第2章一元二次函数、方程与不等式四大题型专项练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次不等式四大核心题型，以题组训练构建从基础求解到参数综合的递进式逻辑体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解含参数一元二次不等式|1例+7练|需分类讨论参数对解集的影响|基于不含参数不等式解法，拓展参数分类讨论能力| |解不含参数一元二次不等式|1例+8练|直接求解，基础运算|一元二次方程根与不等式解集的直接转化| |恒成立问题|1例+6练|结合区间与函数最值转化|函数性质与不等式应用的综合，培养模型观念| |由解集确定参数|1例+4练|逆向运用根与系数关系|方程根与不等式解集的逆向推理，发展逻辑思维|

第2章一元二次函数、方程与不等式四大题型专项练习 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 题型一：解含有参数的一元二次不等式 例题： （单选题）设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是（     ）。 A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 同步练： （单选题）1.不等式的解集为（     ）。 A． B． C． D． （单选题）2.对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（     ）。 A． B． C． D． （单选题）3.若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（     ）。 A． B．或 C． D．或 （多选题）4.对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能为（     ）。 A． B． C． D．或 （填空题）5.已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是______。 （解答题）6.解关于的不等式。 （解答题）7.解关于的不等式。 题型二：解不含参数的一元二次不等式 例题： （单选题）不等式的解集是（     ）。 A． B． C． D． 同步练： （单选题）1.不等式的解集为（     ）。 A． B． C． D． （单选题）2.不等式的解集为（     ）。 A． B． C． D． （单选题）3.与不等式同解的不等式是（    ）。 A． B． C． D． （单选题）4.已知集合，集合，则（     ）。 A． B． C． D． （多选题）5.下列不等式的解集为R的是（     ）。 A． B． C． D． （填空题）6.不等式的解集为________。 （填空题）7.对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________。 （解答题）8.设二次函数，函数的两个零点为，（）。 （1）若，，求不等式的解集； （2）若，且，比较与的大小。 题型三：一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 例题： （单选题）若不等式对任意恒成立，则的取值范围为（     ）。 A． B． C． D． 同步练： （单选题）1.若不等式对满足的所有实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）。 A． B． C． D．或 （单选题）2.当时，不等式恒成立，则的取值范围是（     ）。 A． B． C． D． （单选题）3.已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（   ）。 A． B． C． D． （多选题）4.(多选)若对任意，不等式恒成立，则实数的值可能为（     ）。 A． B． C． D． （填空题）5.已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________。 （解答题）6.对任意且，不等式恒成立，求的取值范围。 题型四：由一元二次不等式的解确定参数 例题： （单选题）若不等式的解集是，则（ ）。 A． B． C． D． 同步练： （多选题）1.已知关于的不等式的解集为或，则（     ）。 A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 （填空题）2.若ax2+bx+2>0的充要条件是，则a+b的值为___________。 （填空题）3.已知关于x的不等式的解集为{x|x<1或x>3}，则a的值是___________。 （解答题）4.若不等式的解集是，求的值。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章一元二次函数、方程与不等式四大题型专项练习 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 题型一：解含有参数的一元二次不等式 例题： （单选题）设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是（     ）。 A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 【答案】B 【分析】不等式变形为最高次项系数为正，然后比较相应二次方程两根的大小后可不等式的解集。 【详解】不等式变形为，方程的两根为，显然由得， 所以不等式的解为， 故选：B。 同步练： （单选题）1.不等式的解集为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法可得解集。 【详解】原不等式可以转化为 ，即， 因为 ，所以 ， 因此不等式的解集为， 故选：A。 （单选题）2.对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可。 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A正确，B、C、D错误， 故选：A。 （单选题）3.若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（     ）。 A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，通过讨论与1的大小，求出解集，再根据解集中恰有两个整数，即可求解。 【详解】由题意，得原不等式可转化为， 当时，解得，此时解集中的整数只能为2，3，因此； 当时，解得，此时解集中的整数只能为0，-1，因此； 当时，不符合题意； 综上所述，实数a的取值范围是或， 故选：D。 （多选题）4.对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能为（     ）。 A． B． C． D．或 【答案】ABC 【分析】根据题意，通过讨论与0的大小关系，求出解集即可。 【详解】根据题意，易知， 当时，函数的图象开口向上，故不等式的解集为或； 当时，函数的图象开口向下，若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为；若，不等式的解集为； 故选：ABC。 （填空题）5.已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是______。 【答案】 【分析】由题知，且，进而转化为解不等式即可。 【详解】解：由不等式的解集是，可知，且， 所以，不等式可化为，解得， 所以不等式的解集是， 故答案为：。 （解答题）6.解关于的不等式。 【答案】当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为。 【详解】对分四种情况讨论：时，时，时，时，分别利用一元二次不等式的解法即可得到不等式的解集。 试题解析：当时，不等式的解为； 当时，有； 当时，原不等式等价于，不等式的解为或； 当时，，不等式的解为； 当时，，不等式的解为； 当时，不等式的解为。 （解答题）7.解关于的不等式。 【答案】当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】先讨论不等式是否为一元二次不等式,若为一元二次不等式，则解出其等式的两个根,讨论其开口方向与两根的大小关系，即可得出结论。 【详解】解：（1）当时，原不等式可化为，此时不等式的解集为； （2）时，方程的解为，； ①当时，因为，所以不等式的解集为； ②当时，因为，所以不等式的解集为； ③当时，因为，所以不等式的解集为； ④当时，因为，所以不等式的解集为。 题型二：解不含参数的一元二次不等式 例题： （单选题）不等式的解集是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化为可解得结果。 【详解】因为，所以， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：A。 同步练： （单选题）1.不等式的解集为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得,进而可求出原不等式的解集。 【详解】由得，即，解得， 故选B。 （单选题）2.不等式的解集为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式中二次项系数化为正数，然后结合二次函数性质可得结论。 【详解】原不等式可化为，而，原不等式无解，解集为； 故选：B。 （单选题）3.与不等式同解的不等式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式的解法逐项求解即可； 【详解】解不等式，即，得， A.解不等式，得，故A不正确； B.解不等式，得，故B正确； C.不等式等价于，得，故C不正确； D.解不等式，得，故D不正确； 故选：B。 （单选题）4.已知集合，集合，则（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次不等式，得到集合中元素具体范围，再由集合运算求得。 【详解】集合， 集合， 所以； 故选：A。 （多选题）5.下列不等式的解集为R的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别对不等式所对应的方程的判别式进行逐一判断，结合一元二次函数图象即可得出结论。 【详解】对于A，易知方程的判别式， 即对应的整个二次函数图象都在轴上方，所以解集为R，即A正确； 对于B，易知方程的判别式， 由对应的二次函数图象可知其解集不可能为R，即B错误； 对于C，易知方程的判别式， 即对应的整个二次函数图象都在轴下方，所以解集为R，即C正确； 对于D，易知不等式可化为，显然该不等式恒成立，即解集为R，即D正确； 故选：ACD。 （填空题）6.不等式的解集为________。 【答案】 【分析】利用因式分解法求解一元二次不等式即可。 【详解】由题意得，故， 故，解得， 故原不等式的解集为； 故答案为：。 （填空题）7.对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________。 【答案】{x|2≤x<8} 【分析】求解不等式4[x]2－36[x]＋45<0，得出<[x]<，根据题意，进而得出x的范围。 【详解】由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n， 所以[x]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为{x|2≤x<8}； 故答案为：{x|2≤x<8}。 （解答题）8.设二次函数，函数的两个零点为，（）。 （1）若，，求不等式的解集； （2）若，且，比较与的大小。 【答案】（1）答案见解析 （2） 【分析】（1）由二次方程的根与一元二次不等式的解之间的关系直接得出结论； （2）设，得，作差可得它与0的大小，从而得出与的大小。 