2.5 有理数的乘法与除法（分层作业练题型）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础法则到综合应用再到中考衔接，适配新授课巩固与差异化能力提升，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|单一知识点（乘法/除法法则、运算律）|基础选择/填空/计算，巩固运算能力| |B组能力进阶|综合应用（混合运算、错误分析）|含解题过程辨析，培养推理意识| |C组思维拔高|创新应用（新定义运算、规律探究）|结合新定义情境，发展创新意识| |拓展链接中考|中考衔接（中考真题、综合题型）|对接中考真题，提升应试应用能力|

分层作业 第二章 有理数 2.5 有理数的乘法与除法 目 录 A组 巩固过关 有理数加法法则 1 有理数加法应用 2 有理数减法法则 2 有理数减法应用 3 有理数加减混合运算 3 有理数加法运算律 4 B组 能力进阶 7 C组 思维拔高 7 拓展 链接中考 8 有理数乘法法则题型01 1．（25-26七年级上·山东聊城·期中）两个有理数的积是负数，和却是正数，那么这两个有理数（    ） A．同号，且均为负数 B．异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大 C．同号，且均为正数 D．异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大 2．（25-26七年级上·河南周口·期中）计算所得结果是（   ） A．5 B．6 C． D． 3．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）若的运算结果为负数，则□内的数字可以为（   ） A． B． C．0 D．1 4．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知四个数：3，，，4．任取其中的两个数相乘，所得的积的最大值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·北京·期中）从4，5，，，中任意取两个数相乘，最小的积为_______ 有理数乘法运算律题型02 6．（25-26七年级上·河北沧州·期中）若的值记为，则的值可表示为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·河北保定·期中）下表是嘉淇的解题过程，下列说法正确的是（　　） 第一步 第二步 第三步 A．解题运用了乘法交换律 B．从第一步开始出错 C．从第二步开始出错 D．从第三步开始出错 8．（25-26七年级上·广西桂林·期中）计算 的结果是（   ） A．6 B．8 C． D． 9．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）观察图，它的计算过程可以解释的运算律是（   ） A．乘法分配律 B．加法交换律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 10．（25-26七年级上·浙江金华·期中）学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题． 计算：①；    ②． 下面是文文和园园的计算过程： 文文： ． 园园： ． (1)文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算； (2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程． 有理数除法法则题型03 11．（25-26七年级上·浙江金华·期中）计算得（    ） A． B．1 C． D．25 12．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）若，则表示的数是（   ） A． B． C．4 D． 13．（25-26七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）小明在做除法运算（_____）时，将除法变成乘法时，除数没有变成其倒数，算出结果为，其正确的计算结果为______． 14．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在算式“”的“□”中填入下列运算符号，能使计算的结果最小的是（      ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级上·吉林长春·期中）________． 乘除混合运算题型04 16．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算：结果是（   ） A． B．4 C．1 D．64 17．（25-26七年级上·河南南阳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 19．（25-26七年级上·江西赣州·期中）老师在黑板上写了一道计算题： 计算： 下面是小丽的解答过程： 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)小丽的解答过程从第_______步开始是错误的． (2)请你写出这道题正确的解答过程． 20．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）阅读下面的解题过程并解决问题：计算：． 解：原式…① …② …③ (1)上述的解题步骤从第__________步开始错误； (2)请写出这个计算题正确的解题步骤． 有理数四则混合运算题型05 21．（25-26七年级上·江苏南通·期中）计算 (1) (2) (3) 22．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 23．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）简便计算： (1)； (2) 24．（24-25七年级上·江苏常州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 25．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义一种新运算：，如，则______． 新定义运算问题题型06 26．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）规定运算⊕：，则______． 27．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若，是有理数，定义一种运算“”：， (1)，求的值； (2)定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 28．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”．数对、中，是“相伴有理数对”的是_______； 29．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)求的值； 30．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）规定一种新运算“”对于任意两个有理数和，有，请你根据新运算，解决下列问题： (1)______； (2)我们知道有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，“”运算是否满足交换律？ ①不妨先举个例子，填空______(用“”“”或“”填空)； ②根据①的计算结果，你认为“”运算是否满足交换律即是否成立？并说明理由． 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知a，b是有理数，且，，则a，b两个数的符号情况是（    ） A．同为正 B．同为负 C．一正一负 D．无法确定 2．（25-26七年级上·江苏南京·期中）若计算的结果最小，则“☐”中应填入（   ） A．+ B．- C． D．÷ 3．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）下列式子中，与的结果相同的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·山西临汾·期中）对算式“”进行简便计算，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） 解： ① ② A．①乘法分配律②加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①乘法结合律②加法交换律 D．①乘法交换律②加法结合律 5．（25-26七年级上·江西宜春·期中）某同学在计算时，误将“”看成“”导致算得结果是，则的正确结果是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) 37．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： (1) (2) 38．（25-26七年级上·河南南阳·期中）计算： (1)； (2) 39．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”： 小华的解法： 大白的解法：原式的倒数为       第一步     第二步，     第三步，       第四步， 所以 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中，___________同学的解法正确； (2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是___________． (3)用一种你喜欢的方法计算：． 40．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）数学老师布置了一道思考题：“计算：”． 甲、乙、丙三位同学仔细思考了一番，分别给出了自己的解答过程． 甲：原式． 乙：原式． 丙：原式的倒数为， 其值， 所以原式． (1)上述解法的结果不同，肯定有错误的解法．你认为解法错误的是哪位同学： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)在正确的解法中，你认为谁的解法较简捷： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (3)用你认为简便的方法计算：． 1．（25-26七年级上·广东惠州·期中）下列说法：①一个数同相乘得这个数的相反数；②若，则a，b都为0；③若，则a，b同号；④倒数等于本身的数有1，，0．其中正确的有（ ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）规定一种新运算：，则的值是（   ） A．6 B． C． D．10 3．（25-26七年级上·江苏南京·期中）若，，，则下列结论正确的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）计算：___________． 5．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）阅读下面解题过程： 计算： 解： ① ② ③ 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二处是 ，错因是 ． (2)请写出正确的解题过程． 6．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？并说明错误原因． (2)请选择适当的方法计算：． 7．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）（1）计算： （2）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3，的值． 8．（25-26七年级上·福建福州·期中）有理数的混合运算，按照运算等级确定运算顺序，适当选用运算律改变运算顺序可以使得运算更加简单．下面是计算主要过程，请在如表的矩形框中选择与计算步骤对应的依据，并将它前面的序号填入相应的横线中． ①有理数乘法法则；②加法交换律；③加法结合律；④乘法对加法的分配律． （有理数除法法则） _________ _________ _________ _________ （有理数加法法则） ． 9．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）在计算时，现有以下三种不同的思路： 思路① 思路② 思路③ 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先简便运算 ，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，正确的思路有_________；（填序号） (2)原式的结果是_________； (3)请参考思路③，计算：． 10．（25-26七年级上·广东深圳·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ； ； ． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算：_____； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中作用一致，写出必要的运算步骤）； (3)若，计算：． 1．（2025·江苏南通·中考真题）计算，正确的结果是（   ） A． B．5 C． D．6 2．（2026·福建·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 4．（2026·河北邯郸·二模）淇淇在计算时，产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 = = 思路二： 解：原式= = (1)在“思路一”的“□”填上合适的数，并完成计算； (2)在“思路二”的“〇”内填上运算符号（“+”、“-”、“×”、“÷”中的一个），使得运算过程正确，并完成计算． 5．（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 第二章 有理数 2.5 有理数的乘法与除法 目 录 A组 巩固过关 有理数加法法则 1 有理数加法应用 2 有理数减法法则 2 有理数减法应用 3 有理数加减混合运算 3 有理数加法运算律 4 B组 能力进阶 7 C组 思维拔高 7 拓展 链接中考 8 有理数乘法法则题型01 1．（25-26七年级上·山东聊城·期中）两个有理数的积是负数，和却是正数，那么这两个有理数（    ） A．同号，且均为负数 B．异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大 C．同号，且均为正数 D．异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大 【答案】B 【分析】本题主要考查的是有理数的乘法和有理数的加法，熟练掌握有理数的乘法和加法法则是解题的关键． 先依据有理数的乘法法则可得到这两个数异号，然后再依据有理数的加法法则进行判断即可． 【详解】解：两个有理数的积是负数， 这两个数异号． 又它们的和是正数， 正数的绝对值比负数的绝对值大． 故选：B． 2．（25-26七年级上·河南周口·期中）计算所得结果是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，注意计算的准确性即可． 根据有理数的乘法运算计算即可． 【详解】解： ， 故选：D 3．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）若的运算结果为负数，则□内的数字可以为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 根据有理数乘法法则，两数相乘，异号得负．因数为负数，故□内需为正数才能使结果为负． 【详解】解：∵，，，， ∴ 只有D选项使运算结果为负数． 故选D． 4．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知四个数：3，，，4．任取其中的两个数相乘，所得的积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，有理数大小比较，解题的关键是确定两个因数． 根据有理数乘法法则可知，要使两个数相乘的积最大，应选择同号的两个数，即两个正数或两个负数，计算所有同号组合的积，并比较大小即可． 【详解】解：∵ 积最大需同号相乘， ∴ 正数组合：， 负数组合：， ∵， ∴ 最大积为． 故选：B． 5．（24-25七年级上·北京·期中）从4，5，，，中任意取两个数相乘，最小的积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法． 两个有理数相乘，异号得负，要使积最小，应选择绝对值最大的正数和绝对值最大的负数相乘． 【详解】解：正数中绝对值最大的是5，负数中绝对值最大的是， 两者相乘得． 故答案为：． 有理数乘法运算律题型02 6．（25-26七年级上·河北沧州·期中）若的值记为，则的值可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式、乘法分配律，掌握相关知识是解题的关键，通过乘法分配律将所求表达式转化为含的形式即可． 【详解】解：， ， 故选：． 7．（25-26七年级上·河北保定·期中）下表是嘉淇的解题过程，下列说法正确的是（　　） 第一步 第二步 第三步 A．解题运用了乘法交换律 B．从第一步开始出错 C．从第二步开始出错 D．从第三步开始出错 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法运算及乘法分配律的应用，解题的关键是正确运用乘法分配律计算． 嘉淇将带分数拆分为整数与分数的差，运用了乘法分配律，但第二步计算时符号出现错误，导致结果错误． 【详解】解：第一步：将写成，这一步是正确的，利用了带分数的拆分，为后续用乘法分配律计算做准备， 第二步：根据乘法分配律，正确计算应为： 但嘉淇计算成了，所以从第二步开始出错． 故选：C． 8．（25-26七年级上·广西桂林·期中）计算 的结果是（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先根据有理数的乘法运算律计算，再计算减法即可． 【详解】解： 故选：A 9．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）观察图，它的计算过程可以解释的运算律是（   ） A．乘法分配律 B．加法交换律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法运算律，理解乘法分配律、交换律、结合律是解题的关键． 根据图形得出，据此即可解答． 【详解】解：由图可得：，故它的计算过程可以解释乘法分配律这一运算过程， 故选：A． 10．（25-26七年级上·浙江金华·期中）学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题． 计算：①；    ②． 下面是文文和园园的计算过程： 文文： ． 园园： ． (1)文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算； (2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程． 【详解】(1) 原式 ； (2) 有错误，园园错误地将带分数拆分为，正确拆分应为，再利用乘法分配律计算． 改正：原式 ． 有理数除法法则题型03 11．（25-26七年级上·浙江金华·期中）计算得（    ） A． B．1 C． D．25 【答案】C 【分析】本题考查有理数除法，熟练掌握有理数除法法则是解题关键．根据除以一个分数等于乘以它的倒数，即可得答案． 【详解】解：∵除以一个分数等于乘以它的倒数， ∴， 故选：C． 12．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）若，则表示的数是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数运算及解方程，将看作未知数，解方程即可得到答案，熟练掌握有理数运算是解决问题的关键． 【详解】解：两边都除以，得， 故选：D． 13．（25-26七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）小明在做除法运算（_____）时，将除法变成乘法时，除数没有变成其倒数，算出结果为，其正确的计算结果为______． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除运算．根据题意利用小明的错误操作求出除数，再根据有理数除法法则计算正确结果． 【详解】解：设除数为， 根据错误操作有， 解得：， 正确结果为， 故答案为：；． 14．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在算式“”的“□”中填入下列运算符号，能使计算的结果最小的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，比较有理数的大小，通过计算每个运算符号下的结果，并比较大小，找出最小值，即可． 【详解】解：加法：； 减法：； 乘法：； 除法：； 故除法结果最小， 故选：D． 15．（25-26七年级上·吉林长春·期中）________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据有理数除法法则求解即可． 【详解】． 故答案为：． 乘除混合运算题型04 16．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算：结果是（   ） A． B．4 C．1 D．64 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据有理数乘除混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 17．（25-26七年级上·河南南阳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则（包括符号规则和运算顺序）进行验证，只有选项B的计算正确． 【详解】解：A： ， ， ，故A错误； B：，，故B正确； C：， ，故C错误； D：，，故D错误， 故选：B． 18．（25-26七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 19．（25-26七年级上·江西赣州·期中）老师在黑板上写了一道计算题： 计算： 下面是小丽的解答过程： 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)小丽的解答过程从第_______步开始是错误的． (2)请你写出这道题正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2)27 【分析】本题考查有理数的四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可以解答； （2）先算括号内的式子，然后将除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：小丽的解答过程从第二步开始是错误的，错误的原因是没有按照运算顺序计算， 故答案为：二； （2）解： ． 20．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）阅读下面的解题过程并解决问题：计算：． 解：原式…① …② …③ (1)上述的解题步骤从第__________步开始错误； (2)请写出这个计算题正确的解题步骤． 【详解】(1)①(2) 正确的解题步骤为： ． 有理数四则混合运算题型05 21．（25-26七年级上·江苏南通·期中）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律以及乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据加法结合律简便计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （3）根据乘法分配律简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 22．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）计算： (1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减法和乘法运算，分配律的应用．解题时需注意符号变化，合理运用运算律简化计算． （1）先利用多重符号的化简，再进行加减计算即可； （2）先利用分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 23．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）简便计算： (1)；(2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算及乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）根据有理数乘法分配律将括号内的每个数分别与相乘，再进行计算即可； （2）首先需要将带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后观察到各项都含有这个因数，可利用乘法分配律的逆运算来简化计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（24-25七年级上·江苏常州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2)34 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （3）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 25．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义一种新运算：，如，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了新定义运算的计算，解题的关键是遵循新运算的规则，先计算括号内的式子，再计算括号外的式子． 先根据新运算规则计算括号内的，得到结果后，将该结果与按照新运算规则计算最终值． 【详解】解： ． 故答案为：． 新定义运算问题题型06 26．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）规定运算⊕：，则______． 【答案】4 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算．根据规定运算计算，再计算即可． 【详解】∵ ∴ ∴ 故答案为：4． 27．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若，是有理数，定义一种运算“”：， (1)，求的值； (2)定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 【答案】(1)5 (2) 成立，探究如下： ， ， ∴， ∴定义的新运算“”对交换律成立． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）分别计算出和的结果，看二者是否相等即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴即为， 解得； （2）略 28．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”．数对、中，是“相伴有理数对”的是_______； 【答案】 【详解】解： ，， ， ，， 成立的一对有理数，为“相伴有理数对， 是“相伴有理数对”的有， 故答案为：； 29．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，按照给定的运算规则代入数值计算即可． （1）根据新定义直接计算； （2）先计算内层运算，再计算外层运算． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ． （2）解：∵ ， ∴ ． ． 30．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）规定一种新运算“”对于任意两个有理数和，有，请你根据新运算，解决下列问题： (1)______； (2)我们知道有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，“”运算是否满足交换律？ ①不妨先举个例子，填空______(用“”“”或“”填空)； ②根据①的计算结果，你认为“”运算是否满足交换律即是否成立？并说明理由． 【答案】(1)(2)①； ②见详解 【分析】（）利用计算即可； （）①利用分别求出结果，即可求解；②利用解答即可； 本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：； （2）解：①， ， ， 故答案为：； ②根据①的计算结果，“”运算满足交换律（即成立）， 理由如下： ，， 成立，“”运算满足交换律． 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知a，b是有理数，且，，则a，b两个数的符号情况是（    ） A．同为正 B．同为负 C．一正一负 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和加法计算，由可知 a 与 b 同号；结合 可得答案． 【详解】解：∵， ∴a、b同号， ∵， ∴a、b都是负数， 故选：B． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期中）若计算的结果最小，则“☐”中应填入（   ） A．+ B．- C． D．÷ 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的运算，掌握有理数的加、减、乘、除运算法则是解题的关键． 分别计算四种运算的结果，然后比较大小即可解答． 【详解】解：∵ ∴，故除法结果最小． ∴，“☐”中应填入 ÷． 故选D． 3．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）下列式子中，与的结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘法分配律，利用乘法分配律进行计算，即可解答． 【详解】解：， 则与的结果相同的是． 故选：D． 4．（25-26七年级上·山西临汾·期中）对算式“”进行简便计算，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） 解： ① ② A．①乘法分配律②加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①乘法结合律②加法交换律 D．①乘法交换律②加法结合律 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘法运算律，有理数加法运算律，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 在计算过程中，步骤①将展开为，使用了分配律；步骤②将重新排列为，改变了加数的顺序，使用了加法交换律． 【详解】解：∵步骤①中： ， 这符合分配律：（此处为减法形式）． ∴①使用了分配律． ∵步骤②中： ， 这改变了加数的顺序，但未改变分组， 符合加法交换律：． ∴②使用了加法交换律． 故选：A． 5．（25-26七年级上·江西宜春·期中）某同学在计算时，误将“”看成“”导致算得结果是，则的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数的除法计算，先根据题意得到，据此求出，再根据有理数除法计算法则求解即可． 【详解】解：设为， ∵误将“”看成“”， ∴， 解得， ∴正确运算为 故选：C． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及加减乘除运算，需掌握运算顺序和符号法则． （1）根据有理数的减法进行计算即可求解； （2）先计算乘除法，再计算加法即可求解； （3）根据乘法分配律进行计算即可求解； （4）根据逆用乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)25 (2)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先计算乘除，再计算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： 8．（25-26七年级上·河南南阳·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用乘法分配律计算即可； （）先把除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律计算即可； 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”： 小华的解法： 大白的解法：原式的倒数为       第一步     第二步，     第三步，       第四步， 所以 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中，___________同学的解法正确； (2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是___________． (3)用一种你喜欢的方法计算：． 【答案】(1)大白 (2)乘法分配律 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，大白的解答正确； （2）根据题目中的解答过程可知大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； （3）根据大白的解法，可以先求所求式子的倒数，然后即可得到所求式子的值． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知： 除法没有分配律，小华同学的解答错误， 大白同学的解答正确， 故答案为：大白； （2）解：大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：原式的倒数为： ， 所以． 10．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）数学老师布置了一道思考题：“计算：”． 甲、乙、丙三位同学仔细思考了一番，分别给出了自己的解答过程． 甲：原式． 乙：原式． 丙：原式的倒数为， 其值， 所以原式． (1)上述解法的结果不同，肯定有错误的解法．你认为解法错误的是哪位同学： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)在正确的解法中，你认为谁的解法较简捷： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (3)用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)甲 (2)丙 (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察三种解法，找出出错的即可； （2）观察三种解法，找出简捷的即可； （3）利用简便方法求出原式的值即可． 【详解】（1）解：除法没有分配律，故甲同学计算错误； 乙和丙的计算没有问题； 故答案为：甲； （2）解：观察计算过程，丙的解法最简捷， 故答案为：丙； （3）解：先求原式的倒数： ， ∵为的倒数， ∴． 1．（25-26七年级上·广东惠州·期中）下列说法：①一个数同相乘得这个数的相反数；②若，则a，b都为0；③若，则a，b同号；④倒数等于本身的数有1，，0．其中正确的有（ ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法和倒数的性质．说法①正确，因为任何数乘以得其相反数；说法②错误，时或至少一个为，但不一定都为；说法③正确，则，同号；说法④错误，没有倒数，倒数等于本身的数只有和． 【详解】解：一个数乘以得该数的相反数，①正确； 时，或，但不一定同时为，②错误； 时，和同号，③正确； 没有倒数，倒数等于本身的数只有和，④错误． 正确的有①和③，共个． 故选：B． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）规定一种新运算：，则的值是（   ） A．6 B． C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新运算定义，先计算括号内的运算，继而再利用新运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期中）若，，，则下列结论正确的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，由可知与异号；结合，可得：且；再由，结合、，可得：． 【详解】解：， 与异号， 又， ，， ，且、， ， ，，． 故选：A． 4．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）阅读下面解题过程： 计算： 解： ① ② ③ 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二处是 ，错因是 ． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)②，同级运算应从左到右依次计算，此处错误改变运算顺序；③，结果符号错误，异号相除结果为负，遗漏负号 (2) 解： ． 【分析】（1）有理数的乘除法应按照顺序从左到右依次计算，且异号相除得负数，据此即可求解； （2）先计算括号内的运算，然后从左到右进行计算即可． 【详解】（1）解：计算括号内的式子得：，因此步骤①计算正确； 乘除属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，步骤②先计算了，改变了正确的运算顺序，因此第一处错误是第②步； 原式中，正数除以负数应得负值，而结果为正数，结果符号错误，遗漏负号，因此第二处错误是第③步； 故答案为：②，同级运算应从左到右依次计算，此处错误改变运算顺序；③，结果符号错误，异号相除结果为负，遗漏负号． （2）略 6．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？并说明错误原因． (2)请选择适当的方法计算：． 【答案】(1) 解法一和解法二错误， 原因：解法一错误地运用了除法分配律，除法不具有分配律； 解法二在运用加法交换律时，没有连同数字前面的符号一起移动； (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题意是解本题的关键． （1）根据有理数运算法则和运算律分析判断即可； （2）利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ∴． 7．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）（1）计算： （2）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3，的值． 【答案】（1）；（2）或26 【分析】本题主要考查了乘法分配律，代数式求值，相反数，倒数和绝对值的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据乘法分配律求解即可； （2）互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1，再由绝对值的定义推出和的值，据此求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3， ∴， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为或26． 8．（25-26七年级上·福建福州·期中）有理数的混合运算，按照运算等级确定运算顺序，适当选用运算律改变运算顺序可以使得运算更加简单．下面是计算主要过程，请在如表的矩形框中选择与计算步骤对应的依据，并将它前面的序号填入相应的横线中． ①有理数乘法法则；②加法交换律；③加法结合律；④乘法对加法的分配律． （有理数除法法则） _________ _________ _________ _________ （有理数加法法则） ． 【答案】④；①；②；③ 【分析】本题考查了有理数的四则运算，乘法与加法的运算律等知识；读懂每步的计算依据即可完成求解． 【详解】解： （有理数除法法则） __④_______ ___①______ ____②_____ __③_______ （有理数加法法则） ． 故答案为：④；①；②；③． 9．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）在计算时，现有以下三种不同的思路： 思路① 思路② 思路③ 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先简便运算 ，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，正确的思路有_________；（填序号） (2)原式的结果是_________； (3)请参考思路③，计算：． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是明确“除法不满足分配律”，并能利用“除以一个数等于乘它的倒数”结合分配律简化计算． （1）判断思路正误：根据除法法则，分配律仅适用于乘法，除法不满足此规律，故思路①错误；思路②（先算括号内的和再除）、思路③（先算倒数的除法再求倒数）均符合法则，正确； （2）选择思路②或思路③计算即可； （3）参考思路③，先计算，再计算其倒数即可． 【详解】（1）解：思路①：有理数除法不满足分配律，故思路①错误，不符合题意； 思路②：先算括号内和再相除，符合除法法则，故思路②正确，符合题意； 思路③：先算倒数的除法再求倒数，符合除法法则，故思路③正确，符合题意； 故答案为：②③； （2）解：选择思路2计算： ， 故答案为：； （3）解： ， ∴． 10．（25-26七年级上·广东深圳·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ； ； ． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算：_____； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中作用一致，写出必要的运算步骤）； (3)若，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出，确定，然后代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： = ； （3）∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 1．（2025·江苏南通·中考真题）计算，正确的结果是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】根据有理数乘法法则中“两数相乘，同号得正”来计算的结果．本题主要考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：． 2．（2026·福建·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， ∴选项A、B、C说法错误；选项D说法正确． 3．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 4．（2026·河北邯郸·二模）淇淇在计算时，产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 = = 思路二： 解：原式= = (1)在“思路一”的“□”填上合适的数，并完成计算； (2)在“思路二”的“〇”内填上运算符号（“+”、“-”、“×”、“÷”中的一个），使得运算过程正确，并完成计算． 【详解】(1) “”里应填， ∴原式 (2) ∴“”内填“”， ∴原式 5．（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)11988 (2)99900 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $