25.2.1 配方法 （第2课时 )教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦用配方法解一元二次方程，通过完全平方公式填空回顾旧知，衔接直接开平方法，搭建从特殊到一般的学习支架，引导学生理解配方本质与“降次”转化思想。 特色在于分层例题设计，涵盖二次项系数为1、不为1及无解情况，结合自主命题环节培养创新意识，规范步骤强化运算能力与推理意识，助力学生掌握转化方法，便于教师直接实施教学提升效率。

课题 25.2.1 配方法 （第2课时用配方法解一元二次方程） 班级 课时 上课时间 教 学 目 标 1.熟练掌握一元二次方程配方求解步骤，会运用配方法正确求解一元二次方程. 2.理解配方补常数的本质，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方式，体会"降次"转化的思想方法. 重点：熟练掌握一元二次方程配方求解步骤，会运用配方法正确求解一元二次方程． 难点：当二次项系数不为1时，正确进行配方；根据配方后的常数项p判断方程解的情况，理解p<0时方程无实数根. 教 材 分 析 教材地位与作用：本节课是新人教版九年级上册第二十五章"一元二次方程"中25.2节配方法的第二课时，承接直接开平方法，是推导求根公式的基础，也是后续学习二次函数顶点式、二次不等式的关键铺垫. 配方法衔接整式乘法中完全平方公式，打通代数式变形与方程求解的知识壁垒，为中考一元二次方程综合题型、函数综合题提供必备解题工具. 教材内容结构：先回顾能直接开平方的方程求解经验，引出系数是1的一般一元二次方程方程求解的思考，引导学生思考通过因式分解将一般式转化成完全平方式，体现了"从特殊到一般"的认知规律.接着设置一道例题：包含了二次项的系数是1和系数不是1、讨论有解和无解类共三个解方程的题型，规范解题步骤；最后配套分层练习题，由基础型到稍复杂变式，巩固整体开方、分类判断有无实数根的知识点，完整形成“原理引入——迁移探究——例题示范——习题巩固”的教学逻辑. 学 情 分 析 学生在八年级已经掌握了完全平方公式、因式分解等知识，在第一课时已经学习了直接开平方法和配方法的基本思路，但是学生对配方的原理理解不透彻，转化二次项的系数不是1的一般式的一元二次方程对学生来说相对困难.配方时可能会漏加常数项；二次项系数不是1时不会把系数化为1、系数化为1过程中可能会出现漏乘漏除的现象. 教学过程（内容及步骤） 二次备课 一、回顾旧知 1.填一填. (1) a2+2ab+b2=; (2) a2 – 2ab+b2=. 2.根据以上规律填空： (1)（3） （4） 答案：（1）、5；（2）、6；(3)、； （4）、 二、探索新知 观察思考：在上述问题中，等式左边补的常数项和一次项系数有什么关系？ 当二次项系数为1时，常数项等于一次项系数绝对值一半的平方. 自主命题：请同学们参照上述填空，独立命制一道类似的问题，随机抽查其他同学解答. 问题：如何解方程：++4=0，能否用直接开平方法解该吗？方程左边不是完全平方式，能否转化成完全平方式呢？ 移项，得：+=－4+ 配方，得 +=－4+32 即（+3）2=5 降次得 +3=±， ∴1=－3+，2=－3- 可以验证，－3±是方程++4=0的两个根. 三、例题精讲 例1 解下列方程： (1) x2－8x＋1＝0； (2) 2x2＋1＝3x； (3) 3x2－6x＋4＝0． 解：(1)移项，得x2－8x＝－1． 配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， (x－4)2＝15． 由此可得：x－4＝± ， x1＝4＋，x2＝4－． (2)移项，得2x2－3x＝－1． 二次项系数化为1，得x2－x＝－． 配方，得：x2－x＋＝－＋， 由此可得:x－＝±， x1＝1，x2＝ ． (3)移项，得 3x2－6x＝－4． 二次项系数化为1，得 x2－2x＝－． 配方，得 x2－2x＋12＝－＋12， (x－1)2＝－. ∵(x－1)2 ∴该方程无解 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)²=p的形式，那么就有： (1)当 p ＞ 0时，方程有两个不等的实数根：x1＝－n＋，x2＝－n－； (2)当 p = 0时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝－n； (3)当 p ＜ 0时，因为对任意实数x，都有( x + n )2 ≥ 0 ，所以方程无实数根. 总结：配方法解一元二次方程的步骤： (1)移：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边； (2)化：把二次项系数化为1； (3)配：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)开：利用直接开平方法求出方程的解. 注意：配方时易出现的错误：(1)移项时忘记变号；(2)系数化为1时漏项；(3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方. 四、巩固练习 1.若式子可化为完全平方式，则m＝ . 2.用配方法将方程转化为的形式，则的值为(  B  ) A. B. 6 C. D. 3.解下列方程： (1) x2 +10x+9=0； (2) x2－x－=0； (3) x2+4x－9=2x－11； (4) x(x+4)=8x+4. 解：(1)移项，得 x2+10x=－9 配方，得 x2 +10x+52= － 9+52 (x+5)2=16 由此可得 x+5=4. x1=－1，x2=－9. (2)移项，得 x2－x= 配方，得 x2－x+= (x)2=2 由此可得 x= . x1=，x2=. (3)移项，得 x2+2x=－2 配方，得 x2 +2x+12= － 2+12 (x+1)2=－1 ∵ (x+1)2 ≥0，而－1＜0， ∴原方程无实数根. (4)去括号，得x2+4x=8x+4 移项，得 x2－4x=4 配方，得 x2－4x+22=4+22 (x－2)2=8 由此可得 x－2= . x1=，x2=. 五、拓展提升 4.(1) 3x2+6x－4=0； (2) 4x2－6x－3=0 解：(1)移项，得 3x2+6x=4 二次项系数化为1，得 x2+2x= 配方，得 x2 +2x+12= +12 (x+1)2= 由此可得 x+1=. x1=－1，x2=－1. (2)移项，得 4x2－6x=3 二次项系数化为1，得 x2－x= 配方，得 x2－x+= (x)2= 由此可得 x= . x1=，x2=. 5.用配方法解方程时，可将方程变形为的形式，则方程的解是 ， ． 六、课堂小结 今天你学到了哪些知识？用配方法解一元二次方程的步骤有哪些，需要注意哪些地方？ 七、作业布置 必做：教材17页第2和3题 选做：写下配方法核心是什么，解方程为什么要先构造完全平方式的感悟. 用配方法将方程转化成完全平方式，并尝试求出 的值. 板书 左侧 中间 右侧 (2) 复习区 完全平方公式的： a2+2ab+b2=; (2) a2 – 2ab+b2=. 课题：配方法解一元二次方程 总结：配方法解一元二次方程的步骤： (1)移：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边； (2)化：把二次项系数化为1； (3)配：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)开：利用直接开平方法求出方程的解. 注意：配方时易出现的错误：(1)移项时忘记变号；(2)系数化为1时漏项；(3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方. 例题区 例1 解下列方程： (1) x2－8x＋1＝0； (2) 2x2＋1＝3x； (3) 3x2－6x＋4＝0． 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $