4.4.2 第2课时 对数函数的图象及其性质的应用（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦对数函数的图象和性质应用，涵盖反函数概念及复合函数的定义域、值域、单调性等核心知识点。课前预习通过诊断分析夯实基础，课中探究以例题变式构建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“同增异减”法则和定义域优先原则培养数学思维，通过反函数对称性发展抽象能力，分层习题助力数学语言表达。例2分析复合函数单调性，提升推理能力，帮助学生系统掌握知识，教师可高效开展教学。

4.4 对数函数 4.4.2 对数函数的图象和性质 1 第2课时 对数函数的图象及其性质的应用 2 探究点一 反函数 探究点二 对数函数图象、性质的综合应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.了解同底数的指数函数与对数函数互为反函数，并知道它们的图象 关于直线 对称. 2.会利用对数函数的性质解决与对数函数有关的函数的定义域、值域 （最值）、单调性、奇偶性等相关问题. 4 知识点一 反函数的概念 一般地，指数函数,且 与对数函数_____________ ____________________互为反函数，它们的定义域与值域正好互换. 若两个函数互为反函数,则它们的图象关于直线 对称. ,且 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数与 互为反函数．( ) × （2），且与，且 的图象 相同.( ) √ 课 前 预 习 6 2.函数,且与,且 的定义域 和值域有什么关系? 解：，且的定义域为,值域为 , ，且的定义域为,值域为 , 即它们的定义域和值域正好互换. 课 前 预 习 7 知识点二 型函数性质的研究 1.定义域:由解得 的取值范围,即为函数的定义域. 2.值域:先由函数的定义域确定 的值域,再由 的单调性确定函数 的值域. 3.单调性:在定义域内考虑与 的单调性,根据_______ _____法则判定.（或运用单调性的定义判定） 同增 异减 4.奇偶性:根据奇、偶函数的定义判定. 5.最值:先在的条件下,确定的值域,再根据 确定函数 的单调性,最后确定最值. 课 前 预 习 8 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）在 上单调递增．( ) √ （2）函数的值域为 ．( ) × 课 前 预 习 9 探究点一 反函数 例1（1）函数 的反函数为________________，其反 函数的值域为________. [解析] 由得, 所以函数 的反函数为,值域为 . 课 中 探 究 10 （2）函数,且 的反函数的图象过定 点______. [解析] 互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称, 因为函数，且的图象恒过定点 , 所以其反函数的图象过定点 . 课 中 探 究 11 变式（1）若函数是函数的反函数，则 ____. 16 [解析] 函数是函数的反函数, ， 故 . 课 中 探 究 12 （2）若函数，且的图象过点 ，其反函 数的图象过点，则函数 __________. 课 中 探 究 13 [解析] 方法一： 函数，且 的图象过点 ，. 其反函数的图象过点， 函数，且的图象过点， . 由①②解得，，， . 课 中 探 究 14 方法二：，且 的反函数为 ，且， ，且 的图象过点， 的图象过点， , 又的图象过点，, 由①②解得 , ， . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线<m></m>对称;（2）原函数 的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域. 课 中 探 究 16 探究点二 对数函数图象、性质的综合应用 角度1 与对数函数有关的复合函数的单调性 例2 已知函数 . 课 中 探 究 17 （1）当时，求 的单调区间； 解：当时， ， 因为对任意的，恒成立， 所以函数 的定义域为. 设，易知 的图象开口向上， 对称轴方程为，则的单调递减区间为 ， 单调递增区间为 . 又函数在上单调递增， 所以函数 的单调递减区间为，单调递增区间为 . 课 中 探 究 18 例2 已知函数 . （2）若在上单调递增，求 的取值范围. 解：令，因为函数 在定义域上为增函数， 且函数在 上单调递增， 所以根据复合函数的单调性可知， 函数在 上单调递增. 由函数 的图象开口向上，对称轴方程为 ，且当时， ， 可得解得， 因此，实数的取值范围是 . 课 中 探 究 19 变式（1）[2026·温州中学高一期中]函数 的 单调递增区间为( ) A. B. C. D. [解析] 令，解得或， 所以 的定义域为， 又函数在 上单调递减，在上单调递增， 函数 为减函数， 所以根据复合函数的单调性可得函数 的单 调递增区间为 .故选D. √ 课 中 探 究 20 （2）若函数在区间上单调递增，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 21 [解析] 令，因为 为减函数， 在区间 上单调递增， 所以由复合函数的单调性可知，在 上单调递减， 且在上恒成立. 因为 为二次函数，其图象开口向下，对称轴方程为， 所以由 在上单调递减，可得，解得. 由 在上恒成立，即在上恒成立， 即在 上恒成立，可得. 综上，实数的取值范围为 .故选D. 课 中 探 究 22 ［素养小结］ （1）求形如<m></m>的函数的单调区间,一定要树立定义域优先 的意识,即由<m></m>先求定义域. （2）求此类型函数单调区间的两种思路:①利用定义求证;②借助函 数的性质研究函数<m></m>和<m></m>在定义域内的单调性,从而判 定<m></m>的单调性. 课 中 探 究 23 角度2 与对数函数有关的复合函数的值域或最值 例3 求例中函数 的最小值. 解：由例知函数的定义域为， 且 在上单调递减，在 上单调递增， 所以 . 课 中 探 究 24 变式 [2026·孝感联盟高一期末] 已知函数 . （1）求 的定义域； 解：由题可得，即 ， 即，解得 ， 所以函数的定义域为 . 课 中 探 究 25 变式 [2026·孝感联盟高一期末] 已知函数 . （2）求 的单调区间及值域. 课 中 探 究 26 解：设, ， 因为在上单调递增，在 上单调递减， 所以在 处取得最大值，最大值为9， 所以. 因为, 是减函数， 所以函数在上单调递减， 在 上单调递增， 则当时，取得最小值，最小值为 ， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为 ，值域 为 . 课 中 探 究 27 ［素养小结］ 求与对数函数有关的复合函数的值域或最值时,主要考虑对数函数的 单调性，若是与二次函数复合的函数,还要考虑二次函数的最值情况. 课 中 探 究 28 课后习题 29 1.函数 的反函数的定义域为( ) A. B. C. D. [解析] 由对数函数的性质可得，函数 的值域 为， 则其反函数的定义域为 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 2.函数 的值域为( ) A. B. C. D. [解析] ,,， 函数 的值域为 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 3. 厦门一中高一期中］函数 的单调递增 区间为( ) A. B. C. D. [解析] 令，得 ， 解得. 函数 的图象是开口向下， 且对称轴方程为 的抛物线. 根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增 区间为 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 4.已知，在同一坐标系中，函数与 的图 象可能是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 [解析] 方法一：由题意，若，则指数函数 单调递增，图象过定点， 函数 单调递减，图象过定点， 而函数与函数的图象关于 轴对称， 所以单调递增，图象过定点 ， 对比选项可知，只有B选项符合题意.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 方法二：由题意得，指数函数 单调递增， 图象过定点，排除选项A,D， 又与 互为反函数，图象关于直线 对称， 排除C.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 5.函数在 上单调递增的一个充分不必 要条件是( ) A. B. C. D. [解析] 在 上单调递增等价于同时满 足：在 上单调递增， 恒成立，即解得 . 结合选项可知是 的充分不必要条件.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 6.（多选题）设且，函数, ，下列 说法正确的是( ) A.与 在各自的定义域内有相同的单调性 B.与的图象关于直线 对称 C.与 都既不是奇函数，也不是偶函数 D.与 有相同的定义域和值域 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 [解析] 由指对数关系知,与 互为反函数， 它们的图象关于直线对称，B正确； 由于相同，则 , 在各自定义域上单调性相同， 且都是非奇非偶函数，A，C正确； 的定义域为，值域为， 的定义域为，值域为， 所以与 的定义域和值域都不同，D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 7.函数与互为反函数，且 的图象过 点，则 ____. [解析] 由题意可得，又的图象过点 ， 所以，可得，所以 ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 8.已知函数为奇函数，则实数 的值为___. 1 [解析] 由函数为奇函数，得 ， 所以，所以，所以， 又易知 ，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 9.（13分）已知定义在上的函数 ，且 在 上的最大值为1. （1）求 的值； 解：， 函数在 上单调递增. 在 上的最大值为1， ，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 9.（13分）已知定义在上的函数 ，且 在 上的最大值为1. （2）令，求函数 的值域. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 解： ， . 由解得 ， 函数的定义域为 . 令，则 ， ， 的值域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 10.已知函数的定义域为，若存在 , ，满足，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 [解析] 令，，则在 上单调递减， 所以的最小值为， 可得 ，且. 令， ， 则在 上单调递增， 所以. 因为存在, ，满足， 所以 ， 所以 ， 可得 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 11.（多选题）已知函数 ，则下列说法 中错误的是( ) A.是偶函数，且在 上单调递增 B.是奇函数，且在 上单调递减 C.是偶函数，且在 上单调递增 D.是奇函数，且在 上单调递减 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 [解析] 由题得解得， 即函数 的定义域为. 故在 ，上单调递减，在上单调递增， 又 ， 所以是奇函数.综上，A,B,C中说法错误，D中说法正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 12.已知函数，若函数与函数 互为反函数，则 的单调递减区间是_ ________. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 [解析] 因为函数，函数与函数 互为反函数， 所以，为减函数. 令 ，解得， 可知的定义域为 . 在上单调递增，在 上单调递减， 利用复合函数的单调性可知，在 上单调 递减，在上单调递增， 故 的单调递减区间为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 13.[2025·泉州七中高一月考] 已知函数, ， 则函数 的值域为_______. [解析] 由得， 所以 的定义域是 ， 令，，则 ， ， 所以当 时，，当时，， 所以所求值域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 14.（15分）已知函数 . （1）若，求函数 的单调递增区间； 解：，，解得 ， . 由，解得 ， 的定义域为 . 函数在上单调递增，在 上单调递减， 是定义域上的增函数， 函数 的单调递增区间为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 14.（15分）已知函数 . （2）若函数的最小值是0，求实数 的值； 解： 函数 的最小值为0， 函数 有最小值1， 解得 . （3）若函数的值域为，求实数 的取值范围. 解： 函数的值域为， 函数能够取到大于0的所有实数， 则 或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 15.函数的定义域为，若满足在 内是单调函数，② 存在，使得在上的取值范围为 ，则称 为“减半函数”.现有函数 是“减半函数”，则 的取值范围是_ ________. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 [解析] 由题意可知函数 在其定义域 内为增函数. 若为“减半函数”， 则存在，使得在 上的取值范围为， 所以即 所以方程 必有两个不同的实数根， 所以，即 有两个不同的实数根. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 令 ，则方程有两个不同的正根, ， 所以 解得，故的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）已知函数，设 . （1）当时，解关于的不等式 ； 解：当时，， 由 ，得，则， 解得 ，所以原不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 16.（15分）已知函数，设 . （2）若对任意的，恒成立，求正数 的取值范围. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 解：依题意，，， 不等式 等价于 ， 等价于 ， 依题意，当时，不等式 恒成立， 即，即对 恒 成立. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 设， 则 即 整理得即 解得 ， 又，所以 ， 所以正数的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $