2.1 第1课时 不等关系与不等式 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 本节同步练聚焦“不等关系与不等式”，采用分层递进设计，覆盖不等式概念、表示及比较大小，从基础诊断到综合应用，培养数学抽象、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|不等式定义与基本事实|通过判断正误题（如实数大小关系）巩固概念，落实数学抽象| |提升层|不等关系表示与数式比较|结合矩形面积、购买方案等情境题（例1及变式），培养模型意识| |拓展层|综合证明与实际应用|以圆与正方形面积证明题深化作差法，发展逻辑推理能力|

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 【学习目标】 　　理解不等式的概念:(1)能类比等式表示相等关系,举例说明不等式可以表示不等关系;(2)根据实数大小关系的基本事实,能够利用作差(商)法比较两个代数式的大小. ◆ 知识点一　不等式与基本事实 1.不等式的定义 用不等号连接两个解析式所得的式子,叫作不等式. 2.比较两个实数大小的基本事实:对任意两个实数a,b, ①a-b>0⇔a>b; ②a-b<0⇔a<b; ③a-b=0⇔a=b. 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的　　　　与0(1)的大小,这种方法叫作作差(商)法.  ◆ 知识点二　重要不等式 一般地,∀a,b∈R,有a2+b2　　　　2ab,当且仅当a=b时,等号成立.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种. (　 ) (2)设M=x2,N=2x-1,则M<N. (　 ) (3)已知a,b∈R,若ab=1,则a2+b2的最小值是2. (　 ) (4)若a<b,c<d,则a-c<b-d. (　 ) ◆ 探究点一　用不等式(组)表示不等关系 例1 用不等式(组)表示下面的不等关系: (1)x与y的差是非负数; (2)用一根长为16 cm的铁丝围成一个矩形,矩形的面积大于12 cm2; (3)某钢铁厂要把长度为4000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)某校计划用不超过1500元的资金购买单价为120元的篮球和140元的足球,若该校至少要购买8个篮球,且至少要购买2个足球,则不同的购买方式有 (　 ) A.6种 B.7种 C.8种 D.5种 (2)某市环保局为增加城市的绿地面积,提出了两个投资方案:方案A为一次性投资500万元;方案B为第一年投资100万元,以后每年投资10万元.“经过n年之后,方案B的投资不少于方案A的投资” 用不等式表示为　　　　　　　.  [素养小结] 将不等关系表示成不等式(组)的思路 (1)读懂题意,找准不等式所联系的量. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. ◆ 探究点二　比较两个数(式)的大小 例2 (1)已知x,y,z均为实数,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小. (2)设a>b>0,M=,N=,比较M与N的大小. 变式 (1)已知a,b都是正实数,且a≠b,试比较a3+b3与ab2+a2b的大小. (2)已知a≥1,试比较M=-和N=-的大小. [素养小结] 比较大小的常用方法 (1)作差法:①作差;②变形;③定号;④下结论. (2)作商法:①作商;②变形;③判断商值与1的大小关系;④下结论. 拓展 证明:圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 【课前预习】 知识点一 差(商) 知识点二 ≥ 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　(4)× [解析] (1)任意两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种,没有其他大小关系,正确. (2)M-N=x2-2x+1=(x-1)2≥0,∴M≥N,错误. (3)a,b∈R,若ab=1,则a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b=±1时,等号成立,正确. (4)取a=-1,b=0,c=2,d=3,满足a<b,c<d,但a-c=b-d,错误. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)x-y≥0. (2)设矩形的长为x cm,则它的宽为(8-x)cm,故有x(8-x)>12. (3)设截得500 mm的钢管x根,截得600 mm的钢管y根, 根据题意得 变式　(1)D　(2)100+10(n-1)≥500 [解析] (1)设购买的篮球个数为x,足球个数为y,则根据题意可得符合题意的有序实数对(x,y)是(8,2),(8,3),(9,2),(9,3),(10,2),所以共有5种不同的购买方式.故选D. (2)方案A:一次性投资500万元.方案B:第一年投资100万元,两年后总投资为(100+10)万元,三年后总投资为(100+10×2)万元,…,n年后总投资为[100+10(n-1)]万元.因为经过n年之后,方案B的投资不少于方案A的投资,所以100+10(n-1)≥500. 探究点二 例2　解:(1)∵x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0, 当且仅当x=y=且z=1时取等号,∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2. (2)∵a>b>0,∴M=>0,N=>0,2ab>0,∴==1+>1,∴M>N. 变式　解:(1)a3+b3-(ab2+a2b)=a3-ab2+b3-a2b=a(a2-b2)+b(b2-a2)=(a2-b2)(a-b)=(a-b)2(a+b),∵a,b都是正实数,且a≠b, ∴(a-b)2(a+b)>0,∴a3+b3>ab2+a2b. (2)方法一:因为a≥1,所以M=->0,N=->0,所以==.因为+>+>0,所以<1,即M<N. 方法二:因为a≥1,所以M=->0,N=->0, 又==+,==+, 所以>>0,所以M<N. 拓展　证明:设圆的周长与正方形的周长均为x,则圆的面积S1=π=,正方形的面积S2==, ∴S1-S2=-=(4-π)>0,即S1>S2,原命题得证. 学科网（北京）股份有限公司 $