3.2.2 奇偶性 第2课时 奇偶性的应用 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 本同步练习围绕“函数奇偶性与单调性”，通过基础认知-技能应用-综合迁移三层设计，构建从概念辨析到复杂问题解决的进阶路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|奇偶性与单调性的对称区间性质|4道填空聚焦单一知识点，强化概念理解| |技能应用层|求解析式、比较大小|2道例题示范“定义法+性质转化”，渗透解题逻辑| |综合迁移层|解不等式及综合应用|4道变式题提升情境复杂度，培养应用意识|

第2课时　奇偶性的应用 【学习目标】 　　能够根据函数的奇偶性和单调性解决求解析式、比较大小、解不等式等问题. ◆ 知识点　函数的奇偶性与单调性 1.若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a<b)上单调递增,则f(x)在[-b,-a]上　　　　,即在对称区间上单调性　　　　.  2.若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a<b)上单调递增,则f(x)在[-b,-a]上　　　　,即在对称区间上单调性　　　　.  3.若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a<b)上有最大值为M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值为　　　　.  4.若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a<b)上有最大值为N,则f(x)在[-b,-a]上有最大值为　　　　.  以上a,b的符号相同. ◆ 探究点一　利用函数奇偶性求解析式 例1 (1)若函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3+x2,求f(x)的解析式. (2)已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=3x2-x+1,试求f(x)和g(x)的解析式. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,若当x≥0时,f(x)=x2+4x,则当x∈R时,函数f(x)的解析式是　　　　　　.  (2)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=x2+2x+3,则f(x)-g(x)= 　　　　.  [素养小结] 利用函数奇偶性求解析式的方法: (1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应设在哪个区间上. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x). ◆ 探究点二　利用函数单调性与奇偶性比较大小 例2 已知函数f(x)为偶函数,且f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则 (　 ) A.f<f(-1)<f(2) B.f(2)<f<f(-1) C.f(2)<f(-1)<f D.f(-1)<f<f(2)　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是　　　　　　　　.  [素养小结] 解决比较大小问题时应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性. ◆ 探究点三　利用函数单调性与奇偶性解不等式 例3 已知函数f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,当0<x≤3时,f(x)=x2+x. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若f(a+1)+f(2a-1)>0,求实数a的取值范围. 变式 (1)已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[-5,0]时,函数f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为 (　 ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(-5,-2) B.(0,2) C.(-5,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(2,5) (2)定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)在(-∞,0)上单调递增,f(-1)=0,则不等式x·f(x)<0的解集为 (　 ) A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-1,0) D.(1,+∞) [素养小结] (1) 解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件,先把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根据函数的奇偶性与单调性列出不等式(组),要注意函数定义域对参数的影响. (2)利用函数的奇偶性和单调性解不等式时要注意两点: ①奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反. ②确定单调区间,依据题设条件将不等式转化为具体不等式,在这个区间上解不等式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　奇偶性的应用 【课前预习】 知识点 1.单调递增　相同　2.单调递减　相反 3.-M　4.N 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)由题意可知f(0)=0. 令x<0,则-x>0,因为当x>0时,f(x)=x3+x2,所以f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2,又因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x3-x2,即当x<0时,f(x)=x3-x2.故函数f(x)的解析式为f(x)= (2)用-x代替条件等式中的x,则有f(-x)+g(-x)=3x2+x+1,因为f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数,所以-f(x)+g(x)=3x2+x+1,又f(x)+g(x)=3x2-x+1,所以f(x)=-x,g(x)=3x2+1. 变式　(1)f(x)= (2)-x2+2x-3 [解析] (1)∵f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2+4x,∴当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x=f(x),即当x<0时,f(x)=x2-4x,故f(x)的解析式是f(x)= (2)根据题意,f(x)+g(x)=x2+2x+3,则f(-x)+g(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3,又由f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),则有-f(x)+g(x)=x2-2x+3,变形可得f(x)-g(x)=-x2+2x-3. 探究点二 例2　B　[解析] ∵函数f(x)为偶函数,∴f(2)=f(-2),又f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,且-2<-<-1,∴f(2)=f(-2)<f<f(-1),故选B. 变式　f(-1)<f(-0.5)<f(0) [解析] ∵f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在R上是增函数,∴f(-1)<f(-0.5)<f(0). 探究点三 例3　解:(1)∵函数f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,∴f(0)=0. 当0<x≤3时,f(x)=x2+x,则当-3≤x<0时,0<-x≤3, ∴f(x)=-f(-x)=-=-x2+x, 又f(0)=0满足f(x)=x2+x,故f(x)= (2)当0≤x≤3时,f(x)=x2+x=(x+1)2-,则f(x)在[0,3]上单调递增,又函数f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,∴函数f(x)在[-3,3]上单调递增.∵f(a+1)+f(2a-1)>0,∴f(a+1)>-f(2a-1)=f(1-2a),则解得0<a≤2,即a的取值范围是(0,2]. 变式　(1)D　(2)A [解析] (1)因为函数f(x)是奇函数,所以f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称,由f(x)在[-5,0]上的图象知f(x)在[-5,5]上的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5).故选D. (2)因为定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(1)=f(-1)=0,则不等式x·f(x)<0可化为或 解得-1<x<0或x>1,所以原不等式的解集为(-1,0)∪(1,+∞).故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $