重难点4 圆锥曲线的离心率及其取值范围问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦圆锥曲线离心率及取值范围这一高考核心考点，按照知识梳理（椭圆、双曲线离心率3种方法）、考点突破（定义、几何关系等六大考点）、真题演练、课后巩固的逻辑架构组织内容，通过方法总结、例题精讲、变式训练等环节帮助学生系统构建解题思路，突破离心率求解难点。 资料以数学思维培养为核心，创新采用“定义+几何关系+定理”综合策略，如考点三结合正余弦定理推导离心率公式，考点五通过几何关系建立不等式求范围，同步设置基础到综合的分层练习。既助学生提升推理与模型建构能力，又为教师精准把控复习节奏提供清晰路径，高效提升应考能力。

圆锥曲线的离心率及其取值范围问题 知识梳理 （一）椭圆离心率求解的3种常用方法 公式1: 公式2: 变形 证明: 公式3:已知椭圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得:,即 . （二）双曲线离心率求解的3种常用方法 公式1: 公式 证明: 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得: 即。 考点突破 考点一：利用定义求离心率问题 【例1-1】椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ． 【例1-2】已知点P是双曲线 左支上一点，是双曲线的左右两个焦点，且，线段的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为 A B C D 【变式1-1】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点二：利用几何关系求离心率问题 知识储备：初高中平面几何的全部知识都可以涉及。 【例2-1】 已知 为坐标原点, 为椭圆 的左、右焦点, 是椭圆上异于顶点的一点,点 是以 为底的等腰三角形 的内切圆圆心,过 作 ,垂足为 , ,则椭圆的离心率为_____ 【例2-2】设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A． B． C．2 D． 【变式1-2】已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B． C． D． 【变式2-2】 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左焦点为，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点（异于，），与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【变式2-3】已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 考点三：定义+几何关系结合求离心率问题 知识储备：圆锥曲线定义+正余弦定理。 【例3-1】（2025.武汉九月调研）设椭圆的左右焦点分别为，椭圆上点满足，直线和直线分别和椭圆交于异于点的点和点，若，则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 【例3-2】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【变式3-1】（2025·湖南·模拟预测）已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，，是双曲线上的三个点，直线经过原点，经过右焦，若，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【变式3-3】（22-23高二上·北京东城·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，以AB为直径的圆恰好过右焦点F，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点四：与双曲线渐近线相关离心率问题 【例4-1】（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 【变式4-1】已知双曲线的左焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，的面积为1，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式4-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为9，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点五：离心率最值与范围问题 【例5-1】（2025.雅礼九月考）已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是__________． 【例5-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使成立，则该椭圆的离心率的取值范围为__________． 【例5-3】已知椭圆：的左、右焦点分别为，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【例4-4】（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点，且点P在x轴上方，的内切圆圆心为I，若则椭圆的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知为坐标原点，双曲线的右焦点，以为圆心，为半径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点、，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【变式5-3】已知椭圆的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，若，则C的离心率的取值范围为______________． 【变式5-4】已知椭圆（）的左右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则这椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点六：共焦点型离心率问题 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则． 【例6-1】已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式6-1】我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率 A． B． C． D． 【变式6-2】已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例6-2】已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为 ，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以 为底边的等腰三角形，若 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围是 A． B． C． D．] 【变式6-3】 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 A． B． C． D． 真题演练 1. （2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 2. （2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3. （2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 4. （2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 5. （2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 课后巩固 一、单选题 1．（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距长等于短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）设直线与双曲线C：的一条渐近线平行，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D．5 3．（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西渭南·三模）已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 5．（2026·山东青岛·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线交于、两点．若，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 6．双曲线：（，）右焦点为，过倾斜角为的直线与双曲线右支交于，两点，则双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·四川·二模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．（2026·山东日照·模拟预测）已知双曲线：（，），圆：与的两条渐近线交于，，，四点，若四边形的面积为，则的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 二、填空题 9．（2026·广西崇左·二模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 三、多选题 10．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（   ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线的离心率及其取值范围问题 知识梳理 （一）椭圆离心率求解的3种常用方法 公式1: 公式2: 变形 证明: 公式3:已知椭圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得:,即 . （二）双曲线离心率求解的3种常用方法 公式1: 公式 证明: 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得: 即。 考点突破 考点一：利用定义求离心率问题 【例1-1】椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ． 【解析】设左焦点为，由关于直线的对称点在椭圆上， 得到且M为QF中点， 又O为F1F的中点，所以OM为中位线，且。 由点到线的距离公式计算得到: 再由得到：. 所以, 据椭圆定义：得到：，化简得： ，即． 【例1-2】已知点P是双曲线 左支上一点，是双曲线的左右两个焦点，且，线段的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为 A B C D 【答案】 【解析】由焦点到渐近线的距离为，得出 再根据题意，得出,所以 根据椭圆定义：即得到：， 即离心率为． 【变式1-1】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】设椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. 因为，，，所以， 设为椭圆右焦点，为椭圆左焦点，则，所以， 所以.故选D. 【变式1-2】．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 考点二：利用几何关系求离心率问题 【例2-1】 已知 为坐标原点, 为椭圆 的左、右焦点, 是椭圆上异于顶点的一点,点 是以 为底的等腰三角形 的内切圆圆心,过 作 ,垂足为 , ,则椭圆的离心率为_____ 解析 在等腰 中, , 所以由椭圆定义可知, . 分别延长 与 ,交于点 ,因为 为 的平分线, ,故 与 全等,所以 为 的中点且 . 又因为 为 的中点, ,所以 , 故 . 所以离心率为 . 【例2-2】设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】解法一：由题意，把代入，得， 再由，得，即， 所以，解得.故选A． 解法二：如图所示，由可知为以为直径圆的另一条直径， 所以，代入得， 所以，解得.故选A． 解法三：由可知为以为直径圆的另一条直径， 则，.故选A． 【变式1-2】已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得椭圆的焦点在轴上，如图所示， 设，所以为等腰三角形，且， ∴，∵，∴点坐标为，即点． ∵点在过点，且斜率为的直线上， ∴，解得．∴，故选D． 【变式2-2】 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左焦点为，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点（异于，），与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】不妨设在第二象限，，，由知， 由与相似，得（1）， 由与相似，得（2） （1），（2）两式相乘得，即，离心率为3.选B. 【变式2-3】已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，椭圆，为半焦距）， 的左焦点为，右顶点为，则， 抛物线于椭圆交于两点， 两点关于轴对称，可设， 四边形是菱形，，则， 将代入抛物线方程得，， ，则不妨设，再代入椭圆方程， 化简得，由，即有， 解得或（舍去），故选C. 考点三：定义+几何关系结合求离心率问题 【例3-1】（2025.武汉九月调研）设椭圆的左右焦点分别为，椭圆上点满足，直线和直线分别和椭圆交于异于点的点和点，若，则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图所示，由于，不妨设，,根据椭圆的定义可知，，,设，则，于是 在中，由勾股定理可得：……① 在中，由勾股定理可得：……② ①②,可得，于是； 在中，，即，解得； 【例3-2】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【变式3-1】（2025·湖南·模拟预测）已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，根据椭圆的定义可得，从而得到点为椭圆的上顶点或下顶点，在中由余弦定理可得的值，最后在中由余弦定理可得结果. 【详解】设，则，， 由，可得， ，所以点为椭圆的上顶点或下顶点， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，即，. 故选：B. 【变式3-2】已知，，是双曲线上的三个点，直线经过原点，经过右焦，若，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，由OA=OB，OF=OF′，BF⊥AC， 可得四边形AFBF′为矩形，设AF=m，则FC=3m, 由双曲线定义知：CF′=5m， AF′= FB=3m， 由双曲线定义知：AF′-AF=2m=2a，解得m=a， 在△FAF′中，AF2+AF′2=FF′2，即a2+（3a）2=（2c）2， 即4c2=10a2，即c=a，所以 【变式3-3】（22-23高二上·北京东城·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，以AB为直径的圆恰好过右焦点F，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，，由题意推得四边形为矩形，可设，则，分别在直角三角形和直角三角形中，运用勾股定理，结合离心率公式可得所求值． 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，， 由以AB为直径的圆恰好过右焦点F可得AF⊥BF，由双曲线的对称性得四边形为矩形， 可设，则， 在直角三角形中，可得，即为， 解得，又在直角三角形中，， 即为，即为，即有，故选：B． 考点四：与双曲线渐近线相关离心率问题 【例4-1】已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 【答案】 【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率． 【详解】过且斜率为的直线，渐近线， 联立，得，由，得 而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率. 故答案为：． 【变式4-1】已知双曲线的左焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，的面积为1，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求出点纵坐标，再根据的面积为1列出、的方程，即可求出、，进而求出双曲线的离心率. 【详解】解：由题意，设双曲线的一条渐近线方程为：因为直线与渐近线垂直，即 又且，所以直线的方程为：即设，联立直线与渐近线方程得解得因为△OPF的面积为1，即，又 所以化简得，解得所以 所以该双曲线的离心率为故选：B. 【变式4-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为9，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，根据双曲线的对称性画出图形，由双曲线的定义可知，当且仅当点，，三点共线时，等号成立，从而得到的最小值为，求出的值，得到双曲线的离心率． 【详解】解：根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线， 因为双曲线， ，由双曲线的定义可知，，， 当且仅当点，，三点共线时，等号成立， 渐近线方程为，即，且，此时，的最小值为， ，，所以离心率，故选：A． 考点五：离心率最值与范围问题 【例5-1】（2025.雅礼九月考）已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由切线长定理结合双曲线定义可得，结合条件可得，由此可得，再根据关系结合离心率定义求结论. 【详解】设该内切圆在，上的切点分别为， 由切线长定理可得，，， 又，， 所以，所以， 所以，故， 所以， 因为，所以， 故，又， 所以. 故答案：. 【例5-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使成立，则该椭圆的离心率的取值范围为__________． 【答案】 【解析】在中，由正弦定理得， 则由已知得，即，,得， 由三角形三边关系得：， 再同除以a整理得，解得或，又， 故椭圆的离心率，故答案为． 【例5-3】已知椭圆：的左、右焦点分别为，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 解析 设椭圆的上、下顶点分别为,,则与均为等腰三角形. 由题知，椭圆上恰有个不同点，使得为等腰三角形， 所以在四个象限各有一点，使得为等腰三角形， 由椭圆的对称性，只考虑第一象限的情况即可. 令，如图所示，由图可得，即，得. 令，如图所示，由图可得，即，得. 综上可得，离心率的取值范围是. 故选D. 【例5-4】（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点，且点P在x轴上方，的内切圆圆心为I，若则椭圆的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由内切圆性质可得，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】连接并延长，交x轴于点Q， 则，则，所以， 所以， 由得，所以.故选:C. 【变式5-1】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，． 所以，． 因为为钝角，所以与的夹角为锐角， 所以，即． 两边同时除以并化简得， 解得，又，所以． 【变式5-2】已知为坐标原点，双曲线的右焦点，以为圆心，为半径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点、，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】BO M F A 【解析】取为中点，则等价于 也就是要求点的横坐标。由 解得，故需，解得，则 【变式5-3】已知椭圆的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，若，则C的离心率的取值范围为______________． 【答案】 【解析】如图，设椭圆的右焦点为，连接， ∵AB，互相平分，∴四边形为平行四边形∴， ∵，∴由条件知，当B在短轴端点时，最大， 此时在中，，∴， ∴，即． 【变式5-4】已知椭圆（）的左右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则这椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用正弦定理，结合椭圆的定义以及焦半径的取值范围列出关于的不等式，进而可得结果. 【详解】由正弦定理得因为， ，即，又，故选：D. 考点六：共焦点型离心率问题 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则． 【例6-1】已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】设 ， ，利用余弦定理可得，再分别利用椭圆与双曲线的定义可得，可得，结合，解方程即可得答案. 【详解】设 ， ，在椭圆：中， ， ， 在双曲线：中， ， 即，则所以， 又因为，所以，解得，故选：C. 【变式6-1】我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，分别运用椭圆和双曲线的定义、结合余弦定理，和离心率公式，解方程可得所求值． 【详解】设F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m， 可得PF1+PF2=2a，PF1﹣PF2=2m，可得PF1=a+m，PF2=a﹣m， 由余弦定理可得F1F22=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°， 即有4c2=（a+m）2+（a﹣m）2﹣（a+m）（a﹣m）=a2+3m2， 由离心率公式可得+=4，e1e2=1，即有e24﹣4e22+3=0，解得e2=故选C． 【变式6-2】已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设曲线，的焦距为2c，则可得，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出的关系，变形后可得结果. 【详解】设曲线，的焦距为2c．是以为底边的等腰三角形， 则．由点P在第一象限，知， 即，即，即．故选：B 【例6-2】已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为 ，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以 为底边的等腰三角形，若 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围是 A． B． C． D．] 【答案】A 【详解】试题分析：设椭圆与双曲线的半焦距为 利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出 的取值范围; 设椭圆与双曲线的半焦距为 由题意知 ，且,， ，故选A 考点：双曲线与椭圆的性质 【变式6-3】 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为 由于是以为底边的等腰三角形.若 即有 由椭圆的定义可得 由双曲线的定义可得 即有再由三角形的两边之和大于第三边，可得 则即有由离心率公式可得 由于 ，则有 ，即故选C． 真题演练 1. （2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：过点作垂直轴，垂足为，根据几何关系用表示出点坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率. 解法二：设右焦点为，连接，根据双曲线的定义和性质可得，，结合余弦定理运算求解. 【详解】解法一：如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 解法二：如图， 设右焦点为，连接， 由题意可知：，， 在三角形中，， 在三角形中，， 即， 整理可得，可得， 所以. 2. （2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 3. （2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 4. （2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 5. （2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 课后巩固 一、单选题 1．（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距长等于短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，所以，则，解得：， 所以. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）设直线与双曲线C：的一条渐近线平行，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为， 直线与双曲线的一条渐近线平行， 则，又，则 所以的离心率为． 3．（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知左顶点，上顶点，则， 所以， 所以椭圆的焦点在y轴上， 所以. 4．（2026·陕西渭南·三模）已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据等边三角形的内角特征推导渐近线斜率，再结合双曲线的关系求解离心率. 【详解】由的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点）， 则渐近线的斜率为， 所以双曲线的离心率为. 5．（2026·山东青岛·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线交于、两点．若，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知四边形为平行四边形，可得，结合椭圆的定义可得出、，再利用勾股定理可得出椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示： 由题意可知，为、的中点，所以四边形为平行四边形，则， 所以，则， 因为，由勾股定理可得， 故该椭圆的离心率为. 6．双曲线：（，）右焦点为，过倾斜角为的直线与双曲线右支交于，两点，则双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据过的直线的倾斜角为，且与双曲线右支交于，两点，由求解. 【详解】因为过的直线的倾斜角为， 所以直线斜率， 因为直线与双曲线右支交于，两点， 如图所示： 由图象知：， 所以， 又， 所以. 故选：A. 7．（2026·四川·二模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以点在轴右侧，过点作轴，垂足为点， 因为，所以，则, ，, 所以,则， 则点的坐标为或， 代入椭圆方程，得，所以， 所以. 8．（2026·山东日照·模拟预测）已知双曲线：（，），圆：与的两条渐近线交于，，，四点，若四边形的面积为，则的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】联立圆与直线方程求出交点坐标，进而表示四边形面积，根据离心率定义即可求解. 【详解】双曲线 ，) 的渐近线方程为， 联立圆与渐近线方程，， 由双曲线的基本关系， ，则， 对应的坐标为， 因此，四个交点的坐标为：，，，， 由于双曲线和圆都关于轴、轴对称，四边形是矩形，其长为，宽为， 矩形面积公式， 因此，，化简得，，则， 将代入上式，， 则， ，， 双曲线的离心率，所以. 二、填空题 9．（2026·广西崇左·二模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】若四边形为矩形，则四边形为正方形，可得，根据椭圆性质可得，运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由题意可知：，，且， 若存在点，使得四边形为矩形，此时， 且，则四边形为正方形，可得， 则，可得，且，即， 可得，可得， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 三、多选题 10．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（   ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】将双曲线与直线联立，根据交点分布在双曲线两侧列不等式，得出的关系，然后对选项依次分析即可. 【详解】将双曲线与直线联立得， 因为直线与双曲线的交点分布在左右两支， 所以， 又，所以，故A正确，B错误； ，， ， 所以， 又，所以，故C正确； ，故D正确； 故选：ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $