3.2.1 第2课时 利用单调性求最值 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

第2课时　利用单调性求最值 【课前预习】 知识点一 f(x)≤M　f(x0)=M　f(x)≥m f(x0)=m　纵坐标　纵坐标 诊断分析 1.(1)×　(2)√　[解析] (1)若∀x∈D,都有f(x)≤M,并且∃x0∈D,使得f(x0)=M,则M是f(x)的最大值. (2)依题意知f(x)=x2的最小值为0. 2.解:一个函数不一定有最值,例如y=x,x∈(1,2)没有最值.若一个函数有最值,则它的最小值即为值域中的最小值,最大值即为值域中的最大值. 知识点二 (3)①f(b)　f(a)　②f(a)　f(b) 诊断分析 解:需要先确定函数f(x)在[-1,3]上的单调性,即确定a的正负,从而判定f(x)何时取得最大值,何时取得最小值. 【课中探究】 探究点一 例1 C　[解析] 由题图可知,当x=-2时,f(x)取得最小值,最小值为f(-2)=-1;当x=3时,f(x)取得最大值,最大值为f(3)=3.故选C. 例2　解:作出f(x)的图象,如图所示.由图象可知,当x=2时,f(x)取得最大值2;当x=时,f(x)取得最小值-.所以f(x)的最大值为2,最小值为-. 变式　解:当x-2≥0,即x≥2时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=-;当x-2<0,即x<2时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-+. 所以y=画出该函数的图象,如图.由图象可知,函数y=|x-2|(x+1)在,[2,+∞)上单调递增,在上单调递减.观察函数图象,可知该函数不存在最大值,也不存在最小值. 探究点二 例3　解:设2≤x1<x2≤6,则f(x1)-f(x2)=-=,∵2≤x1<x2≤6, ∴x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在区间[2,6]上单调递增,∴f(x)在区间[2,6]上的最小值为f(2)=,最大值为f(6)=. 变式　解:(1)f(x)=x+在区间(1,+∞)上单调递增,证明如下:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=. 由x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,得x1x2-1>0,x1-x2<0,x1x2>0,则<0, 即f(x1)<f(x2),所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递增. (2)由(1)知f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在[2,7]上的最小值为f(2)=,最大值为f(7)=. 探究点三 例4　解:(1)当a=2时,f(x)=2x2-4x+3,函数f(x)的图象的对称轴方程为x=1,且开口向上,则f(x)=2x2-4x+3在[-1,1)上单调递减,在[1,2]上单调递增,又f(-1)=9,f(2)=3,所以函数f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f(1)=1,最大值为f(-1)=9,所以函数f(x)在区间[-1,2]上的取值范围为[1,9]. (2)函数f(x)=2x2-2ax+3的图象的对称轴方程为x=,且开口向上. 当≤-1,即a≤-2时,f(x)在[-1,1]上单调递增,则g(a)=f(-1)=5+2a;当-1<<1,即-2<a<2时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,则g(a)=f=-+3; 当≥1,即a≥2时,f(x)在[-1,1]上单调递减,则g(a)=f(1)=5-2a. 综上,g(a)= (3)函数f(x)=2x2-2ax+3的图象的对称轴方程为x=,且开口向上. 当≤-1,即a≤-2时,f(x)在[-1,1]上单调递增,则h(a)=f(1)=5-2a; 当-1<≤0,即-2<a≤0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,且h(a)=f(1)=5-2a; 当0<<1,即0<a<2时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,且h(a)=f(-1)=5+2a. 当≥1,即a≥2时,f(x)在[-1,1]上单调递减,则h(a)=f(-1)=5+2a.综上,h(a)= 变式　解:函数f(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,其图象的对称轴方程为x=-1,且开口向下. ①当m+1≤-1,即m≤-2时,函数f(x)在[m-1,m+1]上单调递增,此时h(m)=f(m+1)=-m2-4m; ②当m-1<-1<m+1,即-2<m<0时,函数f(x)在[m-1,-1)上单调递增,在[-1,m+1]上单调递减,此时h(m)=f(-1)=4; ③当m-1≥-1,即m≥0时,函数f(x)在[m-1,m+1]上单调递减,此时h(m)=f(m-1)=-m2+4.综上,f(x)在[m-1,m+1]上的最大值h(m)= 探究点四 例5　解:(1)∵宽为x,∴长为36-3x,∴S=(36-3x)x=-3x2+36x,函数的定义域需满足∴0<x<12,∴S=-3x2+36x,定义域为(0,12). (2)S=-3x2+36x=-3(x2-12x)=-3(x-6)2+108,∵0<x<12,∴当x=6时,S取得最大值108, ∴每间熊猫居室的最大面积是=54(m2),∴当宽为6 m时,每间熊猫居室的面积最大,最大面积是54 m2. 变式　40　[解析] 设该种商品每天的销售利润为y元,则y=(x-30)m=(x-30)(100-2x)=-2(x-40)2+200,由题知30≤x≤50,所以当x=40时,y取得最大值200.所以若要每天获得最大销售利润,则每件商品的售价应定为40元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　利用单调性求最值 【学习目标】 　　理解函数的最大(小)值:(1)理解函数最大(小)值的定义;(2)能根据函数图象得出函数的最大(小)值;(3)对已经学过的简单函数,能根据函数的单调性求出其最大(小)值. ◆ 知识点一　函数的最大(小)值及几何意义 前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D 条件 如果存在实数M满足:∀x∈D,都有　　　　;∃x0∈D,使得　　　　　  如果存在实数m满足:∀x∈D,都有　　　　;∃x0∈D,使得　　　　  结论 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值 那么,我们称m是函数y=f(x)的最小值 几何 意义 f(x)图象上最高点的　　　　  f(x)图象上最低点的　　　　　  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)已知f(x)的定义域为D,若∀x∈D,都有f(x)≤M,则M是函数f(x)的最大值. (　 ) (2)因为不等式x2≥0总成立,且当x=0时等号成立,所以0是f(x)=x2的最小值. (　 ) 2.一个函数是否一定有最值?若一个函数有最值,则它的最值与值域有什么关系? ◆ 知识点二　求函数最值的常用方法 (1)图象法:作出y=f(x)的图象,观察最高点与最低点,最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值. (2)运用已学函数的值域. (3)运用函数的单调性 ①若函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递增,则ymax=　　　　,ymin=　　　　.   ②若函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递减,则ymax=　　　　,ymin=　　　　.   (4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个. 【诊断分析】 要确定f(x)=ax+2(a≠0)在[-1,3]上的最值,需要先确定什么? ◆ 探究点一　利用图象求函数的最值 例1 定义域为[-2,3]的函数f(x)的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是 (　 ) 　　 　　　　　 　　　　　 A.-1,2 B.0,2 C.-1,3 D.3,2　　　　　 　　　　　 　　　　　 例2 已知函数f(x)=求函数f(x)的最大值、最小值. 变式 作出函数y=|x-2|(x+1)的图象,说明函数的单调性,并判断该函数是否存在最大值和最小值. [素养小结] (1)分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者,最小值为各段上最小值中的最小者,故求分段函数的最大值或最小值时,应先求各段上的最值,再比较,即得函数的最大值或最小值. (2)若函数的图象容易作出,则画出分段函数的图象,观察图象的最高点与最低点,并求其纵坐标,即得函数的最大值、最小值. ◆ 探究点二　利用函数的单调性求最值 例3 已知函数f(x)=,求函数f(x)在区间[2,6]上的最大值与最小值. 变式 已知函数f(x)=x+. (1)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并利用定义证明; (2)求函数f(x)在[2,7]上的最大值和最小值. [素养小结] 1.利用函数的单调性求最值: 首先判断函数的单调性,然后利用单调性写出最值. 2.求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值. ◆ 探究点三　二次函数的最值 例4 已知函数f(x)=2x2-2ax+3. (1)当a=2时,求函数f(x)在区间[-1,2]上的取值范围; (2)若函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(a),求g(a). (3)求函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值h(a). 变式 已知函数f(x)=-x2-2x+3,求f(x)在[m-1,m+1]上的最大值h(m). [素养小结] 一元二次函数在闭区间上的最值问题的一般解法: (1)先判断函数图象的对称轴在闭区间内还是在闭区间外; (2)当函数图象的对称轴在闭区间内时,函数在图象顶点处取得一个最值,另一个最值在距对称轴较远的端点处取得(有时需要讨论图象的对称轴在闭区间中点的左侧、右侧或过中点的情况); (3)当函数图象的对称轴不在闭区间内时,最值在两个端点处取得. ◆ 探究点四　函数最值的实际应用 例5 如图所示,动物园要建造一面靠墙的2间完全相同的矩形熊猫居室,可供建造围墙的材料总长是36 m(不计损耗). (1)把两间熊猫居室的总面积S(单位:m2)表示为宽x(单位:m)的函数,求函数的解析式,并写出定义域. (2)当宽为多少时才能使所建造的每间熊猫居室的面积最大?每间熊猫居室的最大面积是多少? 变式 某商场以每件30元的价格购进一种商品,根据销售经验,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数m=100-2x,若要每天获得最大销售利润,则每件商品的售价应定为　　　　元.  [素养小结] 对于实际应用问题,首先要审清题意,确定自变量和因变量的条件关系,建立数学模型,列出函数解析式,进而分析函数的性质,从而解决问题.同时要注意自变量的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $