3.3 幂函数 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 本练习以幂函数概念、图象及性质为核心，通过基础诊断、概念理解、综合应用三层递进设计，实现从概念辨析到性质应用的知识巩固，培养抽象能力、几何直观与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础诊断层|幂函数概念判断、图象性质基础认知|正误判断与表格填空，强化概念辨析，落实数学眼光观察| |概念理解层|幂函数识别、解析式求解、图象辨析|多选题与图象匹配题，深化概念理解，发展数学思维| |综合应用层|幂值比较、单调性与参数范围综合|含参数单调性问题，提升知识迁移能力，培养应用意识|

3.3　幂函数 【课前预习】 知识点一 y=xα　自变量 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)根据幂函数的定义可知,y=-x2不是幂函数. (2)根据幂函数的定义可知,函数y==|x|不是幂函数. (3)根据幂函数的定义可知,y=x-1是幂函数. 知识点二 2.{x|x≠0}　[0,+∞)　[0,+∞) {y|y≠0}　[0,+∞)　奇　偶　奇 奇　非奇非偶　递增　递减　递增 递增　递减　递减　递增　(1,1) 诊断分析 1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)× [解析] (1)在幂函数y=xα中,只有当α>0时,其图象才过点(0,0). (2)由幂函数的定义及图象知,只有当α>0时,幂函数的图象才与坐标轴相交,且交点是原点. (3)当0<x<1时,y=的图象在y=x2的图象的上方. (4)如函数y=x-1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数. 2.解:第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)ACD　(2)C　[解析] (1)由幂函数的定义知,只有A,C,D是幂函数,故选ACD. (2)设f(x)=xα,则f(2)=2α=,解得α=-,所以f(x)=,所以f(8)==.故选C. 变式　(1)3　(2)　[解析] (1)由幂函数的定义知k=1,又f(x)的图象过点(2,4),所以4=2α,得α=2,则k+α=3. (2)由函数f(x)是幂函数,可设f(x)=xα,又f(4)=8f(2),所以4α=8×2α,即22α=23+α,所以2α=3+α,得α=3,所以f(x)=x3,则f(1)+f=13+=. 探究点二 例2　(1)D　(2)B　[解析] (1)函数f(x)=x-4的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=(-x)-4=x-4=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称;因为f(x)=x-4,-4<0,所以当x>0时,f(x)单调递减.故选D. (2)令x=2,则22>>>2-2,故曲线C1,C2,C3,C4对应的α的值依次为2,,-,-2.故选B. 变式　(1)C　(2)-1　[解析] (1)由题图可知a>1>b>0>c,故选C. (2)∵f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x2,其图象与x轴有公共点(0,0),不符合题意;当m=-1时,f(x)=x-1,其图象与x轴没有公共点,符合题意.综上,m=-1. 探究点三 例3　解:(1)因为y=在[0,+∞)上单调递增,1.1>0.9,所以1.>0.. (2)因为y=在(0,+∞)上单调递减,1.1>0.9,所以1.<0.. (3)因为(-0.31)2=0.312,且函数y=x2在[0,+∞)上单调递增,0.31<0.35,所以0.312<0.352,即(-0.31)2<0.352. 变式　解:(1)设f(x)=x3,则f(x)在R上为增函数,∵-1.5<-1.4,∴(-1.5)3<(-1.4)3. (2)设g(x)=,则g(x)在(-∞,0)上单调递减,∵-1.5<-1.4<0,∴>. 例4　解:(1)由已知得2m2-6m+5=1,解得m=1或m=2.当m=1时,f(x)=;当m=2时,f(x)=.∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴m=1不符合题意,m=2符合题意,∴f(x)=. (2)由(1)得f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,又f(2a+1)<f(3-a), ∴解得-≤a<,∴a的取值范围为. 变式　解:(1)因为幂函数f(x)=(-m2+4m-2)xm-1在(0,+∞)上单调递增,所以解得m=3,故f(x)=x2. (2)由(1)可得,g(x)=f(x)-ax+3=x2-ax+3,所以函数g(x)的图象的对称轴为直线x=, 因为g(x)在[-1,5]上不单调,所以-1<<5,解得-2<a<10,故实数a的取值范围为(-2,10). 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3　幂函数 【学习目标】 　　1.了解幂函数的概念,体会从具体情境中抽象出幂函数概念的过程,了解幂函数的定义,能识别幂函数. 　　2.掌握五个特殊的幂函数的图象和性质,能正确画出幂函数y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,描述它们的变化规律,讨论它们的性质. ◆ 知识点一　幂函数的概念 一般地,函数　　　　　叫作幂函数,其中x是　　　　　,α是常数.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=-x2是幂函数. (　 ) (2)函数y=不是幂函数. (　 ) (3)函数y=x-1是幂函数. (　 ) ◆ 知识点二　幂函数的图象与性质 1.在同一直角坐标系中,函数①y=x;②y=x2;③y=x3;④y=x-1;⑤y=的图象如图. 2.五个幂函数的性质 解析式 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y= 定义域 R R R 　　  　　  值域 R 　　  R 　　  　　  奇偶性 　　函数  　　函数  　　函数  　　函数  　　  函数 单调性 在(-∞,+∞)上单调　　  在(-∞,0]上单调　　　　,在(0,+∞)上单调　　　  在(-∞,+∞) 上单调 　　  在(-∞,0)上单调　　　,在(0,+∞)上单调  　　　  在[0,+∞)上单调 　　  图象经 过的定 点坐标 　　　  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)幂函数的图象都过点(0,0)和点(1,1). (　 ) (2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. (　 ) (3)当0<x<1时,y=的图象在y=x2的图象的下方. (　 ) (4)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数. (　 ) 2.通过观察前面5个幂函数的图象,哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象? ◆ 探究点一　幂函数的概念　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)(多选题)下列函数中,是幂函数的是 (　 ) A.y=x3 B.y=x5+1 C.y= D.y= (2)已知幂函数f(x)的图象过点,则f(8)= (　 ) A.2 B. C. D. 变式 (1)已知幂函数f(x)=kxα的图象过点(2,4),则k+α=　　　　.  (2)若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=8f(2),则f(1)+f=　　　　.  [素养小结] 判定一个函数为幂函数的依据是该函数的解析式为y=xα(α为常数)的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.反之,若一个函数为幂函数,则该函数应具备这三个条件,这是我们解决某些问题的隐含条件. ◆ 探究点二　幂函数的图象 例2 (1)已知幂函数f(x)=x-4,则该函数的大致图象是 (　 ) A B C D (2)图中的曲线是幂函数y=xα在第一象限的大致图象,已知α取-2,-,,2四个值,则曲线C1,C2,C3,C4对应的α的值依次为 (　 ) A.-2,-,,2 B.2,,-,-2 C.-,-2,2, D.2,,-2,- 变式 (1)若三个幂函数y=xa,y=xb,y=xc在第一象限内的图象如图所示,则a,b,c的大小关系是 (　 ) A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.a>c>b (2)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm的图象与x轴没有公共点,则m=　　　　.  [素养小结] 解决幂函数图象问题应把握的两个原则: (1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3等)来判断. ◆ 探究点三　幂函数的单调性的应用 角度1　比较幂的大小 例3 比较下列各题中两个值的大小. (1)1.,0.; (2)1.,0.; (3)(-0.31)2,0.352. 变式 利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小. (1)(-1.5)3,(-1.4)3;(2),. [素养小结] 解决比较幂的大小问题的策略: (1)若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小; (2)若指数不同,则可采用中间值法或估值法,如先与0比较大小,若都大于0,再与1比较大小,直到比较出所有数的大小,若中间值法不行则要采用估值法,判断各数的范围,进而比较出各数的大小. 角度2　幂函数性质的综合应用 例4 已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)在(0,+∞)上单调递增. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(2a+1)<f(3-a),求实数a的取值范围. 变式 [2026·山东省实验学校高一月考] 已知幂函数f(x)=(-m2+4m-2)xm-1在(0,+∞)上单调递增. (1)求f(x)的解析式; (2)若g(x)=f(x)-ax+3在[-1,5]上不单调,求实数a的取值范围. [素养小结] 解决幂函数性质的综合应用问题,应注意以下两点: (1)充分利用幂函数的图象、性质,如图象所过定点、单调性、奇偶性等; (2)注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合思想. 学科网（北京）股份有限公司 $