江西省抚州市2026-2027学年高二上学期开学自编模拟数学卷2（北师大版）

**基本信息** 本试卷聚焦直线与圆核心知识，融入“将军饮马”文化情境及“切比雪夫距离”“倍增点”等创新概念，基础与能力梯度分明，适配开学检测，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|直线斜率、圆方程、位置关系|第7题曲线性质判断，考查几何直观与推理能力| |填空题|3/15|弦长计算、最短路径|第13题“将军饮马”问题，体现数学文化与模型意识| |解答题|5/77|圆的方程、直线与圆综合|第19题“倍增点”概念，检测抽象能力与创新思维|

2026-2027学年江西省抚州市高二数学上学期开学自编模拟卷2 （北师大版2019） 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A． B． C． D．不存在 【答案】D 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 2．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 3．已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以. 4．已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 5．若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 【答案】C 【分析】先由圆的方程得到圆心、半径，结合圆心角，利用等腰三角形求出圆心到直线的距离，再用点到直线距离公式列方程求出即可. 【详解】由题可知，圆心为，半径为， 过圆心作，垂足为，又，则， 所以在中，，则， 即圆心到直线的距离， 解得或. 6．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案. 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 7．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 【答案】D 【分析】对于A，根据两点间距离公式代入整理化简即可；对于B，求出点到圆上点距离的范围，判断即可；对于C，设，利用两点间距离公式得到方程和联立，求得，，无实数解，判断即可；对于D，求出的圆心到直线的距离，即可求出上的点到直线的最小距离. 【详解】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 整理得，即，故A正确； 对于B，点到圆心的距离为， 所以圆上的点到点的距离范围为，因为，故B正确； 对于C，设，由，得，即. 又，联立整理得，此时，无实数解， 故不存在点，使得，C正确； 对于D，的圆心到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故D错误. 8．在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，由题意可得直线的直线方程为，利用向量的线性运算可求得，求得的中点的轨迹方程，进而可得，进而求得的最大值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为三角形为等腰直角三角形，且，所以， 所以直线的直线方程为， 因为，所以，所以， 又，所以，解得. 因为，，所以的轨迹方程为和. 记的中点为，则， 所以， 所以，所以的轨迹方程为. 过分别向直线作垂线，垂足分别为， 则，又因为，所以为直角梯形， 又，为的中点，所以. 则的最大值即为的最大值， 又到直线的距离为， 所以的最大值为，所以的最大值即为. 二、多选题 9．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线平行 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 【答案】BD 【分析】根据截距、方向向量的定义，结合两直线平行与垂直的性质逐一判断即可. 【详解】A：在直线中，令，，所以本选项说法不正确； B：因为，所以直线与直线平行，因此本选项说法正确； C：由，所以直线的一个方向向量为， 而， 所以向量不是直线的一个方向向量，因此本选项说法不正确； D：因为，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确， 故选：BD 10．已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，求出圆心的坐标，即可判断选项； 对于B，将圆C的方程化为，令解方程即可求解； 对于C，由，结合切线性质求出的最小值即可求解； 对于D，根据结合选项C即可求解. 【详解】圆C的方程可化为，， 对于A选项，圆心C的坐标为，则圆心C的轨迹方程为（除去点），所以A选项不正确； 对于B选项，圆C的方程可化为，令， 解得所以圆C过定点，所以B选项正确； 对于C选项，， 当时，，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以，所以C选项正确； 对于D选项，，所以D选项正确. 11．我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做“优美曲线”的顶点．对于“优美曲线”，则（   ） A．曲线有8个顶点 B．曲线上任意两点间的最大距离为 C．曲线围成的图形面积为 D．若点在曲线上，则 【答案】ABD 【分析】先化简原方程，根据方程的性质判断该曲线的形状为四段圆弧组成，再根据图形判断B选项，利用圆的面积公式即可判断C，转化为切线问题即可判断D选项. 【详解】原方程化简得. 当时，曲线方程变为，表示的是圆心为半径为2的在第一象限的部分圆. 当时，曲线方程变为，表示的是圆心为半径为2的在第四象限的部分圆. 当时，曲线方程变为，表示的是圆心为半径为2的在第二象限的部分圆. 当时，曲线方程变为，表示的是圆心为半径为2的在第三象限的部分圆. 所以该曲线的对称轴为轴、轴、直线和直线. 对于A，令，则解得；令，解得； 令，则解得；令，解得. 所以顶点为：共8个，A正确； 对于B，曲线由四个象限的圆弧组成，最远的两个点的距离为 ，B正确； 对于C，第一象限的图形为圆心 、半径 2 的圆在第一象限的部分，其面积为： . 所以曲线围成的图形面积为，C错误； 对于D，将视为曲线上的点到直线的距离再乘以. 因为直线经过第一、三、四象限， 设与直线平行的直线方程为，联立该直线与曲线方程得 ，化简得. 要使得该直线与直线距离最远，则其与曲线的切点位于第二象限，此时. 继续化简得，令判别式为0， 则，解得. 此时两平行直线距离最远，最远距离为， 所以点到直线的距离为，即，D正确. 故选：ABD.    三、填空题 12．直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离为 . 弦长为. 13．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 【答案】 【分析】利用对称思想将折线路程转化为两点间线段长度，求出点关于直线的对称点，再计算该对称点与点的距离即可得到最短总路程. 【详解】设点关于直线的对称点为，根据轴对称的性质可得： ，即，解得，即. 由对称性可知，对直线上任意饮马点，均有，故总路程. 所以当为线段与直线的交点时，总路程取得最小值，最小值为. 由两点间距离公式：. 故最短总路程为. 14．记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先利用几何直观判断取最小值的情形，再结合构造出需要优化的目标函数，最后通过分类讨论得到最小值. 【详解】设点，与点的切比雪夫距离为的点构成了一个以点为中心，边长为的正方形， 要让最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即或， 代入直线方程可得或， 于是有，即的最小值为， 由圆的圆心为且半径为可知圆在第一象限，所以有， 则， 因此需要优化的目标函数为，下面分类讨论， 当且时，， 当且时，， 即当时，当且仅当时取等号， 当时，联立和圆的方程得到，解得， 取较小的一组解进行验算得，符合前提条件； 当时，和不可能同时成立（否则）， 因此必定有，所以， 综上所述，的最小值也即的最小值为. 【点睛】目标函数优化问题一定要注意计算出来的最值能否取得. 四、解答题 15．已知两条直线. (1)若，求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直可得； （2）利用两直线平行可求得，再排除重合的情况即可. 【详解】（1）若，得，解得. （2）由，得，解得， 因为，所以或，此时直线与的纵截距分别为和. 因为当时，，此时两直线重合， 因为当时，，此时， 故. 16．已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 【答案】(1)圆的标准方程. (2)直线的方程为或. 【分析】（1）由圆所过的点结合待定系数法计算求解即可； （2）由圆心到直线距离和弦长公式列等量关系求出直线斜率即可得解. 【详解】（1）设圆M的方程为， 则由题有， 所以圆的方程为， 则圆的标准方程. （2）由题可知点在圆内，圆的圆心为、半径， 当直线l的斜率不存在时，其方程为，圆心到该直线的距离为3， 此时弦长，不合题意， 所以直线的斜率存在，设直线，即， 又，所以圆心到直线距离或. 所以直线的方程为或. 17．已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1) (2)4，． 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论； （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【详解】（1）直线方程为即为， 由，可得，则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 此时直线的方程为 ，即． 18．如图，与相外离，的半径为2，的半径为1，，为连接两圆圆心的线段上的一点，切于点，切于点． (1)若，求的长； (2)试问线段上是否存在一点，使，若存在，问这样的点有几个？并求出的值；如果不存在，说明理由； (3)当点在线段上运动到某处使时，．试问除上述情况外，当点在线段上运动到何处（说明的长是多少）时，与仍相似，并判断此时直线与的位置关系，证明你的结论． 【答案】(1) (2)存在，满足条件的点只有一个，此时 (3)当时，有，此时直线与相切. 证明：当时，,此时， ∴. 又，∴， 如图，为的延长线上一点， 则，∴点在的角平分线上， ∴点到的距离相等, 又为的切线， ∴点到的距离都为1，即直线与相切. 【分析】（1）根据勾股定理及可列出关于的方程，解方程即可； （2）设，确定的范围，用的代数式表示，代入，可求出； （3）由相似三角形的性质和角平分线的性质可得点到的距离相等，再根据切线的判定方法即可解决问题. 【详解】（1）∵分别为，的切线，分别为，的半径， ∴. 由勾股定理可得. 又，∴. 又，是线段上的一点，∴， ∴，解得. （2）存在，假定存在一点，使得， 设，则， 由可得. 即， 代入可得，即， 解得（舍去），， ∴满足条件的点只有一个，此时. （3）略 19．在平面直角坐标系中，对于点A和图形M，若图形M上存在两点P，Q，使得，则称点A是图形M的“倍增点”. (1)若图形M为线段，其中点，点，则下列三个点，，是线段的倍增点的是______； (2)若的半径为2，直线l：，直线l上是否存在的倍增点？如果有，请求出横坐标的取值范围，如果没有，请说明理由. (3)已知点，半径为4的动圆，圆心T是x轴上的动点，若线段GH上存在的倍增点，请直接写出圆心T的横坐标的取值范围. 【答案】(1) (2)有， (3)存在， 【分析】（1）根据“倍增点”的定义逐个验证即可求解； （2）直线l上存在的倍增点,圆心到距离为，根据条件得到，即，即可得到横坐标的取值范围. （3）线段GH上存在的倍增点,线段的方程为： ， ， 所以设，圆心，则点到圆心的距离为 ，根据条件得解得，所以，再结合二次函数求解即可. 【详解】（1）因为到线段的距离是3，而点到线段距离的最大值是， 所以不是线段的倍增点； 因为到线段的距离是2，而点到线段距离的最大值是， 所以在线段上必定存在一点使得, 所以是线段的倍增点； 因为到线段的距离是3，而点到线段距离的最大值是，所以不是线段的倍增点； 故只有是线段的倍增点； （2）直线l上存在的倍增点,设 ，则上存在两点P，Q，使得， 则圆心到距离为； 所以点到圆上最小距离为 ，最大距离为， 所以，， 所以 ，即 即，化简得到， 所以， 所以横坐标的取值范围是 （3）线段GH上存在的倍增点,使得 ； 线段的方程为： ， ， 所以设，圆心 ； 设点到圆心的距离为 ， 则点到上的点的距离范围是. 所以  ， 所以，两边平方化简得到 解得，所以， 因为 ， 令函数，，则存在使得， 则为开口朝上，对称轴为的二次函数. ①当时，时，函数 单调递增，最小值为 ，最大值为 ，需满足，得到 ， 因为，所以 所以； ②当时，函数 在单调递减，在单调递增，最小值为 ，最大值为 ， 最小值成立 最大值也成立，所以 ③当时，时，函数 单调递减，最小值为 ，最大值为，需满足，得到 ， 因为，所以 所以； 综上所述：. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江西省抚州市高二数学上学期开学自编模拟卷2 （适用于：北师大版 选择性必修第一册） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A． B． C． D．不存在 2．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 4．已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 6．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 8．在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线平行 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 10．已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 11．我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做“优美曲线”的顶点．对于“优美曲线”，则（   ） A．曲线有8个顶点 B．曲线上任意两点间的最大距离为 C．曲线围成的图形面积为 D．若点在曲线上，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 13．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为_________． 14．记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知两条直线. (1)若，求； (2)若，求的值. 16．已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 17．已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 18．如图，与相外离，的半径为2，的半径为1，，为连接两圆圆心的线段上的一点，切于点，切于点． (1)若，求的长； (2)试问线段上是否存在一点，使，若存在，问这样的点有几个？并求出的值；如果不存在，说明理由； (3)当点在线段上运动到某处使时，．试问除上述情况外，当点在线段上运动到何处（说明的长是多少）时，与仍相似，并判断此时直线与的位置关系，证明你的结论． 19．在平面直角坐标系中，对于点A和图形M，若图形M上存在两点P，Q，使得，则称点A是图形M的“倍增点”. (1)若图形M为线段，其中点，点，则下列三个点，，是线段的倍增点的是______； (2)若的半径为2，直线l：，直线l上是否存在的倍增点？如果有，请求出横坐标的取值范围，如果没有，请说明理由. (3)已知点，半径为4的动圆，圆心T是x轴上的动点，若线段GH上存在的倍增点，请直接写出圆心T的横坐标的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $