4.3.1 对数的概念（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件围绕对数的概念、指数式与对数式互化、对数值求解及对数性质应用展开，通过课前预习的诊断分析夯实基础，课中探究以四个探究点为支架衔接指数知识，逐步深化对数理解。 其亮点在于结合诊断分析与变式训练培养抽象能力（数学眼光），通过例题逻辑推理提升推理能力（数学思维），融入数学文化增强应用意识（数学语言）。如例2互化训练助学生掌握转化方法，素养小结提炼解题步骤，既帮学生构建知识体系，也为教师提供分层教学支持。

4.3 对数 1 4.3.1 对数的概念 2 探究点一 对数的概念 探究点二 指数式与对数式的互化 探究点三 求对数值 探究点四 利用对数性质或对数恒等式求值 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能说明对数的含义,解释对数的真数、底数的意义及其取值范 围,明确对数与指数的关系,并能根据对数的定义进行指数式与对数式 的互化. 2.了解常用对数与自然对数的概念与表示. 3.掌握对数的性质以及对数恒等式. 4 知识点一 对数的概念 1.定义:一般地,如果，且,那么数 叫作_________ __的对数,记作__________,其中叫作对数的______, 叫作______. 2.以10为底的对数叫作__________,并把 记为_____.以无理数 为底的对数称为__________,并把 记为_____. 3.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当,且 时, __________. 以为底 底数 真数 常用对数 自然对数 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1），且是与 的乘积.( ) × [解析] 是一个整体，表示以为底 的对数. （2）可化为 .( ) × [解析] 对数的底数应满足且 ，所以错误. 课 前 预 习 6 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）对数式与 的意义一样．( ) × [解析] 表示以3为底2的对数， 表示以2为底3的对数， 所以错误. （4）对数运算的实质是求幂指数.( ) √ [解析] 对数运算的实质是求幂指数. 课 前 预 习 7 2.在对数概念中,为什么规定,且 呢? 解：①若,则当取某些数值时,不存在, 因此规定 不能小于0. ②若,则当时,不存在,当时, 有无数个值, 因此规定 . ③若,则当时,不存在,当时, 有无数个值, 因此规定 . 课 前 预 习 8 知识点二 对数的性质与对数恒等式 1.对数的性质：如果,且 ，那么 （1） ___,语言表述为_____________________； （2） ___,语言表述为_____________________； （3）_________没有对数. 1 以为底的对数等于1 0 以为底1的对数等于0 负数和0 2.对数恒等式为__________且, . 课 前 预 习 9 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）对任意，均有 .( ) × （2）对任意，均有 .( ) × （3）对任意，均有 .( ) × 2.你能推出对数恒等式且， 吗？ 解：设且,，则， 代入 可得 . 课 前 预 习 10 探究点一 对数的概念 例1（1）（多选题）下列说法中错误的是( ) A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可以化成对数式 C.以10为底的对数叫作自然对数 D.以 为底的对数叫作常用对数 √ √ √ 课 中 探 究 11 [解析] 对于A，由对数的定义可知，零和负数没有对数，故A中说法 正确； 对于B，只有当，且， 时， 才有 ，故B中说法错误； 对于C，以10为底的对数叫作常用对数，故C中说法错误； 对于D，以 为底的对数叫作自然对数，故D中说法错误.故选 . 课 中 探 究 12 （2）使对数式有意义的 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 要使对数式 有意义， 只需，解得， 所以的取值范围为 .故选A. √ 课 中 探 究 13 （3）已知对数式有意义，则 的取值范围为___________ ____. [解析] 由有意义，可知 解得 且，所以的取值范围为 . 课 中 探 究 14 变式 求下列各式中实数 的取值范围. （1） ； 解：根据题意，可得解得且, 故实数 的取值范围是 . （2） . 解：根据题意得解得且， 故实数 的取值范围是 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 对数式有意义的两个条件:①底数大于0且不等于1;②真数必须大于0. 课 中 探 究 16 探究点二 指数式与对数式的互化 例2 把下列各式中的对数式写成指数式,指数式写成对数式. （1） ； 解：，即 . （2） ； 解： . （3） ; 解： . 课 中 探 究 17 例2 把下列各式中的对数式写成指数式,指数式写成对数式. （4） ； 解： . （5） ； 解： . （6） ； 解： . 课 中 探 究 18 例2 把下列各式中的对数式写成指数式,指数式写成对数式. （7） . 解： . 课 中 探 究 19 变式（1）[2025·深圳外国语学校高一期中]若 且 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为且，所以 .故选A. √ 课 中 探 究 20 （2）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 [解析] 对于A， ，A正确； 对于B，，B正确； 对于C， ，C不正确； 对于D，，D正确.故选 . √ √ √ 课 中 探 究 21 （3）若，，则 的值为__. [解析] 因为，，所以， ， 所以 . 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 对数式与指数式的关系：由对数的定义知,对数式与指数式是同一种 数量关系的两种不同表达形式.其关系如下表: 式子 名称 意义 指数式 ，且 底 数 指 数 幂 的次幂等于 对数式 ，且 底 数 对 数 真 数 以为底 的对数等 于 课 中 探 究 23 探究点三 求对数值 例3 求下列各式的值. （1） ; 解：, . （2） ; 解：, . （3） ; 解：设,则,即,,即 . 课 中 探 究 24 例3 求下列各式的值. （4） . 解： , . 课 中 探 究 25 变式 已知,且,若，则__, ___. 2 [解析] ,且， 由，得 ， . 课 中 探 究 26 ［素养小结］ 求对数式<m></m>，且<m></m>的值的步骤：（1）设<m></m>； （2）将<m></m>写成指数式<m></m>；（3）将<m></m>写成以<m></m>为底的指 数幂<m></m>，则<m></m>，即<m></m>. 课 中 探 究 27 探究点四 利用对数性质或对数恒等式求值 例4（1）求下列各式的值: ① ___; 0 [解析] . ② ___; 1 [解析] 课 中 探 究 28 例4（1）求下列各式的值: ③ ___； 0 [解析] . ④ ___； 0 [解析] . 课 中 探 究 29 例4（1）求下列各式的值: ⑤ ___； 0 [解析] . ⑥ ___； 0 [解析] . 课 中 探 究 30 例4（1）求下列各式的值: ⑦ ___; 8 [解析] 由对数恒等式且, , 得 . ⑧ _ ____. [解析] . 课 中 探 究 31 （2）求下列各式中 的值. ① ； 解：因为 ， 所以，所以 . ② ； 解： . ③ ； 解：因为，所以，则 ， 所以 . 课 中 探 究 32 （2）求下列各式中 的值. ④ ； 解：因为，所以,所以 . ⑤ . 解： . 课 中 探 究 33 变式（1）已知,则 ____. 80 [解析] 因为,所以 , 所以,所以. 同理可得,所以 . 课 中 探 究 34 （2）有以下四个结论: ; ; ③若,则;④若,则 . 其中正确的是________.（把所有正确结论的序号都填上） ①②③ [解析] ，, ,故①正确； ,故②正确; 若,则 ,故③正确; 若,则 ,故④错误.故填①②③. 课 中 探 究 35 ［素养小结］ 运用对数恒等式时的注意事项： （1）对于对数恒等式<m></m>，且<m></m>，<m></m>要注意格 式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数． （2）对指数中含有对数的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的 应用. 课 中 探 究 36 对数的发明 十六、十七世纪之交，天文、航海、工程、贸易以及军事快速 发展，对大数的运算提出了更高的要求，改进数字计算方法、提高 计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔 在研究天文学的过程中，经过对运算体系 的多年研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，于1614年出版 了《奇妙的对数定律说明书》，标志着对数的诞生. 把对数加以改造并使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯 .他通过研究 《奇妙的对数定律说明书》， 数 学 文 化 37 感到其中的对数用起来很不方便，于是与纳皮尔商定，使1的对数为 0，10的对数为1，这样就得到了现在所用的以10为底的常用对 数．由于我们的数系是十进制，因此它在数值计算上具有优越性． 1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底包含 及 的14位常用对数表. 18世纪，瑞士数学家欧拉 发现指数与对 数的互逆关系，并在1770年出版的一部著作中，首先使用 来 定义 ．他指出“对数源于指数”.对数的发明先于指数，这成 为数学史上的珍闻. 数 学 文 化 课后习题 39 1.已知,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为,所以 ,故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 2.已知，则 ( ) A.2 B. C.3 D.4 [解析] 因为，所以， 又 ，所以 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 3.使式子有意义的 的取值范围是( ) A. B. C.且 D. [解析] 由式子有意义，得 解得且 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 4. 等于( ) A.0 B. C.1 D.2 [解析] 设，则， .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 5.方程 的解是( ) A.9 B. C. D. [解析] ，， .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 6.（多选题）下列指数式与对数式互化正确的有( ) A.与 B.与 C.与 D.与 [解析] 对于A选项，化为 ，故A正确； 对于B选项，化为，故B正确； 对于C选项， 化为，故C错误； 对于D选项，化为 ，故D正确. 故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 7.已知，则 _____. 125 [解析] 因为，所以 ， 所以,故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 8.[2026·北京清华附中高一月考] 若，则 _ __. [解析] 由，得，所以 ， 因此 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 9.（13分）将下列指数式改写成对数式，对数式改写成指数式： （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） ； 解： . （4） . 解： . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 10.若，，则 的值是( ) A.3 B. C. D. [解析] 因为，所以， 又因为 ,所以， 即 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 11.（多选题）下列说法中正确的是( ) A. B.若，则 C.若，则 D. [解析] 对于A，，故 ，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若 ，则 ，故C错误； 对于D，，故D正确.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 12.计算： ___. 1 [解析] 原式 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 13.若，，则 的值为_____. 256 [解析] 由题意知，， 所以 ，， 故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 14.（15分） （1）求下列各式中 的值. ① ; 解：由,得 , 所以 . ② . 解：因为，所以，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 （2）已知，，求 的值. 解： 由，，得， ， 所以， ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分） （3）已知，求 的值. 解： 由，得，则 ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 15.[2026·天津实验学校高一月考] 已知, ， ，则 _ ____. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 [解析] 设， 则, , ，所以， 因为 ，所以， 所以 ，即， 解得或 （舍去）， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 16.（15分）已知，且； ，且 ．求证：或 . 证明：设 ， 则，， . ，且 ， ，即 . 当时， ； 当时， . 故或 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 $