第05讲 椭圆及其性质（复习课件）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习课件聚焦“椭圆及其性质”专题，依据高考评价体系梳理了椭圆定义、标准方程、几何性质等核心考点，通过2023-2025年全国卷真题分析明确离心率、焦点三角形等高频考点权重，归纳10类常考题型，构建系统知识框架。 课件亮点在于“真题溯源+题型破译+素养提升”策略，如解析焦点三角形面积最值问题时，运用数学思维推导面积公式，培养逻辑推理能力。提供“方法技巧库”和“易错点警示”，帮助学生掌握解题策略，教师可据此精准教学，提升复习效率。

椭圆及其性质 第 05 讲 核心考点 2026年 2025年 2024年 椭圆的方程与性质 全国Ⅱ卷T18（17分） 全国Ⅰ卷T18（17分） 全国Ⅱ卷T5（5分） 直线与椭圆的位置关系 全国Ⅰ卷T18（17分） 全国Ⅱ卷T16（15分） 全国Ⅰ卷T16（15分）   考情分析   近三年椭圆相关命题覆盖了求椭圆标准方程（根据a、b、c、离心率、过点等条件）、离心率（或其取值范围）、最值与定值、轨迹方程、焦点三角形面积等考点，题型包含选择题、填空题、解答题。 考查形式上，既有单一考点的直接考查，也涉及椭圆与三角形（四边形）面积、韦达定理等的综合，且 “求椭圆标准方程”“离心率相关问题” 为高频考查点.   复习目标   1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.掌握椭圆的简单应用. 01 命题透视・考情前瞻 02 思维建模・脉络梳理 知识解构 知识点1 椭圆的定义 知识点2 椭圆的简单几何性质 题型破译 题型1 椭圆的定义及其应用 题型2 椭圆的标准方程 【方法技巧】 椭圆标准方程的求法 题型3 椭圆方程的充要条件 题型4 椭圆的焦距与长轴、短轴 题型5 椭圆中的焦点三角形 【方法技巧】 椭圆焦点三角形中的结论应用 题型6 椭圆上两线段的和差最值问题 题型7 椭圆的离心率及范围 【方法技巧】 离心率问题的求解技巧 题型8 椭圆的轨迹问题 题型9 与椭圆有关的范围(最值) 【方法技巧】 最值、范围问题的求解策略 题型10 椭圆的实际应用 知识点1 椭圆的定义 椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 常数 焦点 焦距 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点1 椭圆的定义 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2 椭圆的简单几何性质 1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 （1）b≤｜OP｜≤a； （2）a－c≤｜PF｜≤a＋c. 2.焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝｜PF1｜，r2＝｜PF2｜，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1（a＞b＞0）中： （1）r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； （2）S＝b2tan ＝c｜y0｜，当｜y0｜＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. ◆必记结论◆ 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点2 椭圆的简单几何性质 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 题型1 椭圆的定义及其应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型1 椭圆的定义及其应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型1 椭圆的定义及其应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型1 椭圆的定义及其应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型1 椭圆的定义及其应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型1 椭圆的定义及其应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型2 椭圆的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型2 椭圆的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2 圆的切线方程 方法技巧 椭圆标准方程的求法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时， 一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)； 与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)； 与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0). 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型2 椭圆的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型2 椭圆的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型2 椭圆的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型2 椭圆的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型2 椭圆的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型3 椭圆方程的充要条件 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型3 椭圆方程的充要条件 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型3 椭圆方程的充要条件 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型3 椭圆方程的充要条件 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 椭圆的焦距与长轴、短轴 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 椭圆的焦距与长轴、短轴 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 椭圆的焦距与长轴、短轴 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型4 椭圆的焦距与长轴、短轴 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型4 椭圆的焦距与长轴、短轴 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 椭圆的焦距与长轴、短轴 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 椭圆中的焦点三角形 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 椭圆中的焦点三角形 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 椭圆中的焦点三角形 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 方法技巧 椭圆焦点三角形中的结论应用 P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示.   (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0. (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (3)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c). 题型5 椭圆中的焦点三角形 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 椭圆中的焦点三角形 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 椭圆中的焦点三角形 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 椭圆中的焦点三角形 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 椭圆中的焦点三角形 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 椭圆中的焦点三角形 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 椭圆上两线段的和差最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型6 椭圆上两线段的和差最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 椭圆上两线段的和差最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 椭圆上两线段的和差最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 椭圆上两线段的和差最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 椭圆的离心率及范围 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 椭圆的离心率及范围 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 椭圆的离心率及范围 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型7 椭圆的离心率及范围 方法技巧 离心率问题的求解技巧 求解椭圆离心率问题的核心技巧在于“构建关于 的齐次方程”。由于离心率 ​ ，解题时应避免直接求 的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含的等式或不等式。接着，巧妙运用椭圆的基本关系 ，将式子中的消去，转化为仅含 的齐次方程。最后，等式两边同除以 或 ，即可将其化为关于  的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围. 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 椭圆的离心率及范围 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 椭圆的离心率及范围 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 椭圆的离心率及范围 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 椭圆的离心率及范围 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 椭圆的离心率及范围 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 椭圆的轨迹问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 椭圆的轨迹问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 椭圆的轨迹问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 椭圆的轨迹问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 椭圆的轨迹问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 椭圆的轨迹问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 与椭圆有关的范围(最值) 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 与椭圆有关的范围(最值) 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9 与椭圆有关的范围(最值) 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 求解椭圆中的最值与范围问题，核心在于将几何问题转化为代数或三角函数问题，常用以下三大技巧： 代数函数法：通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和判别式（Δ≥0）构造不等关系。将目标量（如弦长、面积）表示为斜率或截距的函数，借助二次函数性质、导数或均值不等式求最值与范围。 三角参数法：利用椭圆的参数方程，将椭圆上的动点设为 (acosθ,bsinθ) 。把目标代数式转化为于θ 的三角函数，再利用三角函数的有界性及辅助角公式求解。 几何定义法：充分挖掘椭圆的几何性质（如焦点三角形、点到焦点的距离范围等），结合平面几何定理（如三角形两边之和大于第三边）进行数形结合分析，往往能巧妙避开繁琐计算，快速锁定极值. 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 与椭圆有关的范围(最值) 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 与椭圆有关的范围(最值) 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 与椭圆有关的范围(最值) 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 与椭圆有关的范围(最值) 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 与椭圆有关的范围(最值) 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 与椭圆有关的范围(最值) 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 与椭圆有关的范围(最值) 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 椭圆的实际应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 椭圆的实际应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 椭圆的实际应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 椭圆的实际应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 椭圆的实际应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 【自主检测】已知是椭圆上的动点,,且,则 . 因为,所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 易知,即,所以. 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝ (0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 对于椭圆,,则, 则, 对于A,椭圆的长轴长为,故A正确； 对于B,椭圆的焦点在轴上,且,则焦点坐标为,故B错误； 对于C,离心率,故C正确； 对于D,椭圆上的点到焦点的最大距离为,故D正确. 故选：ACD 【自主检测】(多选)已知椭圆,则(    ) A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 已知椭圆的焦点分别为,,点为上任意一点,所以, 则根据椭圆的定义可知, 由基本不等式得,当且仅当时取等号, 此时点在椭圆的短轴的端点处,符合题意, 因此的最大值是. 【例1-1】已知椭圆的焦点分别为,,点为上任意一点,则的最大值为(   ) A． B． C． D． 如图,设以线段为直径的圆的圆心为,半径为,与圆内切于点, 则点三点共线,连接,在中,为中位线, 即, 又,,,则, 因为,所以动点的轨迹方程是以为焦点,长轴长为10的椭圆, 椭圆中, 即方程为. 为椭圆上的一点,设,则且, 所以. 故选：A 【例1-2】(2026.全国.模拟预测)设P为平面内一动点,,,若以AP为直径的圆与圆内切, 则面积的最大值为(    ) A．12 B．16 C．20 D．24 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 根据椭圆的定义可知,只有为定值,且时, 点的轨迹才是椭圆, 因此,“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 【变式训练1-1】若平面内有两个定点,一动点,则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 椭圆方程,得,因此, 根据椭圆的定义有,, 在中,因为,所以, 由同角三角函数关系式可得, 由余弦定理,, 即, 得. 又在中,是的中线,所以, 如图：所以 , 因此,,即. 【变式训练1-2】(2026.山东德州.三模)设为坐标原点,,为椭圆的两个焦点,点在椭圆上,,则(    ) A． B． C． D． 若椭圆的焦点在x轴上,则,由得(舍去)； 若椭圆的焦点在y轴上,则,由得. 【变式训练1-4.变角度】(2026.浙江温州.模)在中,,,的中垂线交于点,则的面积的最大值是 设 ,则.由,知点的轨迹是以,为焦点的椭圆,长轴长为10,焦距为6. 椭圆半长轴,半焦距,半短轴.设,则的轨迹是椭圆, 面积, 当取最大值(即半短轴)时,面积最大. 最大面积为 . 【变式训练1-3】(2026.湖南娄底.模拟)已知椭圆C：上一动点到其两个焦点的距离之和为2m,则 设椭圆的右焦点为,连接, 根据椭圆的对称性,可知,,, 又根据椭圆的定义,得,,,, 所以, 又由椭圆,可知, 所以. 【变式训练1-5.变情境】如图,把椭圆的长轴分成8等份,过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分 于七个点,是椭圆的左焦点,则 . 椭圆可化为, 可知焦点在轴上,焦点坐标为, 设所求椭圆方程为,则,又,即, 所以,所求椭圆的标准方程为. 故选：B. 【例2-1】与椭圆有相同焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程是(   ) A． B． C． D． 由椭圆离心率为,得,即,又因为,所以,又点为椭圆短轴顶点, 则,解得,所以,即椭圆的方程为. 【例2-2】(2026.云南保山.二模)设椭圆的离心率为,,,分别为其左、 右焦点,点为椭圆短轴的一个端点,且的面积为2,则椭圆的方程为(   ) A． B． C． D． 因为中心在原点的椭圆的右焦点为, 所以椭圆焦点在轴,设标准方程为, 由题意可得,,得到,, 故椭圆的方程是. 故选：D 【变式训练2-1】(2026.四川巴中.一模)已知中心在原点的椭圆的右焦点为,离心率等于, 则的方程是(     ) A． B． C． D． C． D．或 由题意,椭圆的焦距,长轴长, 则, 当焦点在上时,椭圆的标准方程为, 当焦点在上时,椭圆的标准方程为. 综上,椭圆的标准方程为或. 故选：B. 【变式训练2-2】已知为椭圆上一点,为椭圆的焦点,且, 则椭圆的标准方程为(   ) A． B．或 C． D． 如图：,故, ,故, 故, 解得, 由于, 故,故,故椭圆方程为, 故选：B 【变式训练2-3.变载体】(2026.山东泰安.模拟)已知分别是椭圆的左、右顶点,直线 (为椭圆的半焦距)上存在点,使得是顶角为的等腰三角形,且的面积为,则椭圆的方程为(   ) A． B． 如图依题意,的周长为, 解得． 设椭圆的半焦距为,因为椭圆的离心率为, 所以,解得． 所以． 故椭圆的标准方程为．故选：D. 【变式训练2-4.变考法】(2025.湖北武汉.模拟预测)已知椭圆的上、下焦点分别为, 离心率为,过点作直线(与轴不重合)交椭圆于两点,的周长为12,则椭圆的标准方程是(   ) A． B． C． D． 【变式训练2-5.变载体】已知椭圆的左、右焦点分别为,过右焦点的直线交于两点,且,,则椭圆的标准方程为 ． 因为,所以, 设,则,,所以,． 因为,所以, 在中,,即, 解得,所以为等腰直角三角形,所以为椭圆的上顶点, 所以,所以,所以椭圆的标准方程为． A． B． C． D． 因为方程表示焦点在轴上的椭圆,所以.解得. 故选： 【例3-2】(25-26高三下.云南楚雄.阶段检测)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则(    ) A． B． C．或 D．或 ①当椭圆的焦点在轴上时,,解得； ②当椭圆的焦点在轴上时,,解得,所以或. 【例3-1】(25-26高三.江西九江)若方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围为(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 若曲线为椭圆,则,解得或, 由于或 是的真子集, 故“”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件, 【变式训练3-2】已知方程 表示椭圆,则实数的取值范围是(   ). A． B． C． D． 由题意知,方程表示椭圆,根据椭圆的标准方程或的特点可知：, 且,解得或,综上所述的取值范围是. 故选：D. 【变式训练3-1】(25-26高三下.山东.阶段检测)“”是“曲线为椭圆”的(   ) 曲线为椭圆,则,且, 则满足条件的正整数对有, 在上述数对中,只有满足,所以需要排除这个情况,剩下的数对共8对, 因此,满足条件的数对的个数为 8. 【变式训练3-3.变载体】(25-26高三下.山东.阶段检测)已知曲线为椭圆, 且,则数对个数为(   ) A．5 B．10 C．9 D．8 A．若,则是焦点在轴上的椭圆 B．若,则是圆,其半径为 C．若,则是双曲线 D．若,,则是两条直线 当时,由得,,所以曲线表示焦点在轴上的椭圆,A选项错误； 当时,曲线可化为,得,此时曲线是圆,半径为,B选项错误； 当时,曲线可化为,此时曲线是双曲线,C选项正确； 当,时,曲线可化为,得,此时曲线是两条直线,D选项正确；故选：CD. 【变式训练3-4.变考法】【多选】(2026.福建福州.模拟)已知曲线：,下列说法正确的是( ) 因为,所以,椭圆的长轴在轴上,长半轴长为,短半轴长为． 设椭圆的半焦距为,则.因为椭圆的焦距为,即. 解得.代入,得.即.所以. 解得.因为,所以. 【例4-1】(2026.河南安阳.模拟预测)已知椭圆的焦距为,则(    ) A．2 B． C． D． 由及余弦定理,得, 整理得,即,故该椭圆的长轴长为. 故选：A 【例4-2】(2026.福建厦门.模拟)【新思维】已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为BC边上一点, 且,,当在变化时,点总在椭圆上,则该椭圆的长轴长为(    ) A．6 B． C． D．3 【例4-3】(多选)如图所示,将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度, 得到“斜椭圆”的方程为,则椭圆的(    ) A．长半轴长为 B．短半轴长为 C．焦距为4 D．离心率为 , , 解得. 该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值, 短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值, 椭圆的焦距为, 椭圆的离心率A,D项正确,B,C项错误. 故选：AD. 【变式训练4-1】(2026.河北秦皇岛.阶段检测)已知椭圆C：的一个焦点为,则k的值为(    ) A．4 B．8 C．10 D．12 【变式训练4-2.变考法】(2026.黑龙江哈尔滨.阶段检测)已知焦点在轴上的椭圆的焦距 为,则的值为(    ) A． B． C． D． 焦点在轴上的椭圆的焦距为,则,所以, 则,故, 又,则的值为. 故选：B. 由题意得,,,,所以． 故选：D． 【变式训练4-3.变考法】(2026.新疆乌鲁木齐.二模)已知中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆,其一个顶点是, 一个焦点是,以下为椭圆顶点的是(   ) A． B． C． D． 椭圆的一个顶点是,一个焦点是,椭圆的焦点在轴上, 设椭圆方程为,则有, 得, 所以椭圆左顶点为,右顶点为,下顶点为,上顶点为, 只有A选项符合. 【变式训练4-4.变载体】(2026.河南郑州.模拟)已知椭圆和双曲线的焦点相同,则 . 对于双曲线,可知其半焦距,且焦点在x轴上, 对于椭圆可得,且,解得. 已知椭圆方程,则. 根据椭圆的性质,可得, 那么椭圆的焦点坐标为.因为椭圆的焦点在圆上, 将焦点坐标代入圆的方程可得：即,移项可得. 因为,所以. 由,.根据椭圆离心率公式,可得. 【变式训练4-5.变载体】(2026.重庆模拟)已知椭圆的焦点在圆上,则此椭圆的离心率为(   ) A． B． C． D． 由椭圆,得,过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点, 所以为线段的垂直平分线,得, 则的周长为. 故选：B. 【例5-1】(2026.广西柳州.模拟)已知椭圆的左右焦点分别为,上顶点为,过且垂直于的 直线与交于B、C两点,则的周长为(   ) A．12 B．16 C．20 D．24 由椭圆：可知：, 由余弦定理得：, 代入得：, 所以三角形面积为：. 【例5-2】(2026.山西忻州.模拟预测)已知椭圆C：的左、右焦点分别为,,点P在椭圆C上,且,则的面积为(     ) A． B． C． D．1 依题意,,, 不妨设点位于第一象限,设,,则①, 且.因为,所以,所以②. 由①②解得：,. 因为平分,由角平分线定理可得,故, 所以,即, 故,所以.故选：B. 【例5-3】【新思维】设椭圆的左、右焦点分别为、,点在椭圆上,为的平分线 与轴的交点.若,则(   ) A． B． C． D． 由椭圆定义可知,焦距, 则,离心率, 联立, 解得, , , 椭圆上,,当时,的面积最大, 最大值为． 【变式训练5-1.变考法】(2026.河南.模拟预测)已知,分别为椭圆C：的左、右焦点, 椭圆的离心率为,点在椭圆上,且的周长为,则的面积的最大值为(    ) A． B． C．4 D． 对于A,根据椭圆标准方程得,,,由定义知, 所以的周长为,A错误. 对于B,在中,由余弦定理可得,, 由, 代入, 化简得, 所以, 在中,,所以为锐角,且, 故,B选项错误. 对于C,由B选项知, 在中,设点到的距离为, 由,得,即, 因为到的距离,就是到轴的距离,C选项正确. 对于D,根据数量积公式,,D选项错误. 【变式训练5-2.变角度】(2026.陕西西安.阶段检测)已知是椭圆上一点,椭圆的左、右焦点分别为,, 且,则(   ) A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． C．的最小值为3 D．的最大值为16 椭圆即为, 故, 对于A,,故A错误； 对于B,的周长为,故B正确； 对于C,的最小值为,故C错误； 对于D,,当且仅当时等号成立,故D正确, 故选：BD. 【变式训练5-3.原创题】(多选)已知椭圆的两个焦点分别为,,P是C上任意一点,则(   ) A．C的离心率为 B．的周长为12 如图所示,根据椭圆的定义可知,①, 由题意知②, 联立①②方程组可解得. 而,所以, 即为直角三角形,. 由于在第二象限,所以点的坐标为. 因为,所以直线的斜率为. 【变式训练5-4.变设问】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、,是上在第二象限内的一点, 且,则直线的斜率为 ． 设椭圆半焦距为,由其离心率为,得,则椭圆的方程为, 而的上顶点为,为其焦点, 则,为等边三角形,又, 因此直线垂直平分, ,且直线的倾斜角为, 直线方程为,设, 由,得,则, , 解得,, 所以的周长为. 【变式训练5-5.变载体】(25-26高二上.天津南开.阶段检测)已知椭圆,C的上顶点为A, 两个焦点为,,离心率为．过且垂直于的直线与C交于D,E两点,,则的周长是_______． 根据题意,,且点为椭圆右焦点, 根据椭圆定义,, 即如图,当三点共线时,取得最小值. 【例6-1】(2026.陕西咸阳.三模)已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上,点在圆 上,则的最小值为(    ) A．4 B．5 C．6 D．7 【例6-2】已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点,直线经过的定点为,则的最大值为(    ) A． B．2 C． D．6 由椭圆得,因为点为椭圆上的点,则, 直线经过定点,则, 当且仅当在线段上时取等号,所以的最大值为2. 故选：B. 【变式训练6-1】已知,分别为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,则的最大值为(    ) A．2 B． C．4 D． 椭圆上的点P满足, 当点P为的延长线与C的交点时, 达到最大值, 最大值为． 故选：B 易知椭圆中,即可得, 又圆的圆心为,半径, 易知椭圆右焦点,显然在圆上,如下图：    易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为, 因此可将的最小值转化为求的最小值, 由椭圆定义可得； 此时点在处,使得的最小值为6. 故选：A 【变式训练6-2】已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点,若为 椭圆的左焦点,则的最小值为(   ) A．6 B．5 C．9 D．8 由圆方程得：圆心,半径； 由椭圆方程得：,,设椭圆下焦点为,则, 由椭圆定义知：,； (当且仅当三点共线时取等号), , 又(当且仅当三点共线时取等号), ,即的最大值为. 【变式训练6-3.变载体】已知为椭圆的上焦点,为上一点,为圆上一点,则的最大值为(    ) A． B． C． D． C．椭圆C内接矩形面积的最大值为 D．若,则的最小值是1 对于A选项,,故A正确； 对于B选项,记内切圆半径为,由, 得, 则,所以当时,,故B正确； 对于C选项,不妨取P为第一象限点,设,则由, 得, 当且仅当时取等,所以,故C错误； 对于D选项,, 当为线段与椭圆的交点时,等号成立,故D正确． 【变式训练6-4.变考法】(多选)(2026.山西吕梁.三模)已知椭圆：的左、右焦点分别为,, P为椭圆上任意一点,则下列说法正确的是(   ) A．的离心率为 B．内切圆半径的最大值为 因为,, 则,则,, 所以椭圆的离心率为. 【例7-1】(2026.重庆渝中.模拟预测)已知是椭圆上一点, ,是椭圆的两个焦点,,,则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【例7-2】已知椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆上存在一点,使得为 等腰三角形,且为钝角,则椭圆的离心率的取值范围为 . 设椭圆的半焦距为,则,, 因为为等腰三角形,且为钝角, 则,设点,则,, 则,可得,又因为,故, 所以, 所以,化简得出. 故答案为：. 对于,设,因为是椭圆的焦点,所以； 又因为是双曲线的焦点,所以 所以,故A正确； 对于B,由题意可得,两式平方整理得,在中,由, 得,即,又由,, 可得,解得,故B正确； 对于C,由B可得,即,即,故C错误； 对于D,由C可得, 所以, 当且仅当时等号成立,即的最小值为,故D正确． 故选：ABD. 【例7-3】(多选)【新思维】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点,且则以下结论正确的是(    ) A． B． C． D．的最小值为 ①当时,即椭圆的焦点在轴上时, 此时,,解得,符合题意； ②当时,即椭圆的焦点在轴上时, 此时,,解得,符合题意； 综上,的值为或12. 故选：C 【变式训练7-1.变考法】已知椭圆的离心率,则的值为(    ) A．12 B． C．12或 D．或 因为,所以则, 由于所以,根据椭圆的定义可得, 在中,, 在中,,因为,所以, 即,化简得：,即,所以椭圆的离心率为. 【变式训练7-2.变载体】(2026.安徽合肥.二模)设椭圆的左、右焦点分别为 为坐标原点,过的直线与交于两点,若,则的离心率为(   ) A． B． C． D． 设是椭圆上异于A,B的点,,,把代入椭圆方程, 得,, 又,, 又,,, , 故B选项正确. 【变式训练7-3.变载体】(2026.云南玉溪.模拟预测)已知椭圆的长轴端点为A,B, 点P是椭圆上异于A,B的点,且直线和的斜率之积,则椭圆的离心率为(     ) A． B． C． D． 【变式训练7-4.变融合】(2026.安徽芜湖.二模)有公共焦点的抛物线与椭圆 相交于两点,且,则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 因为为抛物线与椭圆的公共焦点,且抛物线与椭圆相交于两点, 由抛物线和椭圆对称性以及可知,轴,设点在第一象限,如图所示： 令,此时有,又抛物线的焦点为, 所以,所以抛物线方程为,因为点在抛物线上,所以, 所以,即点,又点在椭圆上,所以, 又,所以, 所以,即,又, 所以,令,则,解得(舍去)或, 即,又,所以. 如图所示,椭圆中,右顶点,上顶点, 直线的截距式方程为：, 以短轴为直径的圆的圆心在原点,半径为,方程为, 为正三角形,,结合在第一象限,可得点坐标为, 将的坐标代入直线方程可得,化简得：, 因为椭圆离心率,且,所以,解得. 【变式训练7-5.变载体】(2026.广东茂名.二模)已知椭圆C：()的右顶点为A,上顶点为B, 直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P(不同于B),若△POB(O为原点)为正三角形,则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 【例8-1】已知曲线,从上任意一点向轴作垂线段,为垂足, 则线段的中点的轨迹方程为( ) A． B． C． D． 设点,因为是的中点,且轴,则有,如图： 又在圆上,将代入其中可得, 即, 即点的轨迹方程为. 故选：A. C． D． 设动圆圆心为,半径为, 圆,即的圆心,半径； 圆,即的圆心,半径, 而,则点在圆内,由圆分别与圆外切,与圆内切, 得, 整理得, 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点,长轴长为12的椭圆, 长半轴长,半焦距,短半轴长,所以所求轨迹方程为. 故选：B 【例8-2】知一动圆与圆外切,同时与圆内切,则该动圆圆心的轨迹方程为(    ) A． B． 关系式表示点到两个定点和的距离之和, 符合椭圆的定义. 则,,又,所以, 所以点的轨迹方程为.故选：B. 【变式训练8-1.变载体】如果点在运动过程中,总满足关系式, 则的轨迹方程为(   ) A． B． C． D． C． D． 因为点在的延长线上,且,所以为的中点, 设,则, 由中点坐标公式得, 因为点在曲线, 所以,即点的轨迹方程为. 故选：D 【变式训练8-2.原创题】已知曲线,从上任意一点向轴作垂线段为垂足, 点在的延长线上,且,则点的轨迹方程为(    ) A． B． 设, 由题意,又, 所以,即,所以, 所以,所以曲线C的方程为. 【变式训练8-3.变考法】如图,在平面直角坐标系中,点在轴上运动,点在轴上运动, 点在线段的延长线上,且,,则点的轨迹方程为 ． (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与轨迹交于,两点,为坐标原点,面积为,求直线的方程. (1)设点,则点,由点是线段的中点, 得 因为点在圆上,所以* 把,代入方程*,得, 即的轨迹方程：. (2)依题意,设直线,,, 联立,消去整理得, 则, 由韦达定理得, 所以,,直线的方程为：或. 【变式训练8-4.变考法】在圆上取一点,过点作轴的垂线段,为垂足,当点在圆上运动时,记线段的中点轨迹为. 曲线变形得,表示轴右侧的部分椭圆, 所以,, 设点为曲线的任意一点,且, 点到直线的距离为： 因为,, 所以, 所以. 【例9-1】(2026.甘肃兰州.一模)【新思维】已知曲线,则曲线上的点到直线的 距离的取值范围是(    ) A． B． C． D． C．的最小值为3 D．的最大值为16 椭圆即为, 故, 对于A,,故A错误； 对于B,的周长为,故B正确； 对于C,的最小值为,故C错误； 对于D,,当且仅当时等号成立,故D正确, 故选：BD. 【例9-2】(多选)已知椭圆的两个焦点分别为,,P是C上任意一点,则(   ) A．C的离心率为 B．的周长为12 当直线的斜率不存在时,,； 当直线的斜率存在时,设,的斜率为,,,则, 两式相减整理得.又,两式消去化简得点的轨迹方程为, 则. 由,得,所以. 而二次函数图象的对称轴为直线, 所以当时,可取到最大值为.又,故的最大值为. 【变式训练9-1.变载体】(2026.河南.模拟预测)已知椭圆,点,过点的直线交椭圆于,两点,的中点为,定点,则的最大值为(   ) A． B． C． D． 椭圆的,,则, 圆的圆心为,半径,则为椭圆的右焦点, 又, 由椭圆的性质可得,即, 所以． 【变式训练9-2.变载体】若椭圆上一动点,为圆的任意一直径, 则的取值范围为_____________． C．当点在上时, D．的离心率为 对于A,设是二次曲线上任意一点, 将代入二次曲线, 化简可得, 所以在二次曲线上, 则二次曲线的对称中心为,故A正确； 对于B,令,则,因为,得, 所以,解得,即,所以二次曲线上的点到原点距离的取值范围是,故B错误； 对于C,将曲线方程视为关于的方程, 因为为实数,所以, 解得,当点在二次曲线上时, 可得,故C正确； 【变式训练9-3.变角度】(多选)(2026.湖南郴州.三模)已知二次曲线表示一个椭圆,则(    ) A．的对称中心为 B．上的点到原点距离的取值范围是 对于D,先推理旋转公式,记平面内点在角的终边上,则, 而绕原点顺时针旋转一个锐角,可得旋转后的坐标为, 由正余弦的和差公式得旋转后的坐标如下, 为,又, 所以,即旋转公式得证, 将原方程化为标准方程,而其旋转角为, 旋转后整理方程令交叉项系数为0,可得, 而,解得,设, 代入曲线,化简可得, 故二次曲线可以看作由椭圆绕坐标原点逆时针旋转得到, 如图所示,作出符合题意的图形, 在椭圆中, 故二次曲线的离心率为,故D正确. (2)若,求直线的方程； (3)设点与点关于坐标原点对称,直线与直线相交于点,求面积的最大值． (1) 由题意可得,该椭圆的离心率为,可得, 所以, 故椭圆的标准方程为. 【变式训练9-4.变考法】(2026.山东济宁.三模)已知椭圆的左、右焦点分别为、,离心率为,过的直线交椭圆于、．两点,且在轴上方． (1)求的方程； (2)若直线与轴重合时,则轴经过,,不符合题意； 设直线的方程为, 设点、,联立可得, , 由韦达定理可得,, 所以 , 解得, 故直线的方程为或, 即或. (3)由题意可知,设点, 所以直线的方程为,直线的方程为, 联立可得,即, 解得, 由(2)可得, 所以, 当且仅当时,等号成立,即, 故的面积为, 即面积的最大值为. A． B． C． D． 如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系, 设椭圆方程为, 令,即, 解得,依题意可得, 所以,所以,所以． 故选： D． 【例10-1】【新思维】韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥,具有桩深,塔高、梁重、跨大的特点,它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈,成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁,大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命,韶州大桥的桥塔外形近似椭圆,若桥塔所在平面截桥面为线段,且过椭圆的下焦点,米,桥塔最高点距桥面米,则此椭圆的离心率为(    ) 【例10-2】小明同学某天发现,在阳光的照射下,篮球在地面留下的影子如图所示,设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为,地面所在平面为,篮球与地面的切点为,球心为,球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图,为球的一条直径,为在地面的影子,点在线段上,小明经过研究资料发现,当时,篮球的影子为一椭圆,且点为椭圆的焦点,线段为椭圆的长轴,则此时该椭圆的离心率(    )(用表示). 设篮球半径为,显然平面平面,连接平面, 过作交于, 则, 于是椭圆长轴长, 在四边形中,, 令椭圆半焦距为,而,则, 解得, 所以该椭圆的离心率为. 故选：A A． B． C． D． 【变式训练10-1.变情境】如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行,之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行,最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行,若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距,用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长,则(    ) A． B． C． D． 如图可知,,,,A不正确； ,,；B不正确；由,可知,C不正确； ,可得,故, 即, ,,即,D正确, 故选:D. B．椭圆与椭圆有相同的焦点 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．矩形的面积最大值为50 由椭圆,可得,则, 所以椭圆的离心率为,所以A正确； 由椭圆,可得,则, 故椭圆的焦点与椭圆相同,所以B正确； 因为矩形的四边均与椭圆相切,所以点,即在蒙日圆上, 可得半径, 可得椭圆的蒙日圆方程为,所以错误； 设矩形的边长分别为和,则有, 所以矩形的面积等于, 当且仅当时取等号,所以D正确. 故选：ABD. 【变式训练10-2.新定义】加斯帕尔•蒙日(如图1)是18~19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆则被称为“蒙日圆”(如图2).已知矩形的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是(   ) A．椭圆的离心率为 【变式训练10-3.变情境】已知某星球的球心为,半径为,该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆, 该椭圆的离心率为,卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为,若当卫星处于某位置时,用卫星上的光学仪器 观测该星球,把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线,任意两条视线所成的最大夹角称为张角,则卫 星运行过程中张角的最小值为______．(精确到0.1°) 设椭圆轨道的半长轴为,焦距为, 由题意可得,卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为, 在近日点即,又椭圆的离心率为,即,由以上可得, 又由椭圆的光学性质可得在远日点时张角最小, 设此时张角为,则,即. C．() D．() 设点,则,因为为的中点,所以,即, 又在圆上,所以,即, 即点的轨迹方程为. 故选：A 1．(2024.新课标Ⅱ卷.高考真题)已知曲线C：(),从C上任意一点P向x轴作垂线段, 为垂足,则线段的中点M的轨迹方程为(    ) A．() B．() (2)设为坐标原点,过且斜率大于 的动直线与交于P,两点,其中在第三象限, 直线与的另一个交点为． (i)若的面积是的面积的 倍,求的方程； (ii)求的最小值． (1)已知椭圆的左焦点为,离心率, 则, 解得,, 因此椭圆方程为. (2)设,点,点,其中, 联立直线与椭圆方程, 得, 由韦达定理得, 由于两点在椭圆上,关于原点对称, 所以点,且, 2．(2026.全国一卷.高考真题)已知椭圆的左焦点为,离心率为． (1)求的方程； (i)由面积公式,, 又因为是线段的中点, 所以,所以, , 由于,得,即, 令, 由与,得, 代入,得,解得,所以,所以直线的方程为. (ii)直线的斜率为, 于是, 当且仅当时取等号, 故的最小值为. (2)设为坐标原点,给定点,为上的点,过作轴的垂线,垂足为,直线与直线的交点为．当在上运动时,点的轨迹为． (ⅰ)求的方程； (ⅱ)当为何值时,有对称中心？当有对称中心时,将平移后得到曲线,使得为的对称中心,说明是什么曲线. (1)设椭圆 的右焦点为,其中 , 那么过右焦点且垂直于 轴的直线为,代入椭圆得 ,即 , 所以 ,由于截线段长为 ,解得 , 故 ,离心率 . 3．(2026.全国二卷.高考真题)已知椭圆：(),过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率． (2)(i)由(1)知椭圆方程为,由于点满足,且,过作轴的垂线, 交轴于点,那么当时,点,点与点重合； 当时,直线方程为：,直线方程为：,即,联立, 解得,即点,设,则由, 代入椭圆方程得,即,两边乘以得,整理得,把点代入,仍然成立,故轨迹的方程为； (ii)由(i)得轨迹的方程为, 当即时,轨迹的方程为 ,为抛物线去掉与x轴交点,无对称中心； 当 即 且0时, 化简轨迹的方程为, 将轨迹向左或向右平移个单位得到的方程为, 即, 所以当时,有对称中心； 当时,形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点, 当时,形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. (2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足． (i)设,求的坐标(用m,n表示)； (ⅱ)设O为坐标原点,是C上的动点,直线OR的斜率为直线的斜率的3倍,求的最大值． (1)由题可知,,所以,解得, 故椭圆C的标准方程为； 4．(2025.全国一卷.高考真题)已知椭圆的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,． (1)求C的方程； (2)(ⅰ)设,易知, 所以,故,且． 因为,,所以, 即,解得, 所以,所以点的坐标为. (ⅱ)因为,,由, 可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上(除去两个点),为到圆心的距离加上半径, 设,则, , 当且仅当时取等号, 故. (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点,为坐标原点.若的面积为,求． (1)因为长轴长为4,故,而离心率为,故,故,故椭圆方程为：. (2)由题设直线的斜率不为0,故设直线,, 由可得, 故即, 且, 故, 解得, 故. 5．(2025.全国二卷.高考真题)已知椭圆的离心率为,长轴长为4． (2)若过P的直线交C于另一点B,且的面积为9,求的方程． (1)由题意得,解得, 所以. 6．(2024.新课标Ⅰ卷.高考真题)已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2),则直线的方程为,即,,由(1)知, 设点到直线的距离为,则,则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可, 此时该平行线与椭圆的交点即为点, 设该平行线的方程为：, 则,解得或, 当时,联立,解得或, 即或, 当时,此时,直线的方程为,即, 当时, 此时,直线的方程为,即, 当时,联立得, ,此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 椭圆的长轴长为,短轴长为,焦距为,离心率为, 椭圆的长轴长为,短轴长为,焦距为, 离心率为,所以,两椭圆的焦距相等,长轴长不相等,短轴长不相等,离心率也不相等.故选：D. 1．椭圆与椭圆的( ) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 (1)经过,两点； (2)长轴长是短轴长的3倍,且经过点； (3)焦距是8,离心率等于0.8． (1)根据题意,椭圆经过点,,且,则椭圆的焦点在x轴上,且,b, 则椭圆的方程为：1； (2)根据题意,要求椭圆长轴长是短轴长的3倍,即,若椭圆经过点,分2种情况讨论： ①椭圆的焦点在x轴上,则a＝3,b＝1,椭圆的标准方程为：, ②椭圆的焦点在y轴上,则b＝3,a＝9,椭圆的标准方程为：, (3)根据题意,即,又,所以,因为,所以,若椭圆的焦点在x轴上, 则椭圆的标准方程为：．若椭圆的焦点在轴上,则椭圆的标准方程为：． 2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： 3．已知P是椭圆上的一点,且以点P及焦点,为顶点的三角形的面积等于1,求点P的坐标． 由椭圆方程可得,设是椭圆上一点, 则,代入椭圆, 则,所以点P的坐标为,,,. 4．如图,圆的半径为定长,A是圆内一个定点,是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于 点,当点在圆上运动时,点的轨迹是什么？为什么？ 连接、,如下图所示： 因为线段的垂直平分线和半径相交于点,由中垂线的性质可得, 因为点A在半径为的圆内,则,因为, 由椭圆的定义可知,点的轨迹是以点、A为焦点,且长轴长为的椭圆. 5．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是,求点M的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图形． 设d是点M到直线的距离,根据题意,所求轨迹就是集合, 由此得．将上式两边平方,并化简,得, 即点M的轨迹方程为：；轨迹是椭圆． 设点的坐标为,点,由题意可知,则由题可得,即, 点P在圆上运动,, 即点的轨迹方程为,点的轨迹为椭圆,除去与轴的交点. 6．如图,轴,垂足为D,点M在DP的延长线上,且,当点P在圆上运动时, 求点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状． 7．一动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程, 并说明它是什么曲线? 设动圆圆心为,半径为,设圆和圆的圆心分别为、, 将圆的方程分别配方得：圆,圆, 当动圆与圆相外切时,有 …① ,当动圆与圆相内切时,有…② 将①②两式相加,得,∴动圆圆心到点和的距离和是常数, 所以点的轨迹是焦点为点、,长轴长等于的椭圆． 设该椭圆的长轴为,短轴为,焦距为；∴,∴,∴, ∴动圆圆心轨迹方程为,轨迹为椭圆． 8．已知点是椭圆上一点,且在轴上方,分别是椭圆的左、右焦点,直线斜率 为,求的面积. 椭圆化成标准形式为．∴、是椭圆的左、右焦点, ∴(﹣6,0),(6,0),设P(x,y)是椭圆上一点,则, 消去y,得,＝5或．当时,代入②得与③矛盾,舍去． 由x＝5,得y＝4．∴的面积S24． 9．如图,从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰好为左焦点,A是椭圆与轴正半轴的交点, 是椭圆与轴正半轴的交点,且,,求此椭圆方程. 由椭圆方程可知：,,设椭圆焦点,又,则,,, ,整理可得：,又,,,,, 此椭圆的方程为：. 由题得,,所以,所以直线的方程为,(1),由题得, 所以,所以直线的方程为,(2),联立方程(1)(2)解之得 所以直线的交点为,代入椭圆方程得,所以直线的交点在椭圆上. 同理ES与、ET与的交点M,N都在椭圆上． 10．如图,矩形ABCD中,,．E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,R,S,T是线段OF的四等分点,,,是线段CF的四等分点． 证明直线ER与、ES与、ET与的交点L,M,N都在椭圆上． (1)它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ (2)它到直线l的距离最大？最大距离是多少？ 设椭圆上点,则点到直线距离 , 其中, (1)当时,,此时, 即, 所以, , 所以存在点到直线距离最小,最小值为； (2)当时,,此时,即, 所以, , 所以存在点到直线距离最大,最大值为. 11．已知椭圆,直线．椭圆上是否存在一点,使得： (2)当它们与椭圆有两个公共点时,证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． (1)设一组平行直线的方程为,代入椭圆方程,可得 , 即为,由判别式大于0,可得,解得, 则这组平行直线的纵截距在,,与椭圆相交； (2)证明：由(1)直线和椭圆方程联立,可得,即有, 代入直线方程可得截得弦的中点为,,由,消去,可得． 则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上． 12．已知椭圆,一组平行直线的斜率是． (1)这组直线何时与椭圆有两个公共点？ $