【详解】（1）的两个根分别为和2， 当时，的解集为， 当时，的解集为； （2），， ， ∵，∴，，， ∴，   ∴。 题型三：一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 例题： （单选题）若不等式对任意恒成立，则的取值范围为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得不等式对任意成立，解不等式组即得解。 【详解】由题得不等式对任意成立， 所以， 即， 解之得或； 故选：A。 同步练： （单选题）1.若不等式对满足的所有实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）。 A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】将不等式整理成关于m的不等式, 令，要使不等式对满足的所有实数恒成立，则需，求解此不等式组可得实数的取值范围。 【详解】由得，将不等式整理成关于m的不等式， 令，要使关于m的不等式对的所有实数m恒成立， 则需，即，即， 由解得或， 由得或， 所以或， 故选D。 （单选题）2.当时，不等式恒成立，则的取值范围是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质求最值可得结果。 【详解】①当时，不等式化为，显然恒成立，满足题意； ②当时，令，则在上恒成立， 函数的对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得， 综上可知，的取值范围是； 故选：D。 （单选题）3.已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（   ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】注意到原题条件等价于当时，恒成立；当时，恒成立；故当时，，从而得，由此结合基本不等式即可求解。 【详解】设，， 因为，所以当时，； 当时，； 时，； 由不等式恒成立，得或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，， 则，即， 则当时，，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为； 故选：C。 （多选题）4.(多选)若对任意，不等式恒成立，则实数的值可能为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据解一元二次不等式的方法，结合子集的性质进行求解即可。 【详解】不等式的解集是， 因为对任意，不等式恒成立， 所以， 所以解得， 所以实数的值可能为，； 故选：BC。 （填空题）5.已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________。 【答案】 【分析】考虑两个函数，，由此确定，时，，有相同的零点，得出的关系，检验此时也满足题意，然后计算出（用表示），然后由基本不等式得最小值。 【详解】设，， 图象是开口向上的抛物线，因此由时，恒成立得， 时，，时，，时，， 因此时，，时，，， 所以①，②； 由①得，代入②得，因为，此式显然成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是； 故答案为：。 （解答题）6.对任意且，不等式恒成立，求的取值范围。 【答案】 【分析】构造函数，将问题转化为当时，即可，然后分，和三种情况结合二次函数的性质求出函数的最小值，使最小值大于等于零，从而可求出的取值范围。 【详解】设，则问题转化为当时，即可， ①当，即时，由二次函数在上单调递增， 所以，解得，又，所以不存在； ②当，即时，，解得， 又，所以； ③当，即时，由二次函数在上单调递减， 所以，解得，又，所以； 综上所述，实数的取值范围是。 题型四：由一元二次不等式的解确定参数 例题： （单选题）若不等式的解集是，则（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知方程的根为，结合根与系数的关系得出，从而得出的值。 【详解】由题意可知方程的根为， 由根与系数的关系可知，， 解得， 即； 故选：C。 同步练： （多选题）1.已知关于的不等式的解集为或，则（     ）。 A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】由题意可知不等式对应的二次函数的图像的开口方向，−2和4是方程的两根，再结合韦达定理可得b＝-2a，c＝-8a，代入选项B和D，解不等式即可；当x＝1时，有，从而判断选项C。 【详解】由题意可知，A选项正确； 是方程的两根， 则，C选项错误； 不等式即为，解得，B选项正确； 不等式即为，即，解得或，D选项正确； 故选：ABD。 （填空题）2.若ax2+bx+2>0的充要条件是，则a+b的值为___________。 【答案】-14 【分析】根据ax²+bx+2>0的充要条件是，由-和为方程ax²+bx+2=0的两根求解。 【详解】因为ax²+bx+2>0的充要条件是， 所以ax²+bx+2=0的两根为-和，且a<0， 所以，且a<0； 解得a=-12，b=-2， ∴a+b=-14， 故答案为：-14。 （填空题）3.已知关于x的不等式的解集为{x|x<1或x>3}，则a的值是___________。 【答案】 【分析】把不等式，转化为，结合不等式的解集，得到，即可求解。 【详解】由题意，不等式，可化为， 等价于， 因为不等式的解集为或，可得，解得； 故答案为：。 （解答题）4.若不等式的解集是，求的值。 【答案】 【分析】不等式的解集是，即有、是的两根，由韦达定理即可得到。 【详解】解：不等式的解集是， 即有，是的两根， 即有，， 解得，成立。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $