陕西师范大学附属中学2027届高三年级上学期第一次周测数学试题

陕西师大附中高2027届高三年级第一次周测 数学试题 注意事项： 1.本考试满分150分，时间120分钟。 2.答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整。 3.本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用0.5mm的黑色签字笔书写，字迹 工整、笔迹清晰。并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写 无效。 4.只交答题纸，不交试题卷。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.数列{an}中，“{an}的通项公式是关于n的-次式“是“{an}是等差数列的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={xx-1<3},则A∩B=() A.{2,3} B.{1,2,3} C{2,3,4 D.{0,1,2,3} 3.在△ABC中，AD=2Dd,B正=2EA,则D正=0 31 B.24B-1AC 31 3 C.1AB-2A0 31 3 D.3AC-5AD 31 4.已知圆锥的表面积为3π2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为() A.2V3m B.√3m C.2m D.1m 51og36 5.化简15bg2=0 5 3 % C.5 D.3 6.已知定义在R上的函数f(x)满足∫(x+2)+f(x)=4,且f(0)=0,则f(2026)=() A.0 B.2 C.3 D.4 7.已知圆E与直线则=x相切于点A(1,1),与直线y=一x相交于B,C两点，且BC=4,则圆E的半径为() A.v5 B.v6 C.V7 D.2√2 8.已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,AD BC,∠ABC=90°，AB=BC=1,AD=2,点S到直 线CD的距离为2.以A为球心， 5 2 为半径的球面与侧面SCD的交线长为() A写 B Cπ D.2m 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多个符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选 错的得0分. 9.已知之是复数，z为的共轭复数，则下列计算结果一定为实数的是() A.之+乏 B.z Cz· 10.设函数f(x)=(3x-1)9,且记f(x)=a10x9+agx8+·+a2x十a1,则() A.数列{an}的首项为-1 B.数列{an}的前10项和为512 C.数列{(-1)ran}的前10项和为-49 D数列{3} 前10项和为0 11斜稀温是由焦点在坐标维上的雲统其中心流转一定角度？（口+红，k∈乙）污到蛋象，若曲线 C:x2+y2-xy=9的图象是如图所示的斜椭圆，点P(m,n)是C上任意一点，点A(2V6,0),B(0,2V6),O为坐标 原点，则下列说法正确的为() A.该椭圆的焦点在直线y=x上 B该椭圆的离心率为V3 3 C.n的最大值为2√3 D.PA·PB最大值为18+12V6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机变量X~N(1,σ2)，P(1<X<3)=0.3,则P(X≥-1)=一， 1B如图所际，若LACB=分，∠ABC= 6,点D与点B分别在直线AC两侧，且AD=DC=2,则BD长度的最大值 为 14.函数f(x)=Vx+3+Vx-1- 2的所有零点的和为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(体小题满粉13分)已知时(a)=2-血工+兰，曲线划=f儿女)在=1处的切线与：-2刘=0唾直 (1)求实数a的值： (2)求f(x)在区间1，e上的值域. 16.(本小题满粉15分函数f回=Asin(+PA>0,u>0,0<9<2的最小正周期为r 0)若4=1，f@)三2，求p的值： (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定f(x)的解析式，并求函数h(x)=f(x)一2c0s2x的单 调递增区间. 条件@：f(x)的最大值为2 条件②：f(x)的图象关于点 臣中心测旅 条件③：f(x)的图象经过点 品 17.(本小题满分15分)如图，在三棱锥A-BCD中，AB=BC=BD,∠CBA=∠CBD (1)证明：BC⊥AD; (2)若△ABC和△DBC所在平面垂直，且平面ABD与平面BCD所成角的余弦值为Y5 ,求LCBA 0=?u-x:复‘学笔孕平明I=f-:I蒋钾巡音暗g‘H'0<u'0<D(5LL5群座)8L 过点F2与的右支交于A,B两点，点O是坐标原点 (1)若点M是T上的一点，MF|=2,求M2的值 (2)设入、4∈R,点P在直线x=6上，若点O,A,P,B满足：OA=入BP,OB=μAP,求点P的坐标： (3)设AO的延长线与T交于G点，若向量0A与OB满足：OA.OB≥17，求△GAB的面积S的取值范围 19.(本小题满分17分)如图，一动点P从点A出发，在正方形ABCD的各顶点上移动.每次移动时，动点P有的概率沿 水平方向向左或右移动一次，有，的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点P移动了2(n∈N)步之 后，停在点A的概率为pn· ()求p1,p2; (2)求{Pn}的通项公式： 回)记点P的2次移动冲，数达过点B的次数为X,求证E(x)<名+分 参考公式：若随机变量X服从两点分布，且P(X;=1)=P,1≤i≤n,i∈N*,则： E(会x)-含n陕西师大附中高2027届高三年级第一次周测 数学试题参考答案 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.A 2.D 3.c 4.c 5.A 6.D 7.B 8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多个符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选 错的得0分. 9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.0.8 13.4+2V3 14.-4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤， 15解：0根据函数f()=。-血2+2.号强数@)=1-子-” -x2 那么f(x)在x=1处的切线的斜率为-a,因切线与x一2y=0垂直， 因此-a×1 =-1，解得0=2 ②根据第-问可得导函数f'女)=1-1-2-2-x-一2_亿+1)c-2) 因x∈[1，e],那么当2<x<e时，f'(x)>0,当1<x<2时，f'(x)<0, 因此f(x)在(2，e)上单调递增，在(1,2)上单调递减， f)=3,f2)=3-ln2,fe)=e-1+2 e 翻-（-1+)--2-24-e- >0,即f(1)>f(e). e 故f(x)在区间[1，e上的值域为3-n2,3. 16据E为A=1,f0=兰，贴g=盟，0<<号期即=子 (②)因为函数f(x)的最小正周期为π，则w=2. 若0@，则4=2，r(0）=2如(g+4）=0, 5π5π 0<p<2则6<6 +<智则+=，则=看 所以a)=2s血(2z+君) n()=2si血(2r+8）-2cos2z =V3sin2z-c0s2z=2sm(2红-8)， 令号+2m<2z-6≤2+2，kez 石+km≤2≤召+km,kEZ, 得、 所以函数h(x)的单调递增区间是 [g++纷，kez 若选①③，则A=2,且f =2sm(后+p)=V3,则si (g+)-0<<则 <+ 2π 3 则后+p=g则p 6 所以（倒=2sim(2x+君）： 以下同选择①②。 若选®0，由@可知，p=6· π 河f()=A血（后+君）=A9-v则4=2 所以a)=2sin(2x+): 以下同选择①②。 17.解：(1)证明：如图1，取AD的中点M,连接BM,CM。 ,·BA=BD,.BM⊥AD。(2分) .·AB=BC=BD,∠CBA=∠CBD .△ABC≈△DBC(SAS),.AC=DC. .CM⊥AD。(4分) BMnCM=M,∴.AD⊥平面BCM. 图1 又BCC平面BCM,:.BC⊥AD。(6分) (2)解法一（空间向量法：设∠CBA=∠CBD=0,AB=BC=BD=1, ·,平面ABC⊥平面DBC,平面ABCN平面DBC=BC, ,·可以以B为坐标原点，过点B垂直于平面ABC的直线为x轴，直线BC为y轴，过点B垂直于平面DBC的直线为2轴建立空 间直角坐标系，如图1所示（易错：题干无三条两两垂直的线段，需要先说明再建系，此步骤学生容易遗漏）。(8分) B(0,0,0),A(0,cos0,sin0),D(sin0,cos0,0), 易知平面DBC的-个法向量为m=(0,0,1),(10分) 设平面ABD的法向量为n=(x,,z), BA=(0,cos0,sin0),BD=(sin 0,cos0,0). 则有 [BA.n=ycos0+zsin=0 即{ycos0=-zsin0, BD.n=xsin0+ycos=0, xsin0=-ycos0. 令y=-sin0,则x=z=cos0, ∴.n=(cos0,-sin0,cos0)。(12分) cos0 由题可知cos(m,n)川= ，1×/1+c0s2B=5 解得c0s0=土2(14分》 ·.…0∈(0°，180). .∠CBA=60°或∠CBA=120°（提醒：二面角的范围为[0°，180°]，若解出两个三角函数值则得到两个结果）。(15分) 1 解：(1)由直线l:x一my-2=0经过右焦点F2, 得点F2的坐标为(2,0)，则a=√3。 由双曲线的定义，得IMF2一|MF,I=2a= 2√3，则1MF21=2+23. (2)设P(6,t),A(x1,y),B(x2,y2) (z2 由3 -y2=1, x-my-2=0, 得(m2-3)y2+4my+1=0, 4m 1 则y+=3-m22=m-3 由于A、B两点在双曲线的右支，且m>0,根据双 由线的性质。可得号>有即0<n< m 由OA=BP,OB=AP,得四边形OAPB为平行 四边形， 则OP=OA+OB,即(6，t)=(x1+x2,y1十y2), nx1十x2=6, 即 y1+y2=t, 则x1+x2=m(y1+y2)+4= 4m2 3-m2 +4=6, 即4n2 =2,即m=1,则t=2, 3-m2 所以点P的坐标为(6,2). (3)因为OA.OB=x1x2十y1y2=(1+m2)y1y2+ 2m(y1+y2)+4,所以由(2)，得 0.0馆=1+m2_8m2 +4=1+3m2 m2-3m2-3 3-m2 由oi.0≥17，得1+3m 3-m2≥17， 又由(2)，得0<m<√3，则√2≤m<√3 由双曲线的性质，得点A与点G关于原点O对称， 则S△GAB=2S△OAB, 即s=2×10:l-%=21y-% 2√16m2-4(m2-3) m2-3 即S=2V12m2+12 12(m2+1) m2-3 =2(m2-3 令h=m2+1, 又2≤m<√3，则h∈[3,4)， 12h 则S=2 43 Nh2-8h+16 h 16 令gh)=h十6则gh)=1于 当h∈[3,4)时，g'(h)<0,则函数g(h)=h+ 16在区间[3,4)内为严格减函数， 即g)∈®.5] ,则S∈[12，+∞) 晨：)设事件A,表示第次沿水平方向移动，事件B,表示第次沿器直方向移动。 P1=P(A1A2)+P(B1B2)= )+()- p2=p1[P(A3A4)+P(B3B4】+(1-P)[P(AB4)+P(B3A4】 ()+- (2)设连续移动两步，动点位置变化的概率为卫，动点位置不变的概率为q, 4 =P(A1A2)+P(BB2)=gp=1-q=g 根照全颜率公试Pw=q:1+1-q小-1-n）=弘1十香 11 证明：(3)设移动2n一1步之后，动点停留在点B的概率为q, 照金试&-+-A小专1+君()十 2 1 +2n≥2， 又因为91 2 1/1)n-1 所以=（ 1 +2n∈N, 设随机变量X:满足：①当移动2i-1步之后，动点停留在点B,则X=1; ②当移动2i-1步之后，动点不停留在点B,则X:=0: 显然X,服从两点分布，且P(X:=1)=9, 所以 w=(宫名-吉+（周）++（周门+号 1 1-（9) 3 1-