物线的方程为. （2）由(1)得抛物线方程为，即，求导得. 设切点，，则抛物线在处的切线方程为，整理得. 结合，切线方程可化为. 切线过点，代入得，即. 同理可得. 因此，直线的方程为. 联立，消去得, 可得，，，， 以线段为直径的圆过点，等价于. ，， 则 ， 因此，，即以线段为直径的圆过点.    4．（2026·四川泸州·模拟预测）已知动点到定点的距离比它到直线 的距离小 (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交的轨迹于两点，若，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)由题意可知，直线 的倾斜角均不为 和， 故直线 ， 的斜率存在且不为 ， 因为，所以，即， 即， 若直线 的斜率为 ，则与抛物线只有一个交点，若斜率不存在，则 重合，均不符合题意； 故设，， 联立，得， 则， 则 ， 得， 则直线恒过点. 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）设动点，利用轨迹方程的求法可得答案； （2）设直线，联立抛物线方程，得到关于 的一元二次方程，由韦达定理得，由，得，将 点坐标代入，化简，再将代入，可得，即得答案. 【详解】（1）设动点，根据题意， 到的距离 比到直线的距离小，即： 分析绝对值范围： 若，则，代入得： 两边平方并化简： ， 化简可得， 若，则，代入得右边为负，而左边根号非负，无解， 因此，动点 的轨迹方程为； （2）略 重难点题型7 定值问题 1．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知椭圆与抛物线的公共焦点为，过点且斜率存在的直线与交于，两点，与交于，两点，记直线，，，（为原点）的斜率分别为，，，. (1)求与的方程； (2)证明：为定值. 【答案】(1)椭圆的方程为，抛物线的方程为 (2)证明：由题意可知直线的斜率存在且不为0，    设直线，，，，， 联立得， 则，，， 所以. 联立得，则， 所以，， 所以， 所以为定值. 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、椭圆中的定值问题、抛物线中的定值问题 【分析】（1）根据题设椭圆及抛物线方程可得，，进而求解即可； （2）设直线，，，，，联立直线与椭圆方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得，，进而求证即可. 【详解】（1）由题意得，则，所以椭圆的方程为. 由题意得，则，所以抛物线的方程为. （2）略 2．（25-26高三上·陕西商洛·期中）如图，由椭圆和抛物线组合成曲线，与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. (1)求“等差椭圆”的离心率； (2)在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.直线与相交所得弦的中点为，与相交所得弦的中点为，证明：直线，（为原点）的斜率之积为定值. 【答案】(1)； (2)证明：由（1）及椭圆是“等差椭圆”，且，得，则，， 解得，于是，， 设直线与相交于点，线段的中点， 则，，两式相减得， ，即， 由已知，，得，因此，， 由消去得，又， 则，，设点， 则，， 即点，，所以，为定值. 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题、抛物线中的定值问题 【分析】（1）利用“等差椭圆”的定义，结合求出离心率. （2）由（1）及已知求出与的方程，利用中点弦问题可得，再将的方程与的方程联立求出点的坐标，进而计算得证. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列， 得，又，，则， 即有，而，解得， 所以“等差椭圆”的离心率为. （2）略 3．（2025·辽宁沈阳·三模）已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． (1)求抛物线的方程； (2)当轴时，求直线的斜率； (3)求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3) 由抛物线焦点弦长公式可得， 由（2）可得， 所以. 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）求出圆心坐标和圆的半径，根据抛物线的准线与圆相切求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）根据题意，设直线的方程为，设点、、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，根据轴可求出的值，由此可得出直线的斜率； （3）利用抛物线的焦点弦长公式以及平面内两点间的距离公式可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，圆的圆心为，半径为，且抛物线的准线为，与圆详相切， 则，因为，解得，故抛物线的方程为. （2）设点、、， 显然直线的斜率不为零， 设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，， 则，，即点， 因为轴，则，解得， 因此，直线的斜率为. （3）略 4．（2025·山西·模拟预测）过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2． (1)求抛物线T的方程； (2)当时，证明：直线BC过定点． (3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)BC过定点，证明如下： 设，，， 则，. 因为，则，所以,则. ，所以直线BC方程，整理得. 把代入直线BC方程,得，所以直线过定点. (3)，证明如下： 设，中点坐标是, 因为与垂直，则, 已知斜率是，所以斜率为. 根据直线点斜式，得出方程，展开整理成. 同理可得直线方程，与方程联立. 变形两式为和， 相减得，化简得. 已知，则. 又，代入得. 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）先根据已知条件设出点坐标，由、对称及斜率关系，用斜率公式求出、坐标，再根据三角形面积公式求出，进而得到抛物线方程. （2）设出、、坐标，求出、，根据的值得到与的关系，再求，最后得出直线经过的定点 （3）与垂直得到斜率，利用、中点在上得出方程，设直线方程, 与之联立，通过变形相减求出，结合的值及已知条件得出的值. 【详解】（1）已知当时，，、关于轴对称且， 设（），因为，不妨设. 由斜率公式，即，解得，所以，. 面积，解得，抛物线方程为. （2）略 （3）略 重难点 题型8 开放性与探索性问题 1．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）已知点在抛物线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在定点，定值． 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可得抛物线的标准方程； （2）设，求得直线的方程，利用直线与圆相切可得，化简得，进而可得直线过定点；①利用，可求得，进而计算可求得直线的方程；②由题意可得点在以为直径的圆上，进而可得，可得结论. 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，解得， 所以抛物线的标准方程为． （2）设， 因为点，在抛物线上，所以，， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 同理可得到直线的距离为， 因为两直线均与圆相切，所以，即， 两边平方得，所以， 所以， 所以 整理得， 因为，是不同的两点，所以， 所以①， 设直线的方程为，与抛物线联立得， 所以，所以，所以， 所以的方程，所以，所以直线过定点. ①因为，，， 所以， 由，得， 显然不符合题意，所以， 所以， 所以②， 由①②得，所以或， 当，得，此时是方程， 又，不符合题意，舍去； 所以，可得， 由，，两式相减得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. ②因为直线过定点，过点作于点， 所以点在以为直径的圆上，所以， 所以存在定点，使得为定值，定值为. 2．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且的面积为4. (1)求的方程； (2)，为上两点. （ⅰ）若直线过点，且倾斜角为，过点且与直线垂直的直线交于，两点，求四边形的面积； （ⅱ）若点，，过点作于点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出此定点和定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）定点，使得为定值. 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的定值问题 【分析】（1）利用抛物线焦点与准线坐标，求出通径长和三角形底边长，结合三角形面积条件求出的值，进而得到抛物线的标准方程. （2）（i）题先求出两条互相垂直直线的斜率，联立直线与抛物线方程推导焦点弦长公式，分别算出两条焦点弦的长度，再利用对角线垂直四边形面积公式求出结果. （ii）设出直线的横截式方程，联立抛物线借助韦达定理，由向量垂直数量积为零化简整理，通过配方求解并舍去不合题意的根，得到直线恒过的定点，再由直角顶点轨迹为圆的性质，确定定点与定值大小. 【详解】（1）抛物线，焦点，准线，. 过垂直轴的直线，代入抛物线得， 所以，. 由且，得. 抛物线的方程：. （2）（ⅰ）由，焦点. 抛物线，焦点，. 过焦点直线设为，联立，消去得. 设交点纵坐标为，则，. 弦长，化简得焦点弦长公式. 直线的倾斜角为，则斜率. 因为，所以. 将代入焦点弦长公式， ，. 将代入公式，，. 所以对角线互相垂直的四边形面积：. （ⅱ）由题可知直线斜率不为. 设直线的方程为，，. 联立，消去得. 由韦达定理得，. 因为，所以. 又，，则. 将，代入上式得. 展开并整理得. 将，代入得. 化简得，即. 解得或（舍去，因为当时，直线过点）. 所以直线的方程为，即. 故直线过定点. 因为，所以点的轨迹是以为直径的圆（除去，两点）. 的中点坐标为，. 则圆的半径为. 所以存在定点，使得为定值. 3．（2026·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线与有两个不同的交点，，记直线交轴于点，直线交轴于点N，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中的定值问题 【分析】（1）根据两点间距离公式及条件，列出方程，整理即可得答案. （2）设出直线的方程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得的表达式，写出直线的方程，即可得点M的纵坐标的表达式，同理可得点N的纵坐标的表达式，结合条件可得的表达式，整理计算，即可得答案. 【详解】（1）设点为上任意一点，因为圆过点且与直线相切， 所以与点到直线的距离相等，故，整理得， 即的方程为． （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，， 由，得， 此时，即且, 又， 则直线的方程为， 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，，得，． 所以 ．即为定值2. 【点睛】 4．（2026·湖北·模拟预测）已知抛物线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为． (1)求的值； (2)若抛物线上存在，两点，使得，求点的横坐标的取值范围； (3)将抛物线向下平移一个单位长度得到抛物线是抛物线与轴的交点，过点作直线与抛物线交于两点，与轴交于点，其中点均在轴左侧，直线与交于点．问在平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知直线垂直求参数、抛物线中的定值问题 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，求出切线与轴的交点，切线与轴的交点，利用三角形面积公式求出切线与坐标轴围成的三角形的面积，从而得到的方程，解出. （2）设，，利用斜率公式求出，由得到，从而得到关于的方程，由题意得到此方程有解，则，从而得到的不等式，计算出的范围就是点的横坐标的取值范围. （3）求出的方程，求出的坐标，由题意可知直线存在斜率，设直线的方程为，求出的坐标，联立直线与抛物线， 设， 利用韦达定理得到，利用点斜式求出直线和直线的方程，联立直线和直线，得到的坐标，假设存在定点，利用向量的数量积公式求出，利用为定值得到的值，从而得到点的坐标. 【详解】（1），，，在点处， 切线斜率，切线方程为，即， 设，则有，此切线与轴的交点为， 设，则有，此切线与轴的交点为， 此切线与坐标轴围成的三角形的面积为，. （2），，， 设，是不同的三点，， ， ，， 将整理为关于的方程为， 抛物线上存在，两点，使得， 关于的方程有解， ，即， 解得或，故点的横坐标的取值范围为. （3）抛物线向下平移一个单位长度得到抛物线， 则的方程为，即， 当时，，又在轴左侧，则， 过点的直线，就是过点作直线， 因为直线与抛物线交于两点，则直线存在斜率， 设直线的方程为， 因为直线与轴交于点，且点在轴左侧，所以， 当时，，解得，则， 联立直线与抛物线，即，消去， 得到关于的一元二次方程，即， 设，因为在轴左侧，所以， 则有， ，，， 直线的方程为， ，，， 直线的方程为， 联立直线和直线，即， 消去，得到，解得， ，，， 将代入，解得， 则， 假设存在定点，又， ，， ，，， ， ①， 要使为定值，则①中的的系数，即， 此时， 要使为定值，则有 ， 由解得，解得，即， 此时， 故在平面内存在一定点，使得为定值，此时点的坐标为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8-6 抛物线方程 1．（2026·全国二卷·高考真题）（多选题）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 2．（2025·全国一卷·高考真题）（多选题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·高考真题）已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________. 4．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 5．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a． (1)若A到准线距离为3，求a； (2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离； (3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围． 重难点题型1 抛物线的定义及其应用 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征： （1）关于坐标轴对称的点； （2）标记为F的点； （3）圆心； （4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围． 1．（2026·陕西·三模）设抛物线：的焦点为，斜率不为1的直线过点，过点作直线的垂线，垂足为，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·三模）已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 3．（2026·四川成都·模拟预测）如图，抛物线的焦点为，上一点（在第一象限）满足直线的斜率为，则到抛物线的准线的距离为（    ） A．1 B． C． D． 4．（2026·山西晋城·三模）已知为抛物线上一点，若点到抛物线准线的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 5．（2026·吉林长春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 6．（2026·河南郑州·模拟预测）已知抛物线上一点P到x轴的距离为，则点P到C的焦点的距离为_________． 7．（2026·江苏·模拟预测）已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上．若线段中点的纵坐标为，且，，则______． 8．（2026·天津河西·三模）已知抛物线：的焦点为，准线为，抛物线上一点位于第四象限，且，以为圆心，且与相切的圆交直线于，两点，若直线过点，且与直线垂直，则_________． 重难点题型2 抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程的步骤为： （1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： （2）根据题目条件列出P的方程 （3）解方程求出P，即得标准方程 1．（2026·山西晋中·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2026·北京·二模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·四川雅安·二模）已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 5．（2026·内蒙古赤峰·一模）以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________． 6．（2026·吉林白山·一模）双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为_______． 7．（2026·湖南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，且关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于A，B两点，A，B在轴上的投影分别为，，且梯形的中位线的长度为9，求的方程． 8．已知抛物线（）的焦点为，过点的直线与交于两点，且 (1)求的方程； (2)已知为轴上的点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，当直线的斜率为时，求点的坐标． 重难点题型3 抛物线的几何性质 1．（2026·湖南·模拟预测）抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．设抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．30 2．（2026·湖北·三模）卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两抛物线和，且为的焦点，为与的公共点，若，则（    ） A．2 B． C． D．3 4．（2026·甘肃酒泉·二模）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，点在抛物线上，且.过焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 5．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则以点为圆心长为半径的圆在轴上截得的弦长为__________． 6．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交E于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，若，且三角形的面积等于，则p的值等于______. 7．（2025·广东汕尾·一模）已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为5，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为__________. 8．（23-24高三下·山东·开学考试）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，直线过点交抛物线于两点，且.直线分别过点且均与轴平行，在直线上分别取点（均在点的右侧），和的角平分线相交于点，则的面积为__________. 重难点题型4 直线与抛物线的位置关系 1．（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，曲线：（，），点，直线与轴交于点，同时与曲线交于点，点，分别是曲线与线段上的动点． (1)若直线与轴垂直，且，求点的坐标； (2)若为曲线上一点，是否存在点使得四边形是以，为邻边的矩形，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026·河南新乡·三模）某探照灯的反射镜面与其轴截面的交线是抛物线，把点光源置于它的焦点处，光线经镜面反射后成为平行光束，使照射距离加大.若抛物线的方程为，焦点为，过的直线交于M，N两点，当直线MN垂直于轴时，. (1)求的方程. (2)光的反射定律告诉我们：光从一种介质入射到两种介质的分界面时发生反射，反射光线与入射光线、法线处在同一平面内；反射光线与入射光线分别位于法线的两侧；反射角等于入射角.如图，从点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射，反射光线为，证明：所在直线平行于轴. 3．（2026·云南昆明·二模）已知抛物线的焦点为，过作垂直于轴的直线与交于两点，. (1)求的标准方程； (2)过的直线与交于两点（点在轴上方），直线交轴于点，求证：. 4．（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过上一动点作的准线的垂线，垂足为.当时，的面积为8. (1)求的方程； (2)直线与交于两点，点均在第一象限，为坐标原点，当为的中点时，求外接圆的半径. 重难点题型5 焦半径问题 （1）． （2）． （3）． 1．（2026·江苏·模拟预测）设抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（　　） （已知：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点） A． B． C．13 D．15 2．（2025·浙江金华·二模）过抛物线：的焦点且斜率为的直线与交于，两点，线段，的中点分别为，，为坐标原点，直线，与抛物线的另一个交点分别为，，记点，到轴距离分别为，，则（   ） A． B． C．轴 D．若，则 3．（2025·河北张家口·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向为，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D．2 5．（2026·四川成都·三模）（多选题）设抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，B两点，且，，则（   ） A．的焦点坐标为 B．的准线方程为 C． D．的面积为2 6．（2026·甘肃平凉·模拟预测）（多选题）已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（    ） A．点在C上 B．C关于x轴对称 C．过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点 D．若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选题）已知过抛物线C：的焦点F的直线与C交于A，B两点，则下列说法正确的是（   ） A．线段的长度的最小值为8 B．若，则 C．若点，则直线，的斜率之和为零 D．上一个动点到直线的距离的最小值为 8．（2026·河南开封·模拟预测）（多选题）设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则点的坐标为 C．的最小值为 D．满足面积为的点有3个 重难点题型6 定点问题 1．（2026·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，动圆P与圆外切，且与直线相切，记P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若直线l与E交于x轴异侧两点A，B，且．证明：l过定点 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． (1)若C的焦点恰好是的垂心，求； (2)若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 3．（2026·陕西渭南·三模）已知为抛物线上一点，点到抛物线C焦点的距离是M到直线的距离的两倍． (1)求抛物线C的方程； (2)过点作C的两条切线，切点分别为．求证：以线段为直径的圆过点． 4．（2026·四川泸州·模拟预测）已知动点到定点的距离比它到直线 的距离小 (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交的轨迹于两点，若，求证：直线恒过定点． 重难点题型7 定值问题 1．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知椭圆与抛物线的公共焦点为，过点且斜率存在的直线与交于，两点，与交于，两点，记直线，，，（为原点）的斜率分别为，，，. (1)求与的方程； (2)证明：为定值. 2．（25-26高三上·陕西商洛·期中）如图，由椭圆和抛物线组合成曲线，与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. (1)求“等差椭圆”的离心率； (2)在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.直线与相交所得弦的中点为，与相交所得弦的中点为，证明：直线，（为原点）的斜率之积为定值. 3．（2025·辽宁沈阳·三模）已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． (1)求抛物线的方程； (2)当轴时，求直线的斜率； (3)求证：为定值，并求出该定值． 4．（2025·山西·模拟预测）过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2． (1)求抛物线T的方程； (2)当时，证明：直线BC过定点． (3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值． 重难点 题型8 开放性与探索性问题 1．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）已知点在抛物线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求该定值；若不存在，请说明理由． 2．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且的面积为4. (1)求的方程； (2)，为上两点. （ⅰ）若直线过点，且倾斜角为，过点且与直线垂直的直线交于，两点，求四边形的面积； （ⅱ）若点，，过点作于点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出此定点和定值；若不存在，请说明理由. 3．（2026·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线与有两个不同的交点，，记直线交轴于点，直线交轴于点N，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 4．（2026·湖北·模拟预测）已知抛物线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为． (1)求的值； (2)若抛物线上存在，两点，使得，求点的横坐标的取值范围； (3)将抛物线向下平移一个单位长度得到抛物线是抛物线与轴的交点，过点作直线与抛物线交于两点，与轴交于点，其中点均在轴左侧，直线与交于点．问在平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $