2.2 第1课时 利用基本不等式求最值 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 高中数学“基本不等式”新授课同步练，以“基础认知-技能应用-综合拓展”分层，通过诊断分析、探究实践与拓展提升，构建从概念理解到灵活应用的知识巩固路径，培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|基本不等式概念、几何解释、最值定理条件|诊断分析填空（如基本不等式内容）、判断正误（如最值条件），夯实概念理解| |技能应用层|利用基本不等式求简单最值（正实数、定值问题）|探究点例与变式（如x>0时求最值），强化“一正二定三相等”应用| |综合拓展层|含参数、负数情境及实际应用（如a+2b=4求ab最大值）|拓展题（如x<0时最值、ab=a+b+3），提升数学思维与问题解决能力|

2.2　基本不等式 第1课时　利用基本不等式求最值 【课前预习】 知识点一 1.≤　a=b 2.算术　几何　　不小于 诊断分析 解:要证≤,只需证2≤a+b,只需证2-a-b≤0,只需证-(-)2≤0,只需证(-)2≥0,而(-)2≥0显然成立,当且仅当a=b时等号成立,所以≤,当且仅当a=b时等号成立. 知识点二 1.(1)大　(2)小 2.(1)正数　(2)定值　定值 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)× [解析] (1)当a,b为正实数时,若a+b为定值,则ab有最大值. (2)设x<0,y<0,x+y=s(s<0,s为定值),则(-x)+(-y)≥2=2,当且仅当x=y时,等号成立,即2≤-s(-s>0),所以xy≤,所以xy有最大值. (3)当a=0,b=0时,不等式≤也成立,故“a>0,b>0”是“≤”的充分不必要条件. 【课中探究】 探究点一 例1　BC　[解析] a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,故A错误,B正确;a+b≥2成立的条件是a≥0,b≥0,故C正确,D错误.故选BC. 变式　半径不小于半弦 拓展　解:(1)如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号). 推论:ab≤(a,b∈R). (2)如果a>0,b>0,那么a+b≥2(当且仅当a=b时取等号). 推论:ab≤(a>0,b>0);≥. (3)≤≤≤(a>0,b>0). 探究点二 例2　解:(1)因为x>0,所以x3>0, 所以+x3≥2 =2 ,当且仅当=x3时取等号,故+x3的最小值为2. (2)因为x>0,所以3--x=3-≤3-2=3-2=1,当且仅当=x,即x=1时,等号成立,故3--x的最大值为1. 变式　AD　[解析] ∵a,b>0,∴+≥2=2,当且仅当a=b时,等号成立,故A正确;∵>0,∴+≥2=2,当且仅当=,即x2=-4时取等号,显然不成立,故B错误;∵a∈R,a≠0,∴当a<0时,+a≥2=2不成立,故C错误;∵x,y∈R,xy<0,∴+=-≤-2,当且仅当-x=y时,等号成立,故D正确.故选AD. 探究点三 例3　解:(1)因为x>1,所以x-1>0, 所以x+=(x-1)++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时取等号,故x+的最小值为3. (2)方法一:∵a>0,b>0,∴a+2b≥2,即2≤4,∴ab≤2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时取等号,∴ab的最大值为2. 方法二:∵a>0,b>0,a+2b=4, ∴ab=(a×2b)≤×=2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时取等号,∴ab的最大值为2. 变式　(1)6　(2)大　-3　[解析] (1)因为a>0,b>0且ab=1,所以9a+b≥2=6,当且仅当9a=b=3时,等号成立. (2)因为x<0,所以1-x>0,所以x+=-+1≤-2+1=-3,当且仅当1-x=,即x=-1时,等号成立,此时x+有最大值,该值为-3. (3)解:因为0<x<,所以1-3x>0,所以x(1-3x)=·3x·(1-3x)≤=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立,所以x(1-3x)的最大值为. 拓展　(1)A　[解析] 因为x>1,所以x-1>0,所以==x-1+≥2=2,当且仅当x-1=,即x=2时取等号,故选A. (2)解:∵ab=a+b+3≥2+3,∴()2-2-3≥0,即(-3)(+1)≥0,∴≥3,可得ab≥9.∵a>0,b>0,∴a+b+3=ab≤,即(a+b)2-4(a+b)-12≥0,∴a+b≥6. (3)解:方法一:由ab=a+2b+4得a==2+,因为a>0,b>0,所以2+>0,可得b>1, 所以b-1>0,所以a+b=b-1++3≥3+2,当且仅当b-1=,即b=1+时,等号成立, 所以a+b的最小值为3+2. 方法二:因为ab=a+2b+4,所以a(b-1)=2b+4=2(b-1)+6,所以(a-2)(b-1)=6≤,当且仅当a-1=b时,等号成立,所以(a+b-3)2≥24,又a>0,b>0,所以a+b-3≥2,所以a+b≥3+2,即a+b的最小值为3+2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　基本不等式 第1课时　利用基本不等式求最值 【学习目标】 　　1.掌握基本不等式:(1)能描述基本不等式的内容;(2)能理解基本不等式的几何解释. 　　2.掌握基本不等式及其应用,能用基本不等式求代数式的最大值或最小值. ◆ 知识点一　基本不等式 1.两个重要不等式 不等式 内容 等号成立的条件 重要 不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本 不等式 　　　　　　　　  当且仅当“　　　”时取“=”  2.设a,b为正数,则称为a,b的　　　平均数,称为a,b的　　　平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数　　　它们的几何平均数.  3.对公式a2+b2≥2ab及≤的理解 (1)实际上当a,b等于0时,基本不等式也成立,但是没有使用价值. (2)“当且仅当”的含义:以≤为例,①当a=b时,≥取等号,即a=b⇒=,②仅当a=b时,≥取等号,即=⇒a=b. 【诊断分析】 已知a,b为正实数,利用不等式的性质推导基本不等式. ◆ 知识点二　最值定理 1.已知x,y都是正数. (1)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最　　　　值.  (2)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最　　　　值2.  2.利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时,需注意: (1)x,y必须是　　　.  (2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为　　　　,即“和定积最大”;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为　　　　,即“积定和最小”.  (3)等号成立的条件是否满足. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于正实数a,b,若a+b为定值,则ab有最小值. (　 ) (2)两个负数的和为定值,则它们的积有最大值. (　 ) (3)“a>0,b>0”是“≤”的充要条件. (　 ) ◆ 探究点一　对基本不等式的理解　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.a2+b2≥2ab成立的条件是a≥0,b≥0 B.a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R C.a+b≥2成立的条件是a≥0,b≥0 D.a+b≥2成立的条件是ab>0 变式 如图所示,AB为半圆的直径,O为AB的中点,AC=a,CB=b,过点C作CD⊥AB交圆弧于D,连接OD,AD,BD,则基本不等式≤的几何解释如下: 由射影定理可知,CD=,因为OD=,OD≥CD,所以≥,当且仅当C与O重合,即a=b时,等号成立. 基本不等式≤的几何意义是　　　　.  [素养小结] (1)在理解基本不等式时,要从形式到内涵中理解,特别要关注条件. (2)运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即a+b≥2成立的条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b. 拓展 结合例1及变式,尽可能写出基本不等式的几种变形. ◆ 探究点二　利用基本不等式求简单式子的最值 例2 (1)若x>0,求+x3的最小值. (2)若x>0,求3--x的最大值. 变式 (多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.若a,b>0,则+≥2=2 B.若x∈R,则 +≥2=2 C.若a∈R,a≠0,则+a≥2=2 D.若x,y∈R,xy<0,则+=-≤-2 [素养小结] 利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则. ①一正:基本不等式≥成立的前提条件为a>0,b>0; ②二定:化不等式的一边为定值; ③三相等:必须存在取等号的条件,即等号成立的条件. 以上三点缺一不可. ◆ 探究点三　最值定理求最值 例3 (1)已知x>1,求x+的最小值. (2)若a>0,b>0,且a+2b=4,求ab的最大值. 变式 (1)已知a>0,b>0,若ab=1,则9a+b的最小值为　　　　.  (2)若x<0,则x+有最　　　　(填“大”或“小”)值,该值为　　　　.  (3)已知0<x<,求x(1-3x)的最大值. [素养小结] 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略: 拼凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求最值应注意以下几个方面:①拼凑的技巧以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价转换;②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标;③拆项、添项应注意检测利用基本不等式的前提. 拓展 (1)若x>1,则的最小值为 (　 ) A.2 B. C.4 D.2 (2)若正数a,b满足ab=a+b+3,分别求ab,a+b的取值范围. (3)若a>0,b>0,且ab=a+2b+4,求a+b的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $