精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年高三上学期第一次月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合A，进而求交集. 【详解】由题意可得：集合， 且，所以. 故选：C. 2. 在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如下表所示: 分数段 占比 如果学生在这次测试中数学得了分，那么学生的成绩可能是（ ） A. 第百分位数 B. 第百分位数 C. 第百分位数 D. 第百分位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合百分位数的定义直接判断即可. 【详解】由表可知，低于分占比， 又分位于分数段中， 则其中低于分占比为， 所以分总占比为， 故学生的成绩可能是第百分位数. 故选：B 3. 在正方体中，直线和平面所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点，连接，即可得到平面，则为直线和平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】连接交于点，连接，则， 又平面，平面，所以 又，平面，所以平面， 则为直线和平面所成的角， 又平面，所以，所以， 则，即直线和平面所成角为. 故选：A 4. 有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若，则是第一、二象限的角；④若是第二象限的角，且是其终边上一点，则.其中正确的命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】按照任意角三角函数的定义以及运算规则即可. 【详解】解：①终边相同的角的同名三角函数的值相等，故正确； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等，错误，如； ③当，终边可能在轴正半轴上，故错误. ④余弦值应为，故错误. 综上所述，正确的命题的个数是1个. 故选：A 5. 已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立. 【详解】当时，，所以数列为公差为1的等差数列，即充分性成立； ，所以若数列为等差数列，则或，即必要性不成立， 综上，“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件， 故选A 【点睛】本题考查等差数列定义以及充要关系判定，考查基本分析化简求证能力，属中档题. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，求出，根据即可求解. 【详解】， ， ，， 故选： 7. 的最小值是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的最小值为，再将时转化为恒成立问题即可求解. 【详解】当时，，令，得，则在上单调递减，上单调递增，即函数在处取得最小值， 所以问题转化为在上恒成立， 令，则在上恒成立 当时，不符合. 当时，对称轴，则或 解得或， 所以 故选：A. 8. 每个正整数都可以唯一表示成以下形式：，其中且为该正整数的“长度”，例如，．若正整数的“长度”为1，则这样的的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，设，而，再结合组合计数问题求解. 【详解】依题意，，设，而， 则从这11个整数中任取3个不同的数，按照从小到大的顺序安排给， 所以满足条件的的个数为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的性质或根据图象变换作出图象，逐一判断即可． 【详解】A：的最小正周期为，故A错误； B：的图象为： ， 则其以为最小正周期，且在区间上单调递增，故B正确； C：因在区间上单调递增，且其最小正周期为，故C正确； D：如图： 则其以为最小正周期，且在区间上不单调，故D错误； 故选：BC． 10. 给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ） A. 梯形可确定一个平面 B. 棱台侧棱的延长线不一定相交于一点 C. D. 若非零向量，，满足，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：根据空间的基本事实和推论分析判断；B：根据台体的结构特征分析判断；对C、D：根据平面向量的运算分析判断. 【详解】对于选项A：因为梯形有两边平行，且两条平行直线可以确定一个平面， 所以梯形可确定一个平面，故A正确； 对于选项B：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，两平面之间的部分是棱台， 则棱台的侧棱即为棱锥对应侧棱的一部分，所以棱台侧棱的延长线一定相交于一点，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，则，当时，，即不一定有， 例如，则，显然，故D错误； 故选：AC. 11. 在四棱锥中，，，，，，是的中点，则（ ） A. 平面 B. 的长可能为 C. D. 点在半径为的球面上 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，取的中点，连接、，证明四边形为梯形，结合线面平行担的性质，即可判断；对于B，设的中点为，连接、、，求出点的轨迹，即可判断；对于C，，求出的范围即可判断；对于D，设的中点为，连接，求出的长度即可判断. 【详解】对于A选项，取线段的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，则且， 因为，则，则、、、四点共面， 若平面，且平面，平面平面，则， 事实上，因为，且，故四边形为梯形，则、不平行， 故假设不成立，即与平面不平行，A错； 对于B选项，取的中点，连接、、，如下图所示： 由题意四边形为直角梯形，，，，， 则为等腰直角三角形，则，则， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，， 由余弦定理可得， 所以，， 所以，， 则， 因为，所以点在以为球心，为半径的球面上运动（不过平面）， 则，所以，的长可能为，B对； 对于C选项，因为， ， 因为、不共线，所以， 所以，故C正确； 对于D选项，设的中点为，连接， 因为、分别为、的中点，则， 所以点在以为球心，为半径的球面上运动，D错. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有： （1）通过面面平行得到线面平行； （2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】取正棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，利用勾股定理得到高，然后求体积即可. 【详解】 如图，取正四棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，为侧棱，， 则， 因为上下底面边长分别为2和4， 所以，，， 所以，即棱台的高为， 棱台的体积=. 故答案为：. 13. 的展开式中项的系数是________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】展开式的通项为，取，计算得到答案. 【详解】展开式的通项为， 取得到，故的展开式中项的系数是. 故答案为： 14. 已知函数，，，，若函数与图象交点的横坐标记为，，记数列满足：，则数列的所有项之和为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查函数的对称性以及数列的性质．先分析函数和的对称性，确定它们图象的交点关于直线对称，再根据数列的定义，结合交点的对称性求出数列的所有项之和． 【详解】对于函数，其图象关于直线对称． 对于函数， 令，解得， ∴的图象关于直线对称． ∵与的图象都关于直线对称， ∴它们图象的交点也关于直线对称． 已知，设交点关于直线的对称点为， 则，即， 那么． 由于函数与图象的交点关于直线对称， ∴数列的项两两配对，每对的和都为0， 因此数列的所有项之和为0． 故答案为：0． 四、解答题：本题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若D为边上一点，，，平分，求a． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦的和角公式及正弦定理、辅助角公式等进行求解即可； （2）在中利用正弦定理求出的关系，从而可得c和b的方程，利用可再得一个关于b、c的方程，联立求出b、c，再利用余弦定理即可求出a． 【小问1详解】 由及正弦定理得， ∴， ∴， ∵，∴，即， 又∵，， ∴，∴； 【小问2详解】 由题可知，， 在中由正弦定理得①，②， ①÷②得，即． 又，∴， ∴，∴，∴， ∴， ∴． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）∵，， ∴， ∴. ∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， ∴， 又因为，平面，平面， ∴平面， 又平面ACE， ∴平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理证得，根据直棱柱的性质和线面垂直的性质定理证得；再根据线面垂直的判定定理证得平面；最后根据面面垂直的判定定理即可证得平面平面. （2）根据三棱锥等体积及锥体体积公式可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面， ∴AC为三棱锥的高，且. 由直三棱柱的性质可得：四边形为矩形. 因为，分别为，的中点， 所以，，， 则， ∴． 17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解； （2）由条件概率求解公式可得； （3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，求出的可能取值及对应概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件， A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件， 则 ； 【小问2详解】 设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件， 则 ； 由条件概率公式可得 ； 【小问3详解】 设A，B，C三款模型能成功上线为事件， 则，，， 的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点. （1）求的方程； （2）若是的中点，求直线的方程； （3）过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点. 【答案】（1） （2）或 （3）根据题意画出图像为： 由①②可得，. 由题意可得，，直线的方程为 ， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率条件，求出椭圆方程. （2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程组，利用韦达定理化简求解直线方程. （3）首先根据题意确定点的坐标，然后设出直线的方程，联立直线与椭圆方程组，利用韦达定理化简求出直线的方程，进而可看出该直线过定点. 【小问1详解】 由题意可得解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 依题意画出图像为： 设直线的方程为（因为点在第二象限，所以，即）， 设，. 联立直线与椭圆方程得. 当时，. 由根与系数的关系知，①，②. 因为是的中点，所以，结合①解得. 代入②，解得（舍去）， 所以直线的方程为，即或. 【小问3详解】 略 19. 已知函数（其中e为自然对数的底数）. （1）求函数的最小值； （2）若，且在上恒成立，求的最大值； （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3） 要证， 只需证明：对于恒成立， 令，则， 当时，令，则， 在上单调递增，即在上为增函数. 又因为，， 所以存在使得. 由，得即即， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，即. 【解析】 【分析】（1）对求导，根据单调性可得的最小值； （2）令，求导得到的最小值，令，得到，再令，求导得到的最大值，即得结果； （3）令，对求导，通过分析的单调性即可求证. 【小问1详解】 因为，所以. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以. 【小问2详解】 令，， 由得出；由得出， ；，， 令，；， 时，，单调递增；时，，单调递减， 则是的极大值点，，的最大值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三上学期第一次月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如下表所示: 分数段 占比 如果学生在这次测试中数学得了分，那么学生的成绩可能是（ ） A. 第百分位数 B. 第百分位数 C. 第百分位数 D. 第百分位数 3. 在正方体中，直线和平面所成角为（ ） A. B. C. D. 4. 有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若，则是第一、二象限的角；④若是第二象限的角，且是其终边上一点，则.其中正确的命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 的最小值是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 每个正整数都可以唯一表示成以下形式：，其中且为该正整数的“长度”，例如，．若正整数的“长度”为1，则这样的的个数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ） A. 梯形可确定一个平面 B. 棱台侧棱的延长线不一定相交于一点 C. D. 若非零向量，，满足，则 11. 在四棱锥中，，，，，，是的中点，则（ ） A. 平面 B. 的长可能为 C. D. 点在半径为的球面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为_____. 13. 的展开式中项的系数是________．（用数字作答） 14. 已知函数，，，，若函数与图象交点的横坐标记为，，记数列满足：，则数列的所有项之和为______． 四、解答题：本题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若D为边上一点，，，平分，求a． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积． 17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点. （1）求的方程； （2）若是的中点，求直线的方程； （3）过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点. 19. 已知函数（其中e为自然对数的底数）. （1）求函数的最小值； （2）若，且在上恒成立，求的最大值； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $