4.4.2 第1课时 对数函数的图象和性质（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦对数函数的图象和性质，涵盖解析式、定义域、值域、单调性及特殊点等核心知识。课前预习通过诊断分析判断正误衔接旧知，课中探究设三个探究点逐步深入，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察图象特征，用数学思维进行单调性分析与分类讨论（如比较大小分a>1和0<a<1），借数学语言规范解题步骤（如解对数不等式四步思路）。例题变式结合培养抽象与推理能力，课后分层习题助力学生提升应用能力，教师可依托此资料实现高效教学。

4.4 对数函数 4.4.2 对数函数的图象和性质 1 第1课时 对数函数的图象和性质 2 探究点一 对数函数图象的识别 探究点二 利用对数函数的单调性比较大小 探究点三 解简单的对数不等式 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象，会分 底数及 描述对数函数的图象特征. 2.能从整体的角度探索具体的对数函数模型和一般对数函数的性 质和应用. 3.探索并了解对数函数的单调性与特殊点，会利用单调性比较函 数值的大小，会解对数方程及对数不等式. 4.会根据对数函数的图象与性质解决一些简单的问题. 4 知识点一 对数函数的图象和性质 解析式 ,且 底数 图象 定义域 值域 ___ 课 前 预 习 5 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过定点______，即 ___ 函数 值特征 当时， _____ ____；当 时， ________ 当时， ________；当 时， ________ 解析式 ,且 对称性 与 的图象关于___轴对称 0 续表 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数,且的图象过定点 .( ) √ [解析] 因为当时, , 所以函数，且的图象过定点 . 课 前 预 习 7 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）对数函数的图象一定在 轴的右侧.( ) √ [解析] 因为对数函数的定义域为 , 所以对数函数的图象一定在 轴的右侧. 课 前 预 习 8 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）函数,且在 上是单调函数.( ) √ [解析] 因为当时,函数在 上是增函数, 当时,函数在 上是减函数, 所以函数,且在 上是单调函数. 课 前 预 习 9 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （4）当时，若，则 的函数值都大于零.( ) × [解析] 当时，若，则 的函数值都小于零. （5）函数与的图象关于 轴对称.( ) × [解析] 两函数的图象关于 轴对称. 课 前 预 习 10 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （6）函数的定义域和值域都是 .( ) × [解析] 函数的定义域是，值域是 ． 课 前 预 习 11 知识点二 根据对数函数的图象判断底数大小的方法 如图，作出直线 ，与所给图象相交， 交点的横坐标即为各个底数，依据在第一 象限内，自左向右，图象对应的对数函数 的底数逐渐变大，可比较底数的大小. 课 前 预 习 12 探究点一 对数函数图象的识别 例1（1）已知函数 ， ， 的图象分 别对应图中的①②③，则下列结论正确 的是( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 13 [解析] 如图,作出直线,则直线 与①②③对应图象的交点的 横坐标分别为,,, 由图知 ,故选A. 课 中 探 究 14 （2）已知函数 的图象恒过定 点，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 令，解得，此时 ， 所以的图象恒过定点，则,， 所以 .故选C. √ 课 中 探 究 15 例2 画出函数 的图象. 解：由题可得，解得 ， 所以函数的定义域为. 先画对数函数 的图象，再将函数 的图象向右平移1个单位长度，得到函数 的图象， 再将函数的图象位于轴下方的部分翻折到 轴上方， 即可得到函数 的图象，如图所示. 课 中 探 究 16 变式（1）在同一平面直角坐标系中，函数 , 的图象可能是( ) A. B. C. D. [解析] 函数,，由对数函数可知 且 ，函数的图象恒过原点，排除B，C. 当 时，为减函数，也为减函数， 当 时，为增函数， 也为增函数， 排除A.故选D. √ 课 中 探 究 17 （2）[2026·济南高一期末] 函数 且 的图象恒过定点______. [解析] 因为对任意且，都有， 所以令 ，得， 又 ， 所以函数的图象恒过定点 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 处理对数函数图象问题的3个注意点： （1）明确图象的分布区域.对数函数的图象经过第一、四象限.当<m></m>趋 近于0时，函数图象会越来越靠近<m></m>轴，但永远不会与<m></m>轴相交. （2）建立分类讨论的思想.在画对数函数图象之前要先判断对数的底 数<m></m>的取值范围是<m></m>，还是<m></m>. （3）牢记特殊点.对数函数<m></m>，且<m></m>的图象经过 点<m></m>，<m></m>和<m></m>. 课 中 探 究 19 探究点二 利用对数函数的单调性比较大小 例3 比较下列各组中两个值的大小. （1）， ; 解：因为在上是增函数,所以 . （2）， ; 解：因为在上是减函数,所以 . （3）， ; 解：因为, , 所以 . 课 中 探 究 20 例3 比较下列各组中两个值的大小. （4）， ； 解：因为, 所以 ,即 . 课 中 探 究 21 例3 比较下列各组中两个值的大小. （5） ，,且 . 解：当时,函数在 上是增函数, 则有; 当时,函数在 上是减函数, 则有. 综上，当时, ;当时, . 课 中 探 究 22 变式（1）已知，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 由题易知, , ， 而 ，所以，即 . 故选A. √ 课 中 探 究 23 （2）（多选题）下列各式中正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 因为是上的增函数,,所以 ， 又在上是增函数，所以 ，故A正确; 因为是上的增函数,, 所以 ,故B正确; 因为是上的减函数, , 所以,故C正确; 因为 ，, 所以，故D错误.故选 . √ √ √ 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 利用对数函数的单调性可进行对数大小的比较,常用的方法如下: （1）同底数的两个对数值的大小比较,根据对数函数的单调性比较; （2）底数和真数都不相同的两个对数值的大小比较,常引入中间量进 行比较,通常取中间量为<m></m>,0,1等; （3）底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较,常用数形结合思 想来解决,也可用换底公式化为同底,再进行比较. 课 中 探 究 25 探究点三 解简单的对数不等式 例4（1）不等式 的解集为______. [解析] 由对数函数的性质可得 解得 ， 且为减函数， 解得 ，故不等式的解集为 . 课 中 探 究 26 （2）设且，函数 , ，求不等式 的解集. 解：不等式即为 . 若，则解得 ， 所以不等式的解集为； 课 中 探 究 27 若，则 解得， 所以不等式的解集为 . 综上所述，当时，不等式的解集为； 当 时，不等式的解集为 . 课 中 探 究 28 变式（1）已知函数.若曲线 过点 ，则不等式 的解集为_____________. [解析] 若曲线过点，则 ， 所以,得，所以 在 上单调递增， 所以不等式等价于解得 ， 所以不等式的解集为 . 课 中 探 究 29 （2）已知且,若,则 的取值 范围是_ ______. [解析] 由题得 , 等价于或 解得,故 的取值范围为 . 课 中 探 究 30 ［素养小结］ 解对数不等式的一般思路: （1）把不等式两边均化为<m></m>的形式; （2）利用单调性把不等式转化为真数的大小关系比较,得到新的不等 式,要注意底数<m></m>和1的关系; （3）在真数大于零的前提下解这个新的不等式; （4）得出不等式的解集. 课 中 探 究 31 课后习题 32 1.函数 的图象过定点( ) A. B. C. D. [解析] 令，则，此时 ， 故函数图象过定点 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 2.函数 的定义域是( ) A. B. C. D. [解析] 要使函数有意义，则 解得，故函数的定义域为 ，故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 3.函数在 上的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] ，在 上单调递增， 又， ， 在上的取值范围为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 4.若,,，则,, 的大小关系是( ) A. B. C. D. [解析] 因为,, ， 所以 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 5.（多选题）已知函数，且 的图象经过点 ，则下列说法正确的是( ) A. B.函数 为增函数 C.若，则 D.若，则 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 [解析] 由题意知，，可得，所以 ， 所以函数为增函数，故A错误，B正确； 当 时，，所以 ，故C正确； ，， 又 ，所以，所以 ， 即，故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 6.（多选题）下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，函数是定义在 上的减函数，所以 ，故A不成立； 对于B， ，故B成立； 对于C， ，故C不成立； 对于D，，故D成立.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 7.如图，，，，是，，， 四个函数的图象，则 （1）函数 的图象是___； （2）函数 的图象是___； （3）函数 的图象是___； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 7.如图，，，，是， ， ， 四个函数的图象，则 （4）函数 的图象是___. [解析] 对于对数函数且 ， 当时，函数在定义域内单调递增； 当 时，函数在定义域内单调递减. 所以函数的图象是. 当 时，底数越大，图象越靠近轴，所以函数的图象是， 函数 的图象是，函数的图象是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 8.[2026·温州中学高一期中] 已知且，则 的 取值范围是_ ______________. [解析] 因为，所以. 当时，可得 , 所以； 当时，可得,所以. 综上， 的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 9.（13分） （1）函数 的图象是由函数 的图象如何变化得到的？ 解：函数 的图象是由函数 的图象向右平移1个单位长度得到 的． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 9.（13分） （2）在图中作出 的图象 （不要求写作法）. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 解： 的图象如图①所示. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 9.（13分） （3）设函数 与函数 的图象的两个交点的横 坐标分别为,， ， 请判断 的符号． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 解：在同一坐标系中作出 与 的图象，如图②所示. 不妨令，由图知 ， ， 所以 ，故 的符号为负. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 10.设，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 易知，，都是正数，所以 ， ， . 因为，，，且 ， 所以，即，所以 ，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 11.若，且，则函数 的图象大 致是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 [解析] 因为，且，所以 ， 所以在上为减函数，其图象过点 ， 又的图象是由 的图象向右平移1个单位长度 得到的， 所以在上为减函数，其图象过点 . 故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 12.已知函数若，则实数 的取值范围 是__________________. [解析] 若，则由，得; 若，则由 ，得. 故的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 13.设，是关于的方程 的两个不同实数根，且 ，则 的取值范围是______. [解析] 由题意知，当时，的图象和直线 有 两个不同的交点，可知， 又 ，，，， 的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 14.（15分）[2026·杭州二中高一期末] 已知函数 （其中，均为常数，且）的图象经过点与点 . （1）求， 的值； 解：由题意知即解得 所以， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 14.（15分）[2026·杭州二中高一期末] 已知函数 （其中，均为常数，且）的图象经过点与点 . （2）解不等式 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 解：由（1）知 ， 则 ， 不等式 ， 即 ， 即 ， 所以，即，即 ， 解得 ， 所以不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 15.[2026·厦门外国语学校高一期中]已知 ，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 [解析] 由，令， 易知函数在 上单调递增， 由，，得. 由 ，令， 易知函数在 上单调递增， 由，，得. 综上可得 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）已知函数且 . （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求 的值； 解：因为在上为单调函数，且函数 在区间 上的最大值与最小值之差为1， 所以，解得或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 16.（15分）已知函数且 . （2）解关于的不等式 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 解：因为函数是 上的减函数， 所以 即 当时，，原不等式的解集为 ； 当时，，原不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $