专题03 相似三角形与实际问题的九类热考问题（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以“建模定形+比例定值”为主线，系统整合相似三角形九类实际应用问题，构建“情境-模型-解法”三阶突破体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1|实际问题→抽象相似→判定→比例→方程|以相似三角形性质为核心，统一各类场景解题流程| |九类题型|每类3-5变式|影子测高（平行光线）、平面镜测高（反射定律）等|从基础测量到跨学科应用（光学/古典文化），难度梯度递进| |压轴挑战|9题|多情境综合建模、动态问题分析|融合几何直观与逻辑推理，提升复杂问题解决能力|

专题03 相似三角形与实际问题的九类热考问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用影子测物体高度 1 类型二、利用平面镜测物高 3 类型三、利用标杆测物高 14 类型四、测量不可达河宽距离 24 类型五、古典文化中的测量 30 类型六、光学成像中的测量 34 类型七、利用相似求盲区范围 42 类型八、裁剪问题 49 类型九、实物抽象出相似问题 54 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形与实际问题的九类热考问题是初中几何 "学以致用" 的核心模块，考查把现实情境抽象为相似模型的能力。所有题型本质上都是同一流程：实际问题 → 抽象相似三角形 → 判定相似 → 对应边成比例 → 列方程求未知量。解题贯穿两条主线：一是建模定形—— 把影子、镜子、标杆、光线等情境转化为 A 型、X 型或子母型基本图形；二是比例定值—— 用对应边成比例建立方程求解，最终结果均需符合实际意义（高度、距离为正）。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用影子测物体高度 典例精讲1（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住．已知小亮的身高，此时，他的影子的长，他距水塔的底部E处，水塔的顶部为点D．根据以上数据，你能算出水塔的高度是多少吗？ 【答案】水塔的高度是 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意得，进而得，可得，最后，代入相关数据计算即可． 【详解】解：能算出水塔的高度，；理由如下： 如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， 解得：， ∴水塔的高度是． 题型归纳 1.特征：同一时刻有太阳光照射，物体与其影子构成相似三角形，已知其中一物的高度与影长，求另一物高度（或影长） 2.方法：利用 "同一时刻太阳光线互相平行"，物高与影长对应成比例，构造 A 型相似列比例式：物高₁: 影长₁ = 物高₂: 影长₂，解方程求未知量。 3.易错提醒：物体必须同时刻、同地测量（光线平行前提才成立）；高度与影长的对应关系不可颠倒；单位需先统一。 变式训练1（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ 【答案】(1)路灯的高度为9.6米 (2)的长是米 【分析】本题考查相似三角形的应用、列代数式，属于中档题． （1）由证△△，用相似比求高度； （2）由证△△，代入求长度． 【详解】（1）解：由题意，可知，米，米，米， ，， ， ，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为9.6米； （2）解：， 米， 米，米， 米，米， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； 变式训练2（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图所示，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，已知小明的身高为2，，（点，，在同一直线上），请你帮小明求出楼高． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，交于点，根据题意可得：，，，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，交于点， 由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴楼高为． 变式训练3（22-23九年级下·广东广州·期末）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部，当她向前再步行到Q点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是，两路灯的高度都是． (1)当时，求x的值； (2)当小华在路灯A与路灯B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变化？若不变，求出两个影子长的和；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不发生变化，两个影子长的和是 【分析】（1）证明，利用对应边对应成比例列式计算即可； （2）根据题意作出图形，找出其中的相似三角形，根据三角形的相似比即可求出影子的长度和． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：； （2）解：不会发生变化； 如图，当小华在A，B之间走动时，在A路灯下的影子长度为，在B路灯下的影子长度为， ∵， ∴， ∴， ∴，， 则，，整理得：，， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴，解得：， ∴两个影子的长的和不会变，一直都是． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法． 变式训练4（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）测量路灯高度，人在路灯下的影长等 活动目标 测量路灯高度，人在路灯下的影长等 工具 皮尺、标杆 活动一：测量路灯的高度． 如图1，标杆垂直于地面，在路灯光源B照射下在地面产生影子，测量． 活动二：测量某同学的影长． 如图2，身高的同学站在离路灯远的地方，即，在路灯光源B照射下在地面产生影子． 活动三：有趣的发现． 如图，标杆垂直于地面，在相邻路灯光源B与照射下在地面产生影子与，若路灯，通过测量猜想发现了一个有趣的结论： 根据上面数学活动记录，回答下面问题： (1)根据活动一测得的数据计算路灯的高度； (2)根据活动二测得的数据计算同学的影长； (3)请证明活动三猜想的结论：． 【答案】(1) (2) (3) 证明：同（1）可得，和， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）首先证明，再根据即可求出的长； （2）同（1）证明，再设，根据列方程求解即可； （3）分别证明和，再根据相似比证明即可． 【详解】（1）标杆垂直于地面， ， ，且， ， ， ， ， ，解得． （2）由（1）可得，， ，，且， ， 设，则， ，， 则由得， 即，解得， ． （3）略 类型二、利用平面镜测物高 典例精讲2（25-26九年级上·全国·期末）天府艺术公园美术馆门口的《行走的人》雕像别具一格，为了测量雕像高度，点为雕像顶端，地面上点在点正下方．小明同学采取了如下方法：在地面上点处水平放置一面平面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人退到点处，恰好看到点在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中，，三点在同一条直线上．小明的眼睛点距离地面的高度的长约为米，和的长分别为米和米，求雕像的高度（即的长）．（说明：图中，，） 【答案】雕像的高度为米． 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证明，再结合条件求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴，即， ∴雕像的高度为米． 题型归纳 1.特征：在人与目标物之间放置平面镜（或水面），人通过镜面看到物顶，已知人到镜距离、物到镜距离及人眼高度，求物高。 2.方法：由光的反射定律 "入射角 = 反射角" 得到两直角三角形两角对应相等（AA），判定相似，由对应边成比例列方程求物高。 3.易错提醒：人眼高度不可漏加；两三角形直角顶点对应（镜面点、人脚、物底在同一水平线上）；反射定律构造的等角位置要画准。 变式训练1（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）为了测量主席台旗杆顶端到地面高度，某数学小组将《海岛算经》介绍的方法进行优化，设计了一种新的测量方式：如图，在地面上平放两面镜子，并分别在镜子上做一个标记，（点，，在一条直线上），测得，间的距离为．小明从向后退至，看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，再从向后退至，看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合． (1)在计算过程中，数学小组推导得到，请证明； (2)已知小明的身高为，请求出主席台旗杆顶端到地面高度的长． 【答案】(1) 证明：由题意，均为小明的身高，故，，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； (2)的长为10米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，，列出比例式，结合，即可得证； （2）根据，求出的长，再根据，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）知：，， 由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：的长为10米． 变式训练2（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，跨学科物理学知识，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案； （2）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示：   ，， ， ， ， ，，， ，解得； （2）如图所示：   ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ． 变式训练3（21-22九年级上·河南平顶山·期中）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 【答案】 解：设． ∵， ∴， ， ∵， ∴， 解得． 把代入 中，得 解得， ∴树的高度为． 【分析】本题是对相似三角形的综合考查，熟练掌握相似三角形判定及相似比是解决本题的关键． 设，先证，得到，再证，得到，从而求出x的值即可． 【详解】略 类型三、利用标杆测物高 典例精讲3（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）项目学习： 在综合与实践活动中，某学习小组计划测量便民广场上照明路灯的高度，他们设计了如下方案，测量示意图如图： 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点处，此时测得标杆在地面上的影子长； 步骤2：将标杆沿着的方向移动到点处，此时测得标杆在地面上的影子长， (1)若测得标杆移动的距离，求路灯的高度； (2)把条件“将标杆沿着的方向移动到点处”改为“将标杆沿着的方向移动到点处”，其他条件不变，利用（1）的结果，请直接写出的长（不用说理）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判定和，从而利用相似三角形的性质列出等量关系，进而解方程就可求出答案． （2）判定，从而利用相似三角形的性质列出等量关系，进而解方程就可求出答案． 本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的性质解方程是解题关键． 【详解】（1）解：由题可知，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 联立两式可知，， 故路灯的高度为． （2）解： 由题可得图，由题可知，，，， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ． 故的长为． 题型归纳 1.特征：竖立标杆与目测者配合，人眼、标杆顶端、目标物顶端三点共线，已知标杆高、人眼高及相关水平距离，求目标物高。 2.方法：构造大三角形与由人眼 / 标杆组成的小三角形相似（两角对应相等），由对应边成比例求出目标物高出人眼的部分，再加人眼高度得物高。 3.易错提醒：最终物高 = 相似求出的部分 + 人眼高度，勿漏加；三点共线是判定的前提，作示意图时须标清人眼、标杆、物顶的共线关系。 变式训练1（24-25九年级上·河南平顶山·期中）为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法． (1)如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________； (3)如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 【答案】(1) (2) (3)旗杆的高度为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行投影以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形判定和性质是解题的关键． （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得答案； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可； （3）过作于，交于，先求出，再证，利用相似三角形的性质得，即可得出． 【详解】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶； （2）解：如图 ， 由反射定律可知， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 则旗杆高度为米， 故答案为：； （3）如图：过作于，交于， 则，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 答：旗杆的高度为． 变式训练2（24-25九年级上·福建泉州·期中）某市科研考察队为了求出某海岛上的山峰的高度，如图，在同一海平面的处和处分别树立标杆和，标杆的高都是米，两处相隔80米，从标杆向后退11米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆向后退13米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离？注：图中各点都在一个平面内． 【答案】山峰的高度为米，它和标杆的水平距离为440米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据垂直的定义得到，利用相似三角形的判定得到和，根据相似三角形的性质分别得到，，再联立解方程即可得到结论． 【详解】解：由题意得：，，， ， 又，， ，， ，， ，， 解得：米，米， 答：山峰的高度为米，它和标杆的水平距离为440米． 变式训练3（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 变式训练4（24-25九年级上·山西运城·期中）研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案． 测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长． 【答案】米 【分析】易证得，于是可得，即，又可证得，于是可得，即，进而可得，解方程即可求得的长，因而可得，据此即可求出的长． 【详解】解：根据题意可得：， 又， ， ， ， ， 根据题意可得：， 又， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， ， 纪念碑的高的长为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，相似三角形的判定与性质，线段的和与差，解分式方程，等式的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 变式训练5（25-26九年级上·山东济南·期中）坐落于济南市商河县的许商雕像历史悠久．某中学数学小组的同学想测量许商雕像的高度，如图，小组同学在点D处竖立了高为的标杆，发现地面上的点G、标杆顶端C和许商雕像顶端A在一条直线上；然后，小组同学甲站在F处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在E处时，恰好看到标杆顶端C和许商雕底端B在一条直线上．同学甲的眼睛到地面的距离，，．已知，，，点B、D、G、F在一条水平线上，图中所有点均在同一平面内，请你求出许商雕像的高度． 【答案】许商雕像的高度为16.6米 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得，则有，然后可得，同理可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 答：许商雕像的高度为16.6米． 类型四、测量不可达河宽距离 典例精讲4（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）某数学兴趣小组的同学想用所学的知识测量一小河某一处的河宽，测量时，他们选择河对岸边的一棵树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点竖起标杆，再在的延长线上选择点，竖起标杆，使得点、、在同一条直线上，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽． 【答案】河宽的长是米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由，，得，进而得出，所以，构建方程即可解决问题． 【详解】解： ，， ， ， ， 即， （米）． 答：河宽的长是米． 题型归纳 1.特征：河对岸目标不可到达，在河岸一侧可测的长度与角度条件下，求河宽或不可达距离。 2.方法：在可及一侧选观测点构造相似三角形（A 型或 X 型），利用可测的岸边线段与相似比，反推不可达的河宽；必要时设未知数列方程。 3.易错提醒：相似三角形的对应边要分清 "可测" 与 "待求"，不可把不可达边直接当已知；构造时保证所测角度与距离确实可实际测量。 变式训练1（25-26九年级上·浙江杭州·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1) 证明： ，， ． (2)河宽为60米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用． （1）由，可得结论． （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， 由题意知，，，， 即， ， 答：河宽为60米． 变式训练2（2023·陕西西安·模拟预测）如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是米 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，，，证明，则，可求，则，（米），证明，则，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴河宽是米． 变式训练3（24-25九年级上·重庆·阶段检测）如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽． 【答案】河宽为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过点A作于点M，交于点N，易证可得，由意义可得，代入可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点A作于点M，交于点N， ∵， ∴， ， ∴ ∵， ∴，解得：， ∴． 答：河宽为． 变式训练4（24-25九年级上·湖南郴州·期中）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______米． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】(1) (2)30 (3) 解：可行，理由如下： 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行． 【分析】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想． （1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答； （2）由题意得为等腰三角形，即可解答； （3）由题意得，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C恰好在点A东南方向， ∴为等腰直角三角形， ∴要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ， ∴， ∴米， 故答案为：30米； （3）略 类型五、古典文化中的测量 典例精讲5（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图，尺，尺，问井深是多少？请解答上述问题． 【答案】尺 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．设井深是尺，则尺，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：设井深是尺， ∵尺， ∴尺， 由题意可知，， ∴， ∴， ∵尺，尺， ∴， 解得， 答：井深是尺． 题型归纳 1.特征：以古代数学典籍（如《海岛算经》等）或文言情境为载体，描述测量物高、水深、距离等问题，要求求解。 2.方法：先把文言条件逐句 "翻译" 成现代几何语言，圈出已知量（标杆、影长、距离、人眼高）与待求量，画出示意图，再构造相似三角形列比例求解。 3.易错提醒：文言中的单位（步、尺、丈）须换算统一，并注意古今单位进制不同；翻译时易漏关键条件，务必把每句话对应的线段标注在图上。 变式训练1（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小明利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小明的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，据题意可得，，，可证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，， 又∵， ， ． ，， ， ， ． 答：树高为． 变式训练2（21-22九年级上·北京大兴·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）． 【答案】步 【分析】本题只需要证出，利用相似三角形的性质可以得到：，然后可以求出CK的值，得出答案． 【详解】解：由题意可知：，AH＝15 ∵H为GD的中点，K为DE的中点 DH＝100，DK＝100 ∵AH∥DK ∴∠CDK＝∠A 而∠CKD＝∠AHD ∴ ∴ 即， ∴ 答：出南门步恰好看到位于A处的树木． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：本题需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边成比例求出物体的高度． 变式训练3（2023·四川成都·一模）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．某班数学兴趣小组利用《海岛算经》中第一个问题的方法进行如下测量：如图，要测量一栋建筑物的高度，立两根高3米的标杆和，两杆之间的距离米，D，B，H成一线，从B处退5米到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A，C，F三点成一线；从D处退6米到G，从G观察A点，A，E，G三点也成一线．请你帮助小组同学，试计算该建筑物的高度及的长． 【答案】该建筑物的高度为60米，长为95米 【分析】根据题意得出，，进而利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：由题意，得：，． ∴． ∴． ∴． 同理，， ∴． 又∵米， ∴． ∵米，米，米， ∴． ∴． ∴， 解得：． ∴， 解得：． 答：该建筑物的高度为60米，长为95米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出，是解题关键． 类型六、光学成像中的测量 典例精讲6（24-25九年级上·上海徐汇·期中）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 【答案】蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键； 根据题意可得，，，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，这证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答； 【详解】解：，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为； 题型归纳 1.特征：小孔成像（或透镜成像）情境中，物、小孔、像共线，已知物距、像距、像高（或物高），求物高（或像高）。 2.方法：由光沿直线传播，物与像构成 X 型（对顶角）相似，利用对应边成比例：物高：像高 = 物距：像距，列方程求解。 3.易错提醒：物距、像距与物高、像高的对应关系不可颠倒；明确像的倒立方向不影响比例计算，但作图时勿标错顶点。 变式训练1（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像在光屏上且像距为，蜡烛火焰成倒立的像的高度为，则：                  (1)点燃的蜡烛的火焰高度是多少？ (2)若将蜡烛沿着正对小孔的方向靠近小孔移动，光屏位置保持不变，则此时火焰星倒立的像的高度为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用； （1）设火焰高度是，根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解； （2）设火焰星倒立的像的高度为，根据题意列出比例式，即可求解． 【详解】（1）解：设火焰高度是，根据题意可得，， ∴ ∴，即 解得：， 答：点燃的蜡烛的火焰高度是； （2）解：设火焰星倒立的像的高度为， 同理可得 ∴，即 解得：． 答：火焰星倒立的像的高度为． 变式训练2（23-24九年级上·福建泉州·期中）爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其中原理，如；物距、像距和焦距之间是否存在一定的联系?为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、正立或倒立、实像或虚像?能不能求出具体放大（或缩小）了几倍?……于是乎他作了多次研究推理． (1)小明先取物距，然后画出光路图（如图1），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．请根据光路图1，解答下列问题： ①当时，物体经凸透镜折射后成__________（填“倒立”或“正立”），__________（填“放大”或“缩小”）的____________（填“实像”或“虚像”）． ②利用相似的知识，直接写出当时物体成像时放大了__________倍； (2)小明在研究的过程中发现了物距、像距和焦距之间在成实像时存在着关系：，请以物距时为例，请仿照（1）②的方法，在图2中画光路图证明这个关系式． 【答案】(1)①倒立，放大，实像；②2倍 (2) 由光路图可得：，，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的跨学科应用，解题的关键是： （1）①根据图像直接回答；②根据图像得到，，可得，，得到，，等量代换可得，整理得：，继而得到，可得结果； （2）由光路图得到，，，，，同（1）②可得，则，代入数据得到，变形整理可得结果． 【详解】（1）解：①当时，物体经凸透镜折射后成倒立，放大的实像； ②由图可知：，， ∴，， ∴，， 即，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即物体成像时放大了2倍； （2）略 变式训练3（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 变式训练4（23-24九年级上·广西南宁·期中）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．（1）探究1  检测距离为5米时，①猜想n与b满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）； ②直接写出n与b的函数关系式为______；③求视力值1.2所对应行的“”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角．视力值n与分辨视角（分）的对应关系近似满足．（2）探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的Ⅰ号“”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“”测得的视力相同． （3）探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长． 【答案】（1）①反比例；②；；（2）（3） 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． （1）①由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系； ②由待定系数法可得，将代入得：； （2）由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； （3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】（1）①由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系； ②设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； （2）， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； （3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的， 由相似三角形性质得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 类型七、利用相似求盲区范围 典例精讲7（24-25九年级上·安徽安庆·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质．首先过点作于点，交于点，根据、的关系和的长度求出的长度，再根据四边形是矩形可知，从而可得，利用相似三角形对应边成比例可以求出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：汽车盲区的长度为． 题型归纳 1.特征：视线被障碍物遮挡，形成盲区，已知观察点、障碍物高度与距离，求盲区长度或安全范围。 2.方法：由视线（射线）与障碍物顶点构造相似三角形，利用对应边成比例求盲区边界点位置，进而求盲区范围；常结合 "梯形减三角形" 的面积思想。 3.易错提醒：两条视线线（上边界与下边界）要分别构造相似，不可混用；盲区范围是长度差，勿直接取单边距离；注意视线与地面的垂直 / 水平关系。 变式训练1（24-25八年级下·山东潍坊·期末）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不能； 如图所示，过点M作交AF于点N， 所以，，， ∵，， ∴， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以驾驶员不能观察到物体． 【分析】本题考查相似三角形的应用、 （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点M作交AF于点N，证明，根据相似三角形的性质求得，进而与实际高度比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，，，，， 所以，， 所以， 所以，又， 所以， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， 所以， 所以； （2）略 变式训练2（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 变式训练3（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：图略 ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． 类型八、裁剪问题 典例精讲8（23-24九年级上·山西长治·期中）如图，一张底边长为、底边上的高为的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（    ）    A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质．设剪得正方形纸条是第张，根据相似三角形的性质，得到，从而求出的值，即可得到答案．掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 【详解】解：字母标注如图， 由题意可知，，，， 设剪得正方形纸条是第张， ， ， ， ， 解得：， 即剪得正方形纸条是第张， 故选：C．    题型归纳 1.特征：在三角形（或矩形）材料上裁剪出内接图形（多为矩形、正方形），要求内接图形面积最大或尺寸最大。 2.方法：利用内接图形顶点在三角形边上，由相似表示内接图形的边长（高随位置变化），建立面积关于位置的二次函数，求顶点处最大值；先定自变量范围再求最值。 3.易错提醒：内接图形的边长与三角形高的相似比例要列对；自变量（位置）取值范围受材料形状限制，忽略范围会取到几何上不存在的 "最大值"。 变式训练1（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点E、F分别在、上，则这个正方形板材的边长为（   ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 证明，利用相似三角形的对应高的比等于相似比列方程求解即可． 【详解】 四边形是正方形， ，，， ， 四边形是矩形， ， ，， ，， ， 设正方形的边长为，则， ， 解得， 正方形板材的边长为． 故选A． 变式训练2（24-25九年级上·福建漳州·期中）小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 _____立方分米． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方体的体积公式，理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形是解题的关键．先对图形的部分顶点命名，如图，由裁剪的方式可得和是等腰直角三角形，得出，利用相似三角形的性质得到，结合正方形的边长求出的长，进而得到正方体礼品盒的棱长，再利用正方体的体积公式即可解答． 【详解】解：如图，在正方形中，（分米）， 由此裁剪可得，和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即（分米）， （分米）， 正方体礼品盒的棱长为2分米， 礼品盒的体积为（立方分米）． 故答案为：8． 变式训练3（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 【答案】任务一：小华：设正方形的边长为x， 由题意得： ，得： 小明：由题意得： ∵ ，得． ∵ ，得： ∵   ． 任务二：矩形的各边长为，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质， 任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可； 任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可； 【详解】解：任务一：略； 任务二：由题意得： 设：，， 同理： ，得 ∵ ，得： ． 矩形的边长为：；． 类型九、实物抽象出相似问题 典例精讲9（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 题型归纳 1.特征：以地图、图纸、照片、模型、放大镜等实物为背景，实物与原型相似，已知相似比（比例尺），求实际尺寸或图上尺寸。 2.方法：确定相似比（比例尺 = 图上距离：实际距离），按对应边成比例换算长度；求面积时用相似比 ² 换算，注意统一单位。 3.易错提醒：比例尺是长度比，面积换算是长度比的平方，勿混用；图上距离与实际距离单位需统一（如 cm 与 km）；"放大 / 缩小" 的方向（相似比大于或小于 1）要判断准确。 变式训练1（24-25八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】[测高]雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． [测高]如图②，延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； [应用]延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则， ，求得， ，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：[测高]如图②，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴（负值舍去）， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 变式训练2（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【答案】[发现]不会发生改变，；[探索] 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． [发现]证明，根据相似三角形的性质即可得出，进而可得出答案． [探索]根据题意画出图形，然后延长交与点L，交于点K，得出，由相似三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：[发现]∵与关于对称，，且，分别与相交于点M，N． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当观测点P在上自由移动时，的长度是不会发生改变，且． [探索]根据题意画图，然后延长交与点L，交于点K， 则， 同上可知：， 可知， ∴ 即， 解得： 即井口到水面距离AC的长． 变式训练3（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【答案】(1)①； ②方法一：如图，作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； 方法二：如图，设小明头顶为，当他走到上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为，连接，作，垂足为H， 由题意得，，， ∴， ∴， 同理，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质； （1）①如图，由题意得，，，中，，，中，，即可求解； ②作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，，则，得到，再由垂直得到，推出，即，是定值，是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，由题意得，，则，，再由，得到，得到，则由是定值，得到是定值，即位置固定不变，由半径为，即，得到，确定点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，据此求解即可． 【详解】（1）解：①如图，由题意得， 当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为时，即， ∴中，，， ∴中，， ∴影子顶端（点B）到步道的距离（）为， 故答案为：； ②略 （2）解：如图，设小明头顶为E，连接，过作交延长线于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是定值， ∴是定值，即位置固定不变， ∵半径为，即， ∴， ∴点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， ∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为c． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二、三， 选方案一，灯柱高12米 根据题意可得，， ， ， ． 根据题意可得，， ∴， ， ， ， 解得， 米． 即灯柱高12米． 【分析】由相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行；方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行；选方案一，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可． 【详解】略 2．（2026·浙江·模拟预测）小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A处，其眼睛所在位置为点C，；小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，．此时C，D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米． (1)求小军到平面镜的距离． (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求的长． (3)在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． 【答案】(1)小军到平面镜的距离为2米 (2)米 (3)的长不会改变．理由如下： 无论的长如何变化都有， 只要小军的立足点不变，与的高之比就不变，即始终成立， 为定值，都等于0.72米． 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解； （3）根据相似三角形的性质与判定进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 即， 米， 小军到平面镜的距离为2米． （2）解：由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高， ， ， ， 即， 米． （3）略 3．（2026·海南儋州·二模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 【答案】(1)45； (2)该上天台的高度为． 【分析】（1）过点F作于点H，推出是等腰直角三角形，求得，证明，列出比例式，即可求解； （2）证明四边形是矩形，求得，，设，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ∴，解得， ∴， 答：该上天台的高度为． 4．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线，通过在直线上选点观测，发现当他位于点时，他的视线从点通过露台点正好落在遮阳篷点处；当他位于点时，视线从点通过点正好落在遮阳篷点处，这样观测到的两个点、间的距离即为遮阳篷的宽．已知，点在上，、、、均垂直于，，露台的宽，测得米，米，米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽是多少米？（结果精确到米） 【答案】遮阳篷的宽是米 【分析】延长交于，则米，米，米，先证明，则根据相似三角形的性质得，再证明，则利用相似比得到，然后利用比例性质求即可． 【详解】解：延长交于，如图， 则米，米，米， ∵， ， ， ， ∵， ， ，即， 解得（米）． ∴遮阳篷的宽是米． 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． (1)求这个正方形零件的边长； (2)如图2，把它加工成矩形零件，当时，求矩形的周长． 【答案】(1)正方形零件的边长为； (2)矩形的周长为． 【分析】本题主要考查矩形和正方形的性质、三角形相似的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可证，由相似三角形的性质可得，设，然后代入比例式求解即可； （2）设，则，利用矩形的性质可得得，即，可求得，最后根据矩形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ，， ； ， 设， ， ， 正方形零件的边长为； （2）解：∵， ∴设，则， 四边形是矩形， ，，即， ，， ， ， ∴，解得：， ∴，则， ∴矩形的周长是． 6．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，河的南北两岸有一段为平行直线，北岸每隔4米有一棵树，为了测量河的宽度，在南岸l上取一点P，从南岸一侧离l垂直距离为10米的点A处朝P点看去，视线延长后恰好看到北岸的树C，沿与l平行的直线前进4米至点B，再次朝P点看去，视线延长后恰好看到北岸的树D，树C与树D之间还有1棵树，求河的宽度． 【答案】河的宽度为20米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 过点P作l的垂线，与的延长线交于点F，与的延长线交于点E，证明，，得出对应边成比例，然后进行求解即可． 【详解】解：过点P作l的垂线，与的延长线交于点F，与的延长线交于点E， ∵南岸与北岸相互平行， ∴，， ∴，， ∴， 由题意得米，米，米， ∴， 解得， ∴河的宽度为20米． 7．（25-26九年级上·山西晋中·期末）项目学习 项目主题：自制视力表 项目背景：通常标准对数视力表的测试距离是．为了保护好眼睛，同学们想依据自己卧室的大小，自制合适的视力表，定期测试视力，预防近视． 驱动问题：如何设计并制作符合自己卧室大小的视力表？ 项目实施： (1)观察与测量 标准对数视力表中每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．小华任选了一张测试距离为的标准对数视力表中的个视力值，测得对应行“E”的边长，通过表格记录如下： ①猜想与满足________函数关系（填：“一次”或“反比例”）； ②直接写出与的函数关系式________； (2)计算与设计 小华用硬纸板复制了标准对数视力表中不同行的两个“E”，分别编号为①②，并如图摆放，从右侧点看去，点，，恰好在一条直线上．发现此时，，，之间满足一定的关系，从而可以根据不同的测试距离设计相应大小的“E”，制作符合需求的视力表． 已知测试距离为的标准对数视力表中，视力对应的“E”高为．小华卧室的测试距离为，请你帮她计算自制的视力表中视力对应的“E”高应为多少？ 【答案】(1)反比例， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数、相似三角形的判定与性质． (1)由表中的数据可知，所以与满足反比例关系，用待定系数法求出反比例函数的解析式； (2)根据可知，利用相似三角形的性质可知，求出，即为自制的视力表中视力对应的“E”高． 【详解】（1）解：由表中数据可知， 与满足反比例关系， 设， 把代入， 可得：， 解得：， 与的函数关系式是； 故答案为：反比例，； （2）解：， ， ， ，，， ， 解得：， 自制的视力表中视力对应的“E”高为． 8．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）为了增强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．欢欢通过学习，决定使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），根据平面镜成像原理作出了如图所示光路图，视力表（）的上下边A、B反射发出的光线经平面镜（）反射后射入人眼C处，是关于平面镜所成的像． (1)根据平面镜成像原理：为了达到测试距离的要求，欢欢应站在距离平面镜________m的C处； (2)如果视力表（）的长为，请计算图示中平面镜（）的长度． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据平行线证三角形相似． （1）由题意可知：平面镜与之间的距离为3米，达到测试距离的要求，即可得答案； （2）先证，结合相似三角形对应边上的高的比等于相似比，可得，计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知：平面镜与之间的距离为3米，达到测试距离的要求， 所以C到的距离为（米）； （2）解：如下图，过点C作，垂足为D，并延长交于E， ， ， ， 又，，， ， ， 平面镜长为． 9．（25-26九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习． 【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行． 【初始实验数据】已知，，． 【直观感知】（1）证明：； 【初步探究】（2）求的高度； 【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？ 【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）如图，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）当减小、增大时，的高度变大； （4） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可； （3）根据相似三角形的性质，求出此时的长，进行判断即可； （4）求出时，的长，结合（3）中结论，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）∵，，，， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴； ∵， ∴当减小、增大时，的高度变大； （4）当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 由（3）可知：当减小、增大时，的高度变大， ∴当时，， 又∵烛焰与小孔的距离一般要求不小于， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形与实际问题的九类热考问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用影子测物体高度 1 类型二、利用平面镜测物高 2 类型三、利用标杆测物高 6 类型四、测量不可达河宽距离 10 类型五、古典文化中的测量 12 类型六、光学成像中的测量 14 类型七、利用相似求盲区范围 17 类型八、裁剪问题 19 类型九、实物抽象出相似问题 22 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形与实际问题的九类热考问题是初中几何 "学以致用" 的核心模块，考查把现实情境抽象为相似模型的能力。所有题型本质上都是同一流程：实际问题 → 抽象相似三角形 → 判定相似 → 对应边成比例 → 列方程求未知量。解题贯穿两条主线：一是建模定形—— 把影子、镜子、标杆、光线等情境转化为 A 型、X 型或子母型基本图形；二是比例定值—— 用对应边成比例建立方程求解，最终结果均需符合实际意义（高度、距离为正）。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用影子测物体高度 典例精讲1（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住．已知小亮的身高，此时，他的影子的长，他距水塔的底部E处，水塔的顶部为点D．根据以上数据，你能算出水塔的高度是多少吗？ 题型归纳 1.特征：同一时刻有太阳光照射，物体与其影子构成相似三角形，已知其中一物的高度与影长，求另一物高度（或影长） 2.方法：利用 "同一时刻太阳光线互相平行"，物高与影长对应成比例，构造 A 型相似列比例式：物高₁: 影长₁ = 物高₂: 影长₂，解方程求未知量。 3.易错提醒：物体必须同时刻、同地测量（光线平行前提才成立）；高度与影长的对应关系不可颠倒；单位需先统一。 变式训练1（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ 变式训练2（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图所示，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，已知小明的身高为2，，（点，，在同一直线上），请你帮小明求出楼高． 变式训练3（22-23九年级下·广东广州·期末）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部，当她向前再步行到Q点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是，两路灯的高度都是． (1)当时，求x的值； (2)当小华在路灯A与路灯B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变化？若不变，求出两个影子长的和；若发生变化，请说明理由． 变式训练4（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）测量路灯高度，人在路灯下的影长等 活动目标 测量路灯高度，人在路灯下的影长等 工具 皮尺、标杆 活动一：测量路灯的高度． 如图1，标杆垂直于地面，在路灯光源B照射下在地面产生影子，测量． 活动二：测量某同学的影长． 如图2，身高的同学站在离路灯远的地方，即，在路灯光源B照射下在地面产生影子． 活动三：有趣的发现． 如图，标杆垂直于地面，在相邻路灯光源B与照射下在地面产生影子与，若路灯，通过测量猜想发现了一个有趣的结论： 根据上面数学活动记录，回答下面问题： (1)根据活动一测得的数据计算路灯的高度； (2)根据活动二测得的数据计算同学的影长； (3)请证明活动三猜想的结论：． 类型二、利用平面镜测物高 典例精讲2（25-26九年级上·全国·期末）天府艺术公园美术馆门口的《行走的人》雕像别具一格，为了测量雕像高度，点为雕像顶端，地面上点在点正下方．小明同学采取了如下方法：在地面上点处水平放置一面平面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人退到点处，恰好看到点在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中，，三点在同一条直线上．小明的眼睛点距离地面的高度的长约为米，和的长分别为米和米，求雕像的高度（即的长）．（说明：图中，，） 题型归纳 1.特征：在人与目标物之间放置平面镜（或水面），人通过镜面看到物顶，已知人到镜距离、物到镜距离及人眼高度，求物高。 2.方法：由光的反射定律 "入射角 = 反射角" 得到两直角三角形两角对应相等（AA），判定相似，由对应边成比例列方程求物高。 3.易错提醒：人眼高度不可漏加；两三角形直角顶点对应（镜面点、人脚、物底在同一水平线上）；反射定律构造的等角位置要画准。 变式训练1（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）为了测量主席台旗杆顶端到地面高度，某数学小组将《海岛算经》介绍的方法进行优化，设计了一种新的测量方式：如图，在地面上平放两面镜子，并分别在镜子上做一个标记，（点，，在一条直线上），测得，间的距离为．小明从向后退至，看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，再从向后退至，看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合． (1)在计算过程中，数学小组推导得到，请证明； (2)已知小明的身高为，请求出主席台旗杆顶端到地面高度的长． 变式训练2（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 变式训练3（21-22九年级上·河南平顶山·期中）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 类型三、利用标杆测物高 典例精讲3（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）项目学习： 在综合与实践活动中，某学习小组计划测量便民广场上照明路灯的高度，他们设计了如下方案，测量示意图如图： 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点处，此时测得标杆在地面上的影子长； 步骤2：将标杆沿着的方向移动到点处，此时测得标杆在地面上的影子长， (1)若测得标杆移动的距离，求路灯的高度； (2)把条件“将标杆沿着的方向移动到点处”改为“将标杆沿着的方向移动到点处”，其他条件不变，利用（1）的结果，请直接写出的长（不用说理）． 题型归纳 1.特征：竖立标杆与目测者配合，人眼、标杆顶端、目标物顶端三点共线，已知标杆高、人眼高及相关水平距离，求目标物高。 2.方法：构造大三角形与由人眼 / 标杆组成的小三角形相似（两角对应相等），由对应边成比例求出目标物高出人眼的部分，再加人眼高度得物高。 3.易错提醒：最终物高 = 相似求出的部分 + 人眼高度，勿漏加；三点共线是判定的前提，作示意图时须标清人眼、标杆、物顶的共线关系。 变式训练1（24-25九年级上·河南平顶山·期中）为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法． (1)如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________； (3)如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 变式训练2（24-25九年级上·福建泉州·期中）某市科研考察队为了求出某海岛上的山峰的高度，如图，在同一海平面的处和处分别树立标杆和，标杆的高都是米，两处相隔80米，从标杆向后退11米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆向后退13米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离？注：图中各点都在一个平面内． 变式训练3（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 变式训练4（24-25九年级上·山西运城·期中）研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案． 测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长． 变式训练5（25-26九年级上·山东济南·期中）坐落于济南市商河县的许商雕像历史悠久．某中学数学小组的同学想测量许商雕像的高度，如图，小组同学在点D处竖立了高为的标杆，发现地面上的点G、标杆顶端C和许商雕像顶端A在一条直线上；然后，小组同学甲站在F处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在E处时，恰好看到标杆顶端C和许商雕底端B在一条直线上．同学甲的眼睛到地面的距离，，．已知，，，点B、D、G、F在一条水平线上，图中所有点均在同一平面内，请你求出许商雕像的高度． 类型四、测量不可达河宽距离 典例精讲4（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）某数学兴趣小组的同学想用所学的知识测量一小河某一处的河宽，测量时，他们选择河对岸边的一棵树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点竖起标杆，再在的延长线上选择点，竖起标杆，使得点、、在同一条直线上，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽． 题型归纳 1.特征：河对岸目标不可到达，在河岸一侧可测的长度与角度条件下，求河宽或不可达距离。 2.方法：在可及一侧选观测点构造相似三角形（A 型或 X 型），利用可测的岸边线段与相似比，反推不可达的河宽；必要时设未知数列方程。 3.易错提醒：相似三角形的对应边要分清 "可测" 与 "待求"，不可把不可达边直接当已知；构造时保证所测角度与距离确实可实际测量。 变式训练1（25-26九年级上·浙江杭州·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 变式训练2（2023·陕西西安·模拟预测）如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 变式训练3（24-25九年级上·重庆·阶段检测）如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽． 变式训练4（24-25九年级上·湖南郴州·期中）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______米． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 类型五、古典文化中的测量 典例精讲5（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图，尺，尺，问井深是多少？请解答上述问题． 题型归纳 1.特征：以古代数学典籍（如《海岛算经》等）或文言情境为载体，描述测量物高、水深、距离等问题，要求求解。 2.方法：先把文言条件逐句 "翻译" 成现代几何语言，圈出已知量（标杆、影长、距离、人眼高）与待求量，画出示意图，再构造相似三角形列比例求解。 3.易错提醒：文言中的单位（步、尺、丈）须换算统一，并注意古今单位进制不同；翻译时易漏关键条件，务必把每句话对应的线段标注在图上。 变式训练1（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小明利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小明的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 变式训练2（21-22九年级上·北京大兴·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）． 变式训练3（2023·四川成都·一模）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．某班数学兴趣小组利用《海岛算经》中第一个问题的方法进行如下测量：如图，要测量一栋建筑物的高度，立两根高3米的标杆和，两杆之间的距离米，D，B，H成一线，从B处退5米到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A，C，F三点成一线；从D处退6米到G，从G观察A点，A，E，G三点也成一线．请你帮助小组同学，试计算该建筑物的高度及的长． 类型六、光学成像中的测量 典例精讲6（24-25九年级上·上海徐汇·期中）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 题型归纳 1.特征：小孔成像（或透镜成像）情境中，物、小孔、像共线，已知物距、像距、像高（或物高），求物高（或像高）。 2.方法：由光沿直线传播，物与像构成 X 型（对顶角）相似，利用对应边成比例：物高：像高 = 物距：像距，列方程求解。 3.易错提醒：物距、像距与物高、像高的对应关系不可颠倒；明确像的倒立方向不影响比例计算，但作图时勿标错顶点。 变式训练1（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像在光屏上且像距为，蜡烛火焰成倒立的像的高度为，则：                  (1)点燃的蜡烛的火焰高度是多少？ (2)若将蜡烛沿着正对小孔的方向靠近小孔移动，光屏位置保持不变，则此时火焰星倒立的像的高度为多少？ 变式训练2（23-24九年级上·福建泉州·期中）爱动脑筋的小明在学了相似三角形后，他回顾了八年级物理课中学过的凸透镜成像规律，想弄明白其中原理，如；物距、像距和焦距之间是否存在一定的联系?为什么所成的像有时候会出现放大或缩小、正立或倒立、实像或虚像?能不能求出具体放大（或缩小）了几倍?……于是乎他作了多次研究推理． (1)小明先取物距，然后画出光路图（如图1），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．请根据光路图1，解答下列问题： ①当时，物体经凸透镜折射后成__________（填“倒立”或“正立”），__________（填“放大”或“缩小”）的____________（填“实像”或“虚像”）． ②利用相似的知识，直接写出当时物体成像时放大了__________倍； (2)小明在研究的过程中发现了物距、像距和焦距之间在成实像时存在着关系：，请以物距时为例，请仿照（1）②的方法，在图2中画光路图证明这个关系式． 变式训练3（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 变式训练4（23-24九年级上·广西南宁·期中）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．（1）探究1  检测距离为5米时，①猜想n与b满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）； ②直接写出n与b的函数关系式为______；③求视力值1.2所对应行的“”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角．视力值n与分辨视角（分）的对应关系近似满足．（2）探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的Ⅰ号“”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“”测得的视力相同． （3）探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长． 类型七、利用相似求盲区范围 典例精讲7（24-25九年级上·安徽安庆·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 题型归纳 1.特征：视线被障碍物遮挡，形成盲区，已知观察点、障碍物高度与距离，求盲区长度或安全范围。 2.方法：由视线（射线）与障碍物顶点构造相似三角形，利用对应边成比例求盲区边界点位置，进而求盲区范围；常结合 "梯形减三角形" 的面积思想。 3.易错提醒：两条视线线（上边界与下边界）要分别构造相似，不可混用；盲区范围是长度差，勿直接取单边距离；注意视线与地面的垂直 / 水平关系。 变式训练1（24-25八年级下·山东潍坊·期末）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 变式训练2（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 变式训练3（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 类型八、裁剪问题 典例精讲8（23-24九年级上·山西长治·期中）如图，一张底边长为、底边上的高为的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（    ）    A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 题型归纳 1.特征：在三角形（或矩形）材料上裁剪出内接图形（多为矩形、正方形），要求内接图形面积最大或尺寸最大。 2.方法：利用内接图形顶点在三角形边上，由相似表示内接图形的边长（高随位置变化），建立面积关于位置的二次函数，求顶点处最大值；先定自变量范围再求最值。 3.易错提醒：内接图形的边长与三角形高的相似比例要列对；自变量（位置）取值范围受材料形状限制，忽略范围会取到几何上不存在的 "最大值"。 变式训练1（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点E、F分别在、上，则这个正方形板材的边长为（   ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 变式训练2（24-25九年级上·福建漳州·期中）小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 _____立方分米． 变式训练3（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 类型九、实物抽象出相似问题 典例精讲9（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 题型归纳 1.特征：以地图、图纸、照片、模型、放大镜等实物为背景，实物与原型相似，已知相似比（比例尺），求实际尺寸或图上尺寸。 2.方法：确定相似比（比例尺 = 图上距离：实际距离），按对应边成比例换算长度；求面积时用相似比 ² 换算，注意统一单位。 3.易错提醒：比例尺是长度比，面积换算是长度比的平方，勿混用；图上距离与实际距离单位需统一（如 cm 与 km）；"放大 / 缩小" 的方向（相似比大于或小于 1）要判断准确。 变式训练1（24-25八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 变式训练2（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 变式训练3（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 2．（2026·浙江·模拟预测）小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A处，其眼睛所在位置为点C，；小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，．此时C，D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米． (1)求小军到平面镜的距离． (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求的长． (3)在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． 3．（2026·海南儋州·二模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 4．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线，通过在直线上选点观测，发现当他位于点时，他的视线从点通过露台点正好落在遮阳篷点处；当他位于点时，视线从点通过点正好落在遮阳篷点处，这样观测到的两个点、间的距离即为遮阳篷的宽．已知，点在上，、、、均垂直于，，露台的宽，测得米，米，米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽是多少米？（结果精确到米） 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． (1)求这个正方形零件的边长； (2)如图2，把它加工成矩形零件，当时，求矩形的周长． 6．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，河的南北两岸有一段为平行直线，北岸每隔4米有一棵树，为了测量河的宽度，在南岸l上取一点P，从南岸一侧离l垂直距离为10米的点A处朝P点看去，视线延长后恰好看到北岸的树C，沿与l平行的直线前进4米至点B，再次朝P点看去，视线延长后恰好看到北岸的树D，树C与树D之间还有1棵树，求河的宽度． 7．（25-26九年级上·山西晋中·期末）项目学习 项目主题：自制视力表 项目背景：通常标准对数视力表的测试距离是．为了保护好眼睛，同学们想依据自己卧室的大小，自制合适的视力表，定期测试视力，预防近视． 驱动问题：如何设计并制作符合自己卧室大小的视力表？ 项目实施： (1)观察与测量 标准对数视力表中每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．小华任选了一张测试距离为的标准对数视力表中的个视力值，测得对应行“E”的边长，通过表格记录如下： ①猜想与满足________函数关系（填：“一次”或“反比例”）； ②直接写出与的函数关系式________； (2)计算与设计 小华用硬纸板复制了标准对数视力表中不同行的两个“E”，分别编号为①②，并如图摆放，从右侧点看去，点，，恰好在一条直线上．发现此时，，，之间满足一定的关系，从而可以根据不同的测试距离设计相应大小的“E”，制作符合需求的视力表． 已知测试距离为的标准对数视力表中，视力对应的“E”高为．小华卧室的测试距离为，请你帮她计算自制的视力表中视力对应的“E”高应为多少？ 8．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）为了增强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．欢欢通过学习，决定使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），根据平面镜成像原理作出了如图所示光路图，视力表（）的上下边A、B反射发出的光线经平面镜（）反射后射入人眼C处，是关于平面镜所成的像． (1)根据平面镜成像原理：为了达到测试距离的要求，欢欢应站在距离平面镜________m的C处； (2)如果视力表（）的长为，请计算图示中平面镜（）的长度． 9．（25-26九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习． 【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行． 【初始实验数据】已知，，． 【直观感知】（1）证明：； 【初步探究】（2）求的高度； 【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？ 【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $