高二数学上学期第一次月考02（人教A版，范围：选择性必修第一册第一章～第二章，举一反三）

**基本信息** 聚焦人教A版选择性必修第一册向量与立体几何，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查空间观念与运算推理能力，如正方体与内切球动态问题体现数学眼光。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|向量共面、直线截距|基础巩固，如向量垂直求参数| |多项选择|3/18|空间基底、圆与直线|知识辨析，如空间基底判定| |填空|3/15|平行线距离、圆的距离|能力提升，如圆上点到直线距离| |解答|5/77|线面角、二面角|创新应用，如四棱锥存在性问题，综合逻辑推理与数学表达|

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知向量，，且，则实数x的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由空间垂直向量的坐标表示求解即可. 【解答过程】因为向量，，且， 所以，解得：. 故选：B. 2．（5分）（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解题思路】假设，结合平行的性质计算可得，再利用充分条件与必要条件定义即可得解. 【解答过程】若，则，即， 解得或， 当时，，，此时两直线重合，不符合； 当时，，，符合要求； 综上，可得，故“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（5分）（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量共面的性质进行求解即可. 【解答过程】共面， ， ，解得. 故选：C. 4．（5分）（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】由题意分截距为0与截距不为0两种情况求解即得. 【解答过程】当直线经过原点时，此时直线方程可设为， 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. 5．（5分）（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【解题思路】整理直线方程得到直线经过定点，当时，此时点到动直线的距离最大，由两点的距离公式求出最大距离. 【解答过程】直线方程可以整理为， 令，解得，即直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大距离为. 故选：D. 6．（5分）（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【解答过程】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. 7．（5分）（25-26高二上·广东韶关·期末）若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题意对条件合理转化，并作出符合题意的图形，再利用直线和半圆的位置关系求解参数范围即可. 【解答过程】由题意得，直线可化为， 可得直线过定点，将曲线化为， 则曲线表示以原点为圆心，半径为2，且位于轴上方的半圆， 如图所示，当直线过点时， 直线与曲线有两个不同的交点，此时， 当直线过点且与半圆相切于点时， 若直线与曲线只有一个交点，由，解得，即， 若曲线与直线有两个交点，结合图形可得， 则实数的取值范围是. 故选：D. 8．（5分）（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，则与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先以点为原点建立空间直角坐标系，代入线面角的向量公式求最值. 【解答过程】因为平面，且平面， 所以 ，且，，平面， 所以平面， 以为原点，为x轴，AD为y轴，过点A作垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则，，，，， 所以，，设为平面的法向量， 则即取，可得，， 所以为平面的一个法向量. 设，，则， 设与平面所成的角为，则==， 令，则有， 当，即时，，此时 当，由存在，得， 解得，当时，，此时，即的最大值为， 所以与平面所成角的正弦值的最大值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 【答案】BD 【解题思路】根据条件可得向量不共面，即可判断A和C的正误；对B，结合条件，根据空间向量基本定理，即可判断正误；对D，根据条件可得不共面，即可求解. 【解答过程】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，所以B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，假设向量共面，则存在唯一实数，使， 即，所以，无解，所以不共面，故D正确， 故选：BD. 10．（6分）（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A．的坐标为 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【解题思路】把一般式化成标准式可得圆的圆心及半径，可判断A；求出圆心到直线的距离判断B；利用圆的性质及切线性质求出最小值判断CD. 【解答过程】圆的标准方程为， 圆心为，半径，A错误； 对于B，过作直线的垂线，交圆于点，交直线于， 圆心到直线的距离： ，而， 所以圆上只有点满足到直线的距离为2，B正确； 对于，C正确； 对于D，由切线的性质， 得切线长为，D错误. 故选：BC. 11．（6分）（25-26高二上·广东湛江·期末）如图，八面体的每一个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（    ） A．异面直线与所成的角大小为 B．二面角的平面角的余弦值为 C．此八面体的外接球的体积是 D．此八面体的内切球的表面积为 【答案】ACD 【解题思路】连接交于O，以O点为原点建立空间直角坐标系，对于AB，采用空间向量法计算即可；对于C，易知外接球的球心为O，利用球的半径计算即可；对于D，利用体积法计算内切球半径，再结合球体的表面积计算公式即可计算． 【解答过程】连接交于O，连接，由正方形得， 八面体各面是正三角形，根据对称性可知三点共线且平面， 以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ， 对于A，， 设异面直线与所成角为，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，， 设面的一个法向量为，则，也即， 取，则， 设面BEC的一个法向量为，则，也即， 取，则， 所以，又面与面所成的角为钝角， 故二面角的平面角的余弦值为，故B错误； 对于C，由，且由对称性易知外接球球心为O， 则外接球半径为，外接球体积为，故C正确； 对于D，设内切球的半径为， 则八面体的体积为， 又因为八面体体积为， 解得，所以内切球表面积为，故D正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·贵州毕节·期末）平行直线与之间的距离为___________． 【答案】/ 【解题思路】首先将两方程的、前面的系数化成一致，再由距离公式计算可得. 【解答过程】因为直线，即， 所以平行直线与之间的距离. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·河南洛阳·期末）若圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】将圆C的方程化成标准方程，求出圆心到直线l的距离d，由题意可得，即可解得t的取值范围. 【解答过程】圆， 化为标准形式为：， 因为圆上有四个不同的点到直线的距离为2， 所以与直线平行且距离为2的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 设圆心到直线的距离为，圆的半径为3，则必须满足，即， 所以圆心到直线l的距离， 解得. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·上海闵行·期末）在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点，则点到平面的距离是__________. 【答案】/ 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【解答过程】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 又因为，所以点到平面的距离为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【解答过程】（1）由，得； （2）由（1）得，而 ， 因此，所以； （3）由（1）知，， 由，得 ， 所以. 16．（15分）（25-26高二上·四川南充·期末）已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出BC的斜率，从而可求BC边的高的斜率，由此利用点斜式方程能求出BC边的高所在直线的方程． （2）利用中点坐标公式求出，，由此能求出过点M且平行于边的直线方程． 【解答过程】（1）因为，所以， 所以边上的高所在直线的斜率为，又， 所以边上的高所在直线的方程为， 即； （2）因为，且点是线段的中点， 所以，即， 又，所以， 又因为直线经过点且平行于直线，所以， 所以直线的方程为，即． 17．（15分）（25-26高二上·山西运城·期末）如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，的中点为，底面. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【解题思路】（1）由线面垂直的性质定理得到，即可得到平面，从而得到，再说明，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【解答过程】（1）证明：因为平面，又平面，所以， 因为底面为等腰直角三角形，，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，所以侧面为菱形，所以 又，平面，所以平面． （2）取的中点，连接，则，所以面， 以为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以 ， 则，所以，， 由（1）可知平面， 所以平面的一个法向量， 所以， 所以直线与平面所成角正弦值为． 18．（17分）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)或； (2)四边形面积的最小值为， 【解题思路】（1）设出圆心坐标，利用半径相等得到方程，求出，进而确定圆心和半径，得到圆的方程； （2）由对称性可知，四边形的面积，且当最小时，切线长最短，由点到直线距离公式得到的最小值，从而求出最小值，从而求出面积的最小值，并根据垂直关系求出直线方程为，联立求出点的坐标. 【解答过程】（1）圆心C在直线上，不妨设圆心C的坐标为， 则，解得， 故半径为， 故圆C的方程为； 由已知得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或. （2）当时，直线l的方程为， 如图，圆的半径为，即，其中， 由对称性可知，四边形的面积. 由勾股定理得，故当最小时，切线长最短， 显然当时，，所以， 四边形的面积的最小值， 直线的斜率为，由垂直关系可知此时， 又，故直线方程为，即， 联立与得，即.    19．（17分）（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在点， 【解题思路】（1）取的中点，连接，由中位线性质以及线面平行判定定理即可证明出结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，即可求得二面角的余弦值； （3）假设存在点到平面的距离是，设可得，利用点到平面距离的向量求法计算可得，即可求出. 【解答过程】（1）证明：取的中点，连接，如图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （3）假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是,. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷02 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知向量，，且，则实数x的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（5分）（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（5分）（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 4．（5分）（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（5分）（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A．3 B． C． D．5 6．（5分）（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·广东韶关·期末）若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，则与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 10．（6分）（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A．的坐标为 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 11．（6分）（25-26高二上·广东湛江·期末）如图，八面体的每一个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（    ） A．异面直线与所成的角大小为 B．二面角的平面角的余弦值为 C．此八面体的外接球的体积是 D．此八面体的内切球的表面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·贵州毕节·期末）平行直线与之间的距离为___________． 13．（5分）（25-26高二上·河南洛阳·期末）若圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的取值范围是___________． 14．（5分）（25-26高二上·上海闵行·期末）在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点，则点到平面的距离是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 16．（15分）（25-26高二上·四川南充·期末）已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 17．（15分）（25-26高二上·山西运城·期末）如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，的中点为，底面. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 19．（17分）（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $