第4章 4.4 4.4.3 不同函数的增长差异-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦不同函数的增长差异这一核心知识点，系统梳理一次函数、指数函数、对数函数在增减性、图象趋势及增长速度上的区别，为后续函数模型的选择与应用搭建学习支架。 资料通过情境引入（如函数交点问题）激发思考，结合数据对比、实例分析（如表格数据判断函数模型）培养数学建模与逻辑推理素养。课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

4．4.3　不同函数的增长差异 课程标准 素养解读 1.对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性 2．了解函数模型的广泛应用 通过函数模型的应用提升数学建模和逻辑推理素养 [情境引入] 函数＝2x与y＝2x有几个交点，x在什么范围下，2x>2x会恒成立？ 提示：(1)y＝ax(a>1)与y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)都单调递　增　. (2)它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax的增长速度越来越　快　，会超过并远远大于y＝kx的增长速度． 因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx. [知识梳理] [知识点]　三种常见函数模型的增长差异　 y＝kx(k>0) y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) 在(0，＋∞) 上的增减性 　增函数　 　增函数　 　增函数　 图象的变 化趋势 一条直线 随x增大逐渐近似与　y轴　平行 随x增大逐渐近似与　x轴　平行 增长速度 (1)y＝ax(a>1)随着x的增大，y增长速度　越来越快　，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过　y＝kx(k>0)　的增长速度 (2)y＝logax(a>1)随着x的增大，y增长速度　越来越慢　，不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有　logax<kx　 1.我们常说指数增长、指数爆炸，对于指数型函数模型，还有没有别的变化方式？ 提示：有，还有指数衰减． 2．我们知道当底数大于1时，对数函数的增长速度越来越慢，那么当底数小于1时，对数函数的变化有何特点？ 提示：当底数小于1时，对数函数的递减速度越来越慢． 3．存在一个x0，当x>x0时，为什么ax>xn>logax(a>1，n>0)一定成立？ 提示：当a>1，n>0时，由y＝ax，y＝xn，y＝logax的增长速度，存在x0，当x>x0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有ax>xn>logax. [预习自测] 1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝ex　　　　　 B．y＝ln x C．y＝2x D．y＝e－x 答案：A 2．(多选)以下四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．已知a＞1，则对任意的x＞0，ax＞logax C．对任意的x＞0，xa＞logax D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax 答案：BD 3．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为　________　. 答案：f(x)>g(x) 　　　几类函数模型增长差异的比较 [例1] 已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表： x 1 2 4 6 8 … y1 2 4 16 64 256 … y2 1 4 16 36 64 … y3 0 1 2 2.585 3 … 则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　) A．y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x B．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x C．y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2 [思路点拨]　根据自变量与函数值的关系选择不同的函数模型． [解析]　从题中表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化． [答案]　B 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型 幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． [变式训练] 1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　) A．y＝ex　　　 B．y＝100 ln x C．y＝100 x D．y＝100·2x 解析：A　[指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快．] 　　　几类函数模型的比较的应用 [例2] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指示出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； (2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 026)，g(2 026)的大小． [思路点拨]　根据图象的增减趋势选择函数模型． [解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， 所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2 026>x2， 从图象上可以看出当x1<x<x2时，f(x)<g(x)， 所以f(6)<g(6)； 当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 026)>g(2 026)； 又因为g(2 026)>g(6)， 所以f(2 026)>g(2 026)>g(6)>f(6)． 不同函数的变化规律 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律． (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律． [变式训练] 2．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是(　　) A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x C．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x 解析：B　[在同一坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象，在区间(2,4)内从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，∴x2＞2x＞log2x.] 　　　函数模型的选择问题 [例3] 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ [思路点拨]　分别验证函数的模拟效果． [解]　根据题意可列方程组 解得 所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.① 同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.② 再将x＝4分别代入①式与②式得 f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)， g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)． 与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好． 建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型． (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论． (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题． [变式训练] 3．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？ 解：A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为，所以100元一年到期的本息和为1002≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100≈103.09(元)，收益为3.09元．通过以上分析，应购买B种债券. 1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A．y＝6x　　　　　 B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x 答案：B 2．若x＞0，且1＜bx＜ax，则(　　) A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b 答案：C 3．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是　________　. 答案：y＝x2 4．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应　________　；B对应　________　；C对应　________　；D对应　________　. 答案：(4)　(1)　(3)　(2) 5．已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，设两个函数的图象相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2，若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由． 解：依题意知，x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值． 当x＜x1时，2x＞x3，即f(x)＞g(x)； 当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)； 当x＞x2时，f(x)＞g(x)． 因为f(1)＝2，g(1)＝1，f(2)＝22＝4， g(2)＝23＝8，所以x1∈[1,2]，即a＝1. 因为f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，f(8)＜g(8)，f(9)＝29＝512. g(9)＝93＝729，f(9)＜g(9)， f(10)＝210＝1 024，g(10)＝103＝1 000， f(10)＞g(10)，所以x2∈[9,10]，即b＝9. 1．当x越来越大时，下列函数增长速度变化最快的是(　　) A．y＝100x　　　　　 B．y＝x C．y＝log2x D．y＝x100 答案：B 2．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是(　　) 答案：A 3．函数y＝2x－x2的图象大致是(　　) 答案：A 4．从甲地到乙地的距离约为240 km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的下列数据： v 0 40 60 80 120 Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是(　　) A．Q＝＋b B．Q＝av3＋bv2＋cv C．Q＝0.5v＋a D．Q＝klogav＋b 答案：B 5．(多选)下面对函数与g(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有(　　) A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快 B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 解析：ABD　[结合指数函数y＝x和对数函数的图象易得C正确，A，B，D错误．] 6．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 解析：ACD　[∵L1－L2＝20×lg－20×lg＝ 20×lg≥0，∴≥1， ∴p1≥p2，所以A正确； ∵L2－L3＝20×lg＞10，∴lg＞，∴＞，所以B错误；∵L3＝20×lg＝40， ∴＝100，所以C正确；∵L1－L2＝20×lg≤90－50＝40，∴lg≤2，∴≤100，所以D正确．故选ACD.] 7．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，某地根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过　________　小时才能开车(精确到1小时)． 解析：设经过x小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，所以x≤0.3，当x＝1,2,3,4时，x＞0.3，而当x＝5时，x＜0.3，所以x最小应取5，即此人至少经过5小时才能开车． 答案：5 8．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是　________　. ①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5； ③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50x. 解析：结合四种函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①. 答案：① 9.如图，已知点A，B是函数f(x)＝log216x图象上的两点，点C是函数g(x)＝log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点)，则点A的横坐标为　________　，点B的横坐标为　________　. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则y1＝log216x1，y2＝log216x2，y3＝log2x3，x2＝x3. 因为△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点)，所以y2－y3＝log216＝4，y2＋y3＝2y1， 即log216x2－log2x3＝2(x2－x1)， log216x2＋log2x3＝2log216x1， 化简可得x2－x1＝2，log2x2＝2＋log2x1， 解得x1＝，x2＝. 答案：　 10．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？ 解：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求． 11．大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素，治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务．某钢铁厂在处理工业废气的过程中，每经过一次处理可将有害气体减少20%，那么要让有害气体减少到原来的5%，求至少要经过几次处理(参考数据；lg 2≈0.301 0)． 解：设工业废气在未处理前为a，经过x次处理后变为y，则y＝a(1－20%)x＝a(80%)x.由题意得＝5%， 即(80%)x＝5%，两边同时取以10为底的对数得xlg0.8＝lg 0.05，即x＝≈13.4. 因而至少需要14次处理才能使工业废气中的有害气体减少到原来的5%. 12．若将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，则x min后甲桶中剩余的水量符合衰减函数f(x)＝aenx(其中e≈2.71828…)．假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶的水量为 L，则m的值为(　　) A．5　　 B．8　　 C．9　　 D．10 解析：A　[由题意，f(5)＝ae5n＝∴e5n＝， 又f(m＋5)＝ae(m＋5)n＝， 即e(m＋5)n＝＝(e5n)2＝e10n， ∴(m＋5)n＝10n， ∴m＝5.] 13．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2020年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示： x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a， (1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2020年和2022年的数据求出相应的解析式； (2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2026年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2026年的年产量． 解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b， 若模型为f(x)＝2x＋a， 则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2， 即f(x)＝2x＋2， 此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合． 若模型为 则f(x)是减函数，与已知不符合． 由已知得 解得 所以f(x)＝x＋，x∈N. (2)2026年预计年产量为f(7)＝×7＋＝13,2025年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1. 2026年的年产量为9.1万件． 学科网（北京）股份有限公司 $