3.2.2 第1课时 奇偶性的概念 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 聚焦函数奇偶性概念，通过基础辨析-应用探究-综合拓展三层设计，构建从概念理解到图象应用再到求值计算的巩固路径，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|奇偶性定义与定义域对称性|通过5道判断正误题辨析易错点，强化概念本质理解| |应用探究层|奇偶性判断、图象特征应用|例与变式题结合定义与图象双重角度，训练分类讨论能力| |综合提升层|跨情境综合应用|拓展题通过函数变换情境，提升知识迁移与创新思维|

3.2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 【学习目标】 　　掌握函数的奇偶性:(1)掌握奇函数与偶函数的定义和图象特征,能从函数图象直观地判断函数是否具有奇偶性;(2)能根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性;(3)能利用函数的奇偶性画函数图象和计算函数值. ◆ 知识点　函数奇偶性的概念 偶函数 奇函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且　　　　　  一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且　　　　　  定义域 关于　　　　对称  图象 特征 关于　　　　对称  关于　　　　对称  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数. (　 ) (2)函数y=x2+1,x∈(-2,2]是偶函数. (　 ) (3)存在一个既是奇函数,也是偶函数的函数. (　 ) (4)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数,就是偶函数. (　 ) (5)奇函数f(x)的定义域为R,若f(-2)=3,则f(2)=-3. (　 ) ◆ 探究点一　函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+3x,x∈[-4,4); (2)f(x)=; (3)f(x)= (4)f(x)=+. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= (2)f(x)=|x-1|+|x+1|. [素养小结] 判断函数的奇偶性,可以从两个角度入手,一是利用定义,探究f(x)和f(-x)的关系;二是利用奇偶函数的和差积商的性质:奇函数+奇函数=奇函数,偶函数+偶函数=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,奇函数×偶函数=奇函数,偶函数×偶函数=偶函数. 拓展 设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是 (　 ) A.y=f(x+1)+1 B.y=f(x-1)+1 C.y=f(x+1)-1 D.y=f(x-1)-1 ◆ 探究点二　奇偶函数的图象特征 例2 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x.现已画出函数f(x)在y轴右侧的图象,如图所示. (1)请补充完整函数f(x)的图象; (2)根据图象写出函数f(x)的单调递增区间; (3)当a为何值时,方程f(x)=a有两个不同的实数根、三个不同的实数根、四个不同的实数根? 变式 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示. (1)补全f(x)的图象; (2)解不等式xf(x)>0. [素养小结] 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据:奇函数⇔图象关于原点对称,偶函数⇔图象关于y轴对称; (2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决求值、比较大小及解不等式等问题. ◆ 探究点三　利用函数奇偶性求值 例3 (1)若函数f(x)=x2(x-a)为奇函数,则实数a的值为　　　　.  (2)[2026·广西贺州高一期中] 已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-3)=　　　　.  (3)已知f(x)=x5+ax3+bx,且f(-2)=10,则f(2)= 　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则a=　　　　,b=　　　　.  (2)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x+1,则f(1)+g(1)的值为　　　　.  [素养小结] 1.利用奇偶性求参数的常见类型: (1)定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数. (2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解. 2.已知f(a)求f(-a),通过判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数,利用函数的奇偶性找出f(a)与f(-a)的关系即可. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 【课前预习】 知识点 f(-x)=f(x)　f(-x)=-f(x) 原点　y轴　原点 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ [解析] (1)例如f(x)=x2,存在x=0,使f(-0)=-f(0)=0,但函数f(x)=x2不是奇函数. (2)函数y=x2+1,x∈(-2,2]的定义域不关于原点对称,所以该函数不是偶函数. (3)存在f(x)=0,x∈R既是奇函数,也是偶函数. (4)函数f(x)=x2-2x,x∈R的定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,也不是偶函数. (5)因为f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=3,所以 f(2)=-3. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)∵函数f(x)的定义域不关于原点对称,即存在-4∈[-4,4),而4∉[-4,4),∴函数f(x)=x3+3x,x∈[-4,4)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)由得-3≤x≤3且x≠0,则f(x)的定义域为[-3,0)∪(0,3],关于原点对称. ∵f(x)===,∴f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数. (3)易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.∵当x>0时,f(x)=x2+2x,∴当x<0时,-x>0,故f(-x)=x2-2x=f(x);∵当x<0时,f(x)=x2-2x, ∴当x>0时,-x<0,故f(-x)=x2+2x=f(x).故对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=f(x), 故函数f(x)是偶函数. (4)由得x=±1,则f(x)的定义域为{-1,1}.∵f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0,即f(x)=±f(-x),∴f(x)既是奇函数,也是偶函数. 变式　解:(1)f(x)的定义域为R.当x>0时,-x<0,则f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x);当x=0时,f(0)=0.故f(x)为奇函数. (2)f(x)的定义域是R,因为f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x),所以f(x)是偶函数. 拓展　D　[解析] 对于A,f(x+1)+1=+1,其定义域为{x|x≠-2},不关于原点对称,故y=f(x+1)+1不是奇函数;对于B,f(x-1)+1=+1=2-,其定义域为{x|x≠0},设g(x)=2-,不满足g(-x)=-g(x),故y=f(x-1)+1不是奇函数;对于C,f(x+1)-1=-1,其定义域为{x|x≠-2},不关于原点对称,故y=f(x+1)-1不是奇函数;对于D,f(x-1)-1=-1=-,其定义域为{x|x≠0},设h(x)=-,满足h(-x)=-h(x),故y=f(x-1)-1是奇函数.故选D. 探究点二 例2　解:(1)补充完整函数f(x)的图象,如图所示. (2)由图可知,函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). (3)由图可知,当a=-1或a>0时,方程f(x)=a有两个不同的实数根;当a=0时,方程f(x)=a有三个不同的实数根;当-1<a<0时,方程f(x)=a有四个不同的实数根. 变式　解:(1)因为奇函数的图象关于原点对称,所以补全函数f(x)的图象如图所示. (2)当x>0时,由xf(x)>0得f(x)>0,所以0<x<2;当x<0时,由xf(x)>0得f(x)<0,所以-2<x<0.综上,不等式xf(x)>0的解集为(-2,0)∪(0,2). 探究点三 例3　(1)0　(2)-10　(3)-10 [解析] (1)由题意可得f(-x)=-f(x),即(-x)2(-x-a)=-x2(x-a),整理可得-ax2=ax2,故a=0. (2)因为f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1,所以f(-3)=-f(3)=-32-1=-9-1=-10. (3)因为f(x)=x5+ax3+bx的定义域为R,且f(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-(x5+ax3+bx)=-f(x),所以f(x)是奇函数,又因为f(-2)=10,所以f(2)=-f(-2)=-10. 变式　(1)　0　(2)-1 [解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,且a-1<2a,解得a=.由函数f(x)=x2+bx+b+1为偶函数,得b=0. (2)由题意知f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)+1,即f(x)+g(x)=-x3-x+1,所以f(1)+g(1)=-1-1+1=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $