2.2 第1课时 利用基本不等式求最值（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦基本不等式及最值应用，课前预习通过表格梳理重要不等式与基本不等式，课中探究从概念理解、简单最值到定理应用逐步深入，搭建知识支架衔接前后内容。 其亮点在于结合半圆几何解释培养数学眼光，通过推导证明和变式训练发展数学思维，强调“一正二定三相等”原则。如求x+1/(x-1)最小值实例，规范表达提升数学语言能力，助力学生掌握方法，教师教学更系统高效。

2.2 基本不等式 1 第1课时 利用基本不等式求最值 2 探究点一 对基本不等式的理解 探究点二 利用基本不等式求简单式子的最 值 探究点三 最值定理求最值 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.掌握基本不等式:（1）能描述基本不等式的内容；（2）能理 解基本不等式的几何解释. 2.掌握基本不等式及其应用,能用基本不等式求代数式的最大值 或最小值. 4 知识点一 基本不等式 1.两个重要不等式 不等式 内容 等号成立的条件 重要不等式 当且仅当“”时取“ ” 基本不等式 _ __________ 当且仅当“______”时取“ ” 2.设,为正数,则称为,的______平均数,称为, 的______平 均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数________它们的几何 平均数. 算术 几何 不小于 课 前 预 习 5 3.对公式及 的理解 （1）实际上当, 等于0时，基本不等式也成立，但是没有使用价值. （2）“当且仅当”的含义：以为例，①当 时， 取等号，即，②仅当 时， 取等号，即 . 课 前 预 习 6 【诊断分析】 已知, 为正实数,利用不等式的性质推导基本不等式. 解：要证，只需证 ，只需证，只需证 ，只需证 ，而显然成立，当且仅当 时等号成立，所以，当且仅当 时等号成立. 课 前 预 习 7 知识点二 最值定理 1.已知, 都是正数. （1）如果和等于定值,那么当时,积有最____值 . （2）如果积等于定值,那么当时,和有最____值 . 大 小 课 前 预 习 8 2.利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时,需注意: （1）, 必须是______. （2）求积的最大值时,应看和 是否为______,即“和定积最大”; 求和的最小值时,应看积 是否为______,即“积定和最小”. 正数 定值 定值 （3）等号成立的条件是否满足. 课 前 预 习 9 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）对于正实数，，若为定值，则 有最小值.( ) × [解析] 当，为正实数时，若为定值，则 有最大值. 课 前 预 习 10 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）两个负数的和为定值,则它们的积有最大值.( ) √ [解析] 设,,,为定值 ,则 ,当且仅当 时，等号成立，即,所以，所以有最大值 . 课 前 预 习 11 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）“,”是“ ”的充要条件.( ) × [解析] 当，时，不等式也成立，故“ ，”是“ ”的充分不必要条件. 课 前 预 习 12 探究点一 对基本不等式的理解 例1 （多选题）下列说法中正确的是( ) A.成立的条件是, B.成立的条件是, C.成立的条件是, D.成立的条件是 [解析] 成立的条件是, ，故A错误，B正确； 成立的条件是,，故C正确，D错误.故选 . √ √ 课 中 探 究 13 变式 如图所示，为半圆的直径，为 的中点， ，，过点作 交圆弧于， 连接，， ，则基本不等式 的 半径不小于半弦 几何解释如下： 由射影定理可知，，因为， ，所以 ，当且仅当与重合，即 时，等号成立. 基本不等式 的几何意义是________________. 课 中 探 究 14 ［素养小结］ （1）在理解基本不等式时,要从形式到内涵中理解,特别要关注条件. （2）运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即<m></m> 成立的条件是<m></m>,<m></m>,等号成立的条件是<m></m>. 课 中 探 究 15 拓展 结合例1及变式，尽可能写出基本不等式的几种变形. 解：（1）如果，，那么 （当且仅当 时取等号）. 推论： . （2）如果，，那么（当且仅当 时取等号）. 推论：； . （3） . 课 中 探 究 探究点二 利用基本不等式求简单式子的最值 例2（1）若，求 的最小值. 解：因为，所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故的最小值为 ． 课 中 探 究 17 （2）若，求 的最大值. 解：因为 ，所以，当且仅当 ，即时，等号成立，故 的最大值为1. 课 中 探 究 18 变式（多选题）下列说法中正确的是( ) A.若,,则 B.若，则 C.若,,则 D.若,,,则 √ √ [解析] ,,,当且仅当 时,等号成立, 故A正确; 课 中 探 究 19 ， ，当且仅当，即 时取等号，显然不成立，故B错误; ,, 当时,不成立,故C错误; , ,,,当且仅当 时,等号成立,故D正确.故选 . 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则. ①一正:基本不等式<m></m>成立的前提条件为<m></m>,<m></m>; ②二定:化不等式的一边为定值; ③三相等:必须存在取等号的条件,即等号成立的条件. 以上三点缺一不可. 课 中 探 究 21 探究点三 最值定理求最值 例3（1）已知，求 的最小值. 解：因为，所以 ，所以 ，当且仅当，即时取等号，故 的最小值为3. 课 中 探 究 22 （2）若，，且，求 的最大值. 解：方法一：，，，即 ，，当且仅当，即，时取等号， 的最大值为2． 方法二：,, , ，当且仅当,即 ，时取等号， 的最大值为2. 课 中 探 究 23 变式（1）已知,,若,则 的最小值为___. 6 [解析] 因为,且,所以 ,当且仅当 时,等号成立. 课 中 探 究 24 （2）若，则 有最____（填“大”或“小”）值，该值为____. 大 [解析] 因为，所以 ，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，此时 有最大值，该值为 . 课 中 探 究 25 （3）已知，求 的最大值. 解：因为，所以 ，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为 . 课 中 探 究 26 ［素养小结］ 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略： 拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用 拼凑法求最值应注意以下几个方面：①拼凑的技巧以整式为基础， 注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代 数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检 测利用基本不等式的前提. 课 中 探 究 27 拓展（1）若，则 的最小值为( ) A.2 B. C.4 D. [解析] 因为，所以 ，所以 ，当且仅当，即 时取等号，故选A. √ 课 中 探 究 28 （2）若正数,满足，分别求， 的取值范围. 解：， ，即 ，，可得 ，， ，即 ， . 课 中 探 究 29 （3）若,,且,求 的最小值. 解：方法一：由得,因为 , ,所以，可得 , 所以，所以 ,当且仅当,即 时,等号成立, 所以的最小值为 . 课 中 探 究 30 方法二:因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以，又，，所以 ，所以，即的最小值为 . 课 中 探 究 31 课后习题 32 1.不等式 中,等号成立的条件是( ) A. B. C. D. [解析] 该不等式等号成立的条件为,即 ,故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 2.函数 有( ) A.最小值 B.最大值 C.最小值4 D.最大值4 [解析] 因为，所以 ，当且仅当，即 时等号成立，故函数有最小值4，无最大值.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 3.已知，，若 ，则( ) A.的最大值为1 B. 的最大值为2 C.的最小值为1 D. 的最小值为2 [解析] 因为,所以 ，所以，所以 的最大值为1，故A正确，B错误； 因为,所以，所以 ，所以的最小值为 ，故C，D错误.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 4.若，则 的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] ，，则 ，当且仅当，即 时取等号，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 5.若 ，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以，，又 ，所以 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 6.（多选题）已知,,且 ，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. √ √ [解析] 对于A,因为,所以当,时, 不成立,故A不正确; 对于B,因为,所以恒成立,当且仅当 时, 等号成立,故B正确; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 对于C,因为,所以, ,则,当且仅当 时,等号成立,故C正确; 对于D,因为,所以,当,时，满足 ,但,所以,故D不正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 7.[2026·成都外国语学校高一期中] 已知正数,满足 ， 则 的最大值为__. [解析] 正数,满足 ，由基本不等式得，可得，当且仅当 ，即,时，等号成立，故的最大值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 8.[2026·湖南长郡中学高一期中] 若，则 的最大值是 _________. [解析] 因为，所以由基本不等式得， ，当且仅当，即 时，等号成立， 故，即 的最大值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 9.（13分）（1）已知，求 的最小值. 解：， ，则 ,当且仅当，即时,等号成立, 的最小值为4. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 9.（13分）（2）已知,，且，求 的最小值. 解：，, ，当且仅当 时，等号成立， 的最小值为4. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 9.（13分）（3）[2026·浙江S9联盟高一期中] 设 ，求函数 的最大值，并求取得最大值时 的值. 解：， ，则 ，当且仅当，即时，等号成立，故函数 的最大值为2，此时 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 10.已知，，，则，，， 中最大的 是( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为,，所以（当且仅当 时取等号），（当且仅当 时取等号）， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 （当且仅当 时取等号），又，故 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 11.（多选题）已知， 为非零实数，则下列不等式恒成立的是 ( ) A. B. C. D. √ √ √ [解析] 对于A，因为，为非零实数，所以 （当且仅当时取等号），则 ，即，故A恒成立； 对于B，当，异号时， ，故B不恒成立； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 对于C， ，当且仅当，即 时取等号，故C恒成立； 对于D，，当且仅当 时取等号，故D恒成立.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 12.[2026·四川巴中高一阶段练] 已知，则 的最大 值是___. 4 [解析] 由可知，则 ，当且仅当，即 时等号成立. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 13.已知，，且，则 的最大值为_ __. [解析] 因为，，且 ，所以，当且仅当 且，即，时，等号成立，故的最大值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 14.（15分）（1）已知，求 的最大值. 解：因为，所以,所以 ，故 ，当且仅当，即时取等号，故的最大值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 14.（15分）（2）若，求 的最大值. 解： . 因为，所以， ，所以 ，当且仅当，即 时，等号成立，所以，故的最大值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 14.（15分）（3）[2026·无锡三中高一月考] 已知,， 且 ，求 的最小值. 解：由得，因为, ，所以，所以，所以 ， 由基本不等式得 ，当且仅当，即 时，等号成立，所以的最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 15.若正实数,满足，则 的最大值是( ) A. B. C. D. √ [解析] ，因为 ，所以，即 ， 所以，当且仅当 时取等号，所以，所以的最大值是 ，故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 16.（15分）已知,，且 . （1）求的最小值，并求出相应, 的值. 解：由,，，得 ，于是，可得，当且仅当 时取等号. 由可得，所以 的最小值为2，此时 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 16.（15分）已知,，且 . （2）是否存在实数,，使得成立？若存在，求出, 的 值；若不存在，请说明理由. 解：假设存在实数,，使得成立，则 ，因为,，，所以 ，整理得 ，由（1）知，，而 ，因此假设不成立，所以不存在实数,，使得 成立. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 $