第七单元 倍数与因数-能力提升培优讲义【思维导图+知识卡片+新知梳理+二十大考点讲练+难度分层练 共60题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建“倍数与因数”单元知识体系，将因数与倍数、2/5/3的倍数特征、质数合数等七个知识点按内在逻辑梳理，用知识框架图呈现概念关系，突出最大公因数与最小公倍数等重难点的联系。 讲义亮点在于“考点讲练+分层演练”设计，20个高频考点如“用最大公因数解决实际问题”结合典例与变式，培养数学思维与应用意识。60道真题分基础与提升层，基础题巩固概念，提升题如“完全数”探究发展创新意识，助力教师精准教学与学生自主复习。

null2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 第七单元倍数与因数「举一反三知识讲练」（能力提升版） 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+20个考点讲练展+真题难度分层演练共60题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题， 常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦」 目录指引丙容知晓 导图指引梳理脉络。 3 知识梳理温故知新.。 3 知识点一因数与倍数........... …3 知识点二2、5、3的倍数特征 知识点三：奇数与偶数 4 知识点四：质数与合数 知识点五：分解质因数 5 知识点六：最大公因数………… 知识点七：最小公倍数.… 考点讲练真题汇总。 6 高频考点一因数和倍数的认识..... ..6 高频考点二找一个数的倍数及倍数的特征.…6 第1页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 高频考点三根据倍数的特征解决问题.·· 高频考点四找一个数的因数及因数的特征.... ….7 高频考点五根据因数的特征解决问题........ …7 高频考点六倍数和因数的综合应用.·· 8 高频考点七2、5的倍数特征...... 8 高频考点八奇数与偶数的认识...9 高频考点九运算性质（奇数和偶数).· ….9 高频考点十3的倍数特征...... 高频考点十一2、3、5的倍数特征综合....。 0 高频考点十二9的倍数特征.… 10 高频考点十三公因数与最大公因数··.· 10 高频考点十四用最大公因数解决实际问题… 10 高频考点十五公倍数与最小公倍数…………… 11 高频考点十六用最小公倍数解决实际问题.…......…. 11 高频考点十七质数与合数的认识..… 11 高频考点十八质数与合数的综合应用.... 11 高频考点十九分解质因数.. ...12 高频考点二十百数表中的质数.. 12 优选真题实战演练… 【基础通关】 ..13 【能力提升】.…….15 第2页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 步导图指引梳理脉格 倍数的认识 倍数与因数的关系 2、5的倍数特征 。在运动会上两个班同学分别排出下面两种队彩】 这个本个数 。在百数表中圈出3的倍数，你发现了什么？ 鲜一首两个班头有多少人 我发现3的数 。。。。 在一条线上 。se。 。1既不是质数，也不是合数 2233w252723 ·。，·· 4123336M 662 9×4=36(人) 5×7=36(人） 练-一练 ·9×4=36.36是9和4的倍量。9和4是36的圆数 ·分一分，并与同件交流你是怎么分的 模5×7=35，你能或出 27232911 。从上表中找出2的倍散，说一说这些数有什么特征 33 142599 我写一组算或，发观 的个健上 23- 24-8 倍数的特征 第七单元 2的倍数也叫偶，不是？的倍数的数叫骨 。在百数表中圈出5的倍数 你发现了什么？ 倍数与因数 我发厘5的数 3的倍数特征 表尾只有0成5。 3×1=3,3×2=6.3×3=9.3×4=12, 质数与合数 个位上的数什么规律% ,请在百表中接着国出3的倍数。你发现了什么？ 5的修数标在 个长方 第5列，第10列， 画一画。井与同律交流 衣发现：3的数各个数 2022年，北某市和张家口有 上的数年之和是3的侍数 联合举办了车典会，2+0+2+2=6 ·在百数表中圆出2的倍数，你发现了什么？ 时知4121+2=3列 26-12 在一春科线上 用2,3，。11个小正方形分别可以 拼成几种长方影？完成下表。 寻找质数 因数和倍数的意义 小正方形个数()能拼成几种长方形用的因数 。在百数表中，忽样找出1一0中的所有数？与同伟交流 一个数既是6的倍数。又是24的因数 这个数可能是多少？(6,12.18,24) 最大公因数和最小公借数 1.2.4 一个数是7的倍数。又是24的因数 这个数可能是多少？无 密码是和6相网 备数中最小的 12,4.8 个数只要同时是结数和国数的条件， 能确变这个数 89788364659960 19038999919910风 123462 整理与复习 数的分类 倍数与因的息义 求最大公因数和最小公倍数 2和级片委大公男数是 4和台的最小公维数是 1既不是质数 也不是合数 可以用列举法。分解顺国数法等 知识梳理温故知新 知识点一因数与倍数 1.因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6,12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c 的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2.找一个数的因数的方法 (1)列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因 数。 (2)列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3.因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 第3页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 4.找一个数的倍数的方法 (1)列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 (2)列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5.倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二2、5、3的倍数特征 1.2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2.5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3.3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三：奇数与偶数 1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2表示。 2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2一1表示。 3.奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数一奇数=偶数 奇数一偶数=奇数 偶数一奇数=奇数 偶数一偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四：质数与合数 1.质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2.合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18。 第4页共17页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3.注意。 (1)0、1既不是质数，也不是合数。 (2)100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、 71、73、79、83、89、97,共25个。 知识点五：分解质因数 1.分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5,24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2.注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1.最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几 个数的最大公因数。 2.求最大公因数的方法 (1)列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 (2)短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 (短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。) (3)分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 (4)互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 (5)倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3.注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作(12,18)=6。 知识点七：最小公倍数 1.最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最 小公倍数。 2.求最小公倍数的方法 (1)列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 (2)短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 (短除法的口决：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。) 第5页共17页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 (3)分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 (4)互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 (5)倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3.注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作[12,18]= 36。 考点讲练真题忙总 高频考点一因数和倍数的认识 【典例精讲】(24-25五年级下·辽宁抚顺·期末)如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和， 那么这个数就是“亏数”，反之为“盈数”。例如，10除本身10以外，还有1、2、5三个因数，10>1十2 十5，所以10就是“亏数”。那么按此方法可知，36是( )。 【变式训练】(24-25五年级下·辽宁抚顺·期末)在18÷6=3中，（ )是( )和( )的倍 数，（ )和( )是( )的因数。 高频考点二找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】(24-25五年级下·辽宁鞍山·期末)18的因数有()；12的最小倍数是( )。 【变式训练】(25-26五年级下·四川巴中·期末)某幼儿园在游戏课上，王老师有一些气球（不超过50 个)，如果每位小朋友分12个，正好分完。还可以怎么分也能正好分完，下面说法错误的是( )。 A.每位小朋友分5个 B.每位小朋友分6个 C.每位小朋友分4个 D.每位小朋友分3个 高频考点三根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】玲玲在分糖果时遇到了下面的问题。 共有77颗糖果，自己留下了10颗，将其余的平均分给5个小朋友。 玲玲至少再留几颗糖果，就能使每个小朋友分到的糖果颗数是整数？结合文字或者算式等方式说明理由。 第6页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 【变式训练】乐乐到花店买了3盆价格相同的马蹄莲，单价是整数，付给营业员100元，找回12元，乐乐 说营业员算错了，营业员一查，发现多算了，多算的钱数是一个一位数的偶数，一盆马蹄莲的价格是多少 元？ 高频考点四找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】(24-25五年级下·河北秦皇岛·期末)一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数最小 是( ),最大是()。 【变式训练】(24-25五年级下·福建厦门·期末)古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数 (本身除外)相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如6有4个因数1,2,3,6，除本身6以外，还 有1,2,3三个因数，所以6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是( )。 A.10 B.12 C.16 D.28 高频考点五根据因数的特征解决问题 【典例精讲】(24-25五年级下·江苏泰州·期末)古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因 数（本身除外）相加的和，这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还 有1、2、3三个因数，6=1十2十3，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是( )。 A.16 B.20 C.28 D.48 【变式训练】(25-26五年级上·广东佛山·阶段检测)笑笑家客厅是长方形，长是7.2米，宽是4米。 (1)现要把客厅铺地砖，要想地砖不要切开，全是整块铺在客厅里，选择下面三种地砖中的( )款才 合适。 A款 5dm B款 8dm C款 9dm 5dm 8dm 12m (2)算一算，如果这款合适的地砖每块重12.4千克，售价是68元/块，购买地砖至少需要多少元？ 第7页共17页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 高频考点六倍数和因数的综合应用 【典例精讲】(25-26五年级下·山西晋中·期末)为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多 彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成 一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多 少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 【变式训练】(25-26五年级上·全国·课后作业)敬老院的一位爷爷给同学们出了一道题：一种游戏棒 每盒60根，如果用3根、4根、5根、6根小棒，分别能搭成等边三角形、正方形、正五边形和正六边形， 我用一盒小棒搭了一些正方形和正六边形后，最后能剩下5根小棒吗？园园认为最后不能剩下5根小棒。 你的观点呢？请说明理由。 高频考点七2、5的倍数特征 【典例精讲】(25-26五年级下·四川巴中·期末)数学课上，老师说：“个位是0或5的数一定是5的 倍数。”小明提出了一个疑问：“为什么只看个位就能判断？比如150，个位是0，它确实是5的倍数；但 个位是0或5这个结论能适用于所有数吗？比如像12345、98760这样的大数，难道不用看其他数位吗？” 【变式训练】(24-25五年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末)五（2)班来了两位有经验的听课教师，他们的 年龄都在40岁到60岁之间，两人相差4岁，而且每人年龄的十位与个位上的数字之和都是5的倍数，那 么较年长的老师是( )岁。 A.41 B.46 C.50 D.55 第8页共17页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 高频考点八奇数与偶数的认识 【典例精讲】(24-25五年级下·甘肃天水期末)三个连续奇数的和是57。这三个奇数中最大数是( ）。 最小数是( ）。 【变式训练】(24-25五年级下广东潮州·期末)已知a是非0自然数，那么()一定是偶数，( 一定是奇数。 高频考点九运算性质（奇数和偶数） 【典例精讲】(24-25五年级下·浙江嘉兴·期末)n是大于0的自然数，选项( )的结果一定是 偶数。 A.2(n+1) B.2n+1 C.n-1 D.n+2 【变式训练】(24-25五年级下·河北保定·期末)爷爷在菜地里摘了26棵白菜，小华帮忙把这些白菜装 在5个竹筐里，爷爷要求每个竹筐里装的个数不同，并且个数都是奇数，按照爷爷的要求，小华能做到吗？ 为什么？ 高频考点十3的倍数特征 【典例精讲】(24-25五年级下·辽宁抚顺·期末)用1、2、3、5四张数字卡片组成三位数，既是2的倍 数，又是3的倍数的最小三位数是( )。既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是( ）。 【变式训练】(25-26五年级下·海南省直辖县级单位·期末)古代人对年龄的称谓，往往避开直白的数 字，而是借由富有文化韵味的文字来表达。例如，“不惑”代指四十岁，“花甲”表示六十岁，“古稀” 代表七十岁，而“耄耋”（读作màodié）则用以描述八九十岁的高龄。洋洋的爷爷今年已过古稀之年，未 及耄耋之年，且年龄既是3的倍数又是5的倍数，那么爷爷今年是( )岁。 高频考点十一2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】(2425五年级下·湖北荆州·期末)一个六位数548☐□□能同时被2、3、5整除， 这样的六位数中最大的是( )。 【变式训练】(24-25五年级下·浙江台州·期末)一个三位数口2☐，如果它是2和5的倍数，这个数最 小是( )；如果它既是2和5的倍数，同时又是3的倍数，这个数最大是()。 第9页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 高频考点十二9的倍数特征 【典例精讲】(25-26五年级下·广东佛山·期中)123各位上的数的和是6，是3的倍数，所以123是3 的倍数。为什么可以这样判断？ 123=1×100+2×10+3 =1×(99+1)+2×(9+1)+3 =1×99+1+2×9+2+3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1+2十3”，也就是“各位上的数的和”是否为3的 倍数便可以进行判断了。 (1)先判断下面各数是否为9的倍数（对的在后面画“√”，错的在后面画“×”）。 693( 239( 990( (2)写出9的倍数特征：( ）。 【变式训练】一个口袋里装有编号为1到8的8个球。现在将8个球随机地先后全部取出，从右到左排成 一个8位数，比如63487521，它正好能被9整除。你知道这样随机排成的8位数，它能被9整除的概率是 多少吗？ 高频考点十三公因数与最大公因数 【典例精讲】(24-25五年级下·湖北武汉·期末)对于非0的自然数a、b,如果3a=b,那么a和b的 最大公因数是( )。 【变式训练】(25-26五年级下·陕西商洛·期末)诚信装修队给学校装修“红领巾”广播室，需要用正 方形艺术砖装饰一面长32分米、宽24分米的长方形文艺墙（用的砖全是整块的），这些正方形艺术砖的 边长最大是( )分米，一共需要( )块这样的艺术砖。 高频考点十四用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】(24-25五年级下·辽宁抚顺·期末)有一张长方形纸，长60cm,宽45cm。如果要剪成若干 同样大小的正方形而没有剩余，剪出正方形的边长最大是( )cm。 A.5 B.15 C.20 【变式训练】(24-25五年级下·辽宁抚顺·期末)有一张长方形纸，长24厘米，宽18厘米。如果要剪 成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形边长最长是多少厘米？一共可以剪出多少个正方 形？ 第10页共17页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 高频考点十五公倍数与最小公倍数 【典例精讲】(24-25五年级下·福建福州·期末)如果一个数减1后是2、3、5的倍数，那么这个数最 小是( ）。 A.21 B.31 c.61 D.121 【变式训练】(24-25五年级下·河北秦皇岛·期末)运动会开幕式上，实验小学展示了多于80人、不足 100人参加的团体操表演。变换队形时，每行12人或每行16人都能正好排成长方形队列。这支队伍共有 （)人。 高频考点十六用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】(25-26五年级下·陕西商洛·期末)五年级部分学生分小组跳绳比赛，4人一组、5人一组 或6人一组，都没有剩余。五年级参加跳绳比赛的学生至少有( )人。 【变式训练】(24-25五年级下·河南郑州·期末)你知道“韩信点兵”的故事吗？韩信带350名士兵打 仗，战死几十人，战后清点人数，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6 人。韩信马上说出战后人数。战后人数是多少人？ 高频考点十七质数与合数的认识 【典例精讲】(24-25五年级下·河南焦作·期末)哥德巴赫猜想中说：每个大于2的偶数都可以表示为 两个质数的和。请你将30写成两个质数的和。 30=( )+( 30=( )+( 30=( )+( 【变式训练】(24-25五年级下·河北秦皇岛·期末)下面说法不正确的是( )o A.所有的质数中，除了2以外，都是奇数 B.一个数的最小倍数与它的最大因数相等 C.一个自然数越大，它的因数就越多 D.数字2、3、4、5组成的没有重复数字的两位数中，质数有3个 高频考点十八质数与合数的综合应用 【典例精讲】(24-25五年级下·河南洛阳·期末)桌子上摆放了几盘饺子，每盘饺子的数量都相同。茜 茜、轩轩和乐乐各自数出的饺子总数分别是29、32、41，数对饺子数量的小朋友是( ）。 第11页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 【变式训练】(25-26五年级下·江苏苏州·期中)一块长方形菜地的周长是36米，长和宽都是以米为单 位的整数，且都是质数。这块菜地的长和宽可能是多少米？（写出符合要求的所有情况）这块菜地的面积 最大是多少平方米？ 高频考点十九分解质因数 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江嘉兴·期末)把两根分别长12厘米、16厘米的木棒截成同样长的若 干段，不能有剩余，每段最长是( )厘米。 【变式训练24-25五年级下山东菏泽期末)小红在数学课外阅读中认识了“史密斯数”。如：27=3×3× 3,2+7=3+3+3,即27是“史密斯数”：51=3×17,5+1=6,3+1+7=11，而5+1≠3+1+7， 即51不是“史密斯数”。可以看出，把一个自然数分解质因数，必须所有质因数每个数位上的数字的和等 于原数每个数位上的数字的和，才能称这样的数为“史密斯数”。那么，在4、15、22、56这四个数中， 符合“史密斯数”特征的有( )。 高频考点二十百数表中的质数 【典例精讲】在下面6列的数表中，先圈出所有的质数，再回答问题。 1 2 3 4 5 6 7 6 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 (1)除了2,3两个质数外，其余的质数都在第( )列和第( )列。 (2)把这个表扩大到60，圈出全部质数。除了2,3两个质数外，它们都在第( )列和第( 列。 第12页共17页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 (3)淘淘发现：最小的两个质数相乘得6(2×3=6)，用6去除其他的质数，余数一定是1或5。这个结 论对吗？试一试。 【变式训练】(24-25五年级下·甘肃酒泉·期中)在下表中圈出所有的质数，并回答下面的问题。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 (1)除了2和3两个质数外， 其余的质数都在第( )列。 (2)如果把这个表扩大到100，圈出全部质数，它们都在第( )列。 (3)运用你所学的知识解释：质数为什么都会在这几列？ 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(25-26五年级下·新疆阿克苏·期末)下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是( )。 A.16和3 B.30和6 C.12和1.2 D.8和24 第13页共17页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 2.(25-26五年级下·新疆阿克苏·期末)小乐帮妈妈取快递，取件码是一个三位数，百位上的数字是最 小的合数，十位上的数字是最小的质数，个位上的数字是最小的偶数，这个取件码是( ）。 A.210 B.212 C.420 D.422 3.(24-25五年级下·陕西延安·期末)16的因数有( ),在这些因数中，最小的合数是( )既不是质数也不是合数。 4.(24-25五年级下·陕西延安·期末)在括号里写出每组数的最小公倍数。 3和5( 8和24( 4和6( 5.（24-25五年级下·安徽芜湖·期末)一个长方形的长是奇数，宽是偶数，它的周长一定是奇数。（) (判断对错) 6.(24-25五年级下·陕西渭南·期末)求下面每组数的最大公因数。 15和21 18和48 17和51 7.(24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期末)王老师买了45个乒乓球分装在甲、乙两个袋子里。如 果甲袋装的个数为偶数，那么乙袋装的个数是偶数还是奇数？ 8.(24-25五年级下·广东广州·期末)五(1)班同学们参加学校广播操比赛，站成12人一行或站成16 人一行，都少1人。已知全班总人数不够50人，五(1)班有多少名同学？ 9.(24-25五年级下·湖北武汉·期末)剪纸艺术是中国古老的民间传统技艺，承载着千年文化底蕴。剪 纸艺人用正方形红纸剪长方形窗花，每个窗花长24厘米、宽18厘米，材料无剩余，正方形红纸边长最短 是多少厘米？能剪多少个这样的窗花？ 第14页共17页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 10.(24-25五年级下·河北秦皇岛·期末)一张A3手工纸长42厘米、宽30厘米，然然想用它来折千纸 鹤，需要把这张手工纸裁成同样大小的正方形而且没有剩余。裁成的正方形边长最大是多少厘米？一张A3 手工纸能裁成多少张这样的正方形纸？（写出计算或思考过程） 【能力提升】 1.(24-25五年级下·浙江台州·期末)下面计算中，结果一定是偶数的是( ）。 A.奇数×奇数 B.奇数十偶数 C.偶数一奇数 D.奇数+奇数 2.(24-25五年级下·湖北荆州·期末)b、c和d是三个大于0的自然数，在b=c×d中，不一定成立的 是( )。 A.b一定是c的倍数 B.b一定是c和d的最小公倍数 C.b一定能被d整除 D.c一定是b的因数 3.(24-25五年级下·江苏南京·期末)小区道路一边每隔10米安装了一盏路灯，从头到尾共安装了31 盏。为了节约用电，现要改成每隔12米安装一盏。要求两端都不移动，中间还有( )盏不必移动。 A.3 B.4 C.5 D.6 4.(24-25五年级下·浙江台州·期末)每年6月5日是世界环境日，五(1)班同学手工制作了一些保护 环境的宣传标语，准备分组进社区张贴。如果每组张贴5条，会剩下2条；如果每组张贴6条，也会剩下2 条，那么他们至少制作了()条标语。 5.(24-25五年级下·安徽芜湖·期末)写出36的所有因数：（ )。这些因数中，既是 偶数又是质数的是( ),( )既不是质数又不是合数。 6.(24-25五年级下·甘肃武威·期末)求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和8 45和27 24和48 第15页共17页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 7.(24-25五年级下·湖北荆州·期末)有一个直角三角形，它的两条直角边的边长是两个不同的质数， 并且和是18厘米，这个三角形的面积可能是多少平方厘米？ 8.(24-25五年级下·陕西渭南·期末)为响应国家“体重管理年”的号召，乐乐一家坚持进行体育锻炼。 爸爸绕湖走一圈要用12分钟，乐乐绕湖走一圈要用18分钟。如果乐乐和爸爸两人同时从同一起点沿同一 方向出发，至少多少分钟后乐乐和爸爸在起点处再次相遇？此时爸爸走了几圈？ 9.(25-26五年级上·河南鹤壁·期末)自然数a一共有5个因数，把它们分别写在5张纸牌上，再按照 从小到大的顺序倒扣在桌面上（如下图）。 (1)现在不知道a是多少，但翻开一张纸牌后便可推测出a是多少。你会翻开从左数的第( )张纸牌。 理由( )。 (2)第几张纸牌不翻也知道它是几？ 第16页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 10.(25-26五年级上·广东韶关·期中)(1)韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽 都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ (2)花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数 量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 第17页共17页null2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 第七单元 倍数与因数『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+20个考点讲练展+真题难度分层演练 共60题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 因数与倍数 3 知识点二 2、5、3的倍数特征 4 知识点三：奇数与偶数 4 知识点四：质数与合数 4 知识点五：分解质因数 5 知识点六：最大公因数 5 知识点七：最小公倍数 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 因数和倍数的认识 6 高频考点二 找一个数的倍数及倍数的特征 6 高频考点三 根据倍数的特征解决问题 6 高频考点四 找一个数的因数及因数的特征 7 高频考点五 根据因数的特征解决问题 7 高频考点六 倍数和因数的综合应用 8 高频考点七 2、5的倍数特征 8 高频考点八 奇数与偶数的认识 9 高频考点九 运算性质（奇数和偶数) 9 高频考点十 3的倍数特征 9 高频考点十一 2、3、5的倍数特征综合 9 高频考点十二 9的倍数特征 10 高频考点十三 公因数与最大公因数 10 高频考点十四 用最大公因数解决实际问题 10 高频考点十五 公倍数与最小公倍数 11 高频考点十六 用最小公倍数解决实际问题 11 高频考点十七 质数与合数的认识 11 高频考点十八 质数与合数的综合应用 11 高频考点十九 分解质因数 12 高频考点二十 百数表中的质数 12 优选真题 实战演练 13 【基础通关】 13 【能力提升】 15 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三：奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四：质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 高频考点一 因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“亏数”，反之为“盈数”。例如，10除本身10以外，还有1、2、5三个因数，10＞1＋2＋5，所以10就是“亏数”。那么按此方法可知，36是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）在18÷6＝3中，( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。 高频考点二 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁鞍山·期末）18的因数有( )；12的最小倍数是( )。 【变式训练】（25-26五年级下·四川巴中·期末）某幼儿园在游戏课上，王老师有一些气球（不超过50个），如果每位小朋友分12个，正好分完。还可以怎么分也能正好分完，下面说法错误的是（    ）。 A．每位小朋友分5个 B．每位小朋友分6个 C．每位小朋友分4个 D．每位小朋友分3个 高频考点三 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】玲玲在分糖果时遇到了下面的问题。 一共有77颗糖果，自己留下了10颗，将其余的平均分给5个小朋友。 玲玲至少再留几颗糖果，就能使每个小朋友分到的糖果颗数是整数？结合文字或者算式等方式说明理由。 【变式训练】乐乐到花店买了3盆价格相同的马蹄莲，单价是整数，付给营业员100元，找回12元，乐乐说营业员算错了，营业员一查，发现多算了，多算的钱数是一个一位数的偶数，一盆马蹄莲的价格是多少元？ 高频考点四 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·河北秦皇岛·期末）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数最小是( )，最大是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·福建厦门·期末）古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如6有4个因数1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数，所以6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（    ）。 A．10 B．12 C．16 D．28 高频考点五 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏泰州·期末）古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，6＝1＋2＋3，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（    ）。 A．16 B．20 C．28 D．48 【变式训练】（25-26五年级上·广东佛山·阶段检测）笑笑家客厅是长方形，长是7.2米，宽是4米。 (1)现要把客厅铺地砖，要想地砖不要切开，全是整块铺在客厅里，选择下面三种地砖中的( )款才合适。 (2)算一算，如果这款合适的地砖每块重12.4千克，售价是68元/块，购买地砖至少需要多少元？ 高频考点六 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级下·山西晋中·期末）为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）敬老院的一位爷爷给同学们出了一道题：一种游戏棒每盒60根，如果用3根、4根、5根、6根小棒，分别能搭成等边三角形、正方形、正五边形和正六边形，我用一盒小棒搭了一些正方形和正六边形后，最后能剩下5根小棒吗？园园认为最后不能剩下5根小棒。你的观点呢？请说明理由。 高频考点七 2、5的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级下·四川巴中·期末）数学课上，老师说：“个位是0或5的数一定是5的倍数。”小明提出了一个疑问：“为什么只看个位就能判断？比如150，个位是0，它确实是5的倍数；但个位是0或5这个结论能适用于所有数吗？比如像12345、98760这样的大数，难道不用看其他数位吗？” 【变式训练】（24-25五年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）五（2）班来了两位有经验的听课教师，他们的年龄都在40岁到60岁之间，两人相差4岁，而且每人年龄的十位与个位上的数字之和都是5的倍数，那么较年长的老师是（    ）岁。 A．41 B．46 C．50 D．55 高频考点八 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·甘肃天水·期末）三个连续奇数的和是57。这三个奇数中最大数是( )。最小数是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·广东潮州·期末）已知a是非0自然数，那么( )一定是偶数，( )一定是奇数。 高频考点九 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江嘉兴·期末）是大于0的自然数，选项（    ）的结果一定是偶数。 A． B． C． D． 【变式训练】（24-25五年级下·河北保定·期末）爷爷在菜地里摘了26棵白菜，小华帮忙把这些白菜装在5个竹筐里，爷爷要求每个竹筐里装的个数不同，并且个数都是奇数，按照爷爷的要求，小华能做到吗？为什么？ 高频考点十 3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）用1、2、3、5四张数字卡片组成三位数，既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )。既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是( )。 【变式训练】（25-26五年级下·海南省直辖县级单位·期末）古代人对年龄的称谓，往往避开直白的数字，而是借由富有文化韵味的文字来表达。例如，“不惑”代指四十岁，“花甲”表示六十岁，“古稀”代表七十岁，而“耄耋”（读作mào dié）则用以描述八九十岁的高龄。洋洋的爷爷今年已过古稀之年，未及耄耋之年，且年龄既是3的倍数又是5的倍数，那么爷爷今年是( )岁。 高频考点十一 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·湖北荆州·期末）一个六位数548能同时被2、3、5整除，这样的六位数中最大的是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·浙江台州·期末）一个三位数□2□，如果它是2和5的倍数，这个数最小是( )；如果它既是2和5的倍数，同时又是3的倍数，这个数最大是( )。 高频考点十二 9的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级下·广东佛山·期中）123各位上的数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？ 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 (1)先判断下面各数是否为9的倍数（对的在后面画“√”，错的在后面画“×”）。 693( )   239( )   990( ) (2)写出9的倍数特征：( )。 【变式训练】一个口袋里装有编号为1到8的8个球。现在将8个球随机地先后全部取出，从右到左排成一个8位数，比如63487521，它正好能被9整除。你知道这样随机排成的8位数，它能被9整除的概率是多少吗？ 高频考点十三 公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级下·湖北武汉·期末）对于非0的自然数a、b，如果3a＝b，那么a和b的最大公因数是( )。 【变式训练】（25-26五年级下·陕西商洛·期末）诚信装修队给学校装修“红领巾”广播室，需要用正方形艺术砖装饰一面长32分米、宽24分米的长方形文艺墙（用的砖全是整块的），这些正方形艺术砖的边长最大是( )分米，一共需要( )块这样的艺术砖。 高频考点十四 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）有一张长方形纸，长60cm，宽45cm。如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出正方形的边长最大是（    ）cm。 A．5 B．15 C．20 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）有一张长方形纸，长24厘米，宽18厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形边长最长是多少厘米？一共可以剪出多少个正方形？ 高频考点十五 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（24-25五年级下·福建福州·期末）如果一个数减1后是2、3、5的倍数，那么这个数最小是（    ）。 A．21 B．31 C．61 D．121 【变式训练】（24-25五年级下·河北秦皇岛·期末）运动会开幕式上，实验小学展示了多于80人、不足100人参加的团体操表演。变换队形时，每行12人或每行16人都能正好排成长方形队列。这支队伍共有( )人。 高频考点十六 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（25-26五年级下·陕西商洛·期末）五年级部分学生分小组跳绳比赛，4人一组、5人一组或6人一组，都没有剩余。五年级参加跳绳比赛的学生至少有( )人。 【变式训练】（24-25五年级下·河南郑州·期末）你知道“韩信点兵”的故事吗？韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韩信马上说出战后人数。战后人数是多少人？ 高频考点十七 质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·河南焦作·期末）哥德巴赫猜想中说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。请你将30写成两个质数的和。 30＝( )＋( )    30＝( )＋( )    30＝( )＋( ) 【变式训练】（24-25五年级下·河北秦皇岛·期末）下面说法不正确的是（    ）。 A．所有的质数中，除了2以外，都是奇数 B．一个数的最小倍数与它的最大因数相等 C．一个自然数越大，它的因数就越多 D．数字2、3、4、5组成的没有重复数字的两位数中，质数有3个 高频考点十八 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河南洛阳·期末）桌子上摆放了几盘饺子，每盘饺子的数量都相同。茜茜、轩轩和乐乐各自数出的饺子总数分别是，数对饺子数量的小朋友是( )。 【变式训练】（25-26五年级下·江苏苏州·期中）一块长方形菜地的周长是36米，长和宽都是以米为单位的整数，且都是质数。这块菜地的长和宽可能是多少米？（写出符合要求的所有情况）这块菜地的面积最大是多少平方米？ 高频考点十九 分解质因数 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江嘉兴·期末）把两根分别长12厘米、16厘米的木棒截成同样长的若干段，不能有剩余，每段最长是( )厘米。 【变式训练】（24-25五年级下·山东菏泽·期末）小红在数学课外阅读中认识了“史密斯数”。如：，，即27是“史密斯数”：，，，而，即51不是“史密斯数”。可以看出，把一个自然数分解质因数，必须所有质因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，才能称这样的数为“史密斯数”。那么，在4、15、22、56这四个数中，符合“史密斯数”特征的有( )。 高频考点二十 百数表中的质数 【典例精讲】在下面6列的数表中，先圈出所有的质数，再回答问题。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 （1）除了2，3两个质数外，其余的质数都在第（    ）列和第（    ）列。 （2）把这个表扩大到60，圈出全部质数。除了2，3两个质数外，它们都在第（    ）列和第（    ）列。 （3）淘淘发现：最小的两个质数相乘得6（2×3＝6），用6去除其他的质数，余数一定是1或5。这个结论对吗？试一试。 【变式训练】（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）在下表中圈出所有的质数，并回答下面的问题。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 （1）除了2和3两个质数外，其余的质数都在第（    ）列。 （2）如果把这个表扩大到100，圈出全部质数，它们都在第（    ）列。 （3）运用你所学的知识解释：质数为什么都会在这几列？ 【基础通关】 1．（25-26五年级下·新疆阿克苏·期末）下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是（    ）。 A．16和3 B．30和6 C．12和1.2 D．8和24 2．（25-26五年级下·新疆阿克苏·期末）小乐帮妈妈取快递，取件码是一个三位数，百位上的数字是最小的合数，十位上的数字是最小的质数，个位上的数字是最小的偶数，这个取件码是（    ）。 A．210 B．212 C．420 D．422 3．（24-25五年级下·陕西延安·期末）16的因数有( )，在这些因数中，最小的合数是( )，( )既不是质数也不是合数。 4．（24-25五年级下·陕西延安·期末）在括号里写出每组数的最小公倍数。 3和5( )    8和24( )    4和6( ) 5．（24-25五年级下·安徽芜湖·期末）一个长方形的长是奇数，宽是偶数，它的周长一定是奇数。( )（判断对错） 6．（24-25五年级下·陕西渭南·期末）求下面每组数的最大公因数。 15和21    18和48    17和51 7．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期末）王老师买了45个乒乓球分装在甲、乙两个袋子里。如果甲袋装的个数为偶数，那么乙袋装的个数是偶数还是奇数？ 8．（24-25五年级下·广东广州·期末）五（1）班同学们参加学校广播操比赛，站成12人一行或站成16人一行，都少1人。已知全班总人数不够50人，五（1）班有多少名同学？ 9．（24-25五年级下·湖北武汉·期末）剪纸艺术是中国古老的民间传统技艺，承载着千年文化底蕴。剪纸艺人用正方形红纸剪长方形窗花，每个窗花长24厘米、宽18厘米，材料无剩余，正方形红纸边长最短是多少厘米？能剪多少个这样的窗花？ 10．（24-25五年级下·河北秦皇岛·期末）一张A3手工纸长42厘米、宽30厘米，然然想用它来折千纸鹤，需要把这张手工纸裁成同样大小的正方形而且没有剩余。裁成的正方形边长最大是多少厘米？一张A3手工纸能裁成多少张这样的正方形纸？（写出计算或思考过程） 【能力提升】 1．（24-25五年级下·浙江台州·期末）下面计算中，结果一定是偶数的是（    ）。 A．奇数×奇数 B．奇数＋偶数 C．偶数－奇数 D．奇数＋奇数 2．（24-25五年级下·湖北荆州·期末）b、c和d是三个大于0的自然数，在中，不一定成立的是（    ）。 A．一定是的倍数 B．b一定是c和d的最小公倍数 C．b一定能被d整除 D．c一定是b的因数 3．（24-25五年级下·江苏南京·期末）小区道路一边每隔10米安装了一盏路灯，从头到尾共安装了31盏。为了节约用电，现要改成每隔12米安装一盏。要求两端都不移动，中间还有（    ）盏不必移动。 A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25五年级下·浙江台州·期末）每年6月5日是世界环境日，五（1）班同学手工制作了一些保护环境的宣传标语，准备分组进社区张贴。如果每组张贴5条，会剩下2条；如果每组张贴6条，也会剩下2条，那么他们至少制作了( )条标语。 5．（24-25五年级下·安徽芜湖·期末）写出36的所有因数：( )。这些因数中，既是偶数又是质数的是( )，( )既不是质数又不是合数。 6．（24-25五年级下·甘肃武威·期末）求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和8      45和27      24和48 7．（24-25五年级下·湖北荆州·期末）有一个直角三角形，它的两条直角边的边长是两个不同的质数，并且和是18厘米，这个三角形的面积可能是多少平方厘米？ 8．（24-25五年级下·陕西渭南·期末）为响应国家“体重管理年”的号召，乐乐一家坚持进行体育锻炼。爸爸绕湖走一圈要用12分钟，乐乐绕湖走一圈要用18分钟。如果乐乐和爸爸两人同时从同一起点沿同一方向出发，至少多少分钟后乐乐和爸爸在起点处再次相遇？此时爸爸走了几圈？ 9．（25-26五年级上·河南鹤壁·期末）自然数a一共有5个因数，把它们分别写在5张纸牌上，再按照从小到大的顺序倒扣在桌面上（如下图）。 (1)现在不知道a是多少，但翻开一张纸牌后便可推测出a是多少。你会翻开从左数的第( )张纸牌。理由( )。 (2)第几张纸牌不翻也知道它是几？ 10．（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 第七单元 倍数与因数『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+20个考点讲练展+真题难度分层演练 共60题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 因数与倍数 3 知识点二 2、5、3的倍数特征 4 知识点三：奇数与偶数 4 知识点四：质数与合数 4 知识点五：分解质因数 5 知识点六：最大公因数 5 知识点七：最小公倍数 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 因数和倍数的认识 6 高频考点二 找一个数的倍数及倍数的特征 6 高频考点三 根据倍数的特征解决问题 7 高频考点四 找一个数的因数及因数的特征 8 高频考点五 根据因数的特征解决问题 9 高频考点六 倍数和因数的综合应用 10 高频考点七 2、5的倍数特征 11 高频考点八 奇数与偶数的认识 13 高频考点九 运算性质（奇数和偶数) 13 高频考点十 3的倍数特征 14 高频考点十一 2、3、5的倍数特征综合 15 高频考点十二 9的倍数特征 16 高频考点十三 公因数与最大公因数 18 高频考点十四 用最大公因数解决实际问题 18 高频考点十五 公倍数与最小公倍数 19 高频考点十六 用最小公倍数解决实际问题 20 高频考点十七 质数与合数的认识 21 高频考点十八 质数与合数的综合应用 22 高频考点十九 分解质因数 23 高频考点二十 百数表中的质数 23 优选真题 实战演练 27 【基础通关】 27 【能力提升】 31 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三：奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四：质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 高频考点一 因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）如果一个数大于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“亏数”，反之为“盈数”。例如，10除本身10以外，还有1、2、5三个因数，10＞1＋2＋5，所以10就是“亏数”。那么按此方法可知，36是( )。 【答案】盈数 【思路引导】根据“亏数”的意义，找出36的所有因数（本身除外），再把这些因数相加，然后与36进行比较即可解答。 【规范解答】36除本身之外的所有因数：1、2、3、4、6、9、12、18； 把它们相加得到和为1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55， 55比36大，符合“盈数”的定义，所以36是盈数。 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）在18÷6＝3中，( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。 【答案】 18 6 3 6 3 18 【思路引导】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商就是被除数的因数。 【规范解答】在18÷6＝3中，18是6和3的倍数，6和3是18的因数。 高频考点二 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁鞍山·期末）18的因数有( )；12的最小倍数是( )。 【答案】 1、2、3、6、9、18 12 【思路引导】因数的定义是指整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数且没有余数，此时b就是a的因数。我们可以从1开始，按顺序列出所有乘积为18的整数乘法组合，每一组的两个乘数都是18的因数，过程中注意不要遗漏、重复。 根据倍数的基本性质：一个非零自然数的倍数是无限多的，其中最小的倍数就是这个数本身，不存在最大的倍数，直接套用该性质即可得到结果。 【规范解答】、、，18的因数为。 12的倍数有，其中最小的数值就是12本身，因此12的最小倍数是12。 【变式训练】（25-26五年级下·四川巴中·期末）某幼儿园在游戏课上，王老师有一些气球（不超过50个），如果每位小朋友分12个，正好分完。还可以怎么分也能正好分完，下面说法错误的是（    ）。 A．每位小朋友分5个 B．每位小朋友分6个 C．每位小朋友分4个 D．每位小朋友分3个 【答案】A 【思路引导】气球总数是不超过50的12的倍数，分别为12、24、36、48，只要分的个数能整除这几个数，就能正好分完，据此判断即可。 【规范解答】先求出不超过50的12的倍数：12×1＝12，12×2＝24，12×3＝36，12×4＝48，逐个验证选项： A．12÷5＝2⋯⋯2，24÷5＝4⋯⋯4，36÷5＝7⋯⋯1，48÷5＝9⋯⋯3，都不能整除，无法正好分完； B．12÷6＝2，24÷6＝4，36÷6＝6，48÷6＝8，都能整除，可以正好分完； C．12÷4＝3，24÷4＝6，36÷4＝9，48÷4＝12，都能整除，可以正好分完； D．12÷3＝4，24÷3＝8，36÷3＝12，48÷3＝16，都能整除，可以正好分完。 高频考点三 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】玲玲在分糖果时遇到了下面的问题。 一共有77颗糖果，自己留下了10颗，将其余的平均分给5个小朋友。 玲玲至少再留几颗糖果，就能使每个小朋友分到的糖果颗数是整数？结合文字或者算式等方式说明理由。 【答案】77－10＝67（颗）   67÷5＝13（颗）……2（颗） 玲玲至少再留2颗糖果，就能使每个小朋友分到的糖果颗数是整数。 【思路引导】先求出准备分给小朋友的糖果总数，要让每个小朋友分到整数颗，分出去的总数必须是5的倍数。据此说明理由。 【规范解答】77－10＝67（颗） 67÷5＝13（颗）……2（颗） 67颗分给5个小朋友，67不是5的倍数。离67最近、且比67小的5的倍数是65，余下的2颗就是需要再留下的数量，这样分出去的糖果能使每个小朋友分到的糖果颗数是整数。 【变式训练】乐乐到花店买了3盆价格相同的马蹄莲，单价是整数，付给营业员100元，找回12元，乐乐说营业员算错了，营业员一查，发现多算了，多算的钱数是一个一位数的偶数，一盆马蹄莲的价格是多少元？ 【答案】28元 【思路引导】因为买了3盆价格相同的马蹄莲，所以价格一定是3的倍数，多算的钱数是一位数的偶数，所以可能会多算2元、4元、6元、8元，以此解答即可。 【规范解答】100－12＝88（元） 如果多算2元，88－2＝86，86不是3的倍数。 如果多算4元，88－4＝84，84是3的倍数，每盆84÷3＝28（元）。 如果多算6元，88－6＝82，82不是3的倍数。 如果多算8元，88－8＝80，80不是3的倍数。 答：一盆马蹄莲的价格是28元。 高频考点四 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·河北秦皇岛·期末）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 9 54 【思路引导】根据题意，这个数需要同时满足两个条件：一是9的倍数，二是54的因数。解题思路是先分别列举出9的倍数和54的因数，然后找出这两个数列中公共的数，最后在这些公共数中确定最小值和最大值。 【规范解答】9的倍数：、、、、、 所以9的倍数有： 54的因数：、、、 所以54的因数有：。 找出既是9的倍数又是54的因数的数：。 最小的是，最大的是。 【变式训练】（24-25五年级下·福建厦门·期末）古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如6有4个因数1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数，所以6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（    ）。 A．10 B．12 C．16 D．28 【答案】D 【思路引导】先确定各选项中数字的因数，再结合“完全数”的特征判断。 【规范解答】A．10的因数有：1、2、5、10，1＋2＋5≠10，所以10不是“完全数”； B．12的因数有：1、2、3、4、6、12，1＋2＋3＋4＋6≠12，所以12不是“完全数”； C．16的因数有：1、2、4、8、16，1＋2＋4＋8≠16，所以16不是“完全数”； D．28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是“完全数”。 高频考点五 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏泰州·期末）古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，6＝1＋2＋3，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（    ）。 A．16 B．20 C．28 D．48 【答案】C 【思路引导】根据“完全数”的定义，分别找出每个数除本身以外的所有因数，计算它们的和，和等于原数的即为完全数。 【规范解答】A．16除本身外的因数有1、2、4、8，，，所以16不是完全数。 B．20除本身外的因数有1、2、4、5、10，，，所以20不是完全数。 C．28除本身外的因数有1、2、4、7、14，，所以28是完全数。 D． 48除本身外的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24，，，所以48不是完全数。 【变式训练】（25-26五年级上·广东佛山·阶段检测）笑笑家客厅是长方形，长是7.2米，宽是4米。 (1)现要把客厅铺地砖，要想地砖不要切开，全是整块铺在客厅里，选择下面三种地砖中的( )款才合适。 (2)算一算，如果这款合适的地砖每块重12.4千克，售价是68元/块，购买地砖至少需要多少元？ 【答案】(1)B (2)3060元 【思路引导】（1）先根据1米＝10分米，将米换算成分米，题干要求“地砖不切开、整块铺满”，也就是客厅的长能整除地砖对应边长，客厅的宽能整除地砖另一组边长，用长边长度÷地砖边长＝整数，宽边长度÷地砖另一边长＝整数，才能整块铺设； （2）用长边可铺数量乘宽边可铺数量，求出地砖块数，再用地砖块数乘每块单价，求出总费用。 【规范解答】（1）7.2米＝7.2×10＝72分米，4米＝4×10＝40分米 A款：边长为5分米的正方形： 72÷5＝14.4，不能整除，排除 ； B款：边长为8分米的正方形： 72÷8＝9；40÷8＝5，两个结果都是整数，符合要求； C款：长为12分米，宽为6分米的长方形： 尝试摆放： 方案①长边摆12：72÷12＝6，40÷6≈6.67，不符合要求 方案②长边摆6：72÷6＝12，40÷12≈3.33，不符合要求 因此选B款。 （2）72÷8＝9（块） 40÷8＝5（块） 9×5＝45（块） 45×68＝3060（元） 答：购买地砖至少需要3060元。 高频考点六 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级下·山西晋中·期末）为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 【答案】 6种；找出乘积为48，且两个乘数都不小于3的整数组合即可 【思路引导】排长方形队形时，总人数等于每行人数乘行数，需要找出所有乘积为48、且两个数都不小于3的正整数组合，组合的数量就是排法的种数。 【规范解答】先列出乘积为48的所有正整数乘法算式： 要求每行和每列人数都至少是3人，即两个乘数都大于等于3，符合条件的算式共有6个。 答：共有6种不同的排法。 【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）敬老院的一位爷爷给同学们出了一道题：一种游戏棒每盒60根，如果用3根、4根、5根、6根小棒，分别能搭成等边三角形、正方形、正五边形和正六边形，我用一盒小棒搭了一些正方形和正六边形后，最后能剩下5根小棒吗？园园认为最后不能剩下5根小棒。你的观点呢？请说明理由。 【答案】见详解 【思路引导】因为游戏棒每盒60根，60是偶数，爷爷用一盒小棒搭了一些正方形和正六边形，说明用的根数是4和6的倍数，用去的是偶数，剩下的小棒也是偶数，据此解答。 【规范解答】我同意园园的观点。60是偶数，爷爷用一盒小棒搭了一些正方形和正六边形，说明用的根数是4和6的倍数，用去的是偶数，剩下的小棒也应该是偶数，所以剩下的不是5根小棒，爷爷一定做错了。 高频考点七 2、5的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级下·四川巴中·期末）数学课上，老师说：“个位是0或5的数一定是5的倍数。”小明提出了一个疑问：“为什么只看个位就能判断？比如150，个位是0，它确实是5的倍数；但个位是0或5这个结论能适用于所有数吗？比如像12345、98760这样的大数，难道不用看其他数位吗？” 【答案】这个结论适用于所有整数。理由：任意整数都可以拆成“若干个十＋个位数字”的形式，若干个十组成的数是10的倍数，而10是5的倍数，因此这部分一定是5的倍数；所以整个数是否为5的倍数仅由个位数字决定，个位是0或5时，这个数就是5的倍数。 【思路引导】把任意一个整数拆成整十数加上个位数字，整十数都是10的倍数，10又是5的倍数，所以整十数部分一定是5的倍数，整个数是不是5的倍数，只需要看个位数字。 【规范解答】任意一个整数都可以拆分为“若干个十＋个位数字”， 例如：150＝15×10＋0，12345＝1234×10＋5，98760＝9876×10＋0。 因为10是5的倍数，所以“若干个十”这一部分一定是5的倍数。整个数由5的倍数与个位数字相加得到，只有个位数字是0或者5的时候，两数相加的结果才是5的倍数。 答：判断一个数是不是5的倍数，只需要看个位是否为0或5，这条规律对所有整数都成立。 【变式训练】（24-25五年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）五（2）班来了两位有经验的听课教师，他们的年龄都在40岁到60岁之间，两人相差4岁，而且每人年龄的十位与个位上的数字之和都是5的倍数，那么较年长的老师是（    ）岁。 A．41 B．46 C．50 D．55 【答案】C 【思路引导】由题意可得：年龄范围是40到60岁，十位数字只能是4或者5。先找出这个区间内，十位数字与个位数字之和是5的倍数的所有年龄，再从这些年龄里选出相差4岁的两个年龄，最后得出年纪较长的老师的年龄。 【规范解答】四十几岁，十位为4： 4＋1＝5（5是5的倍数），年龄41； 4＋6＝10（10是5的倍数），年龄46。 五十几岁，十位为5： 5＋0＝5（5是5的倍数），年龄50； 5＋5＝10（10是5的倍数），年龄55。 候选年龄：41、46、50、55。 50－46＝4，两位老师年龄为46岁、50岁。 年纪较长的是50岁。 高频考点八 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·甘肃天水·期末）三个连续奇数的和是57。这三个奇数中最大数是( )。最小数是( )。 【答案】 21 17 【思路引导】连续的相邻奇数之间相差2，假设中间数为a，则最小数为a－2，最大数为a＋2，它们的和是a－2＋a＋a＋2＝3a，即3个连续奇数的和是中间数的3倍，和÷3＝中间数，中间数＋2＝最大数，中间数－2＝最小数。 【规范解答】中间数：57÷3＝19 最大数：19＋2＝21 最小数：19－2＝17 【变式训练】（24-25五年级下·广东潮州·期末）已知a是非0自然数，那么( )一定是偶数，( )一定是奇数。 【答案】 【思路引导】（）根据偶数和奇数的定义，偶数是能被整除的数，奇数是不能被整除的数，非自然数的奇偶性只有奇数和偶数两种，可分是奇数、是偶数两类讨论。 （）一个算式如果可以写成乘一个整数，说明这个数里面含有因数，能够被整除，那么它就是偶数。 （）如果一个数是偶数加或者偶数减，就不再是的倍数，不能被整除，这样得到的结果就是奇数。 【规范解答】根据偶数的定义，是的倍数的数叫做偶数。 因为是非自然数，表示乘，即含有因数，是的倍数，所以一定是偶数。 根据奇数的定义，不是的倍数的数叫做奇数。 因为是偶数，表示比偶数大的数，不是的倍数，所以一定是奇数。 高频考点九 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江嘉兴·期末）是大于0的自然数，选项（    ）的结果一定是偶数。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，奇数－奇数＝偶数，偶数－奇数＝奇数。 【规范解答】A．2是偶数，当是奇数时，是偶数；当是偶数时，是偶数；所以一定是偶数； B．是偶数，1是奇数，奇数＋偶数＝奇数，所以一定是奇数； C．1是奇数，当是奇数时，是偶数；当是偶数时，是奇数；所以不一定是偶数； D．2是偶数，当是奇数时，是奇数；当是偶数时，是偶数；所以不一定是偶数。 【变式训练】（24-25五年级下·河北保定·期末）爷爷在菜地里摘了26棵白菜，小华帮忙把这些白菜装在5个竹筐里，爷爷要求每个竹筐里装的个数不同，并且个数都是奇数，按照爷爷的要求，小华能做到吗？为什么？ 【答案】不能，因为5个奇数相加结果还是奇数，而26是偶数，所以不能。 【思路引导】先根据奇数相加的奇偶规律，判断5个奇数相加的和是奇数还是偶数，再把这个结果和白菜总棵数26（偶数）的奇偶性进行对比，如果奇偶性不一致，就不能按照要求分装。 【规范解答】根据奇偶运算规律：奇数＋奇数＝偶数。 把5个奇数两两分组，前4个奇数可以分成两组，每组两个奇数，两组的和都是偶数；偶数加偶数得到偶数，再加上剩下的1个奇数，最终的和一定是奇数。 题目里白菜一共有26棵，26是偶数，奇数不可能等于偶数，所以做不到。 答：不能做到。因为5个不同的奇数相加，总和一定是奇数，26是偶数，所以无法分装。 高频考点十 3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）用1、2、3、5四张数字卡片组成三位数，既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )。既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是( )。 【答案】 132 315 【思路引导】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位是0或5的数是5的倍数；根据题意要使组成的最小三位数既是2的倍数，又是3的倍数，百位是1，个位必须是2，三个数字之和要能被3整除；要使组成的最大三位数既是3的倍数，又是5的倍数，个位必须是5，三个数字之和要能被3整除，百位尽量选大数。据此解答。 【规范解答】百位是1，个位是2，此时可能组成的三位数是：132，152； 1＋2＋3＝6，6÷3＝2；所以132符合； 1＋2＋5＝8，8÷3＝2……2；所以152不符合； 因此，既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是132。 个位是5，百位数字最大是3；此时可能组成的三位数是：315，325； 5＋3＋1＝9，9÷3＝3；所以315符合； 5＋3＋2＝10，10÷3＝3……1；所以325不符合； 因此，既是3的倍数，又是5的倍数的最大三位数是315。 【变式训练】（25-26五年级下·海南省直辖县级单位·期末）古代人对年龄的称谓，往往避开直白的数字，而是借由富有文化韵味的文字来表达。例如，“不惑”代指四十岁，“花甲”表示六十岁，“古稀”代表七十岁，而“耄耋”（读作mào dié）则用以描述八九十岁的高龄。洋洋的爷爷今年已过古稀之年，未及耄耋之年，且年龄既是3的倍数又是5的倍数，那么爷爷今年是( )岁。 【答案】75 【思路引导】洋洋的爷爷今年已过古稀之年，未及耄耋之年，说明在70至80岁之间。 因为爷爷的年龄既是3的倍数又是5的倍数， 所以爷爷的年龄是3和5的公倍数。 因为3和5互质，它们的最小公倍数是3×5＝15。列举15的倍数：15、30、45、60、75、90，在70至80之间的是75，所以爷爷今年是75岁。 【规范解答】根据分析：爷爷今年是75岁。 高频考点十一 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·湖北荆州·期末）一个六位数548能同时被2、3、5整除，这样的六位数中最大的是( )。 【答案】548970 【思路引导】 要使六位数548同时被2、3、5整除。首先，能同时被2和5整除的数，个位一定是0；再根据被3整除的规则：各个数位的数的和是3的倍数。题目要求这个数最大，就要从高位到低位依次选尽可能大的数字，最后验证数的和是否为3的倍数。 【规范解答】 同时被2、5整除，个位必须是0，即六位数为：5480。 已知前三位数字和是5＋4＋8＝17，想要数最大，百位先选最大数字9，此时总和是17＋9＝26。 26加上十位上的数，和必须是3的倍数，此时十位上从9往下试数： 26＋9＝35，35不是3的倍数； 26＋8＝34，34不是3的倍数； 26＋7＝33，33÷3＝11，33是3的倍数； 所以十位选7。因此这个最大六位数是548970。 【变式训练】（24-25五年级下·浙江台州·期末）一个三位数□2□，如果它是2和5的倍数，这个数最小是( )；如果它既是2和5的倍数，同时又是3的倍数，这个数最大是( )。 【答案】 120 720 【思路引导】因为同时是和的倍数的数个位必须是，所以先确定这个三位数的个位数字，如果要让三位数最小，那么百位最小是，结合已经确定的个位和已知的十位数字，即可得到对应数。 先结合和的倍数特征确定个位是，再根据的倍数特征：各位数字之和是的倍数，确定百位可填的最大数字，结合已知十位数字得到最大的数。 【规范解答】百位尽可能取最小非数字，百位填，个位为 一个三位数，如果它是和的倍数，这个数最小是。 同时是、、的倍数：个位是 的倍数：各位数字之和是的倍数。 ，不是的倍数 ，不是的倍数 ，是的倍数 所以百位是 如果它既是和的倍数，同时又是的倍数，这个数最大是 高频考点十二 9的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级下·广东佛山·期中）123各位上的数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？ 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 (1)先判断下面各数是否为9的倍数（对的在后面画“√”，错的在后面画“×”）。 693( )   239( )   990( ) (2)写出9的倍数特征：( )。 【答案】(1) √ × √ (2)一个数各个位上的数字和能被9整除，这个数就是9的倍数。 【思路引导】（1）分别用各数除以9，能整除的，就是9的倍数。 （2）根据数的意义，把9的倍数的数改写成几个百，几个十，几个一组成，再根据乘法分配律改写成与9的倍数相关的式子，据此解答。 【规范解答】（1）693÷9＝77，693能被9整除，是9的倍数； 239÷9＝26……5，239不能被9整除，不是9的倍数； 990÷9＝110，990能被9整除，是9的倍数。 693（√）   239（×）    990（√） （2）693＝6×100＋9×10＋3 ＝6×（99＋1）＋9×（9＋1）＋3 ＝6×99＋6＋9×9＋9＋3 其中6×99和9×9一定是9的倍数，剩下只需要看“6＋9＋3”，也就是693“各个数位上的数字和”是否为9的倍数；6＋9＋3＝18，18是9的倍数，所以693一定是9的倍数。 一个数各个数位上的数字和能被9整除，这个数就是9的倍数。 【变式训练】一个口袋里装有编号为1到8的8个球。现在将8个球随机地先后全部取出，从右到左排成一个8位数，比如63487521，它正好能被9整除。你知道这样随机排成的8位数，它能被9整除的概率是多少吗？ 【答案】100%。 【思路引导】因为无论先摸出哪个球，最后都是用1到8这8个数字组成8位数，又知道1到8这8个数字的和是：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝（1＋8）＋（2＋7）＋（3＋6）＋（4＋5）＝9＋9＋9＋9＝36 36能被9整除，所以1到8这8个数字组成的8位数都能被9整除，也就是说这样随机排成的8位数，能被9整除的概率是100%。 【规范解答】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8 ＝（1＋8）＋（2＋7）＋（3＋6）＋（4＋5） ＝9＋9＋9＋9 ＝36 36÷9＝4 36肯定能被9整除，则由1到8组成的任意的八位数都能被9整除。 答：它能被9整除的概率是100%。 高频考点十三 公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级下·湖北武汉·期末）对于非0的自然数a、b，如果3a＝b，那么a和b的最大公因数是( )。 【答案】a 【思路引导】已知3a＝b，说明b是a的3倍，两个非0自然数如果是倍数关系，它们的最大公因数是其中较小的那个数。 【规范解答】已知b是a的倍数，所以a、b的最大公因数是a。 【变式训练】（25-26五年级下·陕西商洛·期末）诚信装修队给学校装修“红领巾”广播室，需要用正方形艺术砖装饰一面长32分米、宽24分米的长方形文艺墙（用的砖全是整块的），这些正方形艺术砖的边长最大是( )分米，一共需要( )块这样的艺术砖。 【答案】 8 12 【思路引导】要用整块的正方形艺术砖铺满长方形墙面，正方形砖的边长必须既是长方形长的因数，也是宽的因数，即长和宽的公因数。要求边长最大，即求长和宽的最大公因数。求出边长后，分别计算长和宽各能铺多少块，再相乘得到总块数。 【规范解答】32的因数：1、2、4、8、16、32； 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24； 32和24的最大公因数是8，所以正方形艺术砖的边长最大8分米。 （块） 所以这些正方形艺术砖的边长最大是8分米，一共需要12块这样的艺术砖。 高频考点十四 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）有一张长方形纸，长60cm，宽45cm。如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出正方形的边长最大是（    ）cm。 A．5 B．15 C．20 【答案】B 【思路引导】要剪成同样大小的正方形且没有剩余，正方形的边长必须是长和宽的公因数，要求边长最大，就是求长和宽的最大公因数，可以利用分解质因数的方法计算。 【规范解答】 60和45的最大公因数是： 所以剪出的正方形边长最大是15cm。 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁抚顺·期末）有一张长方形纸，长24厘米，宽18厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形边长最长是多少厘米？一共可以剪出多少个正方形？ 【答案】6厘米；12个 【思路引导】要剪出同样大小且没有剩余的正方形，边长最长即是长方形长和宽的最大公因数；用长、宽分别除以边长，得到两个方向的正方形数量，相乘得到总个数。 【规范解答】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数：2×3＝6（厘米） 24÷6＝4（个） 18÷6＝3（个） 4×3＝12（个） 答：剪出的正方形边长最长是6厘米，一共可以剪出12个正方形。 高频考点十五 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（24-25五年级下·福建福州·期末）如果一个数减1后是2、3、5的倍数，那么这个数最小是（    ）。 A．21 B．31 C．61 D．121 【答案】B 【思路引导】先求出2、3、5的最小公倍数，再加1即可得到满足条件的最小数。 【规范解答】2、3、5互质，所以2、3、5的最小公倍数为： 所求的数为： 【变式训练】（24-25五年级下·河北秦皇岛·期末）运动会开幕式上，实验小学展示了多于80人、不足100人参加的团体操表演。变换队形时，每行12人或每行16人都能正好排成长方形队列。这支队伍共有( )人。 【答案】96 【思路引导】由题意可知，总人数是和的公倍数。先求出和的最小公倍数，再找出在到之间的公倍数即可。 【规范解答】 12和16的最小公倍数是： 列举和的公倍数：、、…… 所以，这支队伍共有96人。 高频考点十六 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（25-26五年级下·陕西商洛·期末）五年级部分学生分小组跳绳比赛，4人一组、5人一组或6人一组，都没有剩余。五年级参加跳绳比赛的学生至少有( )人。 【答案】60 【思路引导】参加跳绳比赛的学生人数能同时被4、5、6整除，也就是4、5、6的公倍数。求至少有多少人，就是求4、5、6的最小公倍数。 【规范解答】4＝2×2； 5是质数，不用分解； 6＝2×3； 最小公倍数＝2×2×3×5＝60。 参加跳绳比赛的学生至少有60人。 【变式训练】（24-25五年级下·河南郑州·期末）你知道“韩信点兵”的故事吗？韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韩信马上说出战后人数。战后人数是多少人？ 【答案】314人 【思路引导】把“每排多几人”的条件转化为总人数加1后能同时被3、5、7整除，即战后人数比3、5、7的公倍数少1，如果几个数为互质数，最小公倍数就是几个数的乘积；求出3、5、7的最小公倍数， 再结合原有350人、战死几十人的范围，筛选出符合条件的人数。 【规范解答】3人一排多2人，说明战后人数加1是3的倍数； 5人一排多4人，说明战后人数加1是5的倍数； 7人一排多6人，说明战后人数加1是7的倍数； 因此战后人数加1是3、5、7的公倍数。 3、5、7是互质数，最小公倍数为3×5×7＝105 战死几十人，说明战后人数大于250人且小于350人。 105×3＝315 315－1＝314（人） 答：战后人数是314人。 高频考点十七 质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·河南焦作·期末）哥德巴赫猜想中说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。请你将30写成两个质数的和。 30＝( )＋( )    30＝( )＋( )    30＝( )＋( ) 【答案】 【思路引导】质数：只有1和它本身两个因数的数。从小到大列举小于30的质数，从中找出两组相加等于30的质数组合。 【规范解答】小于30的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29 依次尝试相加可得： 7＋23＝30 11＋19＝30 13＋17＝30 【变式训练】（24-25五年级下·河北秦皇岛·期末）下面说法不正确的是（    ）。 A．所有的质数中，除了2以外，都是奇数 B．一个数的最小倍数与它的最大因数相等 C．一个自然数越大，它的因数就越多 D．数字2、3、4、5组成的没有重复数字的两位数中，质数有3个 【答案】C 【思路引导】逐一判断每个选项的说法是否正确，找出错误选项即可。 【规范解答】A．质数的因数只有1和它本身，大于2的偶数都有因数2，都不是质数，因此所有质数中除2外都是奇数，A说法正确。 B．一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，二者相等，B说法正确。 C．举反例：自然数11比10大，10的因数有1、2、5、10共4个，11的因数只有1、11共2个，可见自然数越大，因数不一定越多，C说法错误。 D．用2、3、4、5组成的无重复数字的两位数中，个位是偶数或5的数都不是质数，仅个位为3的数可能为质数，符合条件的有23、43、53，共3个，D说法正确。 高频考点十八 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河南洛阳·期末）桌子上摆放了几盘饺子，每盘饺子的数量都相同。茜茜、轩轩和乐乐各自数出的饺子总数分别是，数对饺子数量的小朋友是( )。 【答案】轩轩 【思路引导】每盘饺子的数量相同，求饺子总数应能平均分成几盘，这个数应该是合数。29和41都是质数，不能平均分成几盘；32可以平均分成若干盘。 【规范解答】29只有1和29两个因数，不能平均分成几盘。 32可以平均分成4盘，每盘8个：4×8＝32。 41只有1和41两个因数，不能平均分成几盘。 所以数对饺子数量的是轩轩。 【变式训练】（25-26五年级下·江苏苏州·期中）一块长方形菜地的周长是36米，长和宽都是以米为单位的整数，且都是质数。这块菜地的长和宽可能是多少米？（写出符合要求的所有情况）这块菜地的面积最大是多少平方米？ 【答案】长和宽可能是13米和5米或长和宽可能是11米和7米；面积最大是77平方米 【思路引导】长方形周长＝（长＋宽）×2；长＋宽＝周长÷2，用36÷2＝18，求出长和宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此求出18以内的质数，再求出两个质数的和是18；再根据长方形面积＝长×宽，据此求出菜地的最大面积。 【规范解答】36÷2＝18（米） 18以内的质数：2，3，5，7，11，13，17。 5＋13＝18，7＋11＝18； 长方形的长和宽可能是13米和5米，或长和宽可能是11米和7米。 面积：13×5＝65（平方米） 11×7＝77（平方米） 65＜77，最大面积是77平方米。 答：这块菜地的长和宽可能是13米和5米或长和宽可能是11米和7米，这块菜地的最大面积是77平方米。 高频考点十九 分解质因数 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江嘉兴·期末）把两根分别长12厘米、16厘米的木棒截成同样长的若干段，不能有剩余，每段最长是( )厘米。 【答案】4 【思路引导】求每段最长长度，实际就是求这两个长度数值的最大公因数。利用分解质因数的方法，求出最大公因数，即可解答。 【规范解答】 12和16的最大公因数是。 所以每段最长是4厘米。 【变式训练】（24-25五年级下·山东菏泽·期末）小红在数学课外阅读中认识了“史密斯数”。如：，，即27是“史密斯数”：，，，而，即51不是“史密斯数”。可以看出，把一个自然数分解质因数，必须所有质因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，才能称这样的数为“史密斯数”。那么，在4、15、22、56这四个数中，符合“史密斯数”特征的有( )。 【答案】4、22 【思路引导】根据“史密斯数”定义，逐个对数字分解质因数，分别算出原数各位数字之和、所有质因数各位数字之和，对比两者是否相等，相等即为史密斯数。 【规范解答】4分解质因数：4＝2×2 原数各位和：4，质因数各位和：2＋2＝4，4＝4，是史密斯数。 15分解质因数：15＝3×5 原数各位和：1＋5＝6，质因数各位和：3＋5＝8，6≠8，不是史密斯数。 22分解质因数：22＝2×11，原数各位和：2＋2＝4，质因数各位和：2＋1＋1＝3＋1＝4，4＝4，是史密斯数。 56分解质因数：56＝2×2×2×7，原数各位和：5＋6＝11，质因数各位和：2＋2＋2＋7＝4＋9＝13，11≠13，不是史密斯数。 高频考点二十 百数表中的质数 【典例精讲】在下面6列的数表中，先圈出所有的质数，再回答问题。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 （1）除了2，3两个质数外，其余的质数都在第（    ）列和第（    ）列。 （2）把这个表扩大到60，圈出全部质数。除了2，3两个质数外，它们都在第（    ）列和第（    ）列。 （3）淘淘发现：最小的两个质数相乘得6（2×3＝6），用6去除其他的质数，余数一定是1或5。这个结论对吗？试一试。 【答案】 （1）1；5 （2） 1；5 （3）5÷6＝0……5；7÷6＝1……1；11÷6＝1……5；13÷6＝2……1；17÷6＝2……5；19÷6＝3……1；23÷6＝3……5；29÷6＝4……5；31÷6＝5……1；37÷6＝6……1；41÷6＝6……5；43÷6＝7……1；47÷6＝7……5；53÷6＝8……5；59÷6＝9……5。 除了2和3以外的其他质数，除以6得到的余数一定是1或5，这个结论是对的。 【思路引导】先根据质数的定义：只有1和它本身两个因数的数，圈出对应范围内的质数，找到除2、3之外其余质数所在的列；第三问通过举例和分析除以6的余数可能情况验证结论。 【规范解答】（1）1~48中的质数有： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47。在表格中圈出所有质数。 数表共6列，除2、3外，其余质数都在第1列和第5列。 （2）数表扩大到60，49~60中的质数增加53、59。扩大表格，圈出增加的质数。 根据质数分布规律，除2、3外，所有质数都在第1列和第5列。 （3）举例验证： …… 一个数除以6，余数可能是0、1、2、3、4、5：余数为0、2、4的数是2的倍数，大于2的2的倍数都是合数；余数为3的数是3的倍数，大于3的3的倍数都是合数；因此，除2、3外的质数除以6，余数只能是1或5，结论正确。 【变式训练】（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）在下表中圈出所有的质数，并回答下面的问题。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 （1）除了2和3两个质数外，其余的质数都在第（    ）列。 （2）如果把这个表扩大到100，圈出全部质数，它们都在第（    ）列。 （3）运用你所学的知识解释：质数为什么都会在这几列？ 【答案】（1）1和5 （2）1和5 （3）因为第2、4、6列都是2的倍数，第3列是3的倍数，除了2和3以外，质数不能是2或3的倍数，所以只能在第1列和第5列。 【思路引导】根据质数只有1和它本身两个因数的数，在表中找出所有的质数。观察这些质数所在的列数，发现除了2和3以外，其余质数均分布在第1列和第5列。第2、4、6列的数个位是偶数，都是2的倍数；第3列的数各位数字之和是3的倍数，都是3的倍数。根据质数的定义可知，大于3的质数不能是2或3的倍数，因此推断出若表扩大到100，质数依然分布在第1列和第5列。 【规范解答】（1）根据质数的定义，在表中圈出的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43。 观察这些质数所在的列： 2在第2列，3在第3列。 5在第5列，7在第1列，11在第5列，13在第1列，17在第5列，19在第1列，23在第5列，29在第5列，31在第1列，37在第1列，41在第5列。 可以看出，除了2和3两个质数外，其余的质数都在第1列和第5列。 （2）把这个表扩大到100，数的排列规律不变，每行6个数。 第2、4、6列的数都是偶数，是2的倍数，除了2以外，偶数都是合数。 第3列的数都是3的倍数，除了3以外，3的倍数都是合数。 因此，大于3的质数只能出现在第1列和第5列。 所以，圈出全部质数，它们都在第1列和第5列。 （3）解释如下： 在这个表中，每一行有6个数。 第2列、第4列、第6列中的数都是偶数，都能被2整除。除了质数2以外，其他的偶数都是合数。 第3列中的数都能被3整除。除了质数3以外，其他的3的倍数都是合数。 第1列和第5列中的数，既不是2的倍数，也不是3的倍数（1除外，1既不是质数也不是合数）。 所以，除了2和3以外，其余的质数都会在第1列和第5列。 【基础通关】 1．（25-26五年级下·新疆阿克苏·期末）下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是（    ）。 A．16和3 B．30和6 C．12和1.2 D．8和24 【答案】B 【思路引导】如果（a、b、c均是不为0的自然数），商是整数且没有余数，我们就说a是b和c的倍数，b和c是a的因数。 逐一判断每个选项里的两个数是否都是整数，不符合的直接排除。 对剩下的符合整数要求的选项，判断第一个数除以第二个数的商是否为没有余数的整数，如果是，那么第一个数就是第二个数的倍数。 【规范解答】A．，商不是整数，不符合要求； B．，商是整数且没有余数，两个数都是整数，符合倍数定义； C．1.2是小数，不满足倍数概念中数为整数的要求，不符合； D．，商不是整数，不符合要求。 第一个数是第二个数的倍数的是B。 2．（25-26五年级下·新疆阿克苏·期末）小乐帮妈妈取快递，取件码是一个三位数，百位上的数字是最小的合数，十位上的数字是最小的质数，个位上的数字是最小的偶数，这个取件码是（    ）。 A．210 B．212 C．420 D．422 【答案】C 【思路引导】除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此分别找到最小的合数、最小的质数、最小的偶数，对应三位数的百位、十位、个位，组合后得到取件码。 【规范解答】最小的合数是4，对应百位数字为4；最小的质数是2，对应十位数字为2；最小的偶数是0，对应个位数字为0；组合得到这个三位数是420。这个取件码是420。 3．（24-25五年级下·陕西延安·期末）16的因数有( )，在这些因数中，最小的合数是( )，( )既不是质数也不是合数。 【答案】 1、2、4、8、16 4 1 【思路引导】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【规范解答】16＝1×16＝2×8＝4×4 16的因数有1、2、4、8、16；合数有4、8、16，最小的合数是4；1既不是质数也不是合数。 4．（24-25五年级下·陕西延安·期末）在括号里写出每组数的最小公倍数。 3和5( )    8和24( )    4和6( ) 【答案】 15 24 12 【思路引导】两数互质，最小公倍数是两数的积；两数成倍数关系，最小公倍数是较大数；全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【规范解答】3和5是互质数，3×5＝15，3和5的最小公倍数是15； 24÷8＝3，24是8的3倍，8和24的最小公倍数是24； 4＝2×2、6＝2×3，2×2×3＝12，4和6的最小公倍数是12。 5．（24-25五年级下·安徽芜湖·期末）一个长方形的长是奇数，宽是偶数，它的周长一定是奇数。( ) 【答案】× 【思路引导】长方形的周长＝（长＋宽）×2，任意自然数乘2的结果都是偶数，所以周长一定是偶数，题目说法错误。 【规范解答】根据长方形周长公式：（其中表示长，表示宽）。已知是奇数，是偶数，奇数＋偶数＝奇数，所以的和是奇数。任意自然数乘2的积都是偶数，所以的积是偶数，即周长是偶数，原题说法错误。 故答案为：× 6．（24-25五年级下·陕西渭南·期末）求下面每组数的最大公因数。 15和21    18和48    17和51 【答案】3；6；17 【思路引导】将每组的两个数都分解质因数，找出它们公有的质因数并相乘，就是两个数的最大公因数。 【规范解答】15＝3×5 21＝3×7 15和21的最大公因数是3。 18＝2×3×3 48＝2×2×2×2×3 18和48公有的质因数是2和3，它们的最大公因数是2×3＝6。 17是质数 51＝17×3 17和51的最大公因数是17。 7．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期末）王老师买了45个乒乓球分装在甲、乙两个袋子里。如果甲袋装的个数为偶数，那么乙袋装的个数是偶数还是奇数？ 【答案】奇数 【思路引导】总个数是奇数，乙袋个数为总个数减甲袋个数，根据奇偶运算性质判断奇数减偶数的结果，就能得出结论。 【规范解答】是奇数，甲袋装的个数为偶数。 奇数－偶数＝奇数 答：乙袋装的个数是奇数。 8．（24-25五年级下·广东广州·期末）五（1）班同学们参加学校广播操比赛，站成12人一行或站成16人一行，都少1人。已知全班总人数不够50人，五（1）班有多少名同学？ 【答案】 名 【思路引导】全班人数加后是和的公倍数，找出以内和的公倍数，减即可得到总人数。 【规范解答】 （名） （名） 答：五（）班有名同学。 9．（24-25五年级下·湖北武汉·期末）剪纸艺术是中国古老的民间传统技艺，承载着千年文化底蕴。剪纸艺人用正方形红纸剪长方形窗花，每个窗花长24厘米、宽18厘米，材料无剩余，正方形红纸边长最短是多少厘米？能剪多少个这样的窗花？ 【答案】72厘米；12个 【思路引导】要让长方形窗花刚好铺满正方形红纸、材料没有剩余，正方形的边长必须同时是窗花长24厘米、宽18厘米的倍数，要最短的边长，其实就是求24和18的最小公倍数。利用分解质因数计算出最小公倍数，然后再分别除以窗花的长和宽，再相乘即可得出能剪的数量。 【规范解答】18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 2×2×2×3×3＝72 所以最短边长是72厘米。 72÷24＝3（个） 72÷18＝4（个） 3×4＝12（个） 答：正方形纸边长最短是72厘米，能剪12个这样的窗花。 10．（24-25五年级下·河北秦皇岛·期末）一张A3手工纸长42厘米、宽30厘米，然然想用它来折千纸鹤，需要把这张手工纸裁成同样大小的正方形而且没有剩余。裁成的正方形边长最大是多少厘米？一张A3手工纸能裁成多少张这样的正方形纸？（写出计算或思考过程） 【答案】 42和30的最大公因数： （张） 所以，裁成的正方形边长最大是6厘米，一张A3手工纸能裁成35张这样的正方形纸。 【思路引导】裁成同样大小且无剩余的正方形，最大边长是手工纸长和宽的最大公因数；用长、宽分别除以最大边长，得到长、宽方向的正方形个数，相乘即为总张数。 【规范解答】 42和30的最大公因数： 即正方形边长最大是6厘米。 （张） 答：裁成的正方形边长最大是6厘米；一张A3手工纸能裁成35张这样的正方形纸。 【能力提升】 1．（24-25五年级下·浙江台州·期末）下面计算中，结果一定是偶数的是（    ）。 A．奇数×奇数 B．奇数＋偶数 C．偶数－奇数 D．奇数＋奇数 【答案】D 【思路引导】利用奇数和偶数的运算性质：奇数×奇数＝奇数，奇数＋偶数＝奇数，偶数−奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数。逐个选项举例验证，筛选出结果一定是偶数的选项。 【规范解答】A．奇数×奇数：例如3×5＝15，结果是奇数，不符合题目要求。 B．奇数＋偶数：例如5＋4＝9，结果是奇数，不符合题目要求。 C．偶数－奇数：例如10‑3＝7，结果是奇数，不符合题目要求。 D．奇数＋奇数：例如7＋3＝10，结果是偶数，符合题目要求。 2．（24-25五年级下·湖北荆州·期末）b、c和d是三个大于0的自然数，在中，不一定成立的是（    ）。 A．一定是的倍数 B．b一定是c和d的最小公倍数 C．b一定能被d整除 D．c一定是b的因数 【答案】B 【思路引导】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数，这两个乘数都是积的因数，如果两个数相除的商是正整数，则被除数能被除数整除。 【规范解答】A．由b＝c×d，得b÷c＝d，且b、c、d都是大于0的自然数，因此b一定是c的倍数，说法成立。 B．若c＝2，d＝3，则b＝2×3＝6，b是c和d的最小公倍数，若c＝2，d＝4，则b＝2×4＝8，2和4的最小公倍数是4，不是8，因此该说法不一定成立。 C．由b＝c×d得b÷d＝c，c是自然数，因此b一定能被d整除，说法成立。 D．因为b＝c×d,且b、c和d是三个大于0的自然数，所以c一定是b的因数，说法成立。 3．（24-25五年级下·江苏南京·期末）小区道路一边每隔10米安装了一盏路灯，从头到尾共安装了31盏。为了节约用电，现要改成每隔12米安装一盏。要求两端都不移动，中间还有（    ）盏不必移动。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】先根据原路灯的安装规则算出小区道路总长度：从头到尾装路灯，间隔数＝路灯数1，结合原间隔10米求出路长。 找出不必移动的路灯位置规律：同时是10和12的公倍数的位置，路灯不需要移动，先求两个数的最小公倍数。 用总路长除以最小公倍数，得到所有不必移动的路灯总数量，再减去末端的那1盏，就是中间不必移动的数量。 【规范解答】（个） （米） （个） （盏） 对比各选项应选B。 4．（24-25五年级下·浙江台州·期末）每年6月5日是世界环境日，五（1）班同学手工制作了一些保护环境的宣传标语，准备分组进社区张贴。如果每组张贴5条，会剩下2条；如果每组张贴6条，也会剩下2条，那么他们至少制作了( )条标语。 【答案】32 【思路引导】标语总数减去剩余的2条后，所得的数是5和6的公倍数，要找最少的标语总数，所以需要先求5和6的最小公倍数。用求出的最小公倍数加上剩余的2条，就能得到至少制作的标语数量。 【规范解答】和是互质数，最小公倍数是： （条） 5．（24-25五年级下·安徽芜湖·期末）写出36的所有因数：( )。这些因数中，既是偶数又是质数的是( )，( )既不是质数又不是合数。 【答案】 1，2，3，4，6，9，12，18，36 2 1 【思路引导】求一个数的因数，就想哪两个非0自然数相乘等于这个数，则相乘的两个数就是该数的因数，如果相乘的两数相同，写一个即可；是2的倍数的数叫偶数（0也是偶数）； 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；1既不是质数又不是合数。 【规范解答】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 所以36的所有因数为：1，2，3，4，6，9，12，18，36；这些因数中，既是偶数又是质数的是2，1既不是质数又不是合数。 6．（24-25五年级下·甘肃武威·期末）求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和8      45和27      24和48 【答案】7和8的最大公因数是，最小公倍数是； 45和27的最大公因数是，最小公倍数是； 24和48的最大公因数是，最小公倍数是。 【思路引导】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【规范解答】7和8是互质数， 7和8的最大公因数是；最小公倍数是7×8＝； 45＝3×3×5 27＝3×3×3 45和27的最大公因数是3×3＝9；最小公倍数是3×3×5×3＝135； 48是24的倍数； 24和48的最大公因数是24；24和48的最小公倍数是48。 7．（24-25五年级下·湖北荆州·期末）有一个直角三角形，它的两条直角边的边长是两个不同的质数，并且和是18厘米，这个三角形的面积可能是多少平方厘米？ 【答案】32.5平方厘米或38.5平方厘米 【思路引导】先找出相加等于18的两组不同质数，再根据直角三角形面积公式：面积＝直角边×直角边÷2求出面积。 【规范解答】小于18的质数有2、3、5、7、11、13、17， 其中和为18的不同质数组合为： 5＋13＝18 7＋11＝18 5×13÷2 ＝65÷2 ＝32.5（平方厘米） 7×11÷2 ＝77÷2 ＝38.5（平方厘米） 答：这个三角形的面积可能是32.5平方厘米或38.5平方厘米。 8．（24-25五年级下·陕西渭南·期末）为响应国家“体重管理年”的号召，乐乐一家坚持进行体育锻炼。爸爸绕湖走一圈要用12分钟，乐乐绕湖走一圈要用18分钟。如果乐乐和爸爸两人同时从同一起点沿同一方向出发，至少多少分钟后乐乐和爸爸在起点处再次相遇？此时爸爸走了几圈？ 【答案】 36分钟；3圈 【思路引导】两人在起点再次相遇时，所用时间是各自走一圈所用时间的公倍数，要求至少多少分钟后相遇，就是求12和18的最小公倍数；再用最小公倍数除以爸爸走一圈的时间，得到爸爸走的圈数。 【规范解答】 12和18的最小公倍数是 （圈） 答：至少36分钟后乐乐和爸爸在起点处再次相遇，此时爸爸走了3圈。 9．（25-26五年级上·河南鹤壁·期末）自然数a一共有5个因数，把它们分别写在5张纸牌上，再按照从小到大的顺序倒扣在桌面上（如下图）。 (1)现在不知道a是多少，但翻开一张纸牌后便可推测出a是多少。你会翻开从左数的第( )张纸牌。理由( )。 (2)第几张纸牌不翻也知道它是几？ 【答案】(1) 2 因为这5个因数从小到大排列，第1个因数是1，从第二个因数数起，第几个因数就是第二个因数几次方 (2)第1张和第5张 【思路引导】一个数只有5个因数，说明它的因数个数比较少，这样的数有特殊的规律。我们可以从简单的数开始找规律。 16的因数：1，2，4，8，16，16＝2×2×2×2 81的因数：1，3，9，27，81，81＝3×3×3×3 625的因数：1，5，25，125，625，625＝5×5×5×5 2401的因数：1，7，49，343，2401，2401＝7×7×7×7 ………… 发现，有5个因数的规律是，从小到大排列，第1个因数是1，从第二个因数数起，第几个因数就是第二个因数几次方。 【规范解答】（1）会翻开从左数的第2张纸牌；理由是因为这5个因数从小到大排列，第1个因数是1，从第二个因数数起，第几个因数就是第二个因数几次方。 （2）第1张和第5张。第1张纸牌不翻也知道是1，因为所有自然数最小的因数都是1，第5张纸牌不翻也知道是这个数本身，因为所有自然数最大的因数都是它自己。 【考点剖析】关键点是利用因数个数的性质，判断出a是质数的4次方，从而确定因数的排列规律。 10．（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 【答案】（1）长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【思路引导】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此确定长和宽； （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，再用20减去质数求出对应的数看是否是合数且满足合数数量是质数数量的倍数。 【规范解答】（1）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 符合条件的是2×12和3×8 答：这个花坛的长和宽可能长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19 对应的数为18、17、15、13、9、7、3、1 2＋18＝20，18÷2＝9 5＋15＝20，15÷5＝3 答：这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【考点剖析】本题主要考查质数合数的概念与长方形面积的结合。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $