2.2.2平方根与立方根 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦平方根概念、性质及表示方法，通过回顾算术平方根概念，结合“平方等于9的数有哪些”等思考问题，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生抽象出平方根定义及与算术平方根的区别。 其亮点在于运用对比表格清晰呈现平方根与算术平方根的异同，通过归纳总结系统梳理性质和运算公式，融入数学文化情境题（如华蘅芳译《代数学》问题）。这培养了学生的抽象能力、推理意识和应用意识，帮助学生深化概念理解，教师可借助结构化资源提升教学效率。

2.2 平方根与立方根 第2课时 平方根 1.了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根； 2.了解平方根与算术平方根的区别； 3.了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根. 1.什么叫算术平方根？ 2.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？ 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x叫作 a 的算术平方根，记作 . 而且a也是非负数. 加、减、乘、除、乘方五种运算. 其中，加与减互逆，乘与除互逆. 乘方有没有逆运算呢？ (1)3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗？ 思考 －3的平方也是9. (2) 平方等于的数有几个？平方等于 0.64 的数呢？ 平方等于 的数有两个，分别是 和 － ； 若一个负数的平方等于a，则这个负数应该称作a的什么呢？ 平方等于0.64的数有两个，分别是 0.8 和 －0.8 . 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫作a 的平方根(也叫作二次方根). 归纳总结 例如：(±3)2 =9， 3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根.　 32 = ( ) ( －3 )2 = ( ) ( )2 = ( ) ( )2 = ( ) 02 = ( ) 9 9 0 ( )2 = 9 ( )2 = ( )2 = 0 ±3 0 尝试·思考 一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？ 平方根的性质： 一个正数有 2 个平方根；0 有 1 个平方根；因为任意实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根. 归纳总结 一个正数有两个平方根：一个是a的算术平方根，另一个是－.并且它们互为相反数.这两个平方根合起来可以记作： 归纳总结 ± （a是非负数） →根号 →被开方数 读作：正、负根号a 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数. 平方与开平方的关系 +1 －1 +2 －2 +3 －3 平方 1 4 9 +1 －1 +2 －2 +3 －3 1 4 9 开平方 平方与开平方为互逆运算！ 探究 尝试·思考 平方根与算术平方根有哪些相同点和不同点？ 平方根 算术平方根 不 同 点 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根(也叫做二次方根) 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根 个数 一个正数有两个平方根，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为± 非负数a的算术平方根表示为 结果 正数的平方根是一正一负，互为相反数 正数的算术平方根一定是正数 相 同 点 具有包含关系 平方根包含了算术平方根，一个正数的算术平方根是它的平方根中正的那个 存在条件相同 被开方数为非负数，0的平方根与算数平方根都是0 例1 求下列各数的平方根： (1) 64 ； (2)； (3) 0.0004； (4)(－25)2； (5) 11. 解：(1) 因为(±8)2=64，所以 64 的平方根为±8，即±=±8； (2) 因为(±)2=，所以的平方根为±，即±=±； (3) 因为(±0.02 )2=0.0004 ，所以 0.0004 的平方根为±0.02， 即±=±0.02； 例1 求下列各数的平方根： (4) 因为(±25 )2=(－25 )2，所以(－25 )2的平方根为 ±25， 即±=±25； (5) 11 的平方根是±. (1) 64 ； (2)； (3) 0.0004； (4)(－25)2； (5) 11. 例2 求下列各式的值： (1) ；(2)－；(3) ； (4) . 解：(1) = =15； (2) － = － = －； (3) = 8； (4) = 0； 归纳总结 当a≥0时， =a； 当a＜0时， =－a. 绝对值的性质： 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0. 思考 与|a|有什么关系呢？ 由例2可得：当a≥0时，=a； 当a＜0时，=－a. 符号表示 ∣a∣= ​ = ​ －a 归纳总结 = (a＜0). (a≥0)； = | a | a 例3 求下列各式的值： (1) ² (2) ² (3)² =3 =0 =1.5 归纳总结 ²= a (a≥0) 拓展 区别 与 运算顺序 取值范围 运算结果 先开方，后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a |a| 不一定相等，只有当 a≥0 时，它们才相等；当 a＜0 时， 没有意义. 之间有什么关系？一定相等吗？ 与 1.(2023 广安)的平方根是 . 2.下列说中正确的有__________． ①－3是(－9)²的算术平方根； ②|－16|的平方根是±4； ③－7是49的平方根； ④的平方根是±9. ±2 ②③ (2)＝ ； 3.填空： 6 (6)＝ . (5)＝ ； (4)＝ ； (3)－＝ ； (1)＝ ； －0.7 5 3 8 4.已知未知数x=(a+1)(a－1)+a2－1并且x只有一个平方根，求a的值. 解：x=(a+1)(a－1)+a2－1=a2－1+a2－1 =2a2－2， 因为x只有一个平方根； 所以x=0； 所以x=2a2－2=0； 解得a=±1； 所以a的值为1或－1. 5.(数学文化情境)中国清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．请解决下面问题： 已知一个正数的平方根是a+3和2a－6， (1)求这个正数； 解：由题意，得a+3+2a－6=0， 解得a=1； 所以a+3=4， 所以这个正数是16. 5.(数学文化情境)中国清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．请解决下面问题： 已知一个正数的平方根是a+3和2a－6， (2)求的算术平方根； 解：当a=1时， ===4， 因为 =2， 所以的算术平方根是2. 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫作a 的平方根(也叫作二次方根).非负数a的平方根表示为±； 正数的平方根是一正一负，互为相反数. 1.求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数. 平方根 开平方及 相关运算 概念 性质 = (a≥0)； (a＜0). 2. = | a | a －a $