5.3二元一次方程组的应用（课时2）课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的应用，通过工厂利润问题导入，先回顾列方程组解应用题的“审设列解验答”步骤，再引导学生用表格梳理已知量与未知量，搭建从旧知到新知的学习支架。 其特色在于创新“四步表格梳理法”，通过提取量、分类填表等步骤培养学生数学眼光的抽象能力和数学思维的推理意识，结合利润、营养配比等实例强化模型意识。小结分类应用类型与方法，助力学生掌握分析技巧，也为教师提供结构化教学工具。

5.3二元一次方程组的应用（课时2） 第五章 二元一次方程组 北师大版(2024) 1 素养目标 2.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程. 1.能通过表格分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题； 2 知识回顾 回顾列二元一次方程组解应用题的具体步骤： 1.审——通过审题找出 ； 2.设——用字母表示题目中的 ； 3.列——依据找到的等量关系，列出 ； 4.解——解方程组，求出未知数的值； 5.验——检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符合实际问题的意义，包括单位名称； 6.答——回答题目中要解决的问题，注意单位. 等量关系 两个未知数 方程组 3 新知导入 某工厂前年的利润 (总收入-总支出) 为200万元.去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的利润为780万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？ (1)这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ 涉及的量：前年的总收入、总支出、利润； 去年的总收入、总支出、利润； 等量关系：①前年的总收入﹣前年的总支出 = 200万元， ②去年的总收入﹣去年的总支出 = 780万元. 4 探究新知 (2)你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？ 设前年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有 总收入/万元 总支出/万元 利润/万元 前年 去年 (1+20%)x (1-10%)y 780 x y 200 去年的总收入比前年增加了20% 去年的总支出比前年减少了10% 利用表格梳理题目的关键信息，是一种常用的方法 5 探究新知 总收入/万元 总支出/万元 利润/万元 前年 去年 (1+20%)x (1-10%)y 780 x y 200 解：设前年的总收入为x万元，总支出为y万元， 前年的总收入﹣前年的总支出 = 200万元， 前年的总收入﹣前年的总支出 = 200万元， x - y = 200 ① (1+20%)x - (1-10%)y = 780② 6 探究新知 解：设前年的总收入为x万元，总支出为y万元， 总收入/万元 总支出/万元 利润/万元 前年 去年 (1+20%)x (1-10%)y 780 x y 200 解这个方程组，得 根据表格，列出方程组 因此，前年的总收入是2000万元，总支出是1800万元． 7 归纳总结 对于复杂的实际问题，可以通过列表的方法将所有的数量关系进行整理，发现等量关系，列出方程组. 8 例题练习 医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品．每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质.若患者每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要？ 这个问题涉及哪些量？ 涉及的量：甲原料的量、乙原料的量； 甲原料所含蛋白质的量、甲原料所含铁质的量； 乙原料所含蛋白质的量、乙原料所含铁质的量； 患者每餐需要的蛋白质总量、铁质总量. 9 例题练习 医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品．每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质.若患者每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要？ 这些量之间有怎样的等量关系？ 等量关系：①甲原料含有蛋白质的量 + 乙原料含有蛋白质的量 = 35单位， ②甲原料含有铁质的量+ 乙原料含有铁质的量= 40单位. 10 例题练习 医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品．每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质.若患者每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要？ 分析：设每餐需甲原料x g、乙原料y g.则有下表： 甲原料xg 乙原料yg 所配的营养品 其中所含蛋白质 其中所含铁质 0.5x x 0.7y 0.4y 0.5x+0.7y x+0.4y 11 例题练习 甲原料含有蛋白质的量 + 乙原料含有蛋白质的量 = 35单位. 甲原料含有铁质的量+ 乙原料含有铁质的量= 40单位. 0.5x + 0.7y = 35 ① x+0.4y = 40 甲原料xg 乙原料yg 所配的营养品 其中所含蛋白质 其中所含铁质 0.5x x 0.7y 0.4y 0.5x+0.7y x+0.4y 12 例题练习 解：设每餐需要甲原料 x 克、乙原料 y 克， 解这个方程组，得 根据题意，得 所以，每餐用甲原料 28 克、乙原料 30 克可以恰好满足患者的需要. 甲原料xg 乙原料yg 所配的营养品 其中所含蛋白质 其中所含铁质 0.5x x 0.7y 0.4y 0.5x+0.7y x+0.4y 13 探究新知 【思考·交流 】在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息？对此你有哪些心得体会？ 1. 明确问题类型，定位核心变量； 2.四步表格梳理法： ①提取所有量； ②分类填表； ③提炼等量关系； ④检查完整性：确保每个独立条件对应一个方程，变量数与方程数一致. 14 15 16 17 18 x+50 y+60 19 x+y=40 20 0.4x 0.8x 0.8y y 21 22 23 24 B 25 26 27 小结 列方程组解决实际问题 利润问题 营养配比问题 应用 利用图表分析等量关系 方法 28 谢谢同学们的聆听 29 练习1 某校七(1)班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元.捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程. 解：设捐款10元的为x人，捐款15元的为y人， 根据题意得： ， 解得： ， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人. 练习2 南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河.为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行.右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务.如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 解：设一台清淤机的工作效率为x，一台清淤船的工作效率为y. 根据题意，得 解得 ， . 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务. 练习3 重庆赛力斯公司生产的问界M7和问界M9两款新能源汽车深受消费者的欢迎,该公司生产汽车零部件的甲车间有工人50名,乙车间有工人60名,因接到加急生产一批新能源汽车的任务,所以该公司新增40名工人分配到甲、乙两个车间,分配后甲车间的总人数比分配后乙车间的总人数多10人.设新分配到甲车间的人数是x人,新分配到乙车间的人数是y人. (1)完成下列表格填空： 甲 乙 原来人数 50 60 新分配人数 x y 分配后现有人数 ___________ ___________ 根据题中的数量关系有： ________________； (2)求新分配到甲车间、乙车间的人数各有多少人？ 解：(2)根据题意得, , 解方程得 答：新分配到甲车间的有 人,新分配到乙车间的有 人. 练习4 健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品,已知每克甲原料含 单位蛋白质和 单位铁质,每克乙原料含1单位蛋白质和 单位铁质. (1)依据题意,填写表格. 项目 甲原料x/克 乙原料y/克 其中所含蛋白质/单位 ____________ ____________ 其中所含铁质/单位 ____________ ____________ (2)如果一个运动员每餐需要 单位蛋白质和 单位铁质,那么每餐含甲、乙两种原料各多少克恰好能满足运动员的需要？ 解：(2)设每餐含甲原料x克,乙原料y克恰好能满足运动员的需要, 依题意,得 , 解得 . ∴每餐含甲原料 克,乙原料 克时恰好能满足运动员的需要. 练习5 某地区2023年进出口总额为520亿元，2024年进出口总额比2023年有所增加，其中进口额增加了 ，出口额增加了 .（注：进出口总额=进口额+出口额） （1）设2023年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表： 年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元 2023 x y 520 2024 1.25x 1.3y __________ （2）已知2024年进出口总额比2023年增加了140亿元，求2024年进口额和出口额分别是多少亿元. 解：（2）由题意可得 解得 所以 ， . 答：2024年进口额是400亿元，出口额是260亿元. 练习6 甲、乙两个玩具的成本共400元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定甲玩具按 的利润率标价出售，乙玩具按 的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的9折出售，这样商店共获利158元. (1)小丽按老师要求，勾画了两句等量关系句(题中带横线的句子)，并把它们写成等量关系式表述正确的是( ) ①甲玩具按 的利润率标价：甲的标价=甲玩具成本价 ； ②乙玩具按标价的9折出售：乙玩具的售价=乙玩具的标价 ； A.①正确，②不正确 B.①不正确，②正确 C.①②不正确 D.①②都正确 解：(1)甲的售价=甲玩具成本价 ，故①错误， 乙玩具的标价=乙玩具的成本价 ，故②正确，故选：B. 练习6 甲、乙两个玩具的成本共400元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定甲玩具按 的利润率标价出售，乙玩具按 的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的9折出售，这样商店共获利158元. (2)甲的成本为x元，乙的成本是y元.用含x，y的代数式表示表格中字母处的代数式； 玩具类型 成本价 标价 售价 甲玩具 x A 乙玩具 y B (3)在(2)的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元？ 解：(2) ， . (3)根据题意：得 解得： ， 答：甲玩具的成本是200元，乙玩具的成本是200元. $