3.1.1 第2课时 函数的概念(二) （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 围绕“函数的概念(二)”，通过基础概念梳理、例题变式训练及拓展提升，构建从单一知识点到综合应用的分层巩固路径，注重数学抽象、逻辑推理与模型意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|区间表示、同一函数判断、函数值域的单一概念|以表格系统梳理区间定义与符号，诊断分析强化概念辨析，夯实数学抽象基础| |提升层|区间应用、同一函数判断、函数值域的综合应用|例题结合变式题，覆盖选择、解答题型，渗透配方法、换元法等，发展逻辑推理能力| |拓展层|复杂函数值域求解|设置拓展题，深化数学思维，提升运用数学语言解决问题的能力|

第2课时　函数的概念(二) 【学习目标】 　　1.会判断两个函数是否为同一个函数. 　　2.能正确使用区间表示数集. 　　3.会求一些简单函数的值域. ◆ 知识点一　区间表示 设a,b∈R,且a<b,规定如下: 定义 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} [a,b] {x|a<x<b} (a,b) {x|a≤x<b} [a,b) {x|a<x≤b} (a,b] {x|x≥a} [a,+∞) {x|x>a} (a,+∞) {x|x≤b} (-∞,b] {x|x<b} (-∞,b) ◆ 知识点二　同一个函数 1.函数的三要素:　　　　、　　　　　和　　　　.  2.如果两个函数的　　　　　　,并且　　　　　　　　　　,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.  【诊断分析】 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗? ◆ 探究点一　区间的应用 例1 将下列集合用区间以及数轴表示出来: (1){x|x<2}; (2){x|-1<x<0或1≤x≤5}; (3){x|2≤x≤8且x≠5}; (4){x|3<x<5}. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)下列集合不能用区间的形式表示的个数为 (　 ) ①{0,1,5,10};②{x|2<x≤10,x∈N};③⌀;④{x|x是等边三角形};⑤{x|x≤0或x≥3};⑥{x|x>1,x∈Q}. A.2 B.3 C.4 D.5 (2)已知[a,2-a2]为一确定区间,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-2,1) B.(-1,2) C.[-2,1] D.[-1,2] [素养小结] 用区间表示数集时需注意: (1)区间左端点值小于右端点值; (2)区间两端点之间用“,”隔开; (3)含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号; (4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时,这端必须用小括号. ◆ 探究点二　同一函数的判断 例2 (1)(多选题)下列各组函数中,两个函数是同一个函数的有 (　 ) A.f(x)=x0,g(x)=1 B.f(x)=|x|,g(x)= C.f(x)=x2,g(x)= D.f(x)=x2,g(t)=t2 (2)试判断函数y=·与函数y=是否为同一个函数,并说明理由. 变式 判断下列各组中的函数是否为同一个函数,并说明理由. (1)已知一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm,其中一条直角边的长为x cm,直角三角形的面积为y cm2,则表示y与x关系的函数y=x(20-x)和u=-v2+10v. (2)f(x)=πx2(x>0)和圆的面积S关于圆的半径r的函数. [素养小结] 判断两个函数是否为同一个函数时应注意的三点: (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是同一个函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时,必须是等价变形. ◆ 探究点三　求函数的值域 例3 求下列函数的值域. (1)f(x)=-x2+2x+1,x∈[0,3]; (2)f(x)=x-; (3)f(x)=. 变式 求下列函数的值域. (1)f(x)=(x>1); (2)f(x)=2x+; (3)f(x)=. [素养小结] 求函数值域时,应根据各个式子的不同结构特点,选择不同的方法,常用方法如下: (1)观察法:对于一些比较简单的函数, 通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函数的值域. (2)配方法:若函数是二次函数形式,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配方再结合二次函数的性质求值域. (3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域. (4)换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b±),通过换元把它们转化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求原函数的值域. 拓展 求f(x)=的值域. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　函数的概念(二) 【课前预习】 知识点二 1.定义域　对应关系(解析式)　值域 2.定义域相同 对应关系(解析式)完全一致 诊断分析 解:不一定.因为定义域和值域不能确定函数的对应关系.如y=x+1与y=x-1,两个函数的定义域和值域均为实数集R,但这两个函数不是同一个函数,因为对应关系不同. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1){x|x<2}用区间表示为(-∞,2),用数轴表示如图所示. (2){x|-1<x<0或1≤x≤5}用区间表示为(-1,0)∪[1,5],用数轴表示如图所示. (3){x|2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2,5)∪(5,8],用数轴表示如图所示. (4){x|3<x<5}用区间表示为(3,5),用数轴表示如图所示. 变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)区间形式可以表示连续数集,是无限集.①②是自然数集的子集,③是空集,均为有限集,都不能用区间形式表示;④是图形的集合,不是数集;⑥Q是有理数集,数轴上大于1的有理数不是连续的;只有⑤能用区间的形式表示,区间形式为(-∞,0]∪[3,+∞).故选D. (2)因为[a,2-a2]为一确定区间,所以a<2-a2,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.故选A. 探究点二 例2　(1)BD　[解析] 对于A,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)的定义域为R,所以两函数不是同一个函数;对于B,两函数的定义域都为R,且=|x|,所以两函数是同一个函数;对于C,函数f(x)=x2的定义域为R,而函数g(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,所以两函数不是同一个函数;对于D,两函数的定义域都为R,且对应关系相同,所以两函数是同一个函数.故选BD. (2)解:不是同一个函数.对于函数y=·,由解得x≥1,故定义域为{x|x≥1}.对于函数y=,由(x+1)(x-1)≥0,解得x≥1或x≤-1,故定义域为{x|x≥1或x≤-1}.显然两个函数的定义域不同,故不是同一个函数. 变式　解:(1)不是同一个函数.虽然两个函数的对应关系相同,但是前者的定义域为(0,20),后者的定义域为R. (2)是同一个函数,两个函数的定义域相同,对应关系也相同,故是同一个函数. 探究点三 例3　解:(1)f(x)=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,∵x∈[0,3],∴x-1∈[-1,2],∴-(x-1)2+2∈[-2,2],即函数f(x)=-x2+2x+1,x∈[0,3]的值域为[-2,2]. (2)f(x)=x-=-, ∵≥0,∴-≥-,即函数f(x)=x-的值域为. (3)方法一:因为f(x)===2+,且≠0,所以f(x)≠2,所以原函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞). 方法二:令y=,则x=(y≠2),所以原函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞). 变式　解:(1)f(x)===-2+(x>1), 因为x>1,所以x+1>2,则0<<,即0<<2,故-2<-2+<0,所以f(x)的值域为(-2,0). (2)令=t(t≥0),则x=1-t2,所以y=-2t2+t+2=-2+(t≥0),由二次函数的性质知,当t==,即x=时,f(x)取得最大值,故函数f(x)的值域为. (3)设y=,则yx2+(3y-8)x+4y-15=0,当y=0时,x=-;当y≠0时,视其为关于x的一元二次方程,由Δ=(3y-8)2-4y(4y-15)≥0,解得-≤y≤4,又y≠0,故-≤y<0或0<y≤4.综上,函数f(x)的值域为. 拓展　解:方法一:令y=,因为x∈R,所以关于x的方程(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0有解. 当y-1=0,即y=1时,x=0; 当y-1≠0时,Δ=(y+1)2-4(y-1)2≥0,整理得3y2-10y+3≤0,可得≤y<1或1<y≤3. 综上,原函数的值域为. 方法二:令y=,则y===1-. 当x=0时,y=1;当x≠0时,y=1-=1-,当x>0时,因为x+≥2,当且仅当x=1时取等号,所以0<≤,所以≤1-<1,当x<0时,因为x+≤-2,当且仅当x=-1时取等号,所以-1≤<0, 所以1<1-≤3. 综上,原函数的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $