3.1.1 第1课时 函数的概念（一）（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数的概念、定义域及函数值计算，通过课前诊断分析与初中函数知识回顾导入，以问题链和实例为支架，衔接新旧知识，帮助学生构建函数概念体系。 其亮点在于通过“正方形边长与面积”等情境培养数学眼光，结合图形判断与逻辑推理发展数学思维，规范集合与不等式表达强化数学语言。素养小结梳理方法，实例丰富，助力学生深化理解，教师教学更系统高效。

3.1 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念 1 第1课时 函数的概念（一） 2 探究点一 函数概念的理解 探究点二 求函数的定义域 探究点三 求函数的值 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 理解函数概念:（1）能够利用图示法描述两个实数集的元素之 间的对应关系去理解函数;（2）对于具体函数,能正确分清函数的定 义域、对应关系与值域这三个要素;（3）对于给定的函数,能根据自 变量的值计算对应的函数值. 4 知识点一 函数的有关概念 函数的概念 一般地，设，是______________，如果对于集合 中的_____________，按照某种确定的对应关系 ，在 集合 中都有_______________和它对应，那么就称 _________为从集合到集合 的一个函数 函数的记法 ______________ 定义域 叫作自变量， 的___________叫作函数的定义域 值域 与的值相对应的 值叫作函数值，函数值的集合 ____________叫作函数的值域，值域是集合 的子集. 非空的实数集 任意一个数 唯一确定的数 , 取值范围 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数的定义域中的任何一个数可以对应值域中不同的 .( ) × [解析] 根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数 ， 在值域中都有唯一确定的数 与之对应. 课 前 预 习 6 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）对于函数,其定义域就是集合,值域就是集合 .( ) × [解析] 由函数定义可知，定义域就是集合,但值域是集合 的子集. （3）函数的定义域和值域一定是无限数集.( ) × [解析] 函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集， 但一定不是空集，如函数，定义域为，值域为 . （4）函数的值域为 .( ) × [解析] 的值域为 . 课 前 预 习 7 2.如果函数 的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？ 解：不确定，例如函数的定义域为，， ， 值域为，，则对应关系可能为或 . 课 前 预 习 8 知识点二 常见函数的定义域、值域 1.一次函数 的定义域为___，值域为___. 2.反比例函数 的定义域为________________，值域为 _________________. 3.二次函数 的定义域为___.当______时,值域 为_ _____________;当______时,值域为______________. 或 或 课 前 预 习 9 探究点一 函数概念的理解 角度1 函数的判断 例1（1）（多选题）下列各图象中，是函数图象的是( ) A. B. C. D. √ √ 课 中 探 究 10 [解析] 对于A，由图可知，有的有两个 的值与其对应， 所以不是函数图象，所以A错误； 对于B，由图可知，定义域内的每一个 都只有一个 的值和它对应， 所以是函数图象，所以B正确； 对于C，由图可知，有的有两个 的值与其对应，所以不是函数图象， 所以C错误； 对于D，由图可知，定义域内的每一个都只有一个 的值和它对应， 所以是函数图象，所以D正确.故选 . 课 中 探 究 11 （2）（多选题） 给出下列四个对应关系，其中能构成函数的是 ( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，每一个自变量都有唯一确定的数与之对应， 可以构成函数，A正确； 对于B，自变量3没有对应的数，不能构成函数，B错误； 对于C，自变量2同时对应了两个数，不能构成函数，C错误； 对于D，每一个自变量都有唯一确定的数与之对应，可以构成函数， D正确.故选 . √ √ 课 中 探 究 12 变式 （多选题）以下从到 的对应关系表示函数的是( ) A.，， B.，， C.，， D.,，, , √ √ 课 中 探 究 13 [解析] 对于A选项，因为 ,而0没有倒数，故A选项错误； 对于B选项，因为任意实数的绝对值都是非负数，即集合 中的 每一个数在集合 中都有唯一确定的数与之对应，故B选项正确； 对于C选项，因为每个正数的平方根都有两个，即集合中的每个数在 集合 中都有两个数与之对应，故C选项错误； 对于D选项，因为,当,时， 有, ,且每个对应唯一的值，故必有成立, 故D选项正确.故选 . 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法 （1）任取一条垂直于<m></m>轴的直线<m></m>； （2）在定义域内平行移动直线<m></m>； （3）若<m></m>与图形有且只有一个交点，则是函数，若在定义域内没有 交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 课 中 探 究 15 2.判断一个对应关系是否为函数的方法 课 中 探 究 16 角度2 构建问题情境 例2 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 来描述． 解：已知正方形的面积为，求正方形的边长，则 . 课 中 探 究 17 变式 构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 来描述. 解：已知长方形的面积为220，其中一边的长为 ， 求长方形的另一边的长，则 . 课 中 探 究 18 探究点二 求函数的定义域 例3（1）函数 的定义域为________________. [解析] 要使函数 有意义，则需满足 解得，所以函数 的定 义域为 . 课 中 探 究 19 （2）函数 的定义域为________________. 且 [解析] 由题得解得且， 故函数 的定义域为且 . 课 中 探 究 20 变式 求下列函数的定义域. （1） ; 解：由题意可得解得且 ,故该函数的定义域 为且 . （2） . 解：要使有意义，则 ， 即，解得或， 所以函数 的定义域为或 . 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 求函数的定义域应关注三点： （1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准 则一般是：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负； <m></m>要求<m></m>. （2）不对解析式化简变形，以免定义域发生变化. （3）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式 构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. 课 中 探 究 22 拓展（1）已知函数的定义域为 ，则 实数 的取值范围为_ _________. [解析] 的定义域为 ， 所以在上恒成立. 当时， 恒成立，符合题意； 当时， ，所以 解得. 综上， . 课 中 探 究 23 （2）已知函数的定义域是 ,则 的定义域是 _ ______________. [解析] 的定义域是, 令 , 解得, 的定义域是 . 课 中 探 究 24 （3）已知函数的定义域为 ,则函数 的定义域为 ________________. [解析] 因为函数的定义域为 , 所以，则， 对于函数 ,得,故, 所以函数 的定义域为 . 课 中 探 究 25 探究点三 求函数的值 例4 已知函数且， . （1）求， 的值； 解： ， . ， . （2）求 的值. 解： . 课 中 探 究 26 变式（1）若函数，则 的值是___. 3 [解析] 在中，令，得 . 课 中 探 究 27 （2）已知函数，.若 ，则 ___. 2 [解析] 函数，， ， 则，解得 . 课 中 探 究 28 ［素养小结］ 求函数值的方法及关注点： （1）方法：①已知<m></m>的解析式时，只需用<m></m>替换解析式中的<m></m>即得 <m></m>的值；②求<m></m>的值应遵循由里往外的原则. （2）关注点：用来替换解析式中<m></m>的数<m></m>必须是函数定义域内的值， 否则求值无意义. 课 中 探 究 29 [解析] ，令，则 ， 即，可得； 令 ，则，即， 可得； 令 , ，可得 .故选D. 拓展 设函数的定义域为， ， 若，则 等于( ) A. B.2 C. D. √ 课 中 探 究 30 课后习题 31 1.下列各图象中，可作为函数图象的是( ) A. B. C. D. [解析] 由一个值对应唯一一个 值可知A正确，B，C，D错误.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 2.下列关于函数 的说法正确的是( ) 是的函数；是的函数；③对于不同的， 也不同； 表示当时， 的函数值是一个常数. A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ [解析] 易知①④正确，②错误； 根据函数的定义知，对于不同的 ，可以相同，例如 ， 故③错误.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 3.已知函数，若，则 的值为( ) A. B. C. D. [解析] 由，得，解得 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 4.[2026·成都高一期中]函数 的定义域为( ) A. B. C. D.或 [解析] 由题意得解得，故函数 的定义域为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 5.（多选题）集合，与对应关系如图所示，则 是从集合 到集合 的函数的是( ) A. B. C. D. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 [解析] 选项A，集合中任何一个数在集合 中都有唯一一个数与之 对应，故是函数； 选项B，集合中存在数3在集合 中没有对应的，故不是函数； 选项C，集合中任何一个数在集合 中都有唯一一个与之对应， 故是函数； 选项D，集合中存在数5在集合 中有2个数与之对应，故不是函数. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 6.已知集合,1,2,,,2,4,8， ，下列四个对应关系， 能构成从到 的函数的是( ) A. B. C. D. [解析] A选项，当时，，而 ，故A错误； B选项，当时，，而 ，故B错误； C选项，当时，，当时，， 当 时，，故满足要求，C正确； D选项，当 时，，而 ，D错误.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 7.已知函数，则 ___. 2 [解析] 由题意知，在中， ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 8.已知函数由下表给出，若，则 ___. 1 2 3 4 1 3 1 2 2 [解析] ，则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 9.（13分） （1）求下列函数的定义域. ① ； 解：由题意知， 解得且， 其定义域为 . ② ； 解：由题意知，解得， 其定义域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 （1）求下列函数的定义域. ③ ； 解：由题意知，解得，且 ， 其定义域为且 . ④ . 解：由题意知，解得且且， 其定义域为且且 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 9.（13分） （2）已知的定义域为，求 的定义域. 解： 在函数中，，则 ， 因此在函数中，，解得 ， 所以函数的定义域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 10.[2026·南通高一期中]已知，则 ( ) A. B. C.3 D. [解析] 因为，所以令，得 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 11.（多选题）在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的 少年能将圆周率 准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当 主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位 上的数字．若记圆周率 小数点后 面第位上的数字为，则是关于的函数，记为 ．设此函 数的定义域为，值域为 ，则关于此函数，下列说法正确的是 ( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 根据函数的定义可知，定义域为， 值域为 ，1，2，3，4，5，6，7，8，，，故选 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 12.某位同学暑假期间要在八月上旬完成一定量的英语单词的记忆,计 划是:第一天记忆300个单词,第一天后的每一天,在复习前面记忆过的 单词的基础上增加50个新单词的记忆量.则该同学记忆的单词总个数 与记忆天数 的函数关系式为________________________________. , [解析] 根据题意,该同学计划第一天记忆300个单词, 第一天后的每一天,在复习前面记忆过的单词的基础上增加50个新单词 的记忆量,则, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 13.已知函数的定义域为，则实数 的取值范 围是______. [解析] 由题可得，对任意恒成立， 当 时，不满足题意； 当时，要使对任意 恒成立， 则有解得.所以实数的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 14.（15分）试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 描述． 解：某地“桃花节”观赏人数逐年增加，设2023年的观赏人数为10万 人次，观赏人数的年平均增长率为 ，预计2025年的观赏 人数为万人次，那么 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 15.（多选题）定义在上的函数,对于任意的, 都有 ,且 ,则( ) A. B. C. D. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 [解析] 令,得,因为 , 所以,即,故A正确; 令， 得,即, 所以 ,所以,故B错误; , , 所以，故C错误; ，因为，所以， 故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 16.（15分）已知函数 . （1）求，，， 的值. 解：因为，所以 ， ，， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 16.（15分）已知函数 . （2）由（1）中求得的结果，你能发现与 之间有什么关系？ 证明你的发现. 解：由（1）中求得的结果发现 . 证明如下： . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 16.（15分）已知函数 . （3）求 的值. 解：由（2）知,所以 , ,, , ,所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 $