4.4.1 对数函数的概念（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦对数函数的概念、定义域及实际应用，通过课前预习的定义辨析与诊断题搭建基础，课中探究从概念辨析、定义域求解到实际应用逐步深入，构建递进式学习支架。 其亮点在于结合诊断分析、变式训练及化工厂过滤等实际问题，培养数学思维与模型意识，素养小结结构化总结要点。学生能系统掌握知识，提升应用能力，教师可高效开展教学，助力核心素养落地。

4.4 对数函数 1 4.4.1 对数函数的概念 2 探究点一 对数函数的概念及应用 探究点二 与对数函数有关的函数的定义域 探究点三 对数函数的实际应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.了解对数函数的概念，知道对数函数的实际背景,能说出对数函数 的定义. 2.会求与对数函数有关的函数定义域. 4 知识点 对数函数的定义 一般地,函数______,且叫作对数函数,其中 是自变量, 定义域是________. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数 是对数函数.( ) × [解析] 对数函数中自变量 在真数的位置上，所以错误. （2）函数 是对数函数.( ) √ [解析] 在对数函数中，且， 故 是对数函数，所以正确. 课 前 预 习 6 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）函数的定义域是 .( ) × [解析] 由，可得，所以函数的定义域为 ， 所以错误. 课 前 预 习 7 2.对数函数的解析式中的底数能否等于0或小于0? 解：不能.由，得， 在指数函数中底数 需要满足且， 故在对数函数的解析式中， 不能等于0或小于0. 课 前 预 习 8 探究点一 对数函数的概念及应用 例1（1）给出下列函数：； ； ；； . 其中是对数函数的为________.（填序号） ①②⑤ [解析] 对于①②，和 符合对数函数的定义，是 对数函数； 对于③，自变量在底数位置上,不是对数函数; 对于④，后又加上1,不是对数函数； 对于⑤， ，符合对数函数的定义,是对数函数. 故填①②⑤. 课 中 探 究 9 （2）已知对数函数满足 ，则此对数函数的解析式为 ( ) A. B. C. D. [解析] 设且, 因为 ，所以, 所以,即,所以 , 则此对数函数的解析式为 .故选C. √ 课 中 探 究 10 变式（1）（多选题）下列函数中为对数函数的是( ) A. B. C. D.（ 是常数） [解析] 对于A，真数是 ，故A不是对数函数； 对于B，，真数是，不是 ，故B不是对数函数； 对于C， 满足对数函数的定义，故C是对数函数； 对于D，底数是，真数是， 故D是对数函数.故选 . √ √ 课 中 探 究 11 （2）已知函数则 ___. 0 [解析] 由题意知， . 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 对数函数必须是形如<m></m>，且<m></m>的形式,即必须满足 以下条件:（1）系数为1;（2）底数为大于0且不等于1的常数;（3） 对数的真数仅有自变量<m></m>. 课 中 探 究 13 探究点二 与对数函数有关的函数的定义域 例2（1）函数 的定义域为( ) A. B. C. D. [解析] 依题意得即 解得或，所以的定义域为 .故选A. √ 课 中 探 究 14 （2）若函数的定义域为，则 ( ) A.1 B. C.2 D.无法确定 [解析] 由函数的定义域为， 得 的解集为， 所以且的根为，故 .故选B. √ 课 中 探 究 15 （3）若函数的定义域是，则函数 的定义 域是________________. [解析] 因为函数的定义域是， 所以对于 ，有 解得且 ， 所以函数的定义域是 . 课 中 探 究 16 变式 求下列函数的定义域. （1） ； 解：由题意得解得， 所以函数 的定义域是 . （2） ; 解：要使函数有意义，需满足解得且 ， 所以函数的定义域为 . 课 中 探 究 17 变式 求下列函数的定义域. （3） . 解：要使函数有意义，需满足 解得 或，所以函数的定义域为 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 求解定义域问题通常包括以下几种情况: ①若<m></m>的解析式为整式,则函数的定义域为<m></m>;②若<m></m>的解析式为 分式,则要求分母不能为0;③若<m></m>的解析式为对数式,则要求底数大 于0且不等于1，真数大于0;④若<m></m>的解析式为根指数是偶数的根式, 则要求被开方数非负;<m></m>描述实际问题时,要求使实际问题有意义. 若<m></m>的解析式是由以上几种情况的式子构成的,则常常将约束条件 转化为不等式（组）. 课 中 探 究 19 探究点三 对数函数的实际应用 例3 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 ， 若初始时含杂质，每过滤一次可使杂质含量减少 ，则至少过滤 多少次才能使产品达到市场要求？（参考数据： ， ） 课 中 探 究 20 解：设过滤次后杂质含量为 ， 则 ， 即，则 . 令 ，得 ， 所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求. 课 中 探 究 21 变式 [2026·合肥六校高一期末]已知蓄电池的容量（单位： ）、 放电时间（单位：）与放电电流 （单位：A）之间的关系式为 ，其中 .在电池容量不变的条件下，当放电电流 时，放电时间，则当放电电流 时，放电 时间 ( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 22 [解析] 根据题意，，当时， ， 代入公式，得， 所以当 时， .故选B. 课 中 探 究 ［素养小结］ 对数函数的实际应用问题中，需要建立对数函数模型，可设指数变 量为<m></m>，利用指数与对数的互化得到对数函数解析式，再利用已知数 据或计算机工具计算解题. 课 中 探 究 24 课后习题 25 1.若函数满足，则 ( ) A.3 B.1 C. D. [解析] 由已知得，所以 ， 解得 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 2.给出下列函数：；； ； ； .其中对数函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 在且 的条件下才是对数函数，故①不 是对数函数； 是对数函数； 是对数函数； 中，底数不是常数，不是对数函数； ，是对数函数.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 3.函数 的定义域为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得解得或 ， 所以函数的定义域为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 4.已知，则 的解析式为( ) A. B. C. D. [解析] 令，则，所以 ， 所以 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 5.[2026·重庆一中高一月考]已知函数 则 ( ) A. B.0 C.1 D.2 [解析] 因为函数 所以 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 6.（多选题）若满足对定义域内任意的， ，都有 ，则称 为“好函数”.下列函数是“好函 数”的是( ) A. B. C. D. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 [解析] 对于A，函数的定义域为， 取， ，则，， 则存在， ，使得，所以A不是“好函数”； 对于B，函数 的定义域为， 取，，则 ，， 则存在，，使得 ，所以B不是“好函数”； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 对于C，函数的定义域为 ， 对任意的， ， ，所以C是 “好函数”； 对于D，函数的定义域为，对任意的， ， ， 所以D是“好函数”.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若函数为对数函数，则 ___. 4 [解析] 由题意知 解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 8.已知函数是对数函数，且，则 __. [解析] 设，且， 因为 ，所以，可得， 所以 ，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 9.（13分）已知函数，且 的图象过点 ． （1）求 的值； 解：将点的坐标代入，且 ， 得 ， 则，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 9.（13分）已知函数，且 的图象过点 ． （2）求该函数的定义域． 解：由（1）知 ， 由，解得 ， 所以该函数的定义域为 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 10.我们都处于有声世界之中.音量的单位是分贝 ，对于一个强度 为的声波，音量的计算公式是，这里常数 是人耳能听到 的声音的最低声波强度，则时的声音强度是 时声音强度 的( ) A.2倍 B.4倍 C.10倍 D.100倍 [解析] 由，得，所以 ， 即时的声音强度是时声音强度 的100倍.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 11.[2025·厦门双十中学高一期中]“函数 的定 义域为”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 若函数的定义域为， 则当 时，，符合要求； 当时，有 解得. 综上所述， ，故“函数的定义域 为”是“ ”的必要不充分条件.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 12.已知函数，则函数 的定义域为________. [解析] 由函数，得，即 ， 解得.令，解得， 所以 的定义域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 13.[2026·上饶高一期末] 已知函数 是对数 函数，则 _________. [解析] 若函数是对数函数， 则 ，且，. 解方程 得， ，且， ， ，故 ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 14.（15分）北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的.科学家经过测 量发现北极燕鸥的飞行速度（单位： ）可以表示为 ，其中 表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数， 表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差.（取为 ） 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 （1）当北极燕鸥每分钟的耗氧量为6400个单位时，它的飞行速度为 ，求此时 的值. 解：将,代入 ， 得 ， 即，解得 ， 所以此时 的值为2. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 14.（15分）北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的.科学家经过测 量发现北极燕鸥的飞行速度（单位： ）可以表示为 ，其中 表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数， 表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差.（取为 ） （2）当甲、乙两只北极燕鸥速度相同时，甲北极燕鸥每分钟的耗氧 偏差是乙北极燕鸥每分钟耗氧偏差的10倍，试问甲北极燕鸥每分钟 的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的多少倍？ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 解：设甲北极燕鸥每分钟的耗氧量为 ，乙北极燕鸥每分钟的耗氧 量为，乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差为 ， 因为甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差是乙北极燕鸥每分钟耗氧偏差 的10倍， 所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差为 . 由题意可知，甲北极燕鸥的飞行速度 ， 乙北极燕鸥的飞行速度 , 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 由,得，即， 所以 ， 即甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的8倍. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 15.（多选题）若点的坐标满足对数函数 的解析式， 则下列各点的坐标中一定满足函数 的解析式的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 [解析] 点的坐标满足对数函数 的解析式， ，其中. 对于A，， 点 的坐标满足函数的解析式； 对于B， 不一定成立， 点的坐标不一定满足函数 的解析式； 对于C，， 点的坐标满足函数 的解析式； 对于D，， 点 的坐标满足函数的 解析式.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 16.（15分）已知函数的值域为，求实数 的 取值范围. 解：因为函数的值域为 ， 所以有解，所以， 解得 ，故实数的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 $