2.3 第2课时 一元二次不等式的简单应用（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的简单应用，涵盖分式不等式解法、恒成立与能成立问题及实际应用。通过课前预习的知识点梳理与诊断分析，衔接二次函数与一元二次方程知识，搭建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于结合电价调整、矩形扩建等实际案例培养数学眼光，通过恒成立问题中二次项系数分类讨论发展数学思维，以规范解题步骤强化数学语言。采用案例教学与变式训练，助力学生提升知识应用能力，为教师提供系统的教学素材与探究活动设计。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 1 第2课时 一元二次不等式的简单应用 2 探究点一 分式不等式的解法 探究点二 一元二次不等式恒成立与能成立 问题 探究点三 一元二次不等式的实际应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能够利用转化思想理解并掌握分式不等式的解法. 2.会用判别式法、分离参数法等方法解决不等式中的恒成立、能成立 问题. 3.会用一元二次不等式解决简单的实际问题,初步体会一元二次不等 式的现实意义. 4 知识点一 可转化为一元二次不等式的简单 分式不等式 简单分式不等式可转化为同解的一元二次不等式（组）,或者变形转 化为一元一次不等式组. ____________________; ____________________; _ ____________________; _ ____________________. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）不等式的解集为或 .( ) × [解析] 解得或 ，故不等式的解集为或 . 课 前 预 习 6 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）若,则 .( ) √ [解析] 因为,所以 . 课 前 预 习 7 知识点二 不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立的情况: 恒成立 _ _______; 恒成立 _ _______. 课 前 预 习 8 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若,,满足则一元二次方程 有 两个负实数根.( ) × [解析] 在所给条件下,一元二次方程 不一定有两个负实数根,可以有两个正实数根,如 的两个根是2和4. 课 前 预 习 9 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）“一元二次不等式的解集为 ”的充要条件是“ ”.( ) × [解析] 若一元二次不等式的解集为,则 所以 “一元二次不等式的解集为 ”的充要条件是“， ”. 课 前 预 习 10 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若一元二次方程 有一正一负两个实数根,则 .( ) √ [解析] 若一元二次方程 有一正一负两个实数根,则由根与系数的关系知,即 . 课 前 预 习 11 知识点三 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1.理解题意,搞清量与量之间的关系; 2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式 问题; 3.解这个一元二次不等式,得到实际问题的解. 课 前 预 习 12 探究点一 分式不等式的解法 例1 解下列不等式. （1） ; 解：因为,所以,则，解得 或,所以不等式的解集是或 . （2） . 解：不等式，即，所以 ，所以 解得或，所以原不等式的解集为或 . 课 中 探 究 13 变式（1）不等式 的解集是_________________. [解析] 等价于,即,解得 或,故原不等式的解集为 . 课 中 探 究 14 （2）若关于的不等式的解集为，则关于 的不 等式 的解集为__________________. 或 [解析] 由题意得为方程的根， ，即 的解集为， ，等价于，解得 或， 不等式的解集为或 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ （1）对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式（组） 或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零. （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分 （不要去分母）,使之转化为不等号右边为零的形式,然后再用上述方 法求解. 课 中 探 究 16 探究点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题 例2（1）若不等式的解集为，则实数 的取值范围是( ) A. B. C.或 D. √ [解析] 由题意知，不等式的解集为 ，即不等式在上恒成立. 当 ，即时，不等式恒成立，满足题意； 课 中 探 究 17 当 ，即时，需满足 即解得. 综上可得，实数 的取值范围是 .故选B. 课 中 探 究 18 （2）若关于的不等式 的解集不为空 集,则实数 的取值范围为( ) A. B. C.或 D.或 √ [解析] ①当,即时,若 ,则原不等式为,解得,则不等式的解集为 ,不是空集;若,则原不等式为 ,无解,不符合题意. 课 中 探 究 19 ②当,即时,若 的解集是空集,则有解得, 故当不等式 的解集不为空集时,有或且. 综上,实数的取值范围为 或 .故选C. 课 中 探 究 （3）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围. [解析] 因为二次函数 的图象开口向上，所以当时，该二次函数的最大值必在或 处取得， 所以要使不等式 对任意恒成立，需满足当 时，函数值且当 时，函数值 ，解不等式组得 所以 ，所以的取值范围为 . 课 中 探 究 21 变式（1）已知函数 的图象都在 轴的上方,则实数 的取值范围为___________. [解析] 由,解得或. 当 时,函数为一次函数,不符合题意;当时,函数为常函数,此时 ,符合题意; 当且 时,函数为二次函数,则 解得. 综上, . 课 中 探 究 22 （2）关于的不等式的解集不是空集,则实数 的取 值范围是_______________. 或 [解析] 关于的不等式的解集不是空集,即关于 的不等式有解,所以,解得 或 . 课 中 探 究 23 （3）设，不等式 成立， 若为真命题，求实数 的取值范围. 解：令函数，当为真命题时， ，不等式 成立. 对于二次函数 ，其图象开口向上，对称轴方程为，则当时，二次函数在 处取得最小值， 因为为真命题，所以，解得，故实数 的取值范围是 . 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法:参变量分离法、数形结合法、 最值法等.在解决一元二次不等式恒成立问题的过程中，除了要对二次 项系数是不是零进行分类讨论外，还要搞清谁是主元，谁是参数．一 般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． 课 中 探 究 25 探究点三 一元二次不等式的实际应用 例3 某地区上年度的电价为0.8元/千瓦时,年用电量为 千瓦时.本年度 计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电 价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量（单位：千瓦时） 与实际电价和用户期望电价的差成反比,且比例系数为 .该地区电力 的成本价为0.3元/千瓦时. （1）写出本年度电价下调后,电力部门的收益（元）与实际电价 （元/千瓦时）的关系式. 课 中 探 究 26 解：依题意知,若下调后的实际电价为 元/千瓦时,则本年度用电量增至 千瓦时, 所以 . 课 中 探 究 27 例3 某地区上年度的电价为0.8元/千瓦时,年用电量为 千瓦时.本年度 计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电 价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量（单位：千瓦时） 与实际电价和用户期望电价的差成反比,且比例系数为 .该地区电力 的成本价为0.3元/千瓦时. （2）设 ,当电价最低定为多少时,可保证电力部门的收益比 上年度至少增长 ? 附:收益实际用电量 （实际电价-成本价）. 课 中 探 究 28 解：依题意,有 , 整理得, 可得 ， 故当电价最低定为0.6元/千瓦时时,可保证电力部门的收益比上年度至少增长 . 课 中 探 究 29 变式 如图所示,将一个矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ,要求在射线上,在射线上,且对角线过点 ,已知 米,米,设 米. （1）要使矩形花坛的面积大于54平方米, 求 的取值范围； 解：由已知得，由,可得 ,即,则,则矩形花坛 的面积为 . 课 中 探 究 30 根据题意得,所以 ,即 , 又，所以或,所以的取值范围是或 . 课 中 探 究 31 变式 如图所示,将一个矩形花坛 扩建成一个 更大的矩形花坛,要求在射线上, 在射 线上,且对角线过点,已知米, 米,设 米. （2）现要在扩建部分铺上大理石,则当 的值为多少时,用料最省? 解：根据题意可得,扩建部分的面积, , 令 ,则 ,当且仅当，即时,等号成立,所以当 时,用料最省. 课 中 探 究 32 ［素养小结］ 解不等式应用题,一般可按四步进行:①审题,找出关键量和不等关系;② 引进数学符号,用不等式表示不等关系;③解不等式;④回到实际问题. 课 中 探 究 33 课后习题 34 1.不等式 的解集为( ) A. B. C. D. [解析] 由不等式，可得 解得 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 2.已知集合,集合 ,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为集合 ,集合或,所以 ,故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 3.不等式 的解集是( ) A. B.或 C.或 D.或 [解析] ，即，即解得或 ，故原不等式的解集为或 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 4.若关于的不等式的解集为，则实数 的取值 范围为( ) A. B. C. D. [解析] 因为关于的不等式的解集为 ，所以，解得 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 5.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，则每 天能卖出30盏；若销售单价每提高1元，则日销售量将减少2盏.现决 定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少于400元的销售收入，则 这批台灯的销售单价 （单位：元）的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得，且 ，即，解得，所以 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 6.（多选题）不等式对任意的 恒成立，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 可整理为 ，根据二次函数的性质有 ，故A正确； 当,时，满足 ，即原不等式成立，故B错误； 由，得，所以 ，故C正确； ，故D正确.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 7.已知关于的不等式恒成立,则 的取值范围 是__________. [解析] 当时,不等式即为 ,恒成立; 当时,要使不等式 恒成立,只需解得. 综上, 的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 8.限速 的盘山公路上两车相撞.经测量，甲车的刹车距离略大 于，乙车的刹车距离略小于 .经查询，甲、乙车的刹车距离 ，（单位：）与行驶速度,（单位： ）分别满足 和 ，则____车应负主要 责任. 甲 [解析] 由题意得 即所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 由题意得 即所以. 因为限速 ，所以甲车超速了，所以甲车应负主要责任. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 9.（13分）解下列不等式: （1） ; 解：,,即,即 ,该不等式等价于且,解得或, 原不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 9.（13分）解下列不等式: （2） ； 解：由，得，即 ，等价于 解得 ， 原不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 9.（13分）解下列不等式: （3） . 解：不等式可化为，即 ， 于是或解得或， 原不等式的解集为或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 10.已知“,”是假命题,则实数 的取值范 围为( ) A. B. C. D. [解析] 因为“， ”是假命题,所以“, ”是真命题, 所以,解得 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 11.在上定义运算:，若存在 ，使 得不等式成立,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] ，即 ,则存在，使得不等式 成立,等价于,. 由 ,可得当时,取得最大值6,所以 ,解得 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 12.当时，关于的不等式 恒成立， 则 的取值范围是______. [解析] 方法一：令，依题意， 在 时恒成立，由于二次函数的图象开口向上，若，即，当时，随 的增大而增大，所以，解得，不合题意； 若 ，即，当时，随 的增大而减小，所以，解得，所以； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 当 时，只需判别式，解得，所以 . 综上所述，的取值范围是 . 方法二：当时，关于的不等式 恒成立，即恒成立，所以 ， 又，当且仅当，即时等号成立，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.甲厂以 千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 ），每小时可获得利润 元．要使生产该 产品2小时获得的利润不低于3000元，则 的最小值是___． 3 [解析] 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则，整理得 ， 又，所以，可得，故 的最小值是3. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 14.（15分）已知函数，不等式 的解集为 ，， ． （1）求和 的值； 解：因为不等式的解集为 ，所以1和为方程的两根，所以 解得 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 14.（15分）已知函数，不等式 的解集为 ，， ． （2）若当时，函数的图象恒在 图 象的上方，求实数 的取值范围． 解：由题意知当时， 恒成立，两边同除以得， ． 令，则上述不等式等价于， ,所以有, 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 令 ， ，所以当时，，所以实数的取值范围为 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 15.（多选题）已知，关于 的一元二次不等式 有6个整数解，则 的可能取值为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 √ √ [解析] 由 ，得 ，令 作出该函数的图象如图所示. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 由图可知，当时， 恰有6个整数解，分别为，，，3，4，5，又，故 的可能取值为13，14，15，故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 16.（15分）[2026·湖南雅礼教育集团高一期中] （1）求关于的不等式 的解集； 解：由，得 ，解方程，可得或，所以当 时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式的解集为；当 时，原不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 16.（15分）[2026·湖南雅礼教育集团高一期中] （2）若对任意的，恒成立，求实数 的取值范围. 解：方法一：对任意的， 恒成立，因为，所以，所以 恒成立，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 因为 ，当且仅当，即时等号成立，所以 . 因为，所以，即实数的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二：对任意的， 恒成立，即对任意的， 恒成立. 令， ，当，即 时，函数 ，符合题意； 当，即时，只需 ，解得，又，则. 综上所述，实数 的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 $