第4章 4.4 4.4.3 不同函数的增长差异-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

4．4.3　不同函数的增长差异

 [情境引入]

函数＝2x与y＝2x有几个交点，x在什么范围下，2x>2x会恒成立？

提示：(1)y＝ax(a>1)与y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)都单调递　增　.

(2)它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax的增长速度越来越　快　，会超过并远远大于y＝kx的增长速度．

因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx.

[知识梳理]

[知识点]　三种常见函数模型的增长差异　

 

1.我们常说指数增长、指数爆炸，对于指数型函数模型，还有没有别的变化方式？

提示：有，还有指数衰减．

2．我们知道当底数大于1时，对数函数的增长速度越来越慢，那么当底数小于1时，对数函数的变化有何特点？

提示：当底数小于1时，对数函数的递减速度越来越慢．

3．存在一个x0，当x>x0时，为什么ax>xn>logax(a>1，n>0)一定成立？

提示：当a>1，n>0时，由y＝ax，y＝xn，y＝logax的增长速度，存在x0，当x>x0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有ax>xn>logax.

[预习自测]

1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)

A．y＝ex　　　　　 B．y＝ln x

C．y＝2x  D．y＝e－x

答案：A

2．(多选)以下四种说法中，正确的是(　　)

A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

B．已知a＞1，则对任意的x＞0，ax＞logax

C．对任意的x＞0，xa＞logax

D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax

答案：BD

3．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为　________　.

答案：f(x)>g(x)

　　　几类函数模型增长差异的比较

[例1] 已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：

 则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　)

A．y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x

B．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x

C．y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x

D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2

[思路点拨]　根据自变量与函数值的关系选择不同的函数模型．

[解析]　从题中表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化．

[答案]　B

常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型

线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．

(2)指数函数模型

指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．

(3)对数函数模型

对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．

(4)幂函数模型

幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．

[变式训练]

1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　)

A．y＝ex　　　 B．y＝100 ln x

C．y＝100 x  D．y＝100·2x

解析：A　[指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快．]

　　　几类函数模型的比较的应用

[例2] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.