2.3 第2课时 一元二次不等式的简单应用 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 高中数学新授课同步练，第2课时“一元二次不等式的简单应用”，覆盖分式不等式解法、恒成立问题、实际应用三大知识点，通过三层递进设计实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养数学抽象、逻辑推理与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础诊断层|分式不等式转化、恒成立条件|判断正误题强化概念辨析，夯实数学抽象基础| |例题应用层|分式不等式解法、恒成立问题求解|典型例题示范转化思想，培养逻辑推理能力| |变式提升层|含参数不等式、实际问题建模|情境化变式题提升应用能力，发展数学模型观念|

第2课时　一元二次不等式的简单应用 【学习目标】 　　1.能够利用转化思想理解并掌握分式不等式的解法. 　　2.会用判别式法、分离参数法等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题. 　　3.会用一元二次不等式解决简单的实际问题,初步体会一元二次不等式的现实意义. ◆ 知识点一　可转化为一元二次不等式的简单分式不等式 简单分式不等式可转化为同解的一元二次不等式(组),或者变形转化为一元一次不等式组. >0⇔　　　　　　　　　;  <0⇔　　　　　　　　　;   ≥0⇔　　　　　　　　　;  ≤0⇔　　　　　　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式≥0的解集为{x|x≥1或x≤0}. (　 ) (2)若<0,则(1-x)(x+1)<0. (　 ) ◆ 知识点二　不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立的情况: ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔　　　　　　;   ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔　　　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若a,b,c满足则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个负实数根. (　 ) (2)“一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R”的充要条件是“Δ<0”. (　 ) (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负两个实数根,则ac<0. (　 ) ◆ 知识点三　用一元二次不等式解决实际问题 的步骤 1.理解题意,搞清量与量之间的关系; 2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题; 3.解这个一元二次不等式,得到实际问题的解. ◆ 探究点一　分式不等式的解法 例1 解下列不等式. (1)<0;(2)≤1. 变式 (1)不等式>-2的解集是　　　　.  (2)若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式>0的解集为　　　　　　　　.  [素养小结] (1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式(组)或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零的形式,然后再用上述方法求解. ◆ 探究点二　一元二次不等式恒成立与能成立问题　　　　　 　　　　　 　　　　　 例2 (1)若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x的解集为R,则实数m的取值范围是 (　 ) A.-2<m<2 B.-2<m≤2 C.m<-2或m≥2 D.m<2 (2)若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围为 (　 ) A.-2<a≤ B.-2≤a≤ C.a<-2或a≥ D.a≤-2或a≥ (3)若对任意x∈{x|1≤x≤2},不等式2x2-(3a+2)x+a2+a≤0恒成立,求a的取值范围. 变式 (1)已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴的上方,则实数k的取值范围为　　　　　　.  (2)关于x的不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是　　　　　　　.  (3)设q:∃x∈{x|-1≤x≤1},不等式x2-x+1+m≤0成立,若q为真命题,求实数m的取值范围. [素养小结] 要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法:参变量分离法、数形结合法、最值法等.在解决一元二次不等式恒成立问题的过程中,除了要对二次项系数是不是零进行分类讨论外,还要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数. ◆ 探究点三　一元二次不等式的实际应用 例3 某地区上年度的电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量(单位:千瓦时)与实际电价和用户期望电价的差成反比,且比例系数为k.该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时. (1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y(元)与实际电价x(元/千瓦时)的关系式. (2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时,可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%? 附:收益=实际用电量×(实际电价-成本价). 变式 如图所示,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求M在射线AB上,N在射线AD上,且对角线MN过点C,已知AB=4米,AD=3米,设AN=x米. (1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米,求x的取值范围; (2)现要在扩建部分铺上大理石,则当x的值为多少时,用料最省? [素养小结] 解不等式应用题,一般可按四步进行:①审题,找出关键量和不等关系;②引进数学符号,用不等式表示不等关系;③解不等式;④回到实际问题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　一元二次不等式的简单应用 【课前预习】 知识点一 (ax+b)(cx+d)>0 (ax+b)(cx+d)<0 　 诊断分析 (1)×　(2)√　[解析] (1)≥0⇔解得x>1或x≤0,故不等式的解集为{x|x>1或x≤0}. (2)因为<0,所以(1-x)(x+1)<0. 知识点二 　 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√ [解析] (1)在所给条件下,一元二次方程ax2+bx+c=0不一定有两个负实数根,可以有两个正实数根,如x2-6x+8=0的两个根是2和4. (2)若一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则所以“一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R”的充要条件是“a>0,Δ<0”. (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负两个实数根,则由根与系数的关系知<0,即ac<0. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)因为<0,所以>0,则(x-4)(x+3)>0,解得x<-3或x>4,所以不等式<0的解集是{x|x<-3或x>4}. (2)不等式≤1,即-1≤0,所以≤0,所以 解得x≥1或x<-1,所以原不等式的解集为{x|x<-1或x≥1}. 变式　(1)　(2){x|x<-1或x>2}　[解析] (1)>-2等价于>0,即(4x-7)(x-2)>0,解得x<或x>2,故原不等式的解集为. (2)由题意得x=1为方程ax-b=0的根,∴a-b=0,即a=b.∵ax-b>0的解集为{x|x>1},∴a>0,∴=>0等价于(x+1)(x-2)>0,解得x>2或x<-1,∴不等式的解集为{x|x<-1或x>2}. 探究点二 例2　(1)B　(2)C　[解析] (1)由题意知,不等式mx2+2mx-4<2x2+4x的解集为R,即不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0在R上恒成立.当m-2=0,即m=2时,不等式-4<0恒成立,满足题意;当m-2≠0,即m≠2时,需满足 即解得-2<m<2.综上可得,实数m的取值范围是-2<m≤2.故选B. (2)①当a2-4=0,即a=±2时,若a=2,则原不等式为4x-1≥0,解得x≥,则不等式的解集为,不是空集;若a=-2,则原不等式为-1≥0,无解,不符合题意. ②当a2-4≠0,即a≠±2时,若(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则有 解得-2<a<,故当不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集时,有a<-2或a≥且a≠2.综上,实数a的取值范围为a<-2或a≥.故选C. (3)因为二次函数y=2x2-(3a+2)x+a2+a的图象开口向上,所以当1≤x≤2时,该二次函数的最大值必在x=1或x=2处取得,所以要使不等式2x2-(3a+2)x+a2+a≤0对任意x∈{x|1≤x≤2}恒成立,需满足当x=1时,函数值y=2-(3a+2)+a2+a=a2-2a≤0且当x=2时,函数值y=8-2(3a+2)+a2+a=a2-5a+4≤0,解不等式组得 所以1≤a≤2,所以a的取值范围为1≤a≤2. 变式　(1)1≤k<19　(2)a>4或a<-4 [解析] (1)由k2+4k-5=0,解得k=-5或k=1.当k=-5时,函数为一次函数,不符合题意;当k=1时,函数为常函数,此时y=3,符合题意;当k≠-5且k≠1时,函数为二次函数,则 解得1<k<19.综上,1≤k<19. (2)关于x的不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,即关于x的不等式x2+ax+4<0有解,所以Δ=a2-4×1×4>0,解得a>4或a<-4. (3)解:令函数y=x2-x+1,当q为真命题时,∃x∈{x|-1≤x≤1},不等式x2-x+1≤-m成立. 对于二次函数y=x2-x+1,其图象开口向上,对称轴方程为x=,则当-1≤x≤1时,二次函数y=x2-x+1在x=处取得最小值,因为q为真命题,所以≤-m,解得m≤-,故实数m的取值范围是m≤-. 探究点三 例3　解:(1)依题意知,若下调后的实际电价为x元/千瓦时,则本年度用电量增至千瓦时,所以y=(x-0.3)(0.55≤x≤0.75). (2)依题意,有(x-0.3)≥[a×(0.8-0.3)](1+20%)(0.55≤x≤0.75),整理得x2-1.1x+0.3≥0(0.55≤x≤0.75),可得0.6≤x≤0.75,故当电价最低定为0.6元/千瓦时时,可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%. 变式　解:(1)由已知得x>3,由DC∥AM,可得=,即=,则AM=,则矩形花坛AMPN的面积为AM·AN=. 根据题意得>54,所以2x2-27x+81>0,即(2x-9)(x-9)>0, 又x>3,所以3<x<或x>9,所以x的取值范围是3<x<或x>9. (2)根据题意可得,扩建部分的面积S=-12,x>3, 令t=x-3(t>0),则S=-12=4t++12≥2+12=36,当且仅当4t=,即t=3时,等号成立,所以当x=6时,用料最省. 学科网（北京）股份有限公司 $