4.4.3 不同函数增长的差异（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“不同函数增长的差异”，核心知识点涵盖一次函数、指数函数、对数函数的增长特性及模型选择。课前通过表格对比三种函数单调性、图象趋势与增长速度，课中设置增长速度比较和模型选择两个探究点，形成从基础认知到实际应用的学习支架。 其亮点在于以科技公司奖励方案、圆台注水等实例为载体，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过对比分析、图表结合培养数学思维，借助函数模型表达解决实际问题的数学语言。采用探究式教学与素养小结，助力学生提升知识应用能力，为教师提供系统的教学资源与方法支持。

4.4 对数函数 1 4.4.3 不同函数增长的差异 2 探究点一 增长速度的比较 探究点二 利用函数增长选择合适模型 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.理解函数模型的应用，结合现实情境中的具体问题,利用计算工具, 比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异. 2.理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 3.通过不同函数增长的差异，会根据实际意义选择函数的最佳模型， 以此来刻画其变化规律，从而解决实际问题. 4 知识点 一次函数、指数函数、对数函数增长的比较 函数 在 上的单调性 __________ __________ __________ 图象的变化 趋势 随 增大逐渐近 似与_____平行 随 增大逐渐近 似与_____平行 保持固定增长速度 增长速度 随着的增大， 的增长速度 __________，会超过并远远大于 的增长 速度，而 的增长速度__________； 总存在一个，当 时，恒有________________ 单调递增 单调递增 单调递增 轴 轴 越来越快 越来越慢 课 前 预 习 5 探究点一 增长速度的比较 角度1 几个函数模型增长差异比较 例1（1）下列函数中，随 的增大而增大且速度越来越快的是 ( ) A. B. C. D. [解析] ，， 随 的增大而减小，故D不正确； 为一次函数，为指数函数， 为对数函 数， 随的增大而增大且速度越来越快的是 .故选A. √ 课 中 探 究 6 （2）三个变量，，随着变量 的变化情况如表： 1 3 5 7 9 11 5 135 625 1715 3635 6655 5 29 245 2189 19 685 177 149 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与 之间呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依 次是( ) A.，， B.，， C.，， D.，， √ 课 中 探 究 7 [解析] 由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度可知，指数函数 增长速度越来越快，对数函数增长速度越来越慢， 由题中表格可知，是幂函数型函数，是指数型函数， 是对数型函数.故选C. 课 中 探 究 8 角度2 增长速度的比较 例2 函数,, 的图象如图①②所示 （横、纵轴单位长度不同，图①为图②的局部放大），试分别指出 各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异（以1，，， ， ， 为分界点）. 课 中 探 究 9 解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得， 曲线 对应的函数是，曲线对应的函数是， 曲线 对应的函数是. 由题图知，当 时，； 当时， ； 当时，； 当 时， ； 当时，； 当 时， ； 当时， . 课 中 探 究 10 变式 （多选题）已知函数,, ，则 在区间 上( ) A. 的增长速度越来越快 B. 的减少速度越来越慢 C. 的减少速度越来越慢 D.的减少速度慢于 的减少速度 √ √ √ 课 中 探 究 11 [解析] 作出三个函数在区间 上的图象，如 图所示. 根据指数函数、对数函数及幂函数的图象 和性质可知，在区间上， 的增长速度 越来越快，故A正确； 的减少速度越来越慢，故B正确； 的减少速度越来越慢，故C正确； 的减少速度快于的减少速度，故D错误. 故选 . 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 三种增函数（指数函数、幂函数、对数函数）中,当自变量足够大时, 指数函数的函数值最大,但必须是自变量的值大到一定程度,因此判断 一个增函数是否为指数型函数时,一般判断当自变量大到一定程度时, 自变量增加相同的量,函数值的增长量是否为最大,若是,则这个函数就 可能是指数型函数. 课 中 探 究 13 [解析] 对于三种函数,当自变量 为某一个足够大的数值时,指数函数 的函数值最大,其次是一次函数的函数值,对数函数的函数值最小,故 . 拓展 当足够大时,,, 的大小关系是___________ _______________.（用“ ”连接）. 课 中 探 究 14 探究点二 利用函数增长选择合适模型 例3 科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现 9000万元的投资收益目标，准备制订一个激励研发人员的奖励方案： 当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金 （单位：万元）随投资收益（单位：万元， ）的 增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益 的 ． 课 中 探 究 15 （1）现有三个奖励函数模型： ， ， ．试分析这三个函 数模型是否符合公司要求. 解：由题意，符合公司要求的函数在 上单调递增， 且对任意，恒有且 ． ①对于函数，在 上单调递增， 当时， ，不符合要求； ②对于函数，在 上单调递减， 不符合要求； 课 中 探 究 16 ③对于函数，在 上单调递增， 且当时， ， 因为 ， 而，所以当时， 恒成立， 因此， 为符合公司要求的函数模型． 课 中 探 究 17 例3 科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现 9000万元的投资收益目标，准备制订一个激励研发人员的奖励方案： 当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金 （单位：万元）随投资收益（单位：万元， ）的 增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益 的 ． （2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到350万元， 公司的投资收益至少为多少万元？ 解：由，得，所以 ， 所以公司的投资收益至少为8000万元． 课 中 探 究 18 变式 为了提高员工的工作积极性，某公司想修订新的“员工激励计 划”.新的计划有以下两点要求： 奖金随着销售业绩的增加而增加； 销售业绩增加时，奖金增加的速度越来越快. 公司规定销售业绩在10万元或以内时的奖金为0元，超过10万元则开 始计算奖金，销售业绩为20万元时的奖金为2千元.设销售业绩为 万元时的奖金为 千元，现给出三个函数模型： ；； .其中 ， . 课 中 探 究 19 （1）请选择符合该公司新的“员工激励计划”的函数模型，并给出合 理的解释. 解：选择模型③，理由如下： 当时，①②③中的 均随的增大而增大， 但当增大时，①中 的增长速度不变， ②中的增长速度越来越慢， ③中 的增长速度越来越快，故选择模型③. 课 中 探 究 20 （2）试根据（1）中选择的函数模型计算销售业绩为200万元时的奖 金为多少千元？ 解：由题意及（1）得，，， ， ， 则解得 故，所以 ， 故销售业绩为200万元时的奖金为266千元. 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 针对不同增长趋势，函数模型的选择方法: （1）增长速度不变,即自变量增加相同量时,函数值的增量相等,此时 的函数模型是一次函数模型. （2）增长速度越来越快,即自变量增加相同量时,函数值的增量越来 越大,此时的函数模型是指数函数模型. （3）增长速度越来越慢,即自变量增加相同量时,函数值的增量越来 越小,此时的函数模型是对数函数模型. 课 中 探 究 22 课后习题 23 1.下列函数中,当足够大时，随着 的增长,增长速度最快的是( ) A. B. C. D. [解析] 根据一次函数、幂函数、对数函数、指数函数的性质可知, 当足够大时，随着 的增长,增长速度最快的是指数函数,故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 2.如图反映的是下列哪类函数的增长趋势( ) A.一次函数 B.幂函数 C.对数函数 D.指数函数 [解析] 从题图可以看出这个函数的增长速率越来越慢，且图象过点 ，反映的是对数函数的增长趋势，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 3.四个函数的部分图象如图所示，则，，， 所表示的函数可能是( ) A.,,, B.,,, C.,,, D.,,, √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 [解析] 根据幂函数、指数函数、对数函数的性 质和图象的特点， 可知， 对应的函数分别是幂指数大于1和幂 指数大于0小于1的幂函数， ， 对应的函数分别为底数大于1和底数大于0 小于1的指数函数.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 4.下列选项分别是四种生意预期的收益关于时间 的函数模型，从 足够长远的角度看，使得公司获得最大收益的函数模型是( ) A. B. C. D. [解析] 指数函数的底数大于1，所以其增长速度随着 的增 大会越来越快， 当足够大时，它比幂函数 ，函数，一次函数 增长的速度快， 所以从足够长远的角度看，使得公司获得最大收益的函数模型 是 ，故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 5.已知当时，不等式恒成立，则 的取值范围 是( ) A. B. C. D. [解析] 作出，， 的图象 （横、纵轴单位长度不同），如图所示， 由图可知，当时， 恒成立， 故的取值范围是 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 6.（多选题）已知函数,, ，则下列关于这三个 函数的描述中，正确的是( ) A.当足够大时，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于 B.当足够大时，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于 C.当时，的增长速度一直快于 D.当时，的增长速度有时快于 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 [解析] 对于,，从负无穷开始，大于， 然后 大于，再然后再次大于，此后再也追不上， 故当 足够大时，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于 ， A错误，B，D正确； 对于,，由于的增长速度是不变的， 当 时，大于， 当时，大于，再也追不上 ， 其中的增长速度有时快于，C错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 7.一般地，对于对数函数与一次函数 ， 随着的增大，一次函数 保持固定的增长速度，而 的增长速度越来越____.（填“快”或“慢”） 慢 [解析] 如图是一次函数 与对 数函数 的图象， 由图可知一次函数 保持固定 的增长速度， 而对数函数 的增长速度越来越慢. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 8.当时，试探究三个函数，， 的增 长差异，用“ ”把，， 的大小关系连接起来为_____________. [解析] 易知三个函数在区间上均单调递增， 所以当 时，，， ， 故，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 9.（13分）下表是随的变化而得到的，， 的函数值. 1 2 9 0 2 4 11 1 3 8 13 4 16 15 2 5 32 17 6 64 19 7 128 21 8 256 23 3 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 9 512 25 10 1024 27 试回答： （1）随着 的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？ 解：随着 的增大,各函数的函数值都在增大. （2）各函数的函数值变化的快慢有什么不同？ 解：随着的增大,的增长速度越来越快， 均匀增长， 的增长速度越来越慢. 续表 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 10.[2026·广东汕尾高一期末］向一个下底面面积小于上底面面积的 圆台形容器匀速注水（容器原本无水，注水速率恒定），设注水时 间为，容器内水面高度为，则以下函数中，最能近似反映与 这 一变化现象的是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 [解析] 圆台形容器下底面面积小于上底面面积， 当匀速注入水时随着注水时间的增加，水面高 度的增长速度会逐渐变慢. 对于A， 是指数函数，增长速度越来越快， 呈爆炸式增长，故A错误； 对于B，是二次函数，当，， 时，增长速度越来越快，故B错误； 对于C， 是幂函数，增长速度越来越慢，且始终递增，故C正确； 对于D，对数函数 虽然增长速度越来越慢，但其定义域 为 ，不满足初始时刻时水面高度 的实际情况， 故D错误.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 11.（多选题）下列说法正确的是( ) A.函数 减小的速度越来越慢 B.在指数函数中，当时，底数 越大，其增长速 度越快 C.不存在一个实数，使得当时， D.当，时，在区间内，对任意的 ，总有 成立 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 [解析] 对于A，由对数函数的性质知，函数 减小的速度越来越慢，选项A正确； 对于B，由指数函数的性质知，指数函数 中， 当时，底数 越大，其增长速度越快，选项B正确； 对于C，由指数函数的性质知，当足够大时，随 的增大的 增长速度是非常快的，远远超过幂函数 的增长速度， 因此一定存在一个实数，使得当时， ，选项 C不正确； 对于D，取,，由图知，在区间 内， 不恒成立，选项D不正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 12.图①②③分别是与 在不同范围内的图象，估算出使 成立的 的取值范围是______________________. （参考数据：， ） 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 [解析] 因为当时，， 当 时，， 所以与 的图象的交点情况如图所示， 结合图象可知使成立的 的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 13.，，三个物体同时从同一点出发同向而行，位移 关于时间 的函数关系式分别为,, ，则下 列结论中，所有正确结论的序号是______. ①当时， 总走在最前面； ②当时， 总走在最前面； ③当时，一定走在 前面. ①② 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 [解析] 在同一坐标系内画出 , ,在 上的图象 （横、纵轴单位长度不同）如图所示. 当 时，函数 的增长速度最快， 且当 时，,, ， 故当 时，总走在最前面，①正确； 当时，由图可知， 总走在最前面，②正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 当时，, ， 当时，, ， 由图可知，当时，走在 前面， 当时，走在 后面，③错误.故填①②. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分）［教材P141习题4.4第11题］假设有一套住房的房价从 2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方 式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价， 是2002 年以来经过的年数. 0 5 10 15 20 万元 20 40 万元 20 40 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 （1）求函数 的解析式; 解：因为是按直线上升的房价,所以设, , 由,, 可得, ,即, . （2）求函数 的解析式； 解：因为是按指数增长的房价,所以设, , 由,,可得, , 即, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 14.（15分）［教材P141习题4.4第11题］假设有一套住房的房价从 2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方 式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价， 是2002 年以来经过的年数. 0 5 10 15 20 万元 20 40 万元 20 40 （3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数 的图象，然后比较两种价格增长方式的差异. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 解：由（1）和（2）知,当时,, ； 当时,, ； 当时,, . 则表格如下: 0 5 10 15 20 万元 20 30 40 50 60 万元 20 40 80 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 则两函数的图象如图所示. 根据表格和图象可知:房价按函数 呈 直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长 速度； 按函数 呈指数增长,每年的增加量越来 越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同的增长比例. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 15.[2026·江苏南通高一期末] 已知，则 的最 大值为___. 6 [解析] 由，得， 当 时，， ， 当时， ，， 当时， ，， 又， 均单调递增， 且的增长速度越来越快， 的增长速度越来越慢， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 故存在，使得当时， 成立. ， 令 ，易知在 上单调递增， 所以，即， 当且仅当 时取等号，所以 的最大值为6. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）[2026·甘肃酒泉高一期末] 某科技公司设立了两个研发 实验室，分别探索不同技术路线来提升人工智能芯片的性能.记录了 研发时间（月）与芯片性能得分 （得分越高，性能越好）的关系 如下： 实验室（技术路线甲） 早期数据增长迅猛，如下表所示： 0 1 2 3 4 0 3 12 27 48 实验室（技术路线乙） 增长平稳，符合对数函数特点，已知其性 能增长模型为，，且当时， ； 当时， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 （1）根据实验室的数据，判断性能得分与时间 更符合哪一种函 数模型：指数函数还是幂函数 ?说明理由，并写 出函数解析式. 解：当时，，若，则，得 ， 此时 ，不满足题意，故， 又当时，，所以，得 ， 当时，，所以，得 ，此时， 当时，，当 时，， 满足题意，故， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 （2）根据实验室的数据，求出常数，的值，并写出关于 的函 数解析式. 解：因为用实验室的数据来求参数，所以当时， ， 代入得 ， 当时，，代入 得 ， 两式相减得，可得，代入 ， 可得 ， 所以， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 （3）若两个实验室均研发至第6个月. （i）用实验室 的模型预测性能得分； 解： 实验室研发至第6个月，用实验室 的模型预测性能得分， 则，所以用实验室 的模型预测性能得分为108. （ii）用实验室 的模型预测性能得分； 解： 实验室研发至第6个月，用实验室 的模型预测性能得分， 则 ， 所以用实验室的模型预测性能得分约为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 （3）若两个实验室均研发至第6个月. （iii）从技术发展的长期可持续性角度，哪一种技术路线能获得更 高的性能得分？请结合函数增长特性说明理由.（参考数据： ， ） 解： 从技术发展的长期可持续性角度，我们认为技术路线甲更优， 因为尽管在第1个月时技术路线乙得分更高， 但从第2个月起，技术路线甲的得分就反超并持续大幅领先， 且二次函数的增长速度远快于对数函数的增长速度， 因此技术路线甲更优. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 $