6.3.2 角的比较与运算-课件-2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦角的比较与运算，涵盖度量法、叠合法及角平分线等核心知识。通过回顾线段比较方法类比引入角的比较，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于运用类比思维与几何直观，通过叠合法操作步骤、三角尺画特殊角等实例，培养学生抽象能力与推理意识。口诀总结强化记忆，分层练习助力巩固，学生能提升空间观念，教师可高效开展教学。

人教版（新教材）数学七年级上册 第六章 几何图形初步 6.3.2 角的比较与运算 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/31 人教版数学七年级上册6.3.2角的比较与运算专项练习 【知识点梳理】角的比较与运算是七年级几何角度计算的核心内容。比较角的大小常用两种方法：度量法和叠合法。度量法利用量角器测出角度数值，通过数值大小对比角的大小；叠合法将两个角的顶点和一条边重合，根据另一条边的位置判断角度大小。角度计算遵循60进制，可进行度、分、秒的加减运算。同时需要掌握角的和差关系及角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线，若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=½∠AOB。熟练掌握角的比较、加减运算和角平分线题型，是几何角度计算的基础。 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 比较两个角大小的常用方法是度量法和________。 2. 角度的度、分、秒换算进制为________进制。 3. 若OC是∠AOB的平分线，则∠AOB=________∠AOC。 4. 若射线OC在∠AOB内部，则∠AOB=∠AOC+________。 5. 180°−75°30′=________。 6. 角度叠合法比较大小时，需要将两个角的________和一条边分别重合。 7. 若∠1=35°20′，∠2=35.5°，则∠1________∠2（填“>”“<”或“=”）。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于角平分线的说法正确的是（） A. 任意一条射线都是角平分线 B. 角平分线将角分成两个相等的角 C. 角平分线可以在角的外部 D. 角平分线是一条直线 2. 已知OC平分∠AOB，∠AOB=80°，则∠AOC的度数为（） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 3. 把一个角分成两个角，则这两个角的和与原角的关系是（） A. 大于原角 B. 小于原角 C. 等于原角 D. 无法确定 4. 用叠合法比较角的大小，主要依据是（） A. 边的长短 B. 另一条边的张开位置 C. 顶点位置高低 D. 肉眼直观感受 5. 下列角度换算与计算正确的是（） A. 0.5°=50′ B. 30°15′=30.25° C. 90°−25°=60° D. 120′=1.5° 6. 若∠AOC=∠BOC，则可以判断（） A. OC一定是∠AOB的平分线 B. OC在∠AOB内部且平分∠AOB C. OA=OB D. ∠AOB为直角 7. 已知∠α=50°，∠β=45°30′，则∠α−∠β=（） A. 5°30′ B. 4°30′ C. 5° D. 4°70′ 8. 下列说法错误的是（） A. 角度可以进行加减运算 B. 角的大小与边的长短无关 C. 平分一个角的射线有无数条 D. 度量法可精准比较角的大小 三、解答题（共50分） 1.（16分）简述度量法和叠合法比较两个角大小的具体操作步骤，并说明两种方法的优缺点。 2.（18分）完成下列角度计算：（1）45°30′+28°45′；（2）90°−36°20′；（3）已知OC平分∠AOB，∠AOB=110°，求∠BOC的度数。 3.（16分）已知射线OC在∠AOB内部，∠AOC=42°，∠BOC=38°，求∠AOB的度数；若OD平分∠AOB，求∠AOD的度数。 参考答案及解析 一、填空题 1. 叠合法 2. 60 3. 2 4. ∠BOC 5. 104°30′ 6. 顶点 7. < 二、选择题 1.B 解析：角平分线是从角顶点出发，将角平分为两个相等角的射线，且在角内部。2.B 解析：角平分线平分角度，∠AOC=½∠AOB=40°。3.C 解析：射线在角内分割原角，两个小角之和等于原角度数。4.B 解析：叠合法依靠重合后另一边的位置高低判断角度大小，与边长无关。5.B 解析：15′=0.25°，故30°15′=30.25°。6.B 解析：两角相等且共顶点、同侧，射线在角内部，即可判定为角平分线。7.B 解析：50°−45°30′=4°30′，借位60分计算。8.C 解析：一个角仅有唯一一条角平分线。 三、解答题 1. 度量法：用量角器分别测量两个角的度数，通过数值对比大小，优点是数据精准，缺点是需要工具；叠合法：将两角顶点重合、一条边重合，观察另一条边位置，在外的角更大，优点是直观便捷、无需计算，缺点是精度较低。2. 解：（1）45°30′+28°45′=73°75′=74°15′；（2）90°−36°20′=89°60′−36°20′=53°40′；（3）∠BOC=½×110°=55°。3. 解：∠AOB=∠AOC+∠BOC=42°+38°=80°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=½×80°=40°。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 1.类比线段的大小、和与差、中点，学习角的比较、角的加与减、角平分线，体会类比等思维方式. 2.理解角的大小、角的加与减、角平分线的意义及数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行描述. 3.利用已有知识解决新问题，培养数感. 6.3.2 角的比较与运算 第1页：复习衔接——温故知新 回顾旧知，为新知铺垫： - 角的定义：由公共端点的两条射线组成（静态），或射线绕端点旋转形成（动态）； - 角的要素：顶点、两条边（射线）； - 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角（按度数划分）。 引入新知：线段有比较与运算的方法，角作为几何基本图形，同样可以进行比较和运算。今天我们就来探索角的比较技巧与运算规则。 第8页：知识梳理与方法总结 一、角的比较方法 方法 核心操作 优点 叠合法 顶点重合、一边重合，看另一边位置 直观，无需测量工具 度量法 量角器测度数，比较数值 精确，可量化角度差 二、角的运算核心 - 和差：∠AOB=∠AOC±∠COB（根据C的位置判断“+”或“-”）； - 倍分：角平分线→∠AOC=∠COB=1/2∠AOB； - 关键：先画图形，明确角的组成关系，位置不确定时分类讨论。 核心口诀：角的比较有两法，叠合度量都靠它；和差运算看位置，平分线来分等角；尺规作图复制角，圆规作用别忘啦。 第2页：角的比较——核心方法（一）叠合法 类比线段的叠合法，角的叠合核心是“顶点重合、一边重合，看另一边位置”。 操作步骤（以比较∠AOB和∠COD为例）： 1. 顶点重合：将∠COD的顶点O与∠AOB的顶点O重合； 2. 一边重合：使∠COD的边OC与∠AOB的边OA重合，且两边都在OA的同侧； 3. 观察判断：根据∠COD的另一边OD与∠AOB的另一边OB的位置关系确定大小。 三种情况： - 若OD与OB重合 → ∠AOB = ∠COD； - 若OD在∠AOB内部 → ∠AOB ＞ ∠COD； - 若OD在∠AOB外部 → ∠AOB ＜ ∠COD。 关键：叠合时确保“顶点对齐、一边对齐、同侧放置”，避免因位置错误导致判断偏差。 第3页：角的比较——核心方法（二）度量法 利用量角器测量角的度数，通过比较度数大小确定角的大小，这是最直接的量化方法。 操作步骤： 1. 点对齐：将量角器的中心与角的顶点重合； 2. 线对齐：将量角器的0°刻度线与角的一条边重合； 3. 读度数：角的另一条边所对应的量角器刻度，即为角的度数。 比较规则：度数大的角大，度数小的角小，度数相等则角相等。 实例：测量得∠1=35°，∠2=50°，则∠1＜∠2；∠3=90°，∠4=90°，则∠3=∠4。 量角器使用提醒：注意区分内圈刻度与外圈刻度，当角的边与内圈0°刻度线重合时，读内圈度数，反之读外圈。 第4页：角的运算——和与差 角的和差运算与线段类似，核心是“结合图形，明确角之间的组成关系”。 1. 角的和 在∠AOB的内部作射线OC，那么∠AOB就是∠AOC与∠COB的和，记为：∠AOB = ∠AOC + ∠COB。 理解：将∠AOC与∠COB“拼接”在一起，就组成了∠AOB。 2. 角的差 若∠AOB = ∠AOC + ∠COB（且∠AOB＞∠AOC，∠AOB＞∠COB），则其中一个角是另外两个角的差，记为：∠AOC = ∠AOB - ∠COB 或 ∠COB = ∠AOB - ∠AOC。 实例：已知∠AOB=80°，∠AOC=30°，且OC在∠AOB内部，则∠COB=80°-30°=50°。 通过例题巩固角的核心概念，掌握识别与表示的关键。 第5页：角的运算——倍与分（角平分线） 当角的运算涉及“几倍”或“几分之几”时，最常用的工具是“角平分线”。 1. 角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 如图，若OC是∠AOB的平分线，则： - 数量关系：∠AOC = ∠COB = 1/2 ∠AOB，或∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB； - 图形特征：OC在∠AOB内部，将∠AOB平分为两个等角。 2. 角的n倍：要作一个角等于已知角∠α的n倍，可通过“顺次作n个相等的∠α”实现，总角度为n×∠α的度数。 实例：∠α=20°，则2∠α=40°，可作∠β=∠α+∠α=40°。 示例：如图，顶点为O，边为OA、OB，可表示为∠O、∠AOB、∠1或∠α（根据标注情况选择）。 第6页：基础例题——和差与角平分线运算 结合图形分析角的关系，是解题的核心。 例题1：和差运算 已知∠AOB=120°，射线OC在∠AOB外部，∠BOC=30°，求∠AOC的度数。 分析：OC在外部，分两种情况——OC在OB外侧或OA外侧。 解答：① 若OC在OB外侧：∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+30°=150°；② 若OC在OA外侧：∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-30°=90°。结论：∠AOC=150°或90°。 例题2：角平分线运算 已知∠COD=100°，OE是∠COD的平分线，OF是∠COE的平分线，求∠DOF的度数。 分析：先利用角平分线求等分角的度数，再计算和差。 解答：① ∠COE=∠EOD=1/2×100°=50°；② ∠COF=1/2×∠COE=25°；③ ∠DOF=∠COD-∠COF=100°-25°=75°（或∠DOF=∠EOD+∠EOF=50°+25°=75°）。 思考：角的大小由什么决定？与哪些因素无关？ 1. 决定因素：角的两边张开的幅度（即终边与始边的旋转角度） 实验感知：用两根硬纸条做成活动角，固定顶点，张开幅度越大，角越大；张开幅度越小，角越小。 2. 无关因素：角的两边的长度 原理：角的两边是射线，射线可以无限延伸，因此边长不影响角的大小。例如，用放大镜看一个30°的角，角的大小仍为30°。 应用：比较两个角的大小时，只需关注它们张开的幅度，无需考虑边的长短。 第7页：尺规作图——作一个角等于已知角 类比线段的尺规作图，用无刻度直尺和圆规可精准作出与已知角相等的角。 已知：∠AOB，作∠A'O'B'=∠AOB。 作图步骤： 1. 作射线O'A'； 2. 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； 3. 以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'； 4. 以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第3步所画弧交于点D'； 5. 作射线O'B'，则∠A'O'B'即为所求（与∠AOB相等）。 关键：圆规的作用是“复制”角的两边张开幅度，确保两个角的度数相等。 一、核心概念 - 定义：静态（两射线+公共端点）、动态（射线旋转）； - 要素：顶点（1个）、边（2条射线）； - 大小：由两边张开幅度决定，与边长无关。 二、表示方法 牢记“三边字母优先用，顶点字母单角用，数字希腊辅助用”，确保表示规范不混淆。 三、分类体系（按度数） 0°＜锐角＜90° → 直角=90° → 90°＜钝角＜180° → 平角=180° → 周角=360° 核心口诀：角有顶点和两边，静态构成动态转；表示方法有四种，顶点居中记心中；大小只看张开度，分类全凭度数定。 学习目标 角的表示方法： ①大写英文字母 ②小写希腊字母 ③数字 O A B α 1 ∠AOB或∠BOA ∠α ∠1 情境导入 A B C D 回顾：已知线段AB，CD，你有那些办法比较它们的大小？ 方法一：目测法 方法二：度量法 方法三：叠合法 想一想：类比比较线段的方法，如何比较两个角的大小？ 情境导入 4 类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？ 度量法 55° 40° 1 2 因为 55°＞40°，所以∠1＞∠2. 探究点1：角的比较与计算 叠合法 ∠1＞∠2. 探究新知 A B O (O' ) B' (A' ) A B O A B O 想一想：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗 (两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B' )？ (O' ) B' (A' ) ∠AOB＜∠A'O'B' ∠AOB =∠A'O'B' ∠AOB＞∠A'O'B' (O' ) (B' ) (A' ) 探究点1：角的比较与计算 探究新知 观察与思考：如图，图中共有几个角？它们之间有什么关系？ A B ∠AOB ∠BOC 3个 ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC O C ∠AOC 总结 共顶点，可加减. ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB 探究点1：角的比较与计算 探究新知 操作讨论：如图，借助三角尺画出 15°，75° 的角． 用一副三角尺，你还能画出哪些度数的角？试一试． 还能画出 105°，120°，150°，180° 的角. 75° 15° 快来动手画一画吧！ 探究点1：角的比较与计算 探究新知 【知识要点】 用三角尺画特殊角，关键在于把它写成 30°，45°，60°，90° 角的和或差. 凡是 15 的整数倍的角，都能用三角尺画出，而能用三角尺画出的，也只限于这样的角. 探究点1：角的比较与计算 探究新知 例1 如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC = 53°17′，求∠BOC 的度数. A O B C 解：由题意可知，∠AOB 是平角，∠AOB =∠AOC +∠BOC. 所以∠BOC =∠AOB -∠AOC = 180° - 53°17′ = 126°43′. 探究点1：角的比较与计算 探究新知 1.用“叠合法”比较与 的大小，正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 11 2.［唐山期末］如图，用三角尺比较与 的大小，其中正确的 是( ) B A. B. C. D.不能确定 返回 举一反三 12 3.在小于平角的的内部取一点，并作射线 ，则一定有( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 13 总结 ① 同单位加减 (度与度、分与分、秒与秒分别相加、减)； ② 度分秒是 60 进制 (相加时逢 60 要进位，相减时要借 1 作 60). 探究点1：角的比较与计算 【练一练】 1. 计算：(1) 120°－38°41′； (2) 67°31′＋48°49′. 解：(1) 原式＝81°19′. (2) 原式＝116°20′. 探究新知 例2 (1) 如图①，若∠AOC = 35°， ∠BOC = 40°，则∠AOB = °. 75 (3) 若∠AOB = 60°，∠AOC = 30°， 则∠BOC = °. 90 或 30 (2) 如图②，若∠AOB = 60°， ∠BOC = 40°，则∠AOC = °. 20 探究点1：角的比较与计算 探究新知 问题：你能在∠AOC 内找一条射线 OB，使∠AOB =∠BOC 吗？ A B O C 此时 ∠AOC = 2∠AOB = 2 ， ∠AOB =∠BOC = . ∠BOC ∠AOC 对折法 度量法 【点击跳转页面】 探究点2：角的平分线 探究新知 仿照下图，你也试一试吧. 返回 探究点2：角的平分线 探究新知 【定义总结】 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. A B O C 几何语言： 角平分线中的一个相反关系 如图，因为射线 OB 平分 ∠AOC， 所以 ∠AOC = 2∠AOB = 2∠BOC， ∠AOB =∠BOC = ∠AOC. 探究点2：角的平分线 探究新知 类比：仿照角平分线的结论，你能写出角的三等分线的结论吗？ A B O C D 因为射线 OB，OC 是 ∠AOD 的三等分线， 所以 ∠AOD = 3∠AOB = 3∠BOC = 3∠COD， ∠AOB =∠BOC =∠COD = ∠AOD. 探究点2：角的平分线 探究新知 返回 4．石家庄长安区期末如图，若∠AOC＞∠BOD，则∠AOB与∠COD的大小关系是AOB________COD. > 举一反三 20 返回 5.一副三角尺如图所示放置，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 举一反三 21 返回 6.如图，已知点是直线 上一点， ， ，则 的度数是 ( ) C A. B. C. D. 举一反三 22 例3 如图，OB 是∠AOC 的平分线， OD 是∠COE 的平分线. (1) 如果∠AOC = 80°， 那么∠BOC 是多少度? (2) 如果∠AOB = 40°，∠DOE = 30°， 那么∠BOD是多少度? 解：(1) ∠BOC = ∠AOC = ×80° = 40°. A B O C D E (2) ∠BOC = ∠AOB = 40°， ∠COD = ∠DOE = 30°. 所以 ∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 40° + 30° = 70°. 探究点2：角的平分线 探究新知 例3 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线. (3) 如果∠AOE = 140°，∠COD = 30°， 那么∠AOB 是多少度? A B O C D E (3) ∠AOB = ∠AOC = (∠AOE－2∠COD) = (140°－60°) = 40° 探究点2：角的平分线 探究新知 例4 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？ 答：每份是 51°26′ 的角. 总结 注意度、分、秒是 60 进制的，要把剩余的度数化成分． 解：360°÷7 = 51° + 3°÷7 = 51° + 180′÷7 ≈ 51°26′. 探究点2：角的平分线 探究新知 返回 7.［教材P练习T 变式］按图填空： （1） _______； （2） _______； （3） _______； （4） _______. 举一反三 26 返回 8.［邢台期末］如图，点在点的正北方向，点在点 南偏东 的方向上，则 的度数为_________. 举一反三 27 返回 9．教材P174练习T3变式计算： （1） ； 解：原式 . (3)47.6°－25°12′36″. 解：原式＝47°36′－25°12′36″＝47°35′60″－25°12′36″ ＝22°23′24″. （2） . 解：原式 . 举一反三 28 返回 10.在同一个平面内， ， ，则 的度数是 ( ) D A. B. C. 或 D. 或 举一反三 29 11.［教材 探究变式］下列角度中，不能用一副三角尺画出来的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 30 12.如图，将一个三角尺 角的顶点与另一个三角尺的直角顶点重合， 若，则 的度数是________. 返回 举一反三 31 13. 如图，已知为直线上一点，过点向直线 上方引三条 射线，，，， ，求 的度数. 返回 举一反三 32 解：因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，即 . 因为 ， 所以 ， 所以 . 返回 举一反三 33 14. 如图，直线，交于点， . (1)若∠DOE＝44°，求∠BOC的大小； 解： . 返回 举一反三 34 （2）若，求， 的大小. 解：因为∠BOC∶∠AOE＝1∶3， 所以设∠BOC＝x°，则∠AOE＝3x°， 所以∠DOE＝180°－∠COD－∠BOC＝90°－x°. 因为∠AOE＋∠DOE＝180°， 所以3x°＋90°－x°＝180°，解得x＝45. 所以∠DOE＝90°－45°＝45°， ∠AOB＝180°－3×45°＝45°. 返回 举一反三 35 乘与除 加与减 角的运算 角的计算 角的和差倍分关系 角的平分线 角的比较 叠合法 度量法 角 课堂小结 谢谢观看 THANKS $