3.1.1 第1课时 函数的概念(一) （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

第三章　函数的概念与性质 3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念(一) 【课前预习】 知识点一 非空的实数集　任意一个数x 唯一确定的数y　f:A→B y=f(x),x∈A　取值范围A {f(x)|x∈A} 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)× [解析] (1)根据函数的定义,对于定义域中的任意一个数x,在值域中都有唯一确定的数y与之对应. (2)由函数定义可知,定义域就是集合A,但值域是集合B的子集. (3)函数的定义域和值域不一定是无限集合,也可以是有限集,但一定不是空集,如函数f(x)=x,定义域为{1},值域为{1}. (4)y=1+x2的值域为{y|y≥1}. 2.解:不确定,例如函数的定义域为A={-1,0,1},值域为B={0,1},则对应关系可能为f(x)=x2或f(x)=|x|. 知识点二 1.R　R 2.{x|x<0或x>0}　{y|y<0或y>0} 3.R　a>0　　a<0 【课中探究】 探究点一 例1　(1)BD　(2)AD　[解析] (1)对于A,由图可知,有的x有两个y的值与其对应,所以不是函数图象,所以A错误;对于B,由图可知,定义域内的每一个x都只有一个y的值和它对应,所以是函数图象,所以B正确;对于C,由图可知,有的x有两个y的值与其对应,所以不是函数图象,所以C错误;对于D,由图可知,定义域内的每一个x都只有一个y的值和它对应,所以是函数图象,所以D正确.故选BD. (2)对于A,每一个自变量都有唯一确定的数与之对应,可以构成函数,A正确;对于B,自变量3没有对应的数,不能构成函数,B错误;对于C,自变量2同时对应了两个数,不能构成函数,C错误;对于D,每一个自变量都有唯一确定的数与之对应,可以构成函数,D正确.故选AD. 变式　BD　[解析] 对于A选项,因为0∈M,而0没有倒数,故A选项错误;对于B选项,因为任意实数的绝对值都是非负数,即集合M中的每一个数在集合N中都有唯一确定的数与之对应,故B选项正确;对于C选项,因为每个正数的平方根都有两个,即集合M中的每个数在集合N中都有两个数与之对应,故C选项错误;对于D选项,因为y=x2-2x+2=(x-1)2+1,当x≥2,x∈N*时,有y≥2,y∈N*,且每个x对应唯一的y值,故必有y∈N*成立,故D选项正确.故选BD. 例2　解:已知正方形的面积为x(x>0),求正方形的边长y,则y=. 变式　解:已知长方形的面积为220,其中一边的长为x(x>0),求长方形的另一边的长y,则y=(x>0). 探究点二 例3　(1){x|-1≤x≤1}　(2){x|x≥0且x≠1}　[解析] (1)要使函数f(x)=+有意义,则需满足解得-1≤x≤1,所以函数f(x)=+的定义域为{x|-1≤x≤1}. (2)由题得解得x≠1且x≥0,故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}. 变式　解:(1)由题意可得解得x>-1且x≠1,故该函数的定义域为{x|x>-1且x≠1}. (2)要使f(x)=有意义,则x2-3x-4>0,即(x-4)(x+1)>0,解得x<-1或x>4,所以函数f(x)的定义域为{x|x<-1或x>4}. 拓展　(1)0≤m≤　(2)　(3){x|-2≤x≤4} [解析] (1)f(x)=的定义域为R,所以mx2+3mx+m+1≥0在R上恒成立.当m=0时,1≥0恒成立,符合题意;当m≠0时,mx2+3mx+m+1≥0,所以 解得0<m≤.综上,0≤m≤. (2)∵y=f(x)的定义域是{x|-2≤x≤3},∴令-2≤2x-1≤3,解得-≤x≤2,∴y=f(2x-1)的定义域是. (3)因为函数f(2x-1)的定义域为{x|-1≤x≤2},所以-1≤x≤2,则-3≤2x-1≤3,对于函数f(1-x),得-3≤1-x≤3,故-2≤x≤4,所以函数f(1-x)的定义域为{x|-2≤x≤4}. 探究点三 例4　解:(1)∵f(x)=,∴f(2)==. ∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6. (2)f[g(2)]=f(6)==. 变式　(1)3　(2)2　[解析] (1)在g(x+2)=2x+3中,令x=0,得g(2)=3. (2)∵函数f(x)=,g(x)=ax2-x(a∈R),∴g(1)=a-1,则f[g(1)]=f(a-1)==1,解得a=2. 拓展　D　[解析] f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=3,则f(3)+f(3)=f(9),即2f(3)=6,可得f(3)=3;令x=y=,则f()+f()=f(3),即2f()=3,可得f()=;令x=3,y=,可得f(3)=f(3)+f()=3+=.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　函数的概念与性质 3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念(一) 【学习目标】 　　理解函数概念:(1)能够利用图示法描述两个实数集的元素之间的对应关系去理解函数;(2)对于具体函数,能正确分清函数的定义域、对应关系与值域这三个要素;(3)对于给定的函数,能根据自变量的值计算对应的函数值. ◆ 知识点一　函数的有关概念 函数的概念 一般地,设A,B是　　　　　　,如果对于集合A中的　　　　　　　,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有　　　　　　　　和它对应,那么就称　　　　为从集合A到集合B的一个函数  函数的记法 　　　　　　　  定义域 x叫作自变量,x的　　　　　　叫作函数的定义域  值域 与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合　　　　　　叫作函数的值域,值域是集合B的子集.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的定义域中的任何一个数x可以对应值域中不同的y. (　 ) (2)对于函数f:A→B,其定义域就是集合A,值域就是集合B. (　 ) (3)函数的定义域和值域一定是无限数集. (　 ) (4)函数y=1+x2的值域为{y|y>1}. (　 ) 2.如果函数y=f(x)的定义域、值域确定,那么对应关系确定吗? ◆ 知识点二　常见函数的定义域、值域 1.一次函数y=kx+b(k≠0)的定义域为　　　　,值域为　　　　.   2.反比例函数y=(k≠0)的定义域为　　　　　　　　,值域为　　　　　　　　　　　.  3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为　　　　.当　　　　时,值域为　　　　　　;当　　　　时,值域为　　　　　　　　.  ◆ 探究点一　函数概念的理解 角度1　函数的判断 例1 (1)(多选题)下列各图象中,是函数图象的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A B C D (2)(多选题) 给出下列四个对应关系,其中能构成函数的是 (　 ) A B C D 变式 (多选题)以下从M到N的对应关系表示函数的是 (　 ) A.M=R,N=R,f:x→y= B.M=R,N={y|y≥0},f:x→y=|x| C.M={x|x>0},N=R,f:x→y=± D.M={x|x≥2,x∈N*},N={y|y≥0,y∈N*},f:x→y=x2-2x+2 [素养小结] 1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l; (2)在定义域内平行移动直线l; (3)若l与图形有且只有一个交点,则是函数,若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数. 2.判断一个对应关系是否为函数的方法 角度2　构建问题情境 例2 构建一个问题情境,使其中的变量关系能用解析式y=来描述. 变式 构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=(x>0)来描述. ◆ 探究点二　求函数的定义域 例3 (1)函数f(x)=+的定义域为　　　　　　.  (2)函数f(x)=+的定义域为　　　　　　.  变式 求下列函数的定义域. (1)y=(x-1)0+; (2)f(x)=. [素养小结] 求函数的定义域应关注三点: (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般是:①分式的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③y=x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形,以免定义域发生变化. (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. 拓展 (1)已知函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围为　　　　.  (2)已知函数y=f(x)的定义域是{x|-2≤x≤3},则y=f(2x-1)的定义域是 　　　　　.  (3)已知函数f(2x-1)的定义域为{x|-1≤x≤2},则函数f(1-x)的定义域为 　　　　.  ◆ 探究点三　求函数的值 例4 已知函数f(x)=(x∈R且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R). (1)求f(2),g(2)的值; (2)求f[g(2)]的值. 变式 (1)若函数g(x+2)=2x+3,则g(2)的值是　　　　.  (2)已知函数f(x)=,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=　　　　.  [素养小结] 求函数值的方法及关注点: (1)方法:①已知f(x)的解析式时,只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值;②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则. (2)关注点:用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值,否则求值无意义. 拓展 设函数y=f(x)的定义域为{x|x>0},f(xy)=f(x)+f(y),若f(9)=6,则f(3)等于 (　 ) A. B.2 C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $