13.1三角形的概念分层训练　2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 分层设计的三角形概念综合训练，涵盖选择、填空、解答题，注重基础巩固与能力提升 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|16|三角形构成、分类、内角计算（如第3题锐角三角形判断）|结合图形辨析（第8题计数）与规律探究（第9题数列规律）| |填空题|9|定义要素（第11题三角形定义）、边角表示（第13题边的记法）|紧扣概念核心，强化基础记忆| |解答题|8|概念辨析（第16题构成条件判断）、参数分类（第29题内角参数计算）|分层设置必做与选做，融合逻辑推理与实际应用|

八年级数学 · 13.1 三角形的概念 · 分层训练 三角形的概念分层训练综合练习 · 夯实基础 · 能力提优 · ★压轴拓展 · A 夯实基础 第一部分（必做） 一、选择题（共 10 题） 1．观察下列四个图形，能构成三角形的是（ ） A．A B．B C．C D．D 2．下列关于三角形表示方法的说法，正确的是（ ） A．△ABC与△BCA表示同一个三角形 B．△ABC与△ACB一定表示两个不同三角形 C．三角形只能从字母A开始命名 D．三角形的三个顶点可以共线 3．一个三角形的三个内角分别为42°、68°、70°，按角分类它是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 4．在一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形一定是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5．一个三角形有两个内角分别为35°和55°，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 6．若△ABC中∠A=100°，则△ABC按角分类一定是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 7．下列关于三角形按边分类的说法，正确的是（ ） A．等边三角形不属于等腰三角形 B．三角形可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等边三角形是等腰三角形的特殊情况 C．直角三角形属于按边分类 D．有且只有两边相等的三角形才叫等腰三角形 8．如图，A与直线BC上的5个点B、D、E、F、C分别连接，且B、D、E、F、C依次在同一直线上。图中共有三角形（ ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 9．某组图形中三角形的个数依次为1，3，6，10，15，……，按此规律第6个图形中三角形的个数是（ ） A．18 B．20 C．21 D．24 10．一个三角形三个内角的度数比为1∶2∶3，则这个三角形按角分类是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 二、填空题（共 5 题） 11．由________________的三条线段________________所组成的图形叫作三角形。 12．三角形有________个顶点、________条边、________个内角。 13．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边通常分别记作________、________、________。 14．按角分类，三角形分为________三角形、________三角形和________三角形。 15．一个三角形三个内角的度数比为2∶3∶4，则它按角分类是________三角形。 三、解答题（共 3 题） 16．【概念辨析】判断下列情形能否构成三角形，并说明理由： （1）A、B、C三点在同一直线上，连接AB、BC、CA； （2）A、B、C三点不在同一直线上，连接AB、BC、CA； （3）依次连接AB、BC、CD，且D与A不重合。 17．【双重分类】分别写出下列三角形按角、按边的分类： （1）三个角为60°、60°、60°，三边相等； （2）三个角为45°、45°、90°，有两边相等； （3）三个角为30°、50°、100°，三边都不相等； （4）三个角为40°、70°、70°，有两边相等。 18．【识图与命名】如图，D在BC上，连接AD。 （1）写出图中所有三角形； （2）写出以AD为边的三角形； （3）图中共有几个三角形？ B 能力提优 第二部分（必做） 四、选择题（共 6 题） 19．已知一个三角形有一个内角为60°，仅根据这一条件，这个三角形按角分类（ ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角、直角或钝角三角形 20．下列判断：①三角形至少有两个锐角；②三角形最多有一个直角；③三角形最多有一个钝角；④三角形只要有两个锐角就是锐角三角形。正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．一个三角形三个内角的度数比为1∶1∶2，则它按角分类是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 22．某三角形三个内角分别为x°、2x°、(180-3x)°。若它是锐角三角形，则x的取值范围是（ ） A．0<x<30 B．30<x<45 C．45<x<60 D．30≤x≤45 23．某三角形三个内角分别为x°、2x°、(180-3x)°。若它是钝角三角形，则x的取值范围是（ ） A．0<x<30或45<x<60 B．30<x<45 C．0<x<45 D．45<x<60 24．平面内有5个点，任意三点都不在同一直线上。任取其中3个点作为顶点，可得到不同的三角形（ ） A．5个 B．8个 C．10个 D．20个 五、填空题（共 4 题） 25．平面内有6个点，任意三点不共线，从中任取3点作三角形，共可得到________个不同的三角形。 26．在△ABC中，若∠A=∠B+∠C，则△ABC按角分类是________三角形。 27．一个等腰三角形有一个内角为100°，则另外两个内角分别为________、________，它按角分类是________三角形。 28．在△ABC中，∠A=2∠B，∠C=60°，则∠A=________，∠B=________，△ABC按角分类是________三角形。 六、解答题（共 3 题） 29．【参数分类】一个三角形三个内角分别为(x+10)°、2x°、(3x-10)°。 （1）求x； （2）求三个内角； （3）判断该三角形按角属于哪一类。 30．【分类体系】请完成并解释三角形的两种分类： （1）按角分类； （2）按边分类； （3）说明“等边三角形是等腰三角形的特殊情况”为什么不会造成分类遗漏。 31．【规律探究】如图，点A不在直线l上，直线l上有n个点，且A与这n个点都连接。 （1）当n=6时，图中共有多少个以A为顶点的三角形？ （2）用含n的式子表示三角形的个数； （3）若图中共有45个三角形，求n。 C 压轴拓展 第三部分（选做·附加） 32．【组合计数】平面内有n个点，任意三点都不在同一直线上，并把任意两点连接。 （1）当n=8时，以这些点为顶点一共能得到多少个不同的三角形？ （2）用含n的式子表示不同三角形的个数； （3）说明为什么该计数方法不会重复。 33． 【角比探究】△ABC三个内角的度数比为4∶2∶1。 （1）求三个内角； （2）判断△ABC按角分类的类型； （3）若把最大角改为原来的1/2，另外两个角保持比例2∶1，并重新组成一个三角形，新三角形按角属于哪一类？ 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：B 解析：B图由三条线段首尾顺次相接，并且三个顶点不在同一直线上，符合三角形定义。A未封闭，C的点共线，D为四边形。 2．答案：A 解析：同一个三角形可以从任意顶点开始，按顺时针或逆时针顺序命名，所以△ABC、△BCA、△CAB、△ACB等均表示同一个三角形。 3．答案：A 解析：42°、68°、70°均小于90°，所以是锐角三角形。 4．答案：B 解析：设∠A=∠B-∠C，则∠A+∠C=∠B。又∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠B=180°，∠B=90°。 5．答案：B 解析：第三个角为180°-35°-55°=90°，所以是直角三角形。 6．答案：C 解析：100°>90°，含有一个钝角的三角形是钝角三角形。 7．答案：B 解析：按边分类可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形；等边三角形满足“至少有两边相等”，是特殊的等腰三角形。 8．答案：C 解析：底边上的5个点任取2个，都与A构成一个三角形，共有C(5,2)=5×4÷2=10个。 9．答案：C 解析：数列1，3，6，10，15分别是1+2+…+n的前5项，第6项为15+6=21。 10．答案：B 解析：设三个角为x、2x、3x，则6x=180°，x=30°，三个角为30°、60°、90°，故为直角三角形。 11．答案：不在同一直线上；首尾顺次相接 解析：这是三角形定义中的两个关键限制：三点不能共线，三条线段必须首尾顺次相接形成封闭图形。 12．答案：3；3；3 解析：每个三角形都有3个顶点、3条边和3个内角。 13．答案：a；b；c 解析：通常用小写字母表示所对的边：a=BC，b=CA，c=AB。 14．答案：锐角；直角；钝角 解析：按最大内角与90°的关系进行分类。 15．答案：锐角 解析：2+3+4=9，每份20°，三个角为40°、60°、80°，均为锐角。 16．答案：见解析 解析：（1）不能，因为A、B、C三点共线；（2）能，三点不共线且AB、BC、CA首尾顺次相接；（3）不能，AB、BC、CD没有首尾闭合回到起点A。 17．答案：见解析 解析：（1）锐角三角形、等边三角形；（2）直角三角形、等腰三角形；（3）钝角三角形、三边都不相等的三角形；（4）锐角三角形、等腰三角形。 18．答案：见解析 解析：（1）△ABD、△ACD、△ABC；（2）△ABD、△ACD；（3）共3个。注意“大三角形”△ABC也要计入。 第二部分（必做） 19．答案：D 解析：60°可以出现在锐角三角形（如60°、60°、60°）、直角三角形（30°、60°、90°）和钝角三角形（20°、60°、100°）中。 20．答案：C 解析：①②③正确。若已有两个锐角，第三个角仍可能是锐角、直角或钝角，所以④错误。 21．答案：B 解析：设三个角为x、x、2x，4x=180°，x=45°，所以角为45°、45°、90°，是直角三角形。 22．答案：B 解析：三角形存在先要求0<x<60。锐角还要求2x<90且180-3x<90，得到x<45且x>30，所以30<x<45。 23．答案：A 解析：在0<x<60内，出现钝角有两种可能：2x>90， 得x>45；或180-3x>90，得x<30。因此0<x<30或45<x<60。 24．答案：C 解析：任意3点不共线，所以每选3点恰好得到1个三角形，数量为C(5,3)=10。 25．答案：20 解析：C(6,3)=6×5×4÷(3×2×1)=20。26．答案：直角 解析：∠A=∠B+∠C，而∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠A=180°，∠A=90°。 27．答案：40°；40°；钝角 解析：等腰三角形若有100°，这个角不可能是底角，否则两个底角之和已超过180°。所以100°为顶角，两个底角均为(180°-100°)÷2=40°。 28．答案：80°；40°；锐角 解析：设∠B=x，则∠A=2x。2x+x+60°=180°，得x=40°，所以∠A=80°、∠B=40°，三个角都小于90°。 29．答案：x=30；40°、60°、80°；锐角三角形 解析：由(x+10)+2x+(3x-10)=180，得6x=180，x=30。三个角依次为40°、60°、80°，均小于90°。 30．答案：见解析 解析：按角：锐角、直角、钝角三角形。按边：三边都不相等的三角形、等腰三角形，其中等边三角形是等腰三角形的特殊情况。把等边包含在等腰内，既不遗漏，也体现了从属关系。 31．答案：（1）15个；（2）n(n-1)/2；（3）n=10 解析：以A为顶点时，只需从直线l上的n个点中选2个作另外两个顶点，所以个数为C(n,2)=n(n-1)/2。当n=6时为15；若为45，则n(n-1)/2=45，n(n-1)=90，正整数解n=10。 第三部分（选做·附加） 32．答案：（1）56个；（2）n(n-1)(n-2)/6；（3）见解析 解析：任意三点不共线，每选3个点恰好确定一个三角形，所以为C(n,3)。n=8时C(8,3)=56。每个三角形对应唯一的3点组合，因此不会重复。 33．答案：（1）720/7°、360/7°、180/7°；（2）钝角三角形；（3）锐角三角形 解析：原三角形总份数7，每份180/7°，最大角=720/7°>90°，故为钝角。新三角形最大角取360/7°；另两角按2∶1分配剩余的180°-360/7°=900/7°，得600/7°与300/7°。三角分别为360/7°、600/7°、300/7°，均小于90°，故为锐角三角形。 分层训练 · 题库参考重制版 学科网（北京）股份有限公司 $