25.1一元二次方程的概念 同步讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理从实际问题（如矩形面积、数字关系）抽象出方程的过程，明确定义中“一个未知数、整式、最高次数2”的要素，再到一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）及二次项、一次项、常数项的辨析，最后延伸至方程解的概念与应用，构建完整的学习支架。 该资料以“数学眼光”观察现实世界，通过矩形面积、放射性衰变等情境引导学生抽象方程模型，以“数学思维”设计分层次题型（基础巩固、拔高提升、思维拓展），如含参数方程的判断、由解求代数式值等训练推理能力，还链接中考真题强化应用意识。课中辅助教师突破“a≠0”等难点，课后学生可通过分层练习查漏补缺，提升知识掌握度。

25.1一元二次方程的概念 学习目标与重难点 1、结合实际问题（如矩形面积、数字关系等情境），经历抽象出一元二次方程的过程，理解一元二次方程的定义，能准确判断一个方程是否为一元二次方程。 2、掌握一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0），明确二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数的概念，能熟练将方程化为一般形式并确定各项系数。 3、体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，感受数学与生活的紧密联系。 教学重点：一元二次方程的定义及其一般形式的识别；准确确定方程的各项及其系数。 教学难点：理解一元二次方程定义中“a≠0”这一限制条件的必要性；在复杂方程（含参数或需化简）中正确判断是否为一元二次方程并确定系数。 资料目录导航 核心知识梳理 题型解析归纳 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 链接中考 教材核心知识解读 知识点1一元二次方程的概念 1、如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程。 2、对“未知数的最高次数是2”的理解 (1)该项系数不为0: (2)该项未知数指数为2; (3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程.如 ,当m=0时,属于一元一次方程. 知识点2一元二次方程的一般形式 1、一元二次方程的一般形式是。说明：规定，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，一次项系数；是常数项。 2、.特殊形式 二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况: 知识点3 一元二次方程的解( 根) 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根，也叫做一元二次方程的解。 注意： 若一元二次方程方程有一个根为1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为﹣1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为0，则有； 题型解析◆精准备考 【题型1】一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A．B．C．D． 2．下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】一元二次方程的一般形式 3．已知一元二次方程，则它的一次项系数为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【题型3】由一元二次方程的定义求字母的值 5．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【题型4】一元二次方程的解 7．下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 8．下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 【题型5】一元二次方程的解的估算 9．在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 10．观察下面的表格： 判断方程的其中一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6】由一元二次方程的解求字母的值 11．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（） A．3 B．2 C． D． 12．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【题型7】由一元二次方程的解求代数式的值 13．已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 14．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【题型8】由实际问题列一元二次方程 15．临近6月，九年级的同学就要毕业了，在毕业典礼中某班每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，该班共送了2652张照片．设该班有x名学生，根据题意，列出方程应为（    ） A． B． C． D． 16．在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 1．关于x的一元二次方程的常数项是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 3．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 4．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．将一元二次方程化为一般式为______． 6．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 7．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 8．一元二次方程的一个解是，则的值是______． 9．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 10．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 11．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 12．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 14．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 15．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 16．请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 17．已知是方程的一个根，求的值． 18．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 19．根据实际问题中的相等关系，设未知数列出了下列方程，其中一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 20．方程化为一元二次方程的一般形式是，则m，n的值分别是（    ） A．12， B．1， C．，25 D．0，25 21．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 22．下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有___________（填序号）． 23．化为二次项系数为4的一元二次方程的一般式得________，它的一次项系数是________． 24．若关于的方程是一元二次方程，则___________． 25．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 链接中考 1．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 2．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 3．（2026·甘肃天水·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1一元二次方程的概念 学习目标与重难点 1、结合实际问题（如矩形面积、数字关系等情境），经历抽象出一元二次方程的过程，理解一元二次方程的定义，能准确判断一个方程是否为一元二次方程。 2、掌握一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0），明确二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数的概念，能熟练将方程化为一般形式并确定各项系数。 3、体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，感受数学与生活的紧密联系。 教学重点：一元二次方程的定义及其一般形式的识别；准确确定方程的各项及其系数。 教学难点：理解一元二次方程定义中“a≠0”这一限制条件的必要性；在复杂方程（含参数或需化简）中正确判断是否为一元二次方程并确定系数。 资料目录导航 核心知识梳理 题型解析归纳 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 链接中考 教材核心知识解读 知识点1一元二次方程的概念 1、如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程。 2、对“未知数的最高次数是2”的理解 (1)该项系数不为0: (2)该项未知数指数为2; (3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程.如 ,当m=0时,属于一元一次方程. 知识点2一元二次方程的一般形式 1、一元二次方程的一般形式是。说明：规定，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，一次项系数；是常数项。 2、.特殊形式 二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况: 知识点3 一元二次方程的解( 根) 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根，也叫做一元二次方程的解。 注意： 若一元二次方程方程有一个根为1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为﹣1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为0，则有； 题型解析◆精准备考 【题型1】一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、原方程化简得：，不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 2．下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： A. ，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，是一元二次方程，符合题意； C. ，不是一个未知数，不符合题意；     D. ，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 【题型2】一元二次方程的一般形式 3．已知一元二次方程，则它的一次项系数为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，形如，且a，b，c为常数，分别称为二次项系数，一次项系数，常数项．据此即可求解． 【详解】解：一元二次方程，则它的一次项系数为， 故选：B． 4．方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 【题型3】由一元二次方程的定义求字母的值 5．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 6．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【题型4】一元二次方程的解 7．下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断． 【详解】解：A．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时， 左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：B． 8．下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 【答案】1和3 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，逐一把数据代入方程进行检验即可． 【详解】解：当时，左边12． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边， ∵左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 综上可知，1和3是一元一次方程的根． 【题型5】一元二次方程的解的估算 9．在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：根据表格中的数据，可以发现：时，； 时，， 故一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 10．观察下面的表格： 判断方程的其中一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．观察表格可以发现的值和最接近，再看对应的的值即可得． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，； 当时，， 故选：B． 【题型6】由一元二次方程的解求字母的值 11．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程解的定义，解题关键是将已知根代入方程，构建关于m的一元一次方程并求解． 根据方程根的定义，将代入方程得到关于m的方程，再求解该方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得到， ． 解得． 故选：A． 12．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握一元二次方程的根即能够使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键． 将代入原方程即可求解． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：． 故答案为：． 【题型7】由一元二次方程的解求代数式的值 13．已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2031 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义得出，然后把变形为，再把整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ ， 故答案为：2031． 14．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义求解即可． 【详解】解：将代入， 得，即， ∵， ∴， 故答案为：1． 【题型8】由实际问题列一元二次方程 15．临近6月，九年级的同学就要毕业了，在毕业典礼中某班每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，该班共送了2652张照片．设该班有x名学生，根据题意，列出方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，根据每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，即设全班有x名学生，则每人要赠送张相片，据此根据照片总数量为2652张列一元二次方程即可． 【详解】解：设全班有x名学生，则每人要赠送张相片， 根据题意可得出， 故选：B 16．在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握利用增长率和减少率列一元二次方程是解题的关键．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则年初为，年初为，即可解答． 【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为， 根据题意，得；， 故选：B． 1．关于x的一元二次方程的常数项是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可确定常数项． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为 ，其中为常数项； ∵ 原方程为 ， 对应一般形式可得常数项为， ∴ 该方程的常数项是． 2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 4．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 5．将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 【详解】解： ， ， 移项，得 ． 6．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【详解】解：关于的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得 解得，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 7．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 8．一元二次方程的一个解是，则的值是______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【详解】解：是一元二次方程的一个解， 满足一元二次方程， 将代入方程得， 整理得， 移项得． 9．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了已知一元二次方程的解求参数，先理解题意，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， 则 ． 10．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程． 选项A：，只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 选项B：含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义； 选项C：分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； 选项D：未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义． 综上，故选A． 11．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 12．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 13．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式的值为2的值，这些值即为方程 的实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，方程可化为， 由表格可知，当 或 时，， ∴方程的实数根为，， 故选：B 14．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【答案】2 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以使二次项系数为1，从而得到一次项系数． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 15．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 16．请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是根据方程的解构造一元二次方程． 根据一元二次方程的解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为方程的一个解是1，所以可设方程为，展开得到． 故答案为：（答案不唯一）． 17．已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的定义可得，，再两边同时除以，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，且 ∴， ∴． 18．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 19．根据实际问题中的相等关系，设未知数列出了下列方程，其中一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 一元二次方程需满足：只含一个未知数、未知数最高次数为2、且为整式方程，逐一分析各选项． 【详解】解：选项A：含两个未知数x和y，不符合题意； 选项B：仅未知数x，最高次数2，整式方程，符合题意； 选项C：含分式，非整式方程，不符合题意； 选项D：化简得，即，为一元一次方程，不符合题意． 故选：B． 20．方程化为一元二次方程的一般形式是，则m，n的值分别是（    ） A．12， B．1， C．，25 D．0，25 【答案】A 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程化为一般形式，熟练掌握知识点是解题的关键． 把方程化为一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程化为一元二次方程的一般形式是， ∴． 故选：A 21．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 22．下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有___________（填序号）． 【答案】①⑥ 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式是（， ，为常数，且），根据定义逐一判断即可． 【详解】解：①（m为常数）是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程； ⑤（m为常数），当时，不是一元二次方程， ⑥是一元二次方程， 故答案为：①⑥． 23．化为二次项系数为4的一元二次方程的一般式得________，它的一次项系数是________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式及定义，掌握相关概念是解题的关键． 先依据完全平方公式进行计算，再移项、合并同类项，将方程变形为的形式，从而得到方程的一般形式，进而找出一次项系数即可． 【详解】解：， ， ， 移项得，， 合并同类项得，， 即， 其中一次项系数为， 故答案为：，． 24．若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】或 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为：或． 25．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【详解】解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ . 链接中考 1．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 2．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 3．（2026·甘肃天水·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $