3.2.1 第1课时 函数的单调性（Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 【学习目标】 　　理解函数的单调性:(1)能在用文字语言、图形语言描述函数单调性的基础上,用符号语言刻画函数的单调性;(2)能利用函数的单调性画函数图象,能根据函数图象写出函数的单调区间;(3)对简单函数,能根据图象直接求出函数的单调区间;(4)能根据函数单调性的定义证明简单函数的单调性. ◆ 知识点一　增函数与减函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有　　　　　　　,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数  当x1<x2时,都有　　　　　　,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数  图象 描述 自左向右看图象是　　　  自左向右看图象是　　　  差商 结构 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,>0 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,<0 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)=-是增函数. (　 ) (2)已知f(x)在区间I上单调递增,且x1,x2∈I,若f(x1)<f(x2),则x1<x2. (　 ) (3)函数f(x)的定义域为D,如果定义域内某个区间I上存在两个自变量x1,x2,当x1<x2时,有f(x1)>f(x2),那么f(x)在区间I上单调递减. (　 ) ◆ 知识点二　单调性与单调区间 (1)如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)　　　　　,区间I叫作y=f(x)的　　　　　　　　　.  (2)单调区间与单调性的关系 一般地, 函数单调性的定义,是对函数在某个范围内增加或减少的性质、图象上升或下降的趋势的一种描述,而这个“范围”不-定局限于某个区间,所以若判断一个函数的单调性,以在定义域内的某个子集来研究,这个子集可以是区间,也可以不是区间,如N*. 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数y=f(x)在[1,+∞)上单调递减,则函数f(x)的单调递减区间是[1,+∞). (　 ) (2)函数y=x2的单调递增区间是(0,+∞). (　 ) 2.画出函数y=的图象,结合图象判断下列说法是否正确. (1)函数y=是减函数; (2)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). ◆ 探究点一　确定函数的单调区间 例1 函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象如图所示,指出它的单调区间. 变式 (1)函数r=f(p)的图象如图所示,则该函数的定义域和单调区间分别是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.[-5,0],[2,6)和[-5,0]∪[2,6] B.[-5,0]∪[2,6)和[-5,0]∪[2,6) C.[-5,0],[2,6)和(-5,0)∪(2,6) D.[-5,0]∪[2,6)和[-5,0],[2,6) (2)函数y=x2-3|x|+1的单调递减区间为　　　　.  [素养小结] 由图象确定函数单调区间的方法及注意事项: (1)图象从左向右上升,则函数单调递增;图象从左向右下降,则函数单调递减. (2)单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“∪”,而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接. (3)区间端点的写法:对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调问题,因此写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但对于某些点无意义时,单调区间就不包括这些点. ◆ 探究点二　函数单调性的证明 例2 (1)已知函数f(x)=x+,求证:f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. (2)判断并证明函数f(x)=x2+在区间(1,+∞)上的单调性. 变式 讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. [素养小结] 1.利用定义证明函数单调性的步骤: (1)取值:设x1,x2是定义域内的任意两个值,且x1<x2; (2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的关系式; (3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号; (4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号与定义确定单调性. 2.利用复合函数的单调性求单调区间的步骤 (1)求函数定义域;(2)找出外层函数f(t)与内层函数g(x);(3)先判断外层函数的单调性,再在定义域上判断内层函数的单调性;(4)内外两层函数在某个区间上单调性相反,则该区间是单调递减区间;反之,若单调性相同,则是单调递增区间. 拓展 (1)函数y=的单调递增区间为　　　　.  (2)已知函数f(x)的定义域为R,对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,判断并证明f(x)的单调性. ◆ 探究点三　函数单调性的应用 例3 (1)若函数f(x)=是定义在R上的增函数,则实数a的取值范围为 (　 ) A.[2,3) B.[2,3] C.[2,6) D.[2,6] (2) 已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3. ①若函数f(x)在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　;  ②若函数f(x)的单调递增区间是(-∞,3],则实数a的值为　　　　.  (3)已知函数f(x)对于任意的x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),都有<0,则f(2),f(π),f(3)的大小关系为　　　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[1,2]上不单调,则实数a的取值范围为　　　　.  (2)已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则实数a的取值范围为　　　　.  [素养小结] (1)对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调性问题中所涉及的参数问题,要根据这些函数的图象、性质进行讨论. (2)解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题,其关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为熟悉的不等式.但需要注意的是,不要忘记函数的定义域. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 【课前预习】 知识点一 f(x1)<f(x2)　f(x1)>f(x2) 上升的　下降的 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)× [解析] (1)f(x)=-在区间(0,+∞)和(-∞,0)上均单调递增,但在定义域上不单调递增,故f(x)不是增函数. (2)根据增函数的定义可知结论正确. (3)函数f(x)的定义域为D,如果对定义域内某个区间I上任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么f(x)在区间I上单调递减. 知识点二 单调性　单调递增区间或单调递减区间 诊断分析 1.(1)×　(2)√　[解析] (1)若函数y=f(x)的单调递减区间是(0,+∞),则[1,+∞)为(0,+∞)的子集. (2)函数y=x2的图象开口向上,对称轴方程为x=0,故函数y=x2的单调递增区间是(0,+∞). 2.解:y=的图象如图所示. (1)中说法是错误的,从左向右看,函数y=的图象不是下降的. (2)中说法是错误的,函数y=的单调递减区间应是(-∞,0),(0,+∞),不能写成(-∞,0)∪(0,+∞). 【课中探究】 探究点一 例1　解:由图象知,函数f(x)的单调递增区间为[-1.5,3),[5,6),单调递减区间为[-4,-1.5),[3,5),[6,7]. 变式　(1)D　(2), [解析] (1)定义域是函数自变量p的取值范围,即为[-5,0]∪[2,6),函数的单调递增区间有2个,不能用并集表示,即[-5,0],[2,6).故选D. (2)y=x2-3|x|+1= 由此画出函数y=x2-3|x|+1的图象如图所示,由图可知,函数y=x2-3|x|+1的单调递减区间为,. 探究点二 例2　解:(1)证明:设0<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=x2+-=x2-x1+=x2-x1+=(x2-x1)·. 因为0<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1x2-1<0,x1x2>0,所以(x2-x1)·<0,即f(x2)<f(x1),所以f(x)在(0,1)上单调递减.同理,设1<x1<x2,则f(x2)-f(x1)=(x2-x1)·>0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(1,+∞)上单调递增. (2)函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.证明如下:设1<x1<x2,则f(x2)-f(x1)=-+- =(x2-x1), 因为x2>x1>1,所以x2-x1>0,x2+x1>2,x1x2>1,所以0<<1,所以0<<2,所以-2<-<0,所以x2+x1->0, 所以f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增. 变式　解:任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,易知f(x)==a,则f(x1)-f(x2)=a-a=, 又x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 拓展　(1)(-∞,-1]　[解析] 由x2+2x+4=(x+1)2+3>0得,函数的定义域是R,设u=x2+2x+4,则u=x2+2x+4在(-∞,-1]上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,∵y=在(0,+∞)上单调递减,∴函数y=的单调递增区间是(-∞,-1]. (2)解:f(x)在R上单调递减. 证明如下:任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0.因为f(x+y)-f(x)=f(y),所以f(x+y)-f(x)=f[(x+y)-x],令x2=x+y,x1=x,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1).因为当x>0时,f(x)<0,且x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),所以函数f(x)在R上单调递减. 探究点三 例3　(1)B　(2)①(-∞,-4]　②-4 (3)f(π)<f(3)<f(2)(或f(2)>f(3)>f(π))　[解析] (1)因为函数f(x)=是定义在R上的增函数,所以 解得2≤a≤3,即实数a的取值范围为[2,3].故选B. (2)f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3,因此函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-a-1]. ①由f(x)在(-∞,3]上单调递增,得3≤-a-1,解得a≤-4,故实数a的取值范围是(-∞,-4]. ②由题意得-a-1=3,解得a=-4. (3)因为函数f(x)对于任意的x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),都有<0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,因为π>3>2,所以f(π)<f(3)<f(2). 变式　(1)(-4,-2)　(2) [解析] (1)函数f(x)的图象的对称轴方程为x=-,要使函数f(x)在区间[1,2]上不单调,只需1<-<2,解得-4<a<-2,故a的取值范围是(-4,-2). (2)由题知解得0<a<,故所求a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $