2.2 直线的方程 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的方程”核心知识点，系统梳理点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等方程形式，衔接直线位置关系（平行、垂直）、对称、恒过定点及动点轨迹等内容，构建从基础到应用的学习支架。 资料以12类题型为框架，每题型含解题知识、典例及变式，通过欧拉线、对称问题等实例培养数学眼光与推理能力，变式训练强化数学语言表达。课中辅助分层教学，课后助力巩固知识、查漏补缺，提升应用意识。

2.2 直线的方程 内 容 导 航 题型1 直线的点斜式方程 题型2 直线的斜截式方程 题型3 直线的两点式方程 题型4 直线的截距式方程 题型5 直线的一般式方程与直线的性质 题型6 直线的一般式方程与直线的平行关系 题型7 直线的一般式方程与直线的垂直关系 题型8 待定系数法求直线方程 题型9 方程组解的个数与两直线的位置关系 题型10 恒过定点的直线 题型11 与直线关于点、直线对称的直线方程 题型12 与直线有关的动点轨迹方程 考 点 演 练 题型1 直线的点斜式方程 解｜题｜知｜识 设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点． 方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程． 【典例1】已知P（1，2）是直线l上一点，是直线l的一个法向量，则直线l的方程为（　　） A．4x+3y+5＝0 B．4x﹣3y+5＝0 C．3x﹣4y+5＝0 D．3x+4y+5＝0 【变式1】经过点（2，﹣1），且倾斜角是150°的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【变式2】过点（﹣1，2）且斜率为﹣1的直线，其点斜式方程为（　　） A．y﹣2＝﹣（x+1） B．y+2＝﹣（x﹣1） C．y﹣2＝（x+1） D．y+2＝（x﹣1） 【变式3】△ABC中，A（﹣5，0），B（3，2），C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（　　） A．x+4y+3＝0 B．4x+y+3＝0 C．x﹣4y+5＝0 D．4x﹣y+5＝0 题型2 直线的斜截式方程 解｜题｜知｜识 1．直线在y轴上的截距 一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离） 2．直线的斜截式方程 已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b． 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程． 【典例1】已知直线l1的斜率为，直线l1⊥l2，且直线l2在y轴上的截距为﹣1，则l2的方程为（　　） A．3x﹣y+1＝0 B．3x﹣y﹣1＝0 C．3x+y﹣1＝0 D．3x+y+1＝0 【变式1】已知直线l经过点M（﹣1，0），N（0，7），则直线l的方程为（　　） A．7x+y+7＝0 B．7x+y﹣7＝0 C．7x﹣y﹣7＝0 D．7x﹣y+7＝0 【变式2】倾斜角为150°，在y轴上截距为﹣2的直线方程为　 ． 【变式3】已知两点A（3，4）、B（﹣5，6），则直线AB的斜截式方程是 　 ． 题型3 直线的两点式方程 解｜题｜知｜识 直线的两点式方程： 经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式． （x1≠x2，y1≠y2） #注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线． 特别地：①当x1＝x2时，直线l的方程为x＝x1； ②当y1＝y2时，直线l的方程为y＝y1． 【典例1】经过两点A（﹣1，﹣5）和B（2，13）的直线在x轴上的截距为（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【变式1】过点M（﹣2，a），N（a，4）的直线的斜率为，则|MN|＝（　　） A．10 B．180 C．6 D．6 【变式2】已知△ABC三顶点坐标A（1，2），B（3，6），C（5，2），M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为（　　） A．2x+y﹣8＝0 B．2x﹣y+8＝0 C．2x+y﹣12＝0 D．2x﹣y﹣12＝0 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．直线l的方程为x﹣ysinθ+2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是 B．直线3x﹣y﹣1＝0在y轴上的截距为﹣1 C．如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax﹣By﹣C＝0不经过第三象限 D．经过平面内任意相异两点（x1，y1），（x2，y2）的直线都可以用方程表示 题型4 直线的截距式方程 解｜题｜知｜识 直线的截距式方程： 若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：可推得直线的斜截距方程为：． #注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线． 【典例1】已知直线l的倾斜角为30°，在y轴上的截距为﹣2，则此直线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】不过原点的直线l在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的倾斜角为（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式2】已知直线l过点（3，5），且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（　　） A．x+y+8＝0 B．yx C．yx或x+y﹣8＝0 D．yx或x+y+8＝0 【变式3】若直线过第一、三、四象限，则实数a，b满足（　　） A．a＜0，b＜0 B．a＜0，b＞0 C．a＞0，b＞0 D．a＞0，b＜0 题型5 直线的一般式方程与直线的性质 解｜题｜知｜识 直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0． 1、两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有： （1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1． 2、直线的一般式方程： （1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线． （2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0． （3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0； ②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0； ③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0； ④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0． 如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔． 【典例1】数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（﹣9，2），B（1，﹣8），C（5，1），则△ABC的欧拉线方程为（　　） A．37x﹣93y+118＝0 B．37x﹣93y﹣118＝0 C．37x+93y﹣192＝0 D．37x+93y+192＝0 【变式1】已知直线l：x+y﹣4＝0，则下列结论正确的是（　　） A．点（2，﹣2）在直线l上 B．直线l在x轴上的截距为4 C．直线l的倾斜角为 D．直线l的一个方向向量为 【变式2】一条直线经过点P（3，1），并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为 　 ． 【变式3】在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1．再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是　 　 ． 题型6 直线的一般式方程与直线的平行关系 解｜题｜知｜识 1、两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有： （1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1． 2、直线的一般式方程： （1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线． （2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0． （3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0； ②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2C1≠0； ③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2C1＝0； ④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0． 如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔． 【典例1】已知直线l1：（2a+1）x+ay+1＝0，l2：（a+2）x+ay+2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】已知直线l1：2x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0，若l1∥l2，则a的值是（　　） A．a＝﹣1或a＝2 B． C．a＝﹣1 D．a＝2 【变式2】过点（5，0）且与x+2y﹣2＝0平行的直线方程是（　　） A．2x+y+5＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x+2y+5＝0 【变式3】以下四个命题表述错误的是（　　） A．mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3） B．若直线l1：2mx﹣y+1＝0与l2：（m﹣1）x+my+2＝0互相垂直，则实数 C．已知直线l1：ax+y﹣1＝0与平行，则a＝1或﹣1 D．设直线l的方程为y﹣xcosθ+3＝0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的取值范围是 题型7 直线的一般式方程与直线的垂直关系 解｜题｜知｜识 1、两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有： （1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1． 2、直线的一般式方程： （1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线． （2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0． （3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0； ②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0； ③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0； ④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0． 如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔． 【典例1】“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”是“a＝﹣1”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式1】若直线ax+（a﹣4）y﹣1＝0与直线ax+2y+13＝0垂直，则a的值可能为（　　） A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．2 【变式2】已知直线l1：ax﹣y+2＝0，直线l2：x﹣ay+2＝0，则（　　） A．当a＝0时，两直线的交点为（﹣2，2） B．直线l1恒过点（0，2） C．若l1⊥l2，则a＝0 D．若l1∥l2，则a＝1或a＝﹣1 题型8 待定系数法求直线方程 解｜题｜知｜识 求直线方程的一般方法： （1）直接法： 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．应明确直线方程的几种形式及各自的特点，合理选择解决方法．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况． （2）待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等． 利用待定系数法求直线方程的步骤： ①设方程； ②求系数； ③代入方程得直线方程，如果已知直线过一个定A（x0，y0），可以利用直线的点斜式y﹣y0＝k（x﹣x0）求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解． 【典例1】△ABC中，A（4，0），B（8，7），C（0，3），则BC边上的高所在直线的方程（　　） A．2x+y+8＝0 B．2x+y﹣8＝0 C．x﹣2y﹣4＝0 D．x﹣2y+4＝0 【变式1】瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为“欧拉线”．已知△ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，3），则△ABC的欧拉线方程为（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B． C．x+2y﹣3＝0 D．x﹣2y+1＝0 【变式2】已知直角△ABC的直角顶点A（﹣3，1），且B（2，﹣2），C在y轴上． （1）求点C的坐标； （2）求△ABC斜边中线的方程． 题型9 方程组解的个数与两直线的位置关系 解｜题｜知｜识 ﹣方程组：涉及到两条直线的方程： a1x+b1y+c1＝0 a2x+b2y+c2＝0 ﹣位置关系： ﹣相交：两条直线有唯一的交点． ﹣平行：如果方程组的系数比相同，但常数项不成比例，直线平行且没有交点． ﹣重合：如果两条直线的系数比和常数项的比都相同，直线重合． 【解题方法点拨】 ﹣判定位置关系： 1．平行：计算直线的斜率，若斜率相同但常数项不同，说明平行． 2．重合：检查两条直线的系数比和常数项比是否相等． 3．相交：若上述条件不满足，直线相交，解得交点坐标． 【命题方向】 ﹣直线位置关系：考查方程组的解的个数和直线的位置关系，如平行、重合、相交． 【典例1】曲线y＝|x|与y＝kx+1的交点的情况是（　　） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【变式1】写出使得关于x，y的方程组无解的一个a的值为 　 　 .（写出一个即可） 【答案】1． 题型10 恒过定点的直线 解｜题｜知｜识 ﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为： a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0 其中a和b是直线的方向向量分量． 【解题方法点拨】 ﹣求方程： 1．已知定点：将定点（x1，y1）代入直线方程． 2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式． 3．标准方程：得到直线方程如： a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0 【命题方向】 ﹣定点直线：考查如何找到所有恒过一个定点的直线方程，通常涉及固定点和直线方程的转换． 【典例1】不论k为任何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0恒过定点，若直线mx+ny＝2过此定点，其中m，n是正实数，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】过定点A的直线（a+1）x﹣y+2＝0与过定点B的直线x+（a+1）y﹣5a﹣2＝0交于点P（P与A、B不重合），则△PAB面积的最大值为（　　） A．4 B． C．2 D． 【变式2】已知直线l1：x+（a﹣1）y+1＝0，直线l2：ax+2y+2＝0，则下列结论错误的是（　　） A．l1在x轴上的截距为﹣1 B．l2过定点（0，﹣1） C．若l1∥l2，则a＝﹣1或a＝2 D．若l1⊥l2，则 【变式3】设m∈R，过定点A的动直线x﹣2my＝0和过定点B的动直线2mx+y﹣6m﹣4＝0交于点P，点P不与A，B重合，则的最小值是（　　） A．9 B． C． D． 题型11 与直线关于点、直线对称的直线方程 解｜题｜知｜识 ﹣对称直线： ﹣点对称：直线l关于点（x0，y0）的对称直线方程为： ﹣直线对称：给定直线l和对称直线l'，可以利用垂直平分线的方程来确定l'的方程． 【解题方法点拨】 ﹣求对称直线方程： 1．点对称：将直线关于点对称，得到对称点和新直线方程． 2．直线对称：对直线关于另一条直线的对称，先找到垂直平分线，再确定对称方程． 【命题方向】 ﹣对称直线：常考查如何利用点对称或直线对称求得直线方程． 【典例1】直线x﹣2y﹣1＝0关于直线y+x＝0对称的直线方程是（　　） A．2x+y+1＝0 B．2x﹣y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．x﹣2y+1＝0 【变式1】点A（3，1）关于直线x﹣y+1＝0的对称点的坐标为（　　） A．（3，0） B．（0，4） C．（0，3） D．（2，4） 【变式2】入射光线l从P（2，1）出发，经y轴反射后，通过点Q（4，3），则入射光线l所在直线的方程为（　　） A．y＝0 B．x﹣3y﹣5＝0 C．x+3y﹣5＝0 D．x﹣3y+5＝0 【变式3】已知点M（﹣1，1），N（2，1），且点P在直线l：x+y+2＝0上，则（　　） A．存在点P，使得PM⊥PN B．存在点P，使得2|PM|＝|PN| C．|PM|+|PN|的最小值为 D．若P（a，b），则a2+b2的最小值为1 题型12 与直线有关的动点轨迹方程 解｜题｜知｜识 ﹣动点轨迹：动点P（x，y）满足一定条件（如到定点距离等于常数）的轨迹方程．常见轨迹包括直线、圆等． 【解题方法点拨】 ﹣求轨迹方程： 1．分析条件：将动点的条件转化为方程． 2．转换方程：将几何条件转化为坐标方程，如点到直线的距离或点到点的距离等于常数． 3．求解方程：通过代数方法或几何方法得到轨迹方程． 【命题方向】 ﹣动点轨迹：考查如何从动点条件推导出轨迹方程，常涉及几何图形的方程构建． 【典例1】在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是棱C1D1，A1A，AB，CD的中点，动点E在正方体表面运动，则（　　） A．PN与A1M为异面直线 B．A1B与MN所成的角为90° C．平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D．，则E点轨迹长度为 【变式1】已知△ABC的顶点A（2，4），AB边上的中线CM所在直线的方程为x+4y﹣4＝0，∠ABC的平分线BH所在直线的方程为y＝x． （1）求直线BC的方程； （2）若直线l上任意一点P，都满足S△PBC＝S△ABC，求直线l的方程． 过 关 验 收 1．若直线l的方向向量是（1，sinθ），则直线l的倾斜角α的范围是（　　） A．[0，π） B． C． D． 2．已知直线m的一个方向向量为，直线l的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍． （1）求直线l的斜率． （2）求过点P（3，﹣4），直线l的点斜式方程． 3．已知△ABC的三个顶点分别是A（1，2），B（5，4），C（2，7），则边AB上的中线所在直线方程为 　 　 ． 4．经过点（1，3）和（﹣3，1）的直线的方程为 　 ． 5．已知△ABC的顶点坐标分别是A（0，5），B（1，﹣2），C（﹣7，4）； （1）求BC边上的中线所在直线的方程； （2）求过点C且与直线AB平行的直线方程； （3）若点D（1，m2﹣2m+5），当m∈R时，求直线AD倾斜角的取值范围． 6．已知直线l：（m+1）x+（m﹣4）y﹣5m＝0在x轴正半轴和y轴正半轴上的截距分别为a，b，当a+b最小时，m＝（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 7．已知直线l的方程为（b+2）x+y﹣3﹣b＝0（b∈R），若l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为2，则b＝（　　） A． B．﹣1 C． D．0 8．已知直线（a+2）x﹣y+2a﹣3＝0在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，则a的值为（　　） A． B． C． D． 9．直线3x﹣4y+k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝（　　） A．﹣1 B．﹣24 C．﹣2 D．2 10．已知直线l经过点C（4，2），且与x轴、y轴分别交于点A、点B，当|AC|•|BC|取最小值时，直线l的方程为 　 ． 11．在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点B（﹣2，1），边BC上的中线所在的直线方程为2x﹣y﹣2＝0，边BC上的高所在的直线方程为x﹣y﹣1＝0． （1）求边AB所在直线的一般式方程； （2）求△ABC的面积． 12．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是，且经过点A（2，1）； （2）斜率为﹣1，在y轴上的截距为﹣2； （3）经过A（﹣1，1），B（2，﹣1）两点． 13．三条直线ax+2y+8＝0，4x+3y＝10与2x﹣y＝10能围成三角形，则实数a的取值集合为　 ． 14．已知直线l的方程为ax+y﹣2a﹣2＝0（a∈R）． （1）若l与直线x+2y＝0平行，求a的值； （2）若l在x轴，y轴上的截距相等，求l的方程． （多选）15．以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒过定点（﹣3，﹣3） B．已知圆C：x2+y2＝4，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（1，2） C．曲线C1：x2+y2+2x＝0与曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝4 D．圆x2+y2＝4上存在4个点到直线l：x﹣y0的距离都等于1 16．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，则经过点P（4，1）最短弦长所在直线方程为 　 ． 17．已知直线l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1． （1）求证：直线l过定点； （2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围； （3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程． 18．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1＝0，则直线PB的方程是（　　） A．x+y﹣5＝0 B．2x﹣y﹣1＝0 C．2y﹣x﹣4＝0 D．2x+y﹣7＝0 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 直线的方程 内 容 导 航 题型1 直线的点斜式方程 题型2 直线的斜截式方程 题型3 直线的两点式方程 题型4 直线的截距式方程 题型5 直线的一般式方程与直线的性质 题型6 直线的一般式方程与直线的平行关系 题型7 直线的一般式方程与直线的垂直关系 题型8 待定系数法求直线方程 题型9 方程组解的个数与两直线的位置关系 题型10 恒过定点的直线 题型11 与直线关于点、直线对称的直线方程 题型12 与直线有关的动点轨迹方程 考 点 演 练 题型1 直线的点斜式方程 解｜题｜知｜识 设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点． 方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程． 【典例1】已知P（1，2）是直线l上一点，是直线l的一个法向量，则直线l的方程为（　　） A．4x+3y+5＝0 B．4x﹣3y+5＝0 C．3x﹣4y+5＝0 D．3x+4y+5＝0 【答案】C 【解答】解：P（1，2）是直线l上一点，（3，﹣4）是直线l的一个法向量， 由点法式可得直线的方程为3（x﹣1）﹣4（y﹣2）＝0，整理可得3x﹣4y+5＝0． 故选：C． 【变式1】经过点（2，﹣1），且倾斜角是150°的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由经过点（2，﹣1），且倾斜角是150°， 可得，所以． 故选：D． 【变式2】过点（﹣1，2）且斜率为﹣1的直线，其点斜式方程为（　　） A．y﹣2＝﹣（x+1） B．y+2＝﹣（x﹣1） C．y﹣2＝（x+1） D．y+2＝（x﹣1） 【答案】A 【解答】解：根据题意，经过点（﹣1，2）且斜率为﹣1的直线， 其点斜式方程为：y﹣2＝﹣（x+1），A项符合题意． 故选：A． 【变式3】△ABC中，A（﹣5，0），B（3，2），C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（　　） A．x+4y+3＝0 B．4x+y+3＝0 C．x﹣4y+5＝0 D．4x﹣y+5＝0 【答案】B 【解答】解：由题意AB中垂线为CD所在的直线， 因为△ABC中，A（﹣5，0），B（3，2），可得AB的中点D（﹣1，1），（8，2）， 所以AB的中垂线方程为8（x+1）+2（y﹣1）＝0， 整理可得：4x+y+3＝0． 故选：B． 题型2 直线的斜截式方程 解｜题｜知｜识 1．直线在y轴上的截距 一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离） 2．直线的斜截式方程 已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b． 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程． 【典例1】已知直线l1的斜率为，直线l1⊥l2，且直线l2在y轴上的截距为﹣1，则l2的方程为（　　） A．3x﹣y+1＝0 B．3x﹣y﹣1＝0 C．3x+y﹣1＝0 D．3x+y+1＝0 【答案】B 【解答】解：因为直线l1的斜率为， 直线l1⊥l2，可知直线l2的斜率为3， 又直线l2在y轴上的截距为﹣1， 所以l2的方程为y＝3x﹣1， 即3x﹣y﹣1＝0． 故选：B． 【变式1】已知直线l经过点M（﹣1，0），N（0，7），则直线l的方程为（　　） A．7x+y+7＝0 B．7x+y﹣7＝0 C．7x﹣y﹣7＝0 D．7x﹣y+7＝0 【答案】D 【解答】解：N（0，7），M（﹣1，0）， 所以，所以直线l的方程为y＝7x+7，即7x﹣y+7＝0． 故选：D． 【变式2】倾斜角为150°，在y轴上截距为﹣2的直线方程为　　 ． 【答案】 【解答】解：∵tan150°， ∴所求直线的斜率为， 又直线在y轴上的截距为﹣2， 由直线方程的斜截式得：， 化为一般式得：． 故答案为：． 【变式3】已知两点A（3，4）、B（﹣5，6），则直线AB的斜截式方程是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：已知两点A（3，4）、B（﹣5，6），故直线的方程为：，整理得x+4y＝19， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 题型3 直线的两点式方程 解｜题｜知｜识 直线的两点式方程： 经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式． （x1≠x2，y1≠y2） #注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线． 特别地：①当x1＝x2时，直线l的方程为x＝x1； ②当y1＝y2时，直线l的方程为y＝y1． 【典例1】经过两点A（﹣1，﹣5）和B（2，13）的直线在x轴上的截距为（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵A（﹣1，﹣5），B（2，13）， ∴， ∴直线AB的方程为y﹣13＝6（x﹣2），即6x﹣y+1＝0，令y＝0，解得x． 故选：C． 【变式1】过点M（﹣2，a），N（a，4）的直线的斜率为，则|MN|＝（　　） A．10 B．180 C．6 D．6 【答案】D 【解答】解：∵过点M（﹣2，a），N（a，4）的直线斜率为 k， 解得a＝10； ∴|MN|6． 故选：D． 【变式2】已知△ABC三顶点坐标A（1，2），B（3，6），C（5，2），M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为（　　） A．2x+y﹣8＝0 B．2x﹣y+8＝0 C．2x+y﹣12＝0 D．2x﹣y﹣12＝0 【答案】A 【解答】解：由题意结合中点坐标公式可得M（2，4），N（3，2）， 由两点式可得方程为， 化为一般式可得2x+y﹣8＝0 故选：A． 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．直线l的方程为x﹣ysinθ+2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是 B．直线3x﹣y﹣1＝0在y轴上的截距为﹣1 C．如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax﹣By﹣C＝0不经过第三象限 D．经过平面内任意相异两点（x1，y1），（x2，y2）的直线都可以用方程表示 【答案】ABC 【解答】解：对于选项A：直线l的方程为x﹣ysinθ+2＝0， 当sinθ≠0时，直线方程化为，斜率， 因为sinθ∈[﹣1，0）∪（0，1]， 所以k∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）， 即tanα∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）， 又因为α∈[0，π），所以； 当sinθ＝0时直线方程为x＝﹣2，倾斜角， 综上可得，故选项A正确； 对于选项B，将x＝0代入直线方程3x﹣y﹣1＝0，可得﹣y﹣1＝0，解得y＝﹣1，故选项B正确； 对于选项C，因为AB＜0，BC＜0，所以B≠0， 所以Ax﹣By﹣C＝0可化为， 所以直线的斜率，纵截距， 所以该直线经过一、二、四象限，故选项C正确； 对于选项D：经过任意两个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2）的直线： 当斜率等于0时，y1＝y2，当斜率不存在时，x1＝x2，都不能用方程表示，故选项D错误． 故选：ABC． 题型4 直线的截距式方程 解｜题｜知｜识 直线的截距式方程： 若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：可推得直线的斜截距方程为：． #注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线． 【典例1】已知直线l的倾斜角为30°，在y轴上的截距为﹣2，则此直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意，可得直线l的斜率为． 由直线的斜截式公式可知，直线方程为． 故选：B． 【变式1】不过原点的直线l在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的倾斜角为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解答】解：由题可设l的方程为x﹣y＝a，a≠0， 可得l的斜率为1，所以直线的倾斜角为． 故选：A． 【变式2】已知直线l过点（3，5），且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（　　） A．x+y+8＝0 B．yx C．yx或x+y﹣8＝0 D．yx或x+y+8＝0 【答案】C 【解答】解：当直线在坐标轴上的截距为0时，直线l的方程为yx， 当直线在坐标轴上的截距不为0时，可设直线方程为x+y＝a， 把（3，5）代入可得a＝8， 即直线方程为x+y＝8． 故选：C． 【变式3】若直线过第一、三、四象限，则实数a，b满足（　　） A．a＜0，b＜0 B．a＜0，b＞0 C．a＞0，b＞0 D．a＞0，b＜0 【答案】C 【解答】解：根据题意，直线过第一、三、四象限，则直线在x轴的截距为正，在y轴上的截距为负， 则a＞0，b＞0， 故选：C． 题型5 直线的一般式方程与直线的性质 解｜题｜知｜识 直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0． 1、两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有： （1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1． 2、直线的一般式方程： （1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线． （2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0． （3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0； ②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0； ③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0； ④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0． 如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔． 【典例1】数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（﹣9，2），B（1，﹣8），C（5，1），则△ABC的欧拉线方程为（　　） A．37x﹣93y+118＝0 B．37x﹣93y﹣118＝0 C．37x+93y﹣192＝0 D．37x+93y+192＝0 【答案】D 【解答】解：由△ABC的三个顶点分别为A（﹣9，2），B（1，﹣8），C（5，1）， 可得△ABC的重心坐标为，即， 因为直线AB的斜率为， 所以AB边上的高线所在直线的方程为y﹣1＝x﹣5，即x﹣y﹣4＝0， 同理可得AC边上的高线所在直线的方程为14x﹣y﹣22＝0， 联立AB边上的高线所在直线的方程和AC边上的高线所在直线的方程， 可得，解得，即△ABC的垂心坐标为， 由△ABC的重心与垂心坐标，可得△ABC的欧拉线方程为， 即37x+93y+192＝0． 故选：D． 【变式1】已知直线l：x+y﹣4＝0，则下列结论正确的是（　　） A．点（2，﹣2）在直线l上 B．直线l在x轴上的截距为4 C．直线l的倾斜角为 D．直线l的一个方向向量为 【答案】BC 【解答】解：直线l：x+y﹣4＝0， 对A，因为2﹣2﹣4＝﹣4≠0，所以点（2，﹣2）不在直线l上，故A错误； 对B，令y＝0，得x＝4，则直线l在x轴上的截距为4，故B正确； 对C，由直线l：y＝﹣x+4得直线l的斜率k＝﹣1，所以直线l的倾斜角为，故C正确； 对D，若直线l的一个方向向量为，则斜率k＝1，不符合题意，故D错误． 故选：BC． 【变式2】一条直线经过点P（3，1），并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为x+3y﹣6＝0　 ． 【答案】x+3y﹣6＝0． 【解答】解：因为经过点P（3，1），并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时， 可得点A（6，0），B（0，2）， 可得直线的方程为1， 即x+3y﹣6＝0． 故答案为：x+3y﹣6＝0． 【变式3】在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1．再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是　6x﹣8y+1＝0　 ． 【答案】6x﹣8y+1＝0 【解答】解：设直线l的方程为：y＝kx+b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：y＝k（x﹣3）+5+b，化为y＝kx+b+5﹣3k， 再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，y＝k（x﹣3﹣1）+b+5﹣2，化为y＝kx+3﹣4k+b． 又与直线l重合． ∴b＝3﹣4k+b，解得k． ∴直线l的方程为：yx+b，直线l1为：yxb， 设直线l上的一点P（m，b），则点P关于点（2，3）的对称点P′（4﹣m，6﹣bm）， ∴6﹣bm（4﹣m）+b，解得b． ∴直线l的方程是yx，化为：6x﹣8y+1＝0． 故答案为：6x﹣8y+1＝0． 题型6 直线的一般式方程与直线的平行关系 解｜题｜知｜识 1、两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有： （1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1． 2、直线的一般式方程： （1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线． （2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0． （3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0； ②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2C1≠0； ③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2C1＝0； ④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0． 如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔． 【典例1】已知直线l1：（2a+1）x+ay+1＝0，l2：（a+2）x+ay+2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解答】解：由题意直线l1：（2a+1）x+ay+1＝0，l2：（a+2）x+ay+2＝0， 直线l1，l2平行或重合的充要条件是（2a+1）a＝（a+2）a，所以a＝0或a＝1． 将a＝1代入直线l1，l2的方程，得l1：3x+y+1＝0，l2：3x+y+2＝0，易知l1∥l2； 将a＝0代入直线l1，l2的方程，得l1：x+1＝0，l2：2x+2＝0，直线l1，l2重合，故a＝0舍去． 综上所述，“a＝1”是“l1∥l2”的充要条件． 故选：C． 【变式1】已知直线l1：2x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0，若l1∥l2，则a的值是（　　） A．a＝﹣1或a＝2 B． C．a＝﹣1 D．a＝2 【答案】D 【解答】解：直线l1：2x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0，l1∥l2， 又直线l2的斜率存在， 可得：，解得a＝2． 故选：D． 【变式2】过点（5，0）且与x+2y﹣2＝0平行的直线方程是（　　） A．2x+y+5＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x+2y+5＝0 【答案】C 【解答】解：设与x+2y﹣2＝0平行的直线方程为x+2y+c＝0， 把点（5，0）代入可得5+0+c＝0，求得c＝﹣5，可得要求的直线的方程为x+2y﹣5＝0， 故选：C． 【变式3】以下四个命题表述错误的是（　　） A．mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3） B．若直线l1：2mx﹣y+1＝0与l2：（m﹣1）x+my+2＝0互相垂直，则实数 C．已知直线l1：ax+y﹣1＝0与平行，则a＝1或﹣1 D．设直线l的方程为y﹣xcosθ+3＝0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的取值范围是 【答案】BCD 【解答】解：直线mx+4y﹣12＝0，即mx+4（y﹣3）＝0， 所以恒过定点（0，3），故A正确； 选项B：当m＝0时，直线l1的斜率k1＝0，直线l2的斜率不存在，此时，l1与l2互相垂直， 当m≠0时，直线l1的斜率k1＝2m，直线l2的斜率， 因为两直线互相垂直，所以k1•k2＝﹣1，解得， 所以m＝0或，故B错误； 选项C：根据题意，当a＝0时，直线l1的斜率k1＝0，直线l2的斜率不存在， 此时，l1与l2互相垂直，舍去， 当a≠0时，直线l1的斜率k1＝﹣a，直线l2的斜率， 因为两直线互相平行，所以k1＝k2，解得a＝±1， 当a＝1时，两直线重合，不符合题意， 所以a＝﹣1，故C错误； 选项D：根据题意，直线l的斜率k＝cosθ（θ∈R）， 因为﹣1≤cosθ≤1，所以﹣1≤k≤1，所以﹣1≤tanα≤1， 倾斜角α的取值范围是，故D错误； 故选：BCD． 题型7 直线的一般式方程与直线的垂直关系 解｜题｜知｜识 1、两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有： （1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1． 2、直线的一般式方程： （1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线． （2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0． （3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0； ②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0； ③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0； ④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0． 如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔． 【典例1】“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”是“a＝﹣1”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解答】解：因为直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直， 所以a2•1+（﹣1）（﹣a）＝0，解得a＝0或a＝﹣1． 所以“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”是“a＝﹣1”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式1】若直线ax+（a﹣4）y﹣1＝0与直线ax+2y+13＝0垂直，则a的值可能为（　　） A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．2 【答案】CD 【解答】解：根据题意可得a2+2（a﹣4）＝0，所以a＝2或a＝﹣4． 故选：CD． 【变式2】已知直线l1：ax﹣y+2＝0，直线l2：x﹣ay+2＝0，则（　　） A．当a＝0时，两直线的交点为（﹣2，2） B．直线l1恒过点（0，2） C．若l1⊥l2，则a＝0 D．若l1∥l2，则a＝1或a＝﹣1 【答案】ABC 【解答】解：A中，a＝0时，直线l1的方程为：y＝2，直线l2的方程为：x＝﹣2， 可知两条直线的交点坐标为（﹣2，2），所以A正确； B中，直线l1恒过（0，2），所以B正确； C中，若l1⊥l2，则a×1+（﹣1）•（﹣a）＝0，可得a＝0，所以C正确； D中，若l1∥l2，则﹣a2＝﹣1，且﹣2≠﹣2a，此时a＝﹣1，所以D不正确． 故选：ABC． 题型8 待定系数法求直线方程 解｜题｜知｜识 求直线方程的一般方法： （1）直接法： 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．应明确直线方程的几种形式及各自的特点，合理选择解决方法．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况． （2）待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等． 利用待定系数法求直线方程的步骤： ①设方程； ②求系数； ③代入方程得直线方程，如果已知直线过一个定A（x0，y0），可以利用直线的点斜式y﹣y0＝k（x﹣x0）求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解． 【典例1】△ABC中，A（4，0），B（8，7），C（0，3），则BC边上的高所在直线的方程（　　） A．2x+y+8＝0 B．2x+y﹣8＝0 C．x﹣2y﹣4＝0 D．x﹣2y+4＝0 【答案】B 【解答】解：kBC， ∴BC边上的高所在直线的斜率＝﹣2． ∴BC边上的高所在直线的方程为：y﹣0＝﹣2（x﹣4），化为：2x+y﹣8＝0． 故选：B． 【变式1】瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为“欧拉线”．已知△ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，3），则△ABC的欧拉线方程为（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B． C．x+2y﹣3＝0 D．x﹣2y+1＝0 【答案】C 【解答】解：△ABC的重心为点，即点（1，1）， 又BC⊥AB， 所以△ABC的外心为斜边的中点，即点， 所以△ABC的欧拉线方程为，即x+2y﹣3＝0． 故选：C． 【变式2】已知直角△ABC的直角顶点A（﹣3，1），且B（2，﹣2），C在y轴上． （1）求点C的坐标； （2）求△ABC斜边中线的方程． 【答案】（1）（0，6）；（2）x﹣4y+7＝0． 【解答】解：（1）设顶点C的坐标为（0，a），由题可得， 解得a＝6，故点C的坐标为（0，6）； （2）由（1）可知斜边BC的中点为D（1，2）， 则斜边BC的中线AD的斜率为， 代入点斜式方程得，即x﹣4y+7＝0． 题型9 方程组解的个数与两直线的位置关系 解｜题｜知｜识 ﹣方程组：涉及到两条直线的方程： a1x+b1y+c1＝0 a2x+b2y+c2＝0 ﹣位置关系： ﹣相交：两条直线有唯一的交点． ﹣平行：如果方程组的系数比相同，但常数项不成比例，直线平行且没有交点． ﹣重合：如果两条直线的系数比和常数项的比都相同，直线重合． 【解题方法点拨】 ﹣判定位置关系： 1．平行：计算直线的斜率，若斜率相同但常数项不同，说明平行． 2．重合：检查两条直线的系数比和常数项比是否相等． 3．相交：若上述条件不满足，直线相交，解得交点坐标． 【命题方向】 ﹣直线位置关系：考查方程组的解的个数和直线的位置关系，如平行、重合、相交． 【典例1】曲线y＝|x|与y＝kx+1的交点的情况是（　　） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【解答】解：联立两条直线方程得：得到|x|＝kx+1， 两边平方得：（k2﹣1）x2+2kx+1＝0，当k2﹣1≠0即k≠±1时，Δ＝（2k）2﹣4（k2﹣1）＝4＞0，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当k＝±1时，得到y＝±x+1，与曲线只有一个交点． 所以曲线y＝|x|与y＝kx+1的最多有两个交点． 故选：A． 【变式1】写出使得关于x，y的方程组无解的一个a的值为 　1　 .（写出一个即可） 【答案】1． 【解答】解：，则， ∵关于x、y的方程组无解， 即方程所对应的两直线平行， 可得， ∴a2﹣1＝0，解得a＝±1， 故a的值可以为1． 故答案为：1． 题型10 恒过定点的直线 解｜题｜知｜识 ﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为： a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0 其中a和b是直线的方向向量分量． 【解题方法点拨】 ﹣求方程： 1．已知定点：将定点（x1，y1）代入直线方程． 2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式． 3．标准方程：得到直线方程如： a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0 【命题方向】 ﹣定点直线：考查如何找到所有恒过一个定点的直线方程，通常涉及固定点和直线方程的转换． 【典例1】不论k为任何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0恒过定点，若直线mx+ny＝2过此定点，其中m，n是正实数，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0， 即k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）＝0， 根据k的任意性可得， 解得， 则直线（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）＝0都经过一个定点（2，3）， 圆为直线mx+ny＝2过此定点，所以2m+3n＝2， ， 当且仅当时取等号，即，时取等号． 则的最小值是． 故选：B． 【变式1】过定点A的直线（a+1）x﹣y+2＝0与过定点B的直线x+（a+1）y﹣5a﹣2＝0交于点P（P与A、B不重合），则△PAB面积的最大值为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【解答】解：直线（a+1）x﹣y+2＝0化为y＝（a+1）x+2，可知定点A（0，2）， 动直线x+（a+1）y﹣5a﹣2＝0化为a（y﹣5）+x+y﹣2＝0，令， 解得y＝5，x＝﹣3，可知定点B（﹣3，5）， 又（a+1）×1﹣1×（a+1）＝0， 所以直线（a+1）x﹣y+2＝0与直线x+（a+1）y﹣5a﹣2＝0垂直，P为交点， ∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝（0+3）2+（2﹣5）2＝18， ∴，当且仅当|PA|＝|PB|＝3时，等号成立， 即△PAB面积的最大值为． 故选：B． 【变式2】已知直线l1：x+（a﹣1）y+1＝0，直线l2：ax+2y+2＝0，则下列结论错误的是（　　） A．l1在x轴上的截距为﹣1 B．l2过定点（0，﹣1） C．若l1∥l2，则a＝﹣1或a＝2 D．若l1⊥l2，则 【答案】C 【解答】解：已知直线l1：x+（a﹣1）y+1＝0，直线l2：ax+2y+2＝0， 对于A，令y＝0时，x＝﹣1，则l1在x轴上的截距为﹣1，故A正确； 对于B，直线l2：ax+2y+2＝0，当x＝0时y＝﹣1，所以直线l2恒过（0，﹣1），故B正确； 对于C，若l1∥l2，则a（a﹣1）﹣2＝0且a≠2，故a＝﹣1，故C错误； 对于D，l1⊥l2等价于a+2（a﹣1）＝0，解得，故D正确． 故选：C． 【变式3】设m∈R，过定点A的动直线x﹣2my＝0和过定点B的动直线2mx+y﹣6m﹣4＝0交于点P，点P不与A，B重合，则的最小值是（　　） A．9 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由x﹣2my＝0过定点可得A（0，0）， 由（2x﹣6）m+y﹣4＝0过定点可得，2x﹣6＝0，y﹣4＝0，故x＝3，y＝4，所以B（3，4）， 又1×2m+（﹣2m）×1＝0，则两条直线垂直， 则|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝32+42＝25， 则 ， 等号成立时， 故的最小值是． 故选：C． 题型11 与直线关于点、直线对称的直线方程 解｜题｜知｜识 ﹣对称直线： ﹣点对称：直线l关于点（x0，y0）的对称直线方程为： ﹣直线对称：给定直线l和对称直线l'，可以利用垂直平分线的方程来确定l'的方程． 【解题方法点拨】 ﹣求对称直线方程： 1．点对称：将直线关于点对称，得到对称点和新直线方程． 2．直线对称：对直线关于另一条直线的对称，先找到垂直平分线，再确定对称方程． 【命题方向】 ﹣对称直线：常考查如何利用点对称或直线对称求得直线方程． 【典例1】直线x﹣2y﹣1＝0关于直线y+x＝0对称的直线方程是（　　） A．2x+y+1＝0 B．2x﹣y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．x﹣2y+1＝0 【答案】B 【解答】解：设P（x，y）为所求直线上的任意一点，P关于直线y+x＝0的对称为Q（a，b）， 则，解得，即Q（﹣y，﹣x）， 因为Q（﹣y，﹣x）在直线x﹣2y﹣1＝0上， 所以（﹣y）﹣2（﹣x）﹣1＝0，整理得2x﹣y﹣1＝0，即为所求对称直线的方程． 故选：B． 【变式1】点A（3，1）关于直线x﹣y+1＝0的对称点的坐标为（　　） A．（3，0） B．（0，4） C．（0，3） D．（2，4） 【答案】B 【解答】解：设点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为A′（x，y）， 根据题意，可得，解得， 所以A′（0，4），即为所求对称点的坐标． 故答案选：B． 【变式2】入射光线l从P（2，1）出发，经y轴反射后，通过点Q（4，3），则入射光线l所在直线的方程为（　　） A．y＝0 B．x﹣3y﹣5＝0 C．x+3y﹣5＝0 D．x﹣3y+5＝0 【答案】C 【解答】解：入射光线l从P（2，1）出发，经y轴反射后，通过点Q（4，3）， 因为Q（4，3）关于y轴的对称点Q′（﹣4，3）， 所以直线，即x+3y﹣5＝0， 则入射光线l所在直线的方程为x+3y﹣5＝0． 故选：C． 【变式3】已知点M（﹣1，1），N（2，1），且点P在直线l：x+y+2＝0上，则（　　） A．存在点P，使得PM⊥PN B．存在点P，使得2|PM|＝|PN| C．|PM|+|PN|的最小值为 D．若P（a，b），则a2+b2的最小值为1 【答案】BC 【解答】解：A选项：依题意，设P（a，﹣a﹣2）， 当a＝﹣1时，P（﹣1，﹣1），此时PM⊥x轴，但，此时PM与PN不垂直； 同理当a＝2时，P（2，﹣4），此时PM与PN不垂直； 而当a≠﹣1且a≠2时，由，可得2a2+5a+7＝0， 该方程无实数解，此时PM与PN不垂直， 综上可知，不存在点P，使得PM⊥PN，故A选项错误； B选项：设P（a，﹣a﹣2），由M（﹣1，1），N（2，1），2|PM|＝|PN|， 可得，化简得2a2+10a+9＝0， 因Δ＝102﹣4×2×9＝28＞0，则方程有解，故存在点P，使得2|PM|＝|PN|，故B选项正确； C选项：如图设M（﹣1，1）关于直线l的对称点为M′（m，n）， 则，解得，即M′（﹣3，﹣1）， ∴， 当且仅当M′、P、N三点共线时取等号（P在两点M′，N之间），故C选项正确； D选项：因b＝﹣a﹣2，则a2+b2＝a2+（﹣a﹣2）2＝2a2+4a+4＝2（a+1）2+2≥2， 当a＝﹣1时等号成立，故a2+b2的最小值为2，故D选项错误． 故选：BC． 题型12 与直线有关的动点轨迹方程 解｜题｜知｜识 ﹣动点轨迹：动点P（x，y）满足一定条件（如到定点距离等于常数）的轨迹方程．常见轨迹包括直线、圆等． 【解题方法点拨】 ﹣求轨迹方程： 1．分析条件：将动点的条件转化为方程． 2．转换方程：将几何条件转化为坐标方程，如点到直线的距离或点到点的距离等于常数． 3．求解方程：通过代数方法或几何方法得到轨迹方程． 【命题方向】 ﹣动点轨迹：考查如何从动点条件推导出轨迹方程，常涉及几何图形的方程构建． 【典例1】在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是棱C1D1，A1A，AB，CD的中点，动点E在正方体表面运动，则（　　） A．PN与A1M为异面直线 B．A1B与MN所成的角为90° C．平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D．，则E点轨迹长度为 【答案】ABD 【解答】解：对于A，由异面直线定义可知，PN与A1M不同在任何一个平面内， 它们是异面直线，即A正确； 对于B，取CC1的中点为F，连接MF，NF，如下图所示： 由正方体性质可知A1B∥D1C，又MF∥D1C，所以MF∥A1B， 因此A1B与MN所成的角即为MF与MN所成的角，即∠FMN或其补角， 易知，满足MN2+MF2＝NF2，即MF⊥MN， 所以∠FMN＝90°，因此A1B与MN所成的角为90°，即B正确； 对于C，分别取BC，A1D1的中点为R，G，连接各中点，如下图所示： 易知MF∥NP，GM∥RP，NG∥RF，即可知M，N，G，P，R，F在同一平面内， 所以平面PMN截该正方体所得截面即为六边形MGNPRF， 又MF＝NP＝GM＝RP＝NG＝RF，所以截面形状为正六边形，即C错误； 对于D，因为，又N为A1A的中点，所以， 所以，即，因此可知共线， 所以E点轨迹为过点Q且与B1N平行的线段， 取DD1的中点为S，连接SC1，取CF的中点E1，连接QE1，如下图所示： 由正方体性质易知DF∥SC1，B1N∥SC1，所以B1N∥DF， 又QE1为DF的中位线，所以DF∥QE1，则B1N∥QE1， 因此E点轨迹即为线段QE1，且， 所以E点轨迹长度为，可得D正确． 故选：ABD． 【变式1】已知△ABC的顶点A（2，4），AB边上的中线CM所在直线的方程为x+4y﹣4＝0，∠ABC的平分线BH所在直线的方程为y＝x． （1）求直线BC的方程； （2）若直线l上任意一点P，都满足S△PBC＝S△ABC，求直线l的方程． 【答案】（1）2x﹣3y﹣2＝0； （2）2x﹣3y﹣12＝0或2x﹣3y+8＝0． 【解答】解：（1）根据题意，如图， ∠ABC的平分线BH所在直线的方程为y＝x，则点B在直线y＝x上， 不妨设B（m，m），又A（2，4），则AB的中点，且点B在直线x+4y﹣4＝0上， 则有，解得m＝﹣2，所以B（﹣2，﹣2）． 设点A（2，4）关于直线y＝x对称的点为A′（x0，y0）， 则有，解得，即A′（4，2）． 显然A′（4，2）在直线BC上，则直线BC的斜率， 则直线BC的方程为，整理得2x﹣3y﹣2＝0； （2）根据题意，直线BC的方程为2x﹣3y﹣2＝0， 点A到直线BC的距离， 若直线l上任意一点P，都满足S△PBC＝S△ABC，所以点P，A到直线BC的距离相等， 必有直线l与直线BC平行， 设l：2x﹣3y+n＝0（n≠﹣2），则，解得n＝﹣12或8， 所以直线l的方程为2x﹣3y﹣12＝0或2x﹣3y+8＝0． 过 关 验 收 1．若直线l的方向向量是（1，sinθ），则直线l的倾斜角α的范围是（　　） A．[0，π） B． C． D． 【答案】D 【解答】解：若直线l的方向向量是（1，sinθ）， 则直线l的斜率k＝sinθ， 则﹣1≤k≤1，则． 故选：D． 2．已知直线m的一个方向向量为，直线l的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍． （1）求直线l的斜率． （2）求过点P（3，﹣4），直线l的点斜式方程． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由题可得直线m的斜率为， 则直线m的倾斜角为30°， 因此直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率为． （2）由（1）知：直线l的斜率为，而直线l过点P（3，﹣4）， 所以直线l的点斜式方程为． 3．已知△ABC的三个顶点分别是A（1，2），B（5，4），C（2，7），则边AB上的中线所在直线方程为 　4x+y﹣15＝0　 ． 【答案】4x+y﹣15＝0． 【解答】解：A（1，2），B（5，4），C（2，7）， AB的中点坐标为D（3，3）， 则，故边AB上的中线所在直线方程为y﹣3＝﹣4（x﹣3）， 即4x+y﹣15＝0， 故答案为：4x+y﹣15＝0． 4．经过点（1，3）和（﹣3，1）的直线的方程为x﹣2y+5＝0　 ． 【答案】x﹣2y+5＝0． 【解答】解：经过点（1，3）和（﹣3，1）的直线的方程为， 即x﹣2y+5＝0． 5．已知△ABC的顶点坐标分别是A（0，5），B（1，﹣2），C（﹣7，4）； （1）求BC边上的中线所在直线的方程； （2）求过点C且与直线AB平行的直线方程； （3）若点D（1，m2﹣2m+5），当m∈R时，求直线AD倾斜角的取值范围． 【答案】（1）4x﹣3y+15＝0； （2）7x+y+45＝0； （3）[0，）∪[，π）． 【解答】解：（1）∵A（0，5），B（1，﹣2），C（﹣7，4）， ∴BC的中点坐标为（﹣3，1）， ∴中线的斜率为， ∴中线所在直线的方程为：yx+5， 即4x﹣3y+15＝0 （2）由已知可得AB的斜率为7， ∴与直线AB平行的直线的斜率也为﹣7， ∴所求直线的方程为y﹣4＝﹣7（x+7）， 化为一般式可得7x+y+45＝0． （3）可得直线AD的斜率为m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1≥﹣1， ∴直线AD倾斜角的取值范围为[0，）∪[，π） 6．已知直线l：（m+1）x+（m﹣4）y﹣5m＝0在x轴正半轴和y轴正半轴上的截距分别为a，b，当a+b最小时，m＝（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 【答案】D 【解答】解：由题意得l：（x+y﹣5）m+x﹣4y＝0， 由，得， 所以l过定点（4，1）， 设，将定点（4，1）代入可得， 可得a+b＝（a+b）（）＝4+15+29， 当且仅当，即a＝6，b＝3时，等号成立． 此时，即x+2y﹣6＝0， 得，得m＝﹣6． 故选：D． 7．已知直线l的方程为（b+2）x+y﹣3﹣b＝0（b∈R），若l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为2，则b＝（　　） A． B．﹣1 C． D．0 【答案】B 【解答】解：根据题意，直线l的方程为（b+2）x+y﹣3﹣b＝0， 令x＝0，则y＝b+3，即直线与y轴交点坐标为（0，b+3）， 令y＝0，则x，即直线与x轴交点坐标为（，0）， 又由l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，且△AOB的面积为2， 则，解可得b＝﹣1． 故选：B． 8．已知直线（a+2）x﹣y+2a﹣3＝0在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为直线（a+2）x﹣y+2a﹣3＝0在x轴上的截距是y轴上截距的2倍， 当过原点时，符合题意，此时2a﹣3＝0，解得， 当直线不过原点时，由题意看直线的斜率存在且不为0， 令x＝0，可得y＝2a﹣3， 令y＝0，可得x，a≠﹣2，a， 即直线l在x轴上的截距为，在y轴上截距2a﹣3， 由题意可得，得， 综上所述，a的值为或． 故选：C． 9．直线3x﹣4y+k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝（　　） A．﹣1 B．﹣24 C．﹣2 D．2 【答案】B 【解答】解：对于直线3x﹣4y+k＝0，令y＝0，解得，即直线在x轴上截距为， 令x＝0，解得，可知直线在y轴上的截距为， 结合题意可得，解得k＝﹣24． 故选：B． 10．已知直线l经过点C（4，2），且与x轴、y轴分别交于点A、点B，当|AC|•|BC|取最小值时，直线l的方程为x﹣y﹣2＝0或x+y﹣6＝0　 ． 【答案】x﹣y﹣2＝0或x+y﹣6＝0． 【解答】解：根据直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，可知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为：y﹣2＝k（x﹣4），可得，B（0，2﹣4k）， 所以，， 可得， 当且仅当时，即k＝±1时，取等号， 此时直线的方程为y＝x﹣2或y＝﹣x+6，即x﹣y﹣2＝0或x+y﹣6＝0． 故答案为：x﹣y﹣2＝0或x+y﹣6＝0． 11．在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点B（﹣2，1），边BC上的中线所在的直线方程为2x﹣y﹣2＝0，边BC上的高所在的直线方程为x﹣y﹣1＝0． （1）求边AB所在直线的一般式方程； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）x+3y﹣1＝0； （2）． 【解答】解：（1）由题可得BC中线，与BC边上的高线均过A点， 则A点坐标（x，y）满足：，解得，即A（1，0）， 又B（﹣2，1），则， 所以AB方程为：y﹣1（x+2），即x+3y﹣1＝0； （2）设C（x1，y1），由题可得BC中点在2x﹣y﹣2＝0上， 则， BC边与其高线垂直，x﹣y﹣1＝0斜率为1， 则， 联立，解得，即， 从而， 其中， d表示A到BC距离，又直线BC的斜率为﹣1， 所以BC方程为：y＝﹣（x+2）+1＝﹣x﹣1， 则， 可得． 12．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是，且经过点A（2，1）； （2）斜率为﹣1，在y轴上的截距为﹣2； （3）经过A（﹣1，1），B（2，﹣1）两点． 【答案】（1）； （2）x+y+2＝0； （3）2x+3y﹣1＝0． 【解答】解：（1）因为斜率是，且经过点A（2，1）， 可得直线方程为， 即； （2）因为斜率为﹣1，在y轴上的截距为﹣2， 由可得直线方程为y＝﹣x﹣2， 即x+y+2＝0； （3）因为A（﹣1，1），B（2，﹣1）两点， 可得直线的斜率为， 故由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即2x+3y﹣1＝0． 13．三条直线ax+2y+8＝0，4x+3y＝10与2x﹣y＝10能围成三角形，则实数a的取值集合为　{a|a≠﹣1且a≠﹣4且a}　 ． 【答案】{a|a≠﹣1且a≠﹣4且a}． 【解答】解：根据题意，三条直线ax+2y+8＝0，4x+3y＝10与2x﹣y＝10不能围成一个三角形， 分3种情况讨论：当三条直线交于同一点时，，解可得x＝4，y＝﹣2，即交点为（4，﹣2）， 将（4，﹣2）代入ax+2y+8＝0，得4a﹣4+8＝0，解得a＝﹣1； 当直线ax+2y+8＝0与4x+3y＝10平行，有3a＝8，解得a 当直线ax+2y+8＝0与2x﹣y＝10平行，则a＝﹣1×4，解得a＝﹣4， 若3条直线不能围成三角形，则a的取值范围为{a|a≠﹣1且a≠﹣4且a}． 故答案为：{a|a≠﹣1且a≠﹣4且a}． 14．已知直线l的方程为ax+y﹣2a﹣2＝0（a∈R）． （1）若l与直线x+2y＝0平行，求a的值； （2）若l在x轴，y轴上的截距相等，求l的方程． 【答案】（1）． （2）x+y﹣4＝0或x﹣y＝0． 【解答】解：（1）因为l：ax+y﹣2a﹣2＝0（a∈R）与直线x+2y＝0平行， 所以，求得． （2）当a＝0时，l：y＝2，不满足题意． 当a≠0时，l与x轴，y轴的交点分别为，（0，2a+2）， 因为l在x轴，y轴上的截距相等，所以，解得a＝±1． 故l的方程为x+y﹣4＝0或x﹣y＝0． （多选）15．以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒过定点（﹣3，﹣3） B．已知圆C：x2+y2＝4，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（1，2） C．曲线C1：x2+y2+2x＝0与曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝4 D．圆x2+y2＝4上存在4个点到直线l：x﹣y0的距离都等于1 【答案】BCD 【解答】解：对于A，直线方程可化为m（x+3）+3x+4y﹣3＝0，令x+3＝0，则3x+4y﹣3＝0，x＝﹣3，y＝3，所以直线恒过定点（﹣3，3），A错误； 对于B，设点P的坐标为（m，n），所以，，以OP为直径的圆的方程为x2+y2﹣mx﹣ny＝0， 两圆的方程作差得直线AB的方程为：mx+ny＝4，消去n得，m（x）+2y﹣4＝0， 令x0，2y﹣4＝0，解得x＝1，y＝2，故直线AB经过定点（1，2），B正确． 对于C，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切， 曲线C1：x2+y2+2x＝0化为标准式得，（x+1）2+y2＝1， 曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0化为标准式得，（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20﹣m＞0， 所以，圆心距为5，即15，解得m＝4，C正确； 对于D，因为圆心（0，0）到直线l：x﹣y0的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2， 故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有三个点到直线l：x﹣y0的距离等于1，D正确； 故选：BCD． 16．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，则经过点P（4，1）最短弦长所在直线方程为y＝3x﹣11　 ． 【答案】y＝3x﹣11． 【解答】解：因为（4﹣1）2+（1﹣2）2＝9+1＝10＜25，所以点P在圆内． （x﹣1）2+（y﹣2）2＝25的圆心C的坐标为（1，2），半径为5， 由点P（4，1）和圆心C（1，2），可得直线PC的斜率， 因为最短弦与PC垂直，所以，解得k＝3， 因为直线过点P（4，1），所以直线方程为y﹣1＝3（x﹣4），即y＝3x﹣11． 故答案为：y＝3x﹣11． 17．已知直线l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1． （1）求证：直线l过定点； （2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围； （3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由直线方程（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1变形可得a（y﹣2x）+3x﹣y﹣1＝0， 整理得： 则有，解得，所以直线l过定点（1，2）． （2）结合图像： 当直线l斜率不存在时，即a＝1时，直线l：x＝1符合题意； 当直线l斜率存在时，， 解得a＜1； 综上可得，实数a的取值范围为a≤1． （3）已知直线l：（a﹣1）y＝（2a﹣3）x+1， 令y＝0，得，得． 令x＝0，得，得a＞1， 则，当时，SΔ取到最小值． 此时，直线l的方程为：2x+y﹣4＝0． 18．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1＝0，则直线PB的方程是（　　） A．x+y﹣5＝0 B．2x﹣y﹣1＝0 C．2y﹣x﹣4＝0 D．2x+y﹣7＝0 【答案】A 【解答】解：由于直线PA的倾斜角为45°，且|PA|＝|PB|， 故直线PB的倾斜角为135°， 又当x＝2时，y＝3，即P（2，3）， ∴直线PB的方程为y﹣3＝﹣（x﹣2），即x+y﹣5＝0． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $