北京市海淀区人大附中2026～2027学年上学期九年级开学考数学试卷

2026-2027学年度第一学期初三年级数学练习1 2026.9 班级： 姓名： 考 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分.考试时间100分钟。 生 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 须 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 知 5.考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1.一元二次方程x2-2x+3=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 (A)1,2,3 (B)1,-2,3 (C)0,2,3 (D)0,-2,3 2.将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知A=40°，则∠2的度数是 (A)20 (B)40° (C)50° (D)60° 3.若点A(-3,a),B(1,b)都在抛物线y=2x2上，则a与b的大小关系是 (A)a>b (B)a=b (C)a<b (D)无法确定 4.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是 b-1 0a11 (A)a+b<0 (B)a-b>0 (C)ab<0 D)80 5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=4,BC=12,∠B=30°，则△ABD的面 积是 (A)4 (B)6 (C)12 (D)24 文30 6。若-2是关于x的方程m2+6x+2=0的一个解，则代数式2a+）-3功 4a2-4b+的值为 (A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2 数学试卷第1页（共8页） 7,为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入，该企业 2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长 率为多少？设研发投入的平均年增长率为：，则下列方程正确的是 (A)301+2x)=50 (B)301-2x)=50(C)301-x}=50(D)301+x}=50 8.如图，已知边长为1的正方形ABCD,E为边AB上一动点（点E不与点A,B重合)，过点E 作EM∥BD,交边AD于点M,作点E、M关于BD的对称点F、G,连接EF,MG交BD于 点P,H.给出下面三个结论： ①四边形EFGM的周长是一个定值； ②四边形EPM的周长是一个定值： ③EG和MF的交点为线段BD的中点. 上述结论中，所有正确结论的序号是 (A)仅有① (B)仅有② (c)①③ (D)②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9.若代数式上有意义，则实数x的取值范围是 10.不等式组 2 的解集为 5x-3<1+x 11.窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓意，又显几何之美.如图所示，某个窗棂图案 的外框是正六边形，这个正六边形的每一个内角都等于 度 12.将抛物线y=2x2沿着直线y=3x的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的 抛物线表达式为】 13,如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AE垂直且平分线段BO,垂足为点 E.己知BD=6,则AB的长为 数学试卷第2页（共8页） 14.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,分别以B,C两点为圆心，以AB的长为半径作 弧，两弧在矩形ABCD内部交于点P,则点P到AD所在直线的距离为 XP 15.如图，直线y=mx+n与抛物线为2=ax2+bx+c相交于点A3,0),B(-2,5).下面四个结 论：①m<0: ②当-2<x<3时，ax2+bx+c<mx+n: ③方程m2+bx+c=0的解为x=-2,,=3: ④当x<行时，函数值⅓随着x的增大而减少， 其中所有正确结论的序号是 16.暴雨过后，某小区物业同一时刻发现4处设施故障，需一名维修工逐一抢修.故障情况如下 表： 故障设施 电梯 供水水泵 大门门禁 车库道闸 影响住户（户） 120 80 30 20 所需维修时间（分钟） 50 20 40 10 维修工修完一处立即前往下一处（衔接时间忽略不计）.某处设施的等待时间是指从维修工开 始第一处抢修起，到该处抢修完成所经过的时间； 该处故障的彩响量=影响住户数×等待时间（单位：户·分钟）. (1)若按“道闸→水泵→门禁→电梯”的顺序抢修，则4处故障影响量之和为户分钟： (2)若维修工可以自选抢修顺序，为了使影响量之和最小，则应按 的顺序抢修. 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分， 第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分) n.计算：可+同-万x6- 18.解方程：x2-6x+1=0. 数学试卷第3页（共8页） 19.已知二次函数y=x2-x-2. (1)在下图所示的平面直角坐标系画出该二次函数的图象； (2)直接写出当0≤x≤3时，y的取值范围. 20.已知关于x的一元二次方程mx2-(（3m+1)x+2m+1=0(m≠0) (1)求证：对于任意非零实数m,该方程总有两个实数根： (2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数m的值. 21.直角三角形作为特殊的三角形，有它特殊的性质，下面是其中两条重要的性质： 性质一：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 请你选择其中一条，根据以下信息，完成对性质的证明。 性质一 性质二 已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°， 已知：如图，R1△ABC中，∠ABC=90°，D ∠A=30°. 为AC中点，连接BD. 求证：BC=AB. 求证：0=4C 22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=a+b的图象(-1,1)和(L,5). (1)求k,b的值： (2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既小于函数y=c+b的值，也 小于函数y=x+k的值，直接写出m的取值范围。 数学试卷第4页（共8页） 23.某校为提升学生的科学素养，举办了“未来科学家科普知识竞赛.九年级甲、乙两个班各派10 名学生参加校级决赛，决赛成绩（满分10分，均为整数）的统计信息如下： 次数 甲班决赛成绩的统计图 得分 乙班决赛成绩的统计图 10 8 6 4 2 0 8910 得分 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲班10名同学得分的平均数为 乙班10名同学得分中最高分为. 分： (2)甲班小乐的成绩是9分，乙班小思的成绩也是9分，请结合本班统计图信息，判断在各 自班级中的排名更靠前的是 (填“小乐”或“小思”)： (3)小研通过统计图信息发现，甲班的中位数和众数均比乙班低，甲班满分人数也比乙班少， 由此判断甲班的平均分也比乙班低.你是否同意小研的判断？若同意，请说明理由；若不 同意，请举出反例。 24.如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D,E分别是AB,AC的中点，连接DE并延长至点F, 使EF=DE,连接AF,CF,DC (1)求证：四边形ADCF是菱形： (2)若∠BAC=30°，AB=8,点P是线段AC上一动点，连接DP,BP,求DP+BP的 最小值并在图中画出取得最小值时点P的位置. 数学试卷第5页（共8页） 25.在一定温度下，1空气中最多能容纳的水汽质量（单位：g)叫做该温度下空气的饱和含湿 量S.当空气中的实际水汽超过S时，超出的部分会凝结成小水珠，这种现象叫做结露（如冬 天窗玻璃上的水珠、浴室镜子上的雾).某中学科技小组查阅气象资料，得到不同温度下空气 的饱和含湿量S(单位：g/m)的数值如下表： 温度1/℃ 0 S 10 15 20 25 30 饱和含湿量S(g/m) 4.8 6.8 9.4 12.8 17.3 23.0 30.4 (1)根据表中数据，在给出的平面直角坐标系中，画出0℃~30℃范围内S关于1的函数图 象： S/(g/m) 32 12 C51015202530357℃ (2)冬季某天中午，1号教室（体积100m)门窗紧闭，室内温度为25℃，湿度传感器测得空 气的实际含湿量为15.5gm.夜间寒潮来袭，教室温度持续下降： ①当温度降至℃时（精确到个位），教室空气中的水汽恰好达到饱和（结露开始发生）： ②当温度降至10C时，此时1号教室的空气中共凝结约 g水（精确到整数）： (3)次日清晨，1号、2号教室（体积均为100m)温度均为10℃，传感器测得两教室空气 的实际含湿量分别为15.5gm和12.5gm,两教室的窗玻璃上均出现了结露.为使结 露消失（即空气中的水汽不再超过当时的饱和含湿量），有以下两种方案： 方案一：将两教室均升温至TC(含湿量不变)，使两教室空气中的水汽均不再凝结： 方案二：保持10℃，利用新风系统向教室通入室外的干燥空气（含湿量为4.7gm)并 充分混合.经实验测定：向含湿量为cgm的教室通入Vm干燥空气后，教室 空气的含强星变为”g加 ①方案一中，T的最小值为 ℃（精确到个位）： ②方案二中，若1号、2号教室分别通入y、Y,m干燥空气(7、”，均取整数)，使两 教室空气中的水汽均不再凝结，则y+,的最小值为 m3】 数学试卷第6页（共8页） 26.在平面直角坐标系xO)y中，抛物线y=ax-4ar+3a(a≠0)与x轴交于A,B两点，已知 M(名，y),N(:,y2)是该抛物线上任意两点。 (1)当a=1时， ①求抛物线的对称轴： ②若x+x=5,且x<5,直接写出y和y2的大小关系： (2)记△4BM的面积为S,若对于任意1≤x≤4，都有S≤2，求a的取值范围， 27.在△ABC中，AD为△ABC的角平分线， (I)如图，AB>AC.求证：AB-AC>BD-DC; (2)若∠BAC=45°，点E是直线BC上的动点(E不与B,C重合)，满足∠DAE=90°， AB+AC=CE,请根据题意画出示意图，并求出∠ACB的度数， 数学试卷第7页（共8页） 28.在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C,给出如下定义：若以点O,A,B,C四个点 为顶点的四边形是平行四边形，则称点C为线段AB的“平行四边形关联点”. 已知点0(0,0)，A(1,0) (1)如图，点B(0,),在点R(包1)，B(-1,1),(-1,-1),P(L,-1)中，线段AB的“平行四 边形关联点”是 (2)点B在直线y=√3x+1上.若y轴上存在线段AB的“平行四边形关联点”，直接写出此 时点B的坐标： (3)点B在直线y=a+1(k21)上。已知MN平行于x轴且到x轴距离为2，线段MN=1(点 M在点N的左侧)，对于线段MW上任意一点S,总存在点B,使得点S是线段AB的“平 行四边形关联点”.直接写出点M的横坐标m的取值范围. 22 B 14 -2 数学试卷第8页（共8页） 2026-2027学年度第一学期初三年级数学练习1参考答案 一、选择题（共16分，每题2分） 题 号 1 2 5 6 1 8 答 案 B A D B A D C 二、填空题（共16分，每题2分） 9.x≠0： 10.x<1: 11.120°： 12.y=2(x-1+3: 13.3: 14.2- 2 15.①②④（错选不得分，少选给1分）： 16.(1)19100:(2)水泵→电梯→道闸→门禁（此题每问1分，共2分）. 三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题5分，第24-26题，每题6分， 第27-28题，每题7分) 17.解：原式=1+5-25-1 …4分 =-万 5分 18.解：xX2-6x=-1. …1分 x2-6x+9=-1+9. (x-3)2=8 …3分 x-3=+2√2 x=3±2√2. x=3+22,x=3-2N2. …5分 19.(1) …3分(x轴交点1分，y轴交点1分，整体1分) 9 (2)-4y4 5分（不等号与端点值捆绑，对1个得1分) 20.(1)证明：，△=(3m+1}2-4m2m+1) …分 =m2+2m+1 =(m+1)2≥0. .方程总有两个实数根， ………2分 (2)解：方程可化为(x-[mx-(2m+1门=0， 解得考=山，专2。 …………4分 ,方程两根均为整数， ÷1+2为整数即1为整数。 m .整数m=±1： …5分 又，此方程有两个不等实根， 而当m=-1时，飞=+2=1与5相等，故舍去. m ∴.整数m的值为1. …6分 21.性质一证明：如图，延长BC到D,使CD=BC, ……1分 ∠ACB=90°， A “.AC为线段BD的中垂线， :AB=AD. 又.在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°， .∠B=90°-∠BAC=60°. B ·.△ABD为等边三角形 …4分 .AB=BD. :c=0, &C=4. ………………6分 性质二证明：如图，延长BD到E,使DE=BD, …分 D为AC中点， ∴，四边形ABCE为平行四边形 又，∠ABC=90°， 平行四边形ABCE为矩形.…4分 AC=BE. BD-IBE, 2.BD-TAC. …6分 22.1)解：：一次函数y=c+b的图象-1,1)和(1,5)， 「-k+b=1, k+b=5. 「k=2, 解得6=3 .k的值为2，b的值为3： ……3分 (2)2≤m≤3. 5分 23.(1)75,10: 2分 (2)小乐： …3分 (3)不同意，反例为：乙班决赛成绩为3,3,6,6,8,99,10,10,10，此时平均分为7.4低于甲班. 5分 24.(1)证明：点E是AC的中点，EF=DE, ,四边形ADCF为平行四边形， ………1分 点D,E分别是AB,AC的中点， .DE为△ABC的中位线 ∴DE∥BC. .∠DEA=∠ACB=90°. .AC⊥DF .平行四边形ADCF为菱形. …2分 (2)解：在菱形ADCF中，AC为线段DF的中垂线，而点P在线段AC上运动， .DP=FP. ∴：DP+BP=FP+BP≥FB,当点P在线段FB上时取到等号， ∴：DP+BP的最小值为FB的长，且此时点P为FB与AC的交点，如图所示. …3分 ,在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=8, BC=14B=4」 :点D是AB的中点， ÷0=4B=4 又：在菱形ADCF中，AD∥CF,AD=CF, ∴.CF=4,∠ACF=∠BAC=30° 过点F作FG⊥BC交BC的延长线于G, ∴.∠G=∠ACB=90°. .AC∥GF .在Rt△CGF中，∠CFG=∠CF=30°， CG=CF=2,GF=CR2-CG=23 又，在Rt△BGF中，BG=BC+CG=4+2=6, BF=BG2-GF2=43. DP+BP的最小值为4V5, …6分 25.(1)画图如下： 5/(g/m) 32 24 20 16 12 0 510152025303570 ………分 (2)①18(18或19都得分)：②610： …3分 (3)①18（此空需与(2）①一致才得分)：②196. 5分 26.1)①解：当a=1时，y=x2-4x+3可化为y=(x-2-1. ∴.抛物线的对称轴为直线x=2. …………分 ②y<y: …2分 (2)解：令y=0,得ar2-4r+3a=0. a≠0，x2-4x+3=0.解得：x=1,x2=3. .点A,B两点坐标为(1,0)，(3,0)： ……3分 .AB=2 又M(x,片)在抛物线上， .乃=ax2-4ax+3a. ：s=3ABl=2x22-4s+3刘--4+ 令z=x2-4x+3,z为关于x的二次函数。 当1≤x≤4时，函数值z的取值范围是-1≤z≤3. .当1≤x≤4时，x2-4x+3到的最大值为3即S的最大值为3 由题意，对于任意1≤x≤4，都有S≤2， 只需S的最大值不超过2即可，即3a≤2. …5分 又a≠0， 号s号a0 2 …6分 27.(1)证明：在AB上截AP=AC,连接DP. ,AD为△ABC的角平分线， .∠BAD=∠CAD. 又AD=AD, ∴.△APD≌△ACD(SAS) :DC=DP. ,在△BPD中，BD-DP<BP :BD-DC<BP. 又BP=AB-AP=AB-AC, AB-AC>BD-DC. …………2分 5 (2)解：①当AB>AC时，图1为示意图 延长BA到F,使AF=AC,连接EF. ,∠DAE=90°， .∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°. 又，AD为△ABC的角平分线， .∠1=∠2. ∴.∠3=∠4. 又：AE=AE, B D ∴.△AFE≌△ACE(SAS). 图1 ∴.CE=EF. CE=AB+AC=AB+AF=BF, ..EF=BF. ·∠B=∠FEB=180°-∠E_180°-∠4CE.∠4CB 2 2 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠ACB=180°且∠BAC=45°， ·4CB+45+∠ACB=180°，解得∠4CB=90°. 5分 2 ②当AB<AC时，图2为示意图， 延长CA到H,使AH=AB,连接EH 同理可得△AHE2△ABE(SAS). 、∠H=∠5 .CE=AB+AC=AH+AC=CH, 5入 ÷∠H=∠HBc=l180°-∠ACB=∠5 B D 2 图2 在△ABC中，∠5=∠BAC+∠ACB且∠B4C=45°， ·180P-ACB=450+∠ACB,解得∠4CB=30°. ③当AB=AC时，不符合题意， 综上所述，∠4ACB的度数为90°或30°， ……7分 28(1)R,,P: ……2分（错选不得分，少选给1分） (2)(（,1+,（,1-月： …4分 (3)若MN在x轴上方，1<m≤3：若MN在x轴下方，-4≤m<0.…7分 6