25.1-25.2 同步作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程同步练，新授课适用，通过基础-能力-拓展三层设计，实现从概念辨析到综合应用的知识巩固，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|概念定义、基本解法（直接开平方法、配方法等）|以选择、填空为主，结合期末真题，强化基础运算能力| |能力提升|根的判别式、综合解法应用|含易错考法分析，通过变式题培养推理意识，衔接阶段测评| |拓展延伸|实际问题、创新题型（新定义、跨知识综合）|结合生活情境，如菱形边长计算，发展应用意识与创新思维|

第25章一元二次方程 作业1 一元二次方程的概念 基础过关 1.(2025·苏州期末)下列方程中，是一元二次方程的是 ( ) A. B. C. D. 2.(2025·启东模拟)已知x=1是关于x的一元二次方程 的一个根，则k的值为( ) A.-5 B.-7 C.5 D.7 3.已知a是方程 的一个根，则代数式 的值为 . 4.把下列关于x的一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项. (1)(x-5)(2x-1)=3; 能力提升 5.(2025·姜堰区期末)若( 是关于x的一元二次方程，则a的值为 ( ) A.±2 B.2 C.-2 D.0 6.(2025·扬州期末)若关于x的方程( 满足a-b+c=0,称此方程为“贺岁”方程.已知方程 是“贺岁”方程，则 的值为 ( ) A.-2024 B.2024 C.-2025 D.2025 7.(2025·海淀区期末)已知 ,求(m+2)(m-2)-2m(3-m)的值. 拓展延伸 8.已知实数m，x满足 (1)若 则 (2)若m，x₁，x₂为正整数，求出符合条件的所有有序实数对(x₁，x₂). 易错知识点：一元二次方程的定义及一般形式；一元二次方程的解(根) 易 错 考法：一元二次方程的定义；二次项系数不为0；求字母系数的值；求代数式的值 第二十五章 一元二次方程 作业2 解一元二次方程——配方法(一) 基础过关 1.(2025·深圳模拟)下列方程不能用直接开平方法求解的是 ( ) 2.已知甲方程为 乙方程为 关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是( ) A.甲有两个相异的解，乙无解 B.甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C.甲有两个相同的解，乙无解 D.甲有两个相同的解，乙有两个相异的解 3.(2025·密云区期末)方程 的解是 . 4.(2025·连云港期末)若关于x的方程( 没有实数根，则k的取值范围是 . 5.用直接开平方法解下列方程： 6.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容. 解方程： 解： ⋯① ∴x-1=2,⋯② ∴x=3.⋯③ 上述过程中有没有错误?若有，错在步骤 (填序号)，原因是 .请写出正确的解答过程. 能力提升 7.(2025·雨花区期末)关于x的一元二次方程( 的两个根x₁，x₂满足 且 则m的值为 ( ) A.-3 B.3 C.6 D.9 8.(2025·临淄区期中)关于x的方程( 下列说法正确的是 ( ) A.有两个解 B.当n≥0时,有两个解 C.当n≤0时,有两个解 D.当n≤0时，方程无实数根 9.(2025·嘉兴期末)已知关于x的方程( (a,m,k均为常数,且a≠0)的两个解是 则方程 的解是 ( ) A. B. C. D. 10.若关于x的方程( 有实数根，则k的值可以是 .(写出一个即可) 11.如果 那么 的值为 . 12.用直接开平方法解下列方程： 13.若关于x的一元二次方程 的两个根分别是m-4与3m-8，求b/a的值. 拓展延伸 14.对于实数p,q,我们用符号 min{p,q}表示 p,q两数中较小的数,如 min{1,2}=1, min{- 若 求x的值. 易错知识点：解一元二次方程————直接开平方法；一元二次方程的解 易 错 考 法：直接开平方法的条件；字母的取值范围；求代数式的值 作业3 解一元二次方程——配方法(二) 基础过关 1.(2025·东城区期末)用配方法解方程 变形后结果正确的是 ( ) 2.(2025·句容期末)若一元二次方程 经过配方，变形为( 的形式，则n的值为( ) A.0 B.3 C.6 D.9 3.用配方法使下列等式成立： 4.填空: (1)x²+4x+( )=(x+ )²; (3)x²- x+( )=(x- )²; 5.对方程 进行配方，得 其中m= . 6.当k= 时,代数式 为完全平方式. 7.用配方法解下列方程： 能力提升 8.(2025·牟平区期末)把一元二次方程 化成 的形式，则 的值为( ) 9.若△ABC的三边长分别为a,b,c,其中a,b满足 则c的取值范围为 10.若方程 的两个根分别为 则方程 0的两个根分别为 . 11.解下列关于x的方程： (3)(x-1)(x-3)=7; 12.用配方法证明： 的值恒小于零； 的值恒大于零. 13.(2025·江北区期末)下面是小明同学解一元二次方程 的过程，请认真阅读并完成相应任务. 解：二次项系数化为1，得 ……第一步 配方，得 ……第二步 ……第三步 ……第四步 由此可得 ……第五步 解得 第六步 任务一：填空： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是 ，依据的数学公式是 ； ②第 步开始出现错误，错误的原因是 . 任务二：请你写出该方程的正确求解过程. 拓展延伸 14.(1)已知 求a,b的值; (2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足 求c的值； (3)若 试比较A 与B 的大小，并说明理由. 易错知识点：配方法 易 错 考法：运用配方法解一元二次方程；运用配方法求字母的值；求完全平方式中一次项的系数 作业4 解一元二次方程——公式法(一) 基础过关 1.(2025·怀安期末)用公式法解方程 时，求根公式中的a，b，c的值分别是( ) A.1,2,3 B.1,-2,3 C.1,2,-3 D.1,-2,-3 2.(2025·江都区期末)若 是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是( ) 3.(1)在方程 中,a= ,b= ,b= ,b²-4ac= ,方程的根为 ； (2)在方程x(x-2)=-1中,a= ,b= ,c= ,b²-4ac= ,方程的根为 ； (3)在方程 中,a= ,b= ,c= ,b²-4ac= ,方程的根的情况为 . 4.方程(x+1)(x+2)=1化成一般形式是 , ，用求根公式可求得 5.用公式法解下列方程： (1)(2025·南通期末)) (2)(2025·宜兴期末) (3)(2025·博兴期末) 能力提升 6.解下列方程时，最适合用公式法的是 ( ) 7.小明在解方程 时出现了错误，解答过程如下： ∵a=1,b=-4,c=-2,(第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 小明解答过程开始出错的步骤是 ( ) A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步 8.(2025·临颍模拟)已知a是一元二次方程 的较小的根，则下面对a 的估值正确的是( ) A.-1.5<a<-1 B.2<a<3 C.-4<a<-3 D.4<a<5 9.已知 ，则代数式a/b的值为 . 10.用公式法解下列方程： 11.用公式法解下列方程并求根的近似值.(结果精确到0.01，参考数据： 拓展延伸 13.对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号 max{a，b}表示a，b中的较大值，例如，max{2,5}=5.按照这个规定,若 求x的值. 易错知识点：公式法的正确运用 易 错 考法：求非一般式的方程的系数；运用公式法解非一般式的方程 作业5 解一元二次方程——公式法(二) 基础过关 1.(2025·泗阳县期末)下列一元二次方程中，没有实数根的是 ( ) 2.(2025·北京)若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数a的值为( ) A.-4 B.-1 C.1 D.4 3.(2025·山东)若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 . 4.(2025·广东)不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是 . 5.利用判别式判断下列方程根的情况： 能力提升 6.(2025·广州)关于x的方程 根的情况为 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 7.关于x的方程 有下列两种说法：①若a-b+c=0，则此方程一定有实数根；②若a，c异号，则此方程一定有实数根.下列判断正确的是( ) A.①正确,②错误 B.①错误,②正确 C.①,②都正确 D.①,②都错误 8.已知 则满足等式的b的值可以是 ( ) D.-2 9.(2025·邗江区期末)关于x的一元二次方程 有两个实数根，那么m的取值范围是 . 10.求m取何值时，关于x的一元二次方程( (1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根. 11.(2025·苏州期末)已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值. 拓展延伸 12.新定义定义：若关于x的一元二次方程 满足b=a+c,则称该方程为“和谐方程”. (1)下列属于“和谐方程”的是 ；(填序号) (2)求证：“和谐方程”总有实数根； (3)已知关于x的一元二次方程 为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系. 易错知识点：根的判别式 易 错 考法：判断方程的解的情况；综合运用根的判别式与二次项系数不为0 作业6 解一元二次方程——因式分解法 基础过关 1.(2025·常州模拟)方程 的根是 ( ) 2.(2025·姜堰区期末)一元二次方程(x-1)(x+2)=0的两根是 ( ) 3.若分式 的值为0,则x= . 4.菱形的一条对角线长为8，其边长是方程 的一个根，则该菱形的周长为 . 5.用因式分解法解下列方程： (1)(2025·通州期末) (2)(2025·门头沟区期末) (3)(2025·齐齐哈尔) (4)(2025·燕山区期末)x(x-2)+x-2=0. 能力提升 6.(2025·南平期末)已知一元二次方程的两根是 则这个方程可以是 ( ) A.(x-2)(x+3)=0 B.(x+2)(x+3)=0 C.(x+2)(x-3)=0 D.(x-2)(x-3)=0 7.(2025·濉溪期末)若(a+5b)(a+5b+6)=7,则a+5b= . 8.(2025·福田区期末)已知 则x的值为 . 9.已知y≠0,且 则 xy的值是 . 10.用适当的方法解下列方程： (1)(2025·海门期末)3x(2x+1)=4x+2; (2)(2025·淮北期末)3(x-2)²=x(x-2); (3)(2025·广水月考)( (4)(2025·汶上期末)(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1). 11.(2025·嘉兴模拟)小李与小王两位同学解方程2(x-2)=(x-2)²的过程如下： 小李： 解：两边同除以(x-2)，得 2=x-2, 则x=4. 小王： 解：移项，得 提取公因式,得(x-2)(2-x-2)=0. 则x-2=0或2-x-2=0, 解得 你认为他们的解法是否正确?若不正确，请写出正确的解答过程. 12.阅读理解先阅读例题，再解答问题. 例：解方程 解:当x≥0时, 解得 (不合题意，舍去)， 当x<0时, 解得 (不合题意，舍去)， 综上所述，原方程的解为x=2或x=-2. 仿照上述解法解方程： 拓展延伸 13.阅读材料：为解方程( 我们可以将 视为一个整体，然后设 则原方程可化为 解此方程得 当y=1时, 解得 当y=4时, 解得 所以原方程的根为 以上解方程的过程中，利用换元达到了降次的目的，体现了数学的转化思想. 运用上述方法解下列方程： 易错知识点：运用因式分解法解一元二次方程 易 错考法：运用因式分解法解一元二次方程；运用因式分解法解高次方程 作业7 一元二次方程的根与系数的关系 基础过关 1.(2025·广西)已知x₁,x₂是方程 的两个实数根，则 ( ) A.-25 B.-20 C.20 D.25 2.(2025·乐山)若方程 的两个根是x₁和x₂，则 的值为 ( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.(2025·苏州)已知x₁,x₂是关于x的一元二次方程. 的两个实数根，其中 1,则 4.(2025·启东模拟)设x₁,x₂是方程 的两个根，且 则m= . 5.(2025·眉山)已知方程 的两根分别为x₁,x₂,则( 的值为 . 6.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (3)3x(x-2)=5. 能力提升 7.小影与小冬一起写作业，在解一个一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是—2和—5.则原来的方程是( ) 8.(2025·宝应期末)已知方程 的两根分别为m，n，则 的值为( ) A.-2024 B.-1 C.1 D.2024 9.(2025·通川区二模)若关于x的一元二次方程 的两根为x₁,x₂,且 则p的值为 . 10.(2025·泸州)若一元二次方程 的两根为α，β，则 的值为 . 11.已知菱形的两条对角线的长分别是一元二次方程 的两个根，则该菱形的边长为 . 12.已知方程 的两个根分别为x₁，x₂，不解方程，求下列代数式的值： 13.(2025·盐城期末)关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)若两根x₁,x₂满足 求k的值. 拓展延伸 14.已知关于x的一元二次方程 (p为常数)有两个不相等的实数根. 和 (1)填空: (2)求 的值； (3)已知 求p的值. 作业1 一元二次方程的概念 1. C 2. C 3.-2021 4.解：(1)原方程可化为 其中二次项系数为2，一次项系数为-11，常数项为2. (2)原方程可化为 其中二次项系数为✔\sqrt{2}，一次项系数为： 常数项为3. 5. B 6. C 7.解: ∴原式 8.(1)18 (2)解:当m,x₁,x₂为正整数时, 均为整数， 而4=1×4=2×2=4×1, 或 或 或 或 当 时,若m=1,则 若m=3,则 故(x₁,x₂)为(3,6)或(1,2). 当 时,若m=1,则 若m=2,则 若：m=4,则 故(x₁,x₂)为(4,4),(2,2)或(1,1). 当 时,若m=1,则 若m=3,则 故(x₁,x₂)为(6,3)或(2,1). 综上所述，符合条件的所有有序实数对为(3，6)，(1，2)，(4,4),(2,2),(1,1),(6,3),(2,1). 作业2 解一元二次方程——配方法(一) 1. C 2. A 3 4. k<0 5.解:( 6.②正数的平方根有两个，它们互为相反数 解： 7. C 8. B 9. B 10.2(k≥2 即可,答案不唯一) 11.8 12.解:( ∴2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2, ∴2x-1=3-x或2x-1=-3+x, 13.解: ∴方程的两个根互为相反数， ∴m-4+3m-8=0,解得m=3, ∴一元二次方程( 的两个根分别是1与-1， 14.解:当( 即x>时,(x-1)²=1,x-1=1或x-1=-1,解得x=2或x=0(舍去);当 即x≤时,x²=1,解得x=-1或x=1(舍去). 综上所述，x的值是-1或2. 作业3 解一元二次方程——配方法(二) 1. A 2. C 3.(1)1 - 4 ( 4.(1)4 2 (2)-5 (3); (4); 5. 6.±2 7.解: x-3=±5, 即 8. A 9.1<c<5 11.解: 即 即(x-)²=9, 12.证明: 13.任务一：①配方法 完全平方公式 ②二 等式的右边没有加上 任务二：解：移项，得 二次项系数化为1，得 配方，得 所以 所以 14.解: ∴a+2b=0,b+3=0,解得a=6,b=-3. ∴a-2=0,b-1=0,解得a=2,b=1. ∵a,b,c是△ABC的三边长,∴1<c<3. ∵c是正整数,∴c=2. (3)A>B.理由: ∴A>B. 作业4 解一元二次方程——公式法(一) 1. C 2. D 3.(1)2 3 — 1 17 (2)1 - 2 1 0 (3)1 1 2 - 7 无实数根 5.解:(1)∵a=1,b=-5,c=1, ∴b²-4ac=25-4×1×1=21>0, 则 (3)∵a=3,b=8,c=-4, 即 6. D 7. C 8. A 10.解:(1)原方程化为 (2)原方程化为 (3)原方程化为 11.解: 12.解：由题意，得 整理，得 解得 或 13.解:当x<1时,由: 得 即 解得 (不合题意，舍去)， 当x>1时,由 得 即 解得 (不合题意，舍去)，∴x=-2或 作业5 解一元二次方程——公式法(二) 1. C 2. C 3. m>-4 4.有两个不相等的实数根 5.解:(∴方程有两个不相等的实数根. ∴方程有两个相等的实数根. ∴方程没有实数根. 6. C 7. C 8. B 9. m≤2且m≠1 10.解:( (1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴16m+12>0且2m+1≠0,解得 且 (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴16m+12=0且2m+1≠0,解得 (3)∵方程没有实数根， ∴16m+12<0且2m+1≠0,解得 11.(1)证明:∵m≠0,∴方程0)是关于x的一元二次方程， ,即△≥0, ∴方程总有两个实数根. (2)解: ∵m为正整数，且方程的两个根均为整数， ∴m=1或m=3. 12.(1)①③ (2)证明：∵一元二次方程 为“和谐方程”,∴b=a+c,∴“和谐方程”总有实数根. (3)解:∵“和谐方程’ 有两个相等的实数根，∴由(2)知 ∴a=c. 作业6 解一元二次方程——因式分解法 1. C 2. C 3.6 4.20 5.解: ∴(x+3)(x-1)=0, ∴x+3=0或. (3)整理,得. ∴(x-4)(x-3)=0, ∴x-4=0或x-3=0, (4)x(x-2)+x-2=0,(x-2)(x+1)=0, ∴x-2=0或x+1=0, 6. C 7.1或-7 8.2 9.4或-1 10.解:(1)3x(2x+1)-2(2x+1)=0, (2x+1)(3x-2)=0,∴2x+1=0或3x-2=0, (x-2)[3(x-2)-x]=0, (x-2)(2x-6)=0, ∴x-2=0或2x-6=0, (x-2+1)(x-2-5)=0, (x-1)(x-7)=0, ∴x-1=0或x-7=0, (4)(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1), (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0, (x-1)(3x-1-4x-1)=0, (x-1)(-x-2)=0, ∴x-1=0或-x-2=0, 11.解：他们的解法都不正确. 正确的解答过程如下： 移项，得 提取公因式,得(x-2)[2-(x-2)]=0, (x-2)(4-x)=0, 则x-2=0或4-x=0, 解得 12.解:当x≥3时, 解得 不符合题意，均舍去；当x<3时, ∴(x+3)(x-2)=0,解得 综上所述，原方程的解为x=-3或x=2. 13.解:((1)设 则原方程可化为 解此方程得 当a=2时, 即 因式分解,得(x-2)(x+1)=0,解得 (2)设 则原方程可化为 (y-3)(y+4)=0,解得 当y=3时, 解得 当y=-4时 无实数根. 所以原方程的解是 作业7 一元二次方程的根与系数的关系 1. C 2. C 3.-3 4.-6 5.-2 6.解: (3)原方程可化为 则 7. B 8. B 9.- 10.10 11. 12.解:∵方程 的两个根分别为x₁,x₂, (1)原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式 13.解：(1)∵关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根x₁，x₂， 解得 (2)∵关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根x₁，x₂， 整理，得 ∴(k-1)(k+2)=0,∴k-1=0;或k+2=0, 解得 (舍去). 14.(1)p 1 (2)解: ∵关于x的一元二次方程. (p为常数)有两个不相等的实数根x₁ 和x₂， 即 (3)解: 解得 当p=3时, 当p=-1时, 学科网（北京）股份有限公司 $