山东东营市东营区2025-2026学年上学期七年级开学数学练习卷（五四学制）

**基本信息** 聚焦开学衔接，以三角形全等、动态几何为核心，通过新定义“关联点”、动点问题等设计，考查几何直观、推理意识与创新应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、高的画法、全等判定、旋转性质|基础巩固，梯度分布，如第3题考查高的几何直观，第9题结合旋转与等腰三角形推理| |填空题|6/18|等腰三角形角度计算、三边关系化简、动点与全等|能力提升，如第13题动点全等分类讨论，第16题等腰三角形判定| |解答题|7/63|新定义“关联点”、几何作图与证明、三角形综合应用|创新应用，如第20题新定义探究抽象能力，第22题问题探究与拓展应用|

2025-2026学年山东省东营市东营区七年级（上）开学数学练习卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 2.在中，，，，则的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 3.各图的中，正确画出边上的高的图形是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在长方形中，已知，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为(    ) A. 或 B. C. 或 D. 5.如图，≌，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知≌，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，将三角形纸片，沿折叠后，点落在点的位置．若，且，则的大小为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，平分，交于点，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，，、是等腰的两腰，将绕点顺时针进行旋转，得到当点恰好在的延长线时，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在射线，上分别截取，连接，在，上分别截取，连接，，按此规律截取下去，若，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.等腰三角形的一个角是，那么它的底角度数为      ． 12.若的三边为、、，则化简的结果是        ． 13.如图，在长方形中，，动点从点出发，以的速度沿的路线匀速运动，直至运动到点停止图是点出发时，的面积随时间变化的情况若当动点从点出发并在边上运动时，另一动点同时从点出发以的速度沿边匀速运动，直至运动到点时停止则在点，的运动过程中，当与全等时，            ． 14.如图，在中，平分，，，则的度数为          ． 15.如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为          ． 16.如图，在中，，，、是上两点，且则图中有        个等腰三角形． 三、计算题：本大题共1小题，共9分。 17.计算： 四、解答题：本题共7小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 下面是小明同学错题本上的一道题，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为，得第五步 以上解题过程中，小明从第          步开始出错，错误的原因是          ． 请求出该方程正确的解． 19.本小题分 在学习了平行线和角平分线的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，，射线在平分． 用无刻度直尺和圆规作的平分线；保留作图痕迹，不写作法 探究与的位置关系，将下面的过程补充完整． 解：，                    ， 平分，                    ， 平分，                    ， ，                    ． 20.本小题分 数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”． 例如，数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“关联点”． 若点表示数，点表示数，下列各数，，，所对应的点分别是，，，，其中是点，的“关联点”的是______； 点表示数，点表示数，为数轴上一个动点： 若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，求此时点表示的数； 若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点表示的数． 21.本小题分 如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，过点作，交于点，在射线上取一点，使 求证： 求证： 22.本小题分 【问题发现】 如图，在中，过点作，垂足为点，且若，则的值为        ； 【问题探究】 如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，，连接、，求的周长； 【拓展应用】 如图，是一个游乐场的平面示意图，为游乐场大门，其中米，，平分交于点现分别在、上各取一点、，且满足，计划沿、修建两条轨道交通以方便游客游玩，已知两条轨道造价均为每米元，求修建这两条轨道总费用的最小值． 23.本小题分 如图，在中，，点，，分别在，，边上，且， 求证：是等腰三角形 当时，求的度数 24.本小题分 如图，在中，， 利用尺规作图法作的垂直平分线分别交，于点，；保留作图痕迹，不要求写作法 在的条件下，连接，求的度数 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了构成三角形三边的条件以及求解不等式组解集的知识三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，掌握此知识点是解答本题的关键． 根据构成三角形三边的关系列不等式组，解不等式组即可求解． 【解答】 解：在中，，，， 又， 解得：， 故选：． 3.【答案】  【解析】解：、图中不是边上的高，本选项不符合题意； B、图中是边上的高，本选项符合题意； C、图中不是边上的高，本选项不符合题意； D、图中不是边上的高，本选项不符合题意； 故选：． 根据三角形的高的概念判断即可． 本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 4.【答案】  【解析】解：设点，运动的时间为， 依题意得：，， 四边形是长方形，且，， ，， 当以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等时，有以下两种情况： 当，时，则≌， 由，得：， 解得：， 当，时，则≌， 由，得：， 解得：， 由，得：， 将代入，得：， 综上所述：的值为或． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：≌， ，， 的面积， 的面积的面积， 阴影的面积的面积． 故选：． 由全等三角形的性质推出，，得到，求出的面积，得到阴影的面积的面积． 本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出，，阴影的面积的面积． 6.【答案】  【解析】解：，，， ， ≌， ． 故选：． 利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解． 本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 7.【答案】  【解析】根据平行线的性质得出，利用平角定义求出，再根据折叠的性质得到，最后利用周角定义列式计算即可求解． 【详解】解：，  ， 折叠， ，  ． 8.【答案】  9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质． 利用等腰三角形的性质得，再根据旋转的性质得，，，接着利用等腰三角形性质得，则可判断，根据平行线的性质得，然后计算的度数． 【解答】解：， ， 绕点顺时针进行旋转，得到，点恰好在的延长线上， ，，， ， ， ， ， ． 故选C． 10.【答案】  11.【答案】或  【解析】解：根据等腰三角形的性质，分情况讨论： 当等腰三角形的顶角为时，则底角等于； 当等腰三角形的底角为时，则底角等于， 所以它的底角的度数是或． 故答案为：或． 首先要讨论的角是顶角还是底角，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：的三边为、、， ，， 原式 ． 故答案为：． 根据三角形的三边关系判断出即的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可． 本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 13.【答案】或  【解析】解：四边形是矩形，  ，，，  在和上运动的时间相同是，  由图象知在上运动的时间是，  ，  的运动速度是，  ，  当≌时，  ，  、同时运动，  和运动的速度相同是，  ；  当≌时，  ，，  、运动的时间是，  运动的速度是，  ，  综上所述：或  故答案为：或． 由矩形的性质推出，，，由图象知在上运动的时间是，得到的运动速度是，求出，当≌时，推出，得到和运动的速度相同是，当≌时，求出、运动的时间是，求出运动的速度是，于是得到答案． 本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是要分两种情况讨论． 14.【答案】  15.【答案】  【解析】解：设，，则． 证，得． 由，得． 在中，利用三角形的内角和为， 得． 16.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ，，， ，，，，，都是等腰三角形． 故答案为：． 根据等腰三角形的判定方法判断即可． 本题考查等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 17.【答案】【小题】 【小题】．   【解析】 ； ． ． 根据积的乘方和同底数幂的乘除法运算法则进行计算； 根据单项式乘多项式和多项式乘多项式的运算法则进行计算． 本题考查了整式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 18.【答案】【小题】一 去分母时，等号右边的没有乘 【小题】 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为，得．   19.【答案】解：如图，射线即为所求． ， ， 平分， ， 平分， ， ， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 20.【答案】，3; ​​​​​​​设点在数轴上表示的数为． 在点左侧，则： Ⅰ当点在之间时， ， 解得：； 或， 解得：； Ⅱ当点在点左侧时， ，， 当点在点左侧时，点表示的数为或或； 点在点右侧，则： Ⅰ当点为点，的“关联点”时， ， 解得：； Ⅱ当点为点，的“关联点”时， ， 解得：； 或， 解得：； Ⅲ当点为点，的“关联点”时， ， 解得：， 点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，此时点表示的数为或或．  【解析】解：若点表示数，点表示数，且，，，所对应的点分别是，，，， ，， ， 是点，的“关联点”； ，，， 不是点，的“关联点”； ，， ， 是点，的“关联点”； ，，， 不是点，的“关联点”； 综上，是点，的“关联点”的是，， 故答案为：，； 设点在数轴上表示的数为． 在点左侧，则： Ⅰ当点在之间时， ， 解得：； 或， 解得：； Ⅱ当点在点左侧时， ，， 当点在点左侧时，点表示的数为或或； 点在点右侧，则： Ⅰ当点为点，的“关联点”时， ， 解得：； Ⅱ当点为点，的“关联点”时， ， 解得：； 或， 解得：； Ⅲ当点为点，的“关联点”时， ， 解得：， 点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，此时点表示的数为或或． 根据新定义内容，结合数轴上两点间距离公式进行分析计算，从而作出判断； 根据新定义内容，结合方程思想及分类讨论思想列方程求解； 根据新定义内容，结合方程思想及分类讨论思想列方程求解． 本题属于新定义题目，理解新定义内容，掌握数轴上两点间距离公式，利用分类讨论思想及方程思想解题是关键． 21.【答案】【小题】证明：是角平分线， ， ，， ， 在与中， ， ≌， 【小题】证明：平分，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌，   【解析】证明：是角平分线， ， ，， ， 在与中， ， ≌， ； 证明：平分，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 先根据角平分线的定义得出，再由，得出，由定理可得出≌，据此可得出结论； 先根据平分，，得出，再由，得出，根据可知，由定理可得出≌，据此可得出结论． 本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 22.【答案】【小题】 【小题】 、的垂直平分线分别交于点、， ，， 的周长为 【小题】 ，， ， 平分， ， 如图：作线段，使，，连接，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 的最小值为， 米， 两条轨道造价均为每米元， 修建这两条轨道总费用的最小值为元． 答：修建这两条轨道总费用的最小值为元   【解析】， ， 在和中， ， ≌， ， 故答案为：； 、的垂直平分线分别交于点、， ，， 的周长为； ，， ， 平分， ， 如图：作线段，使，，连接，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 的最小值为， 米， 两条轨道造价均为每米元， 修建这两条轨道总费用的最小值为元． 答：修建这两条轨道总费用的最小值为元． 直接证明≌，再根据全等三角形的性质即可解答； 由垂直平分线的性质可得、，再根据三角形的周长公式及等量代换即可解答； 由题意可得，作线段，使，，连接，，可证是等边三角形可得，再证明≌可得，进而得到的最小值为，进而可以解决问题． 本题主要考出了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 23.【答案】【小题】证明：在中，， ， 在和中， ， ≌， ， 是等腰三角形 【小题】解：≌， ， ， ，， ， ，，， ，   【解析】证明：在中，， ， 在和中， ， ≌， ， 是等腰三角形； 解：≌， ， ， ，， ， ，，， ， ． 根据等边对等角可得，利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形的定义证明即可； 根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出． 本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 24.【答案】【小题】图形如图所示： 【小题】，， ， 垂直平分线段， ，   【解析】图形如图所示： ，， ， 垂直平分线段， ， ． 根据要求作出图形； 分别求出，可得结论． 本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $