学易金卷：高二数学上学期第一次月考02（人教A版，范围：选择性必修第一册第一章～第二章2.3）

**基本信息** 聚焦空间向量与直线方程，通过分层设计考查空间观念、运算能力及推理能力，适配高二学段基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|直线倾斜角（1题）、空间向量共线（3题）|多选第11题折叠问题，融合几何直观与推理能力| |填空题|3题/15分|向量模长（12题）、三线共点（13题）|14题基底与四点共面，考查空间向量基本定理| |解答题|5题/77分|三棱锥点面距离（17题）、直线定点与面积最值（18题）|19题折叠问题，综合空间观念与模型观念，适配高考命题趋势|

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A B C D D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由题意有：，（2分） 所以；（5分） （2）由（1）有，所以， ，（7分） 因为， 所以， 所以.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为，所以，（2分） 所以边上的高所在直线的斜率为，又， 所以边上的高所在直线的方程为， 即；（5分） （2）因为，且点是线段的中点， 所以，即，（8分） 又，所以， 又因为直线经过点且平行于直线，所以， 所以直线的方程为，即．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）证明：中，点，分别是棱，的中点， 所以.（2分） 因为平面，平面， 所以平面.（5分） （2）因为三棱锥中，平面，，所以直线两两垂直. 以点为坐标原点，分别以直线所在直线为轴建立空间直角坐标系.（8分） 因为，，所以. 所以. 所以. 设平面的法向量，则，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 又因为， 所以点到平面的距离为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点；（3分） （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则；（5分） 因为，故，解得；（8分） （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为，（13分） 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）证明：在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面；（3分） （2）由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，（5分） 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为；（8分） （3）设，则，,, 得，， 设平面的一个法向量为， 由于与平面所成角的正切值为， CQ与平面所成角的正弦值为， 即，（13分） 化简得，解得（舍去）， 故存在，使得CQ与平面所成角的正切值为．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) D D O B A- P B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章2.3。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过和两点，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 4．经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 8．如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，则（    ） A． B．与平行 C． D． 10．已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 11．如图 1，长方形中，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图2，满足平面平面，则下列选项正确的是（    ） A． B．与所成角为30° C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，求__________. 13．已知三条直线与相交于一点，则__________. 14．已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知，. (1)求的值； (2)若，求k的值. 16．（15分） 已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程： (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 17．（15分） 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 18．（17分） 已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 19．（17分） 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章2.3。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过和两点，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 4．经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 8．如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，则（    ） A． B．与平行 C． D． 10．已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 11．如图 1，长方形中，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图2，满足平面平面，则下列选项正确的是（    ） A． B．与所成角为30° C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，求__________. 13．已知三条直线与相交于一点，则__________. 14．已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知，. (1)求的值； (2)若，求k的值. 16．（15分） 已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程： (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 17．（15分） 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 18．（17分） 已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 19．（17分） 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章2.3。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过和两点，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 1．【答案】B 【解析】直线的斜率为：. 设直线的倾斜角为 ，则，所以. 故选：B. 2．已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 2．【答案】C 【解析】由题意得， 解得． 故选：C． 3．在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 3．【答案】A 【解析】由题意知，， 因为三点共线，所以， 即，解得. 故选：A. 4．经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 4．【答案】B 【解析】设经过点且与直线平行的直线方程为， 所以，解得， 所以直线方程为. 故选：B. 5．在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．【答案】C 【解析】在平行六面体中，M为AB的中点，， 有， 又，则， 所以． 故选：C. 6．已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．【答案】D 【解析】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D. 7．实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 7．【答案】D 【解析】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和， 令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 故选：D. 8．如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 8．【答案】D 【解析】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因此，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则 ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，解得，，所以法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， ， 因此，. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，则（    ） A． B．与平行 C． D． 9．【答案】AC 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，若，则存在实数，使，则，方程无解，从而与不平行，故B错误； 对于C，,，则，又,均不是零向量，则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 10．已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 10．【答案】ABC 【解析】对于A，由直线，得， 由解得，，即过定点，正确； 对于B，当时，直线，， 则，故，则，正确； 对于C，若，可得，解得或， 又当时，直线，重合，舍去， 当时，直线，，平行， 综上，正确； 对于D，若与的纵截距相等，则， 对于直线，令得， 对于直线，令得， 由，解得，错误； 故选：ABC. 11．如图 1，长方形中，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图2，满足平面平面，则下列选项正确的是（    ） A． B．与所成角为30° C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角为 11．【答案】ACD 【解析】取中点，连接，由，得，则， 而平面平面，平面平面，平面， 因此平面，在平面内过作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，设和所成角为，， 因此，B错误； 对于C，，设平面的法向量，则， 取，得，，点到平面的距离为，C正确； 对于D，令直线与平面所成角为，则，因此，D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，求__________. 12．【答案】 【解析】由题意得，， 所以. 故答案为：. 13．已知三条直线与相交于一点，则__________. 13．【答案】 【解析】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为：. 14．已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则__________. 14．【答案】 【解析】由四点共面可知，存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知，. (1)求的值； (2)若，求k的值. 15．（13分） 【解析】（1）由题意有：， 所以； （2）由（1）有，所以， ， 因为， 所以， 所以. 16．（15分） 已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程： (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 16．（15分） 【解析】（1）因为，所以， 所以边上的高所在直线的斜率为，又， 所以边上的高所在直线的方程为， 即； （2）因为，且点是线段的中点， 所以，即， 又，所以， 又因为直线经过点且平行于直线，所以， 所以直线的方程为，即． 17．（15分） 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 17．（15分） 【解析】（1）证明：中，点，分别是棱，的中点， 所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为三棱锥中，平面，，所以直线两两垂直. 以点为坐标原点，分别以直线所在直线为轴建立空间直角坐标系. 因为，，所以. 所以. 所以. 设平面的法向量，则，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 又因为， 所以点到平面的距离为. 18．（17分） 已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 18．（17分） 【解析】（1）证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 19．（17分） 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 【解析】（1）证明：在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面； （2）由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； （3）设，则，,, 得，， 设平面的一个法向量为， 由于与平面所成角的正切值为， CQ与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，解得（舍去）， 故存在，使得CQ与平面所成角的正切值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $