2.2 第2课时 基本不等式的简单应用（Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 围绕基本不等式的证明与实际应用，通过“探究点+例题+变式”分层设计，实现从单一技能到综合应用的梯度巩固，培养数学思维与建模能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |探究点一|“1”的代换求最值|例题基础应用（如x+4y=1求最值），变式通过条件变式（x+y=2、x+8y=xy）提升灵活性| |探究点二|不等式证明|例题从简单（a²+b²+c²≥ab+bc+ca）到含条件（a+b+c=1）证明，变式综合条件强化逻辑推理| |探究点三|实际问题应用|例题矩形面积与篱笆问题，变式结合旧墙维修费用计算，贴近现实情境发展数学建模能力|

第2课时　基本不等式的简单应用 【学习目标】 　　1.能用基本不等式证明一些简单的不等式. 　　2.能用基本不等式解决现实生活中的一些简单的最大(小)值问题. ◆ 知识点一　利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明不等式的形式.若符合基本不等式的条件,则可以直接利用基本不等式或最值定理证明.若不符合基本不等式的条件,则可以对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到使用基本不等式的条件.若题中还有等式条件,则要分析等式条件和所证不等式之间的联系,当等式条件含有“1”时,要注意“1”的代换.最后要注意等号是否取到. ◆ 知识点二　基本不等式在实际问题中的应用 用基本不等式解决实际问题时的常用思路 (1)理解题意,设好变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定义为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题转化、抽象为函数的最大值或最小值问题; (3)根据已知变量的范围,求出函数的最大值或最小值; (4)结合实际意义求出正确的答案,回答实际问题. ◆ 探究点一　“1”的代换求最值 例1 (1) 已知x>0,y>0且x+4y=1,求+的最小值. (2) 已知x>0,y>0且x+y=1,求+的最小值. 变式 (1) 设x>0,y>0且x+y=2,求+的最小值. (2) 已知x>0,y>0,且x+8y=xy,求x+2y的最小值. (3)已知a>2,b>-1,且a+b=2,求+的最小值. [素养小结] 常数代换法,常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时,应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. ◆ 探究点二　利用基本不等式证明不等式 例2 (1)设a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca. (2)已知a,b,c均为正数且不全相等,且a+b+c=1,求证:++>10. 变式 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)++≥1; (2)++≤1 . [素养小结] 在利用基本不等式证明不等式的过程中,常常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形拼凑成适合的数、式,以便于利用基本不等式. ◆ 探究点三　基本不等式在实际问题中的应用 例3 如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园. (1)若菜园的面积为72 m2,则x,y为何值时,所用篱笆的总长最小? (2)若所用篱笆的总长为30 m,求z=+的最小值. 变式 [2026·温州中学高一期中] 如图所示,学校要围建一个面积为400 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙足够长,利用旧墙时需要维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为3 m的进出口,已知旧墙的维修费用为56元/m,新墙的造价为200元/m,设利用旧墙的长度为x(单位:m,x>3),修建此矩形场地的总费用为y(单位:元). (1)求y关于x的函数表达式; (2)当x=20时,求总费用y; (3)试确定x的值,使修建此矩形场地的总费用最小,并求出最小总费用. [素养小结] 利用基本不等式解决实际问题时,首先要审清题意,然后将实际问题转化为数学问题,再利用数学知识解决问题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　基本不等式的简单应用 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)因为x+4y=1,所以+=(x+4y)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,所以+的最小值为9. (2)因为x>0,y>0,x+y=1, 所以0<x<1,所以+=+=+=++2≥2+2=6,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,所以+的最小值为6. 变式　解:(1)由x+y=2,可得+=(x+y)=≥=, 当且仅当=,即x=,y=时取等号,故+的最小值为. (2)由x+8y=xy,可得+=1, 所以x+2y=(x+2y)=++10≥2+10=18,当且仅当=,即x=12,y=3时取等号,故x+2y的最小值为18. (3)因为a>2,b>-1,所以a-2>0,b+1>0,又a+b=2,所以+=[(a-2)+(b+1)]=6++≥6+2, 当且仅当=,即a=,b=时取等号, 故+的最小值为6+2. 探究点二 例2　证明:(1)∵a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号),b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取等号),c2+a2≥2ca(当且仅当a=c时取等号),∴(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)≥2ab+2bc+2ca(当且仅当a=b=c时等号成立), ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca. (2)∵a+b+c=1,∴++=++=4+++≥4+2+2+2=10(*),当且仅当a=b=c=时取等号,又a,b,c不全相等,即a≠b,a≠c,c≠b中至少有一个成立,∴(*)式中等号不成立,∴++>10. 变式　证明:(1)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,所以+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时等号成立,故++≥1. (2)因为a,b,c均为正数,所以a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2,所以2a+2b+2c≥2+2+2,得++≤a+b+c,当且仅当a=b=c=时等号成立,故++≤1. 探究点三 例3　解:(1)由已知可得xy=72,所以y=,x>0.设所用篱笆的总长为C m,则C=x+2y,所以C=x+≥2=24,当且仅当x=,即x=12时等号成立,此时y==6,所以当x=12,y=6时,所用篱笆的总长最小. (2)由已知可得x+2y=30,所以x+2(y+1)=32,所以[x+2(y+1)]=1,所以z=+=[x+2(y+1)]=≥=,当且仅当2·=,即x=,y=时等号成立,所以z的最小值为. 变式　解:(1)由题意知,矩形的一边长为x m,另一边长为 m,则y=56x+200(x-3)+200××2=256x+-600, 故y=256x+-600(x>3). (2)由(1)知,y=256x+-600(x>3),所以当x=20时,y=12 520. (3)因为x>0,所以256x+≥2=12 800,所以y=256x+-600≥12 200,当且仅当256x=,即x=25时,等号成立,故当利用旧墙的长度为25 m时,修建此矩形场地的总费用最小,最小总费用是12 200元. 学科网（北京）股份有限公司 $