11.3 多面体与旋转体（讲义）高二数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦高中数学“简单几何体”中多面体与旋转体核心知识点，系统梳理多面体定义及分类、正四面体补形模型、折叠展开转化方法、旋转体生成原理，构建从概念理解到性质应用再到计算实践的学习支架。 资料设计“即学即练”与分层题型，结合储蓄罐、银杯等生活实例，通过补形法、展开转化等培养数学眼光与思维，助力教师系统授课，学生可借练习题与变式巩固查漏，提升空间观念与应用意识。

第11章 简单几何体 11.3 多面体与旋转体 课标要点 1.理解多面体、正多面体、旋转体相关定义，能够识别圆柱、圆锥、圆台的组成要素。 2.掌握正四面体性质与正方体补形模型，记住棱长、高、外接球半径、体积相关计算。 3.掌握多面体展开与折叠问题，会用展开图求解几何体表面两点的最短距离。 4.能够区分不同平面图形旋转得到的旋转体，辨析轴、底面、侧面、母线等概念。 学习重难点 重点： 1.多面体、旋转体的基础概念，分清圆柱、圆锥、圆台的生成方式和各个组成要素。 2.正四面体的常用性质，会利用正方体补形法求解高、外接球半径、体积等计算。 3.多面体折叠与展开，会把表面最短距离转化为平面两点线段长度求解。 难点： 1.正四面体正方体补形模型，容易混淆二者棱长换算关系，外接球相关计算容易出错。 2.折叠展开问题，分清折叠前后哪些几何量不变，建立空间到平面的转化思维。 3.判断平面图形绕不同轴旋转后得到的几何体，容易选错旋转轴造成几何体判断错误。 知识点一 多面体 1.多面体定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；棱柱、棱锥、棱台都属于多面体。 2.多面体命名：按照围成它的面的数量命名，几个面就叫做几面体。 （1）三棱锥有1个底面+3个侧面，是四面体；长方体（四棱柱）有6个面，是六面体。 （2）n棱锥：1个底面+n个侧面，共n+1面体； （3）n棱柱、n棱台：2个底面+n个侧面，共n+2面体。 （4）面数最少的多面体是四面体（三棱锥）。 3.正多面体：如果一个多面体所有面都是全等的正多边形，每个顶点汇集的棱条数相等，这个多面体叫做正多面体。 即学即练 1．具备下列条件的多面体是棱台的是（    ） A．两底面是相似多边形的多面体 B．侧面是梯形的多面体 C．两底面平行的多面体 D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体 知识点二 正四面体 正四面体是四个面均为全等正三角形的三棱锥，在立体几何中的地位相当于平面几何中的三角形。 设正四面体棱长a=1，则有以下结论： ①对应正方体棱长：；②正四面体的高： ③外接球半径：（外接球与正方体外接球是同一个球）； ④正四面体体积： 重要结论： ①正四面体的对棱互相垂直。 ②补形法：正四面体可补成正方体，正四面体体积等于对应正方体体积的。 即学即练 2．棱长为1的正四面体的表面积为______． 知识点三 多面体的折叠与展开 1.多面体展开图：画出底面，依次画出各个侧面，得到平面展开图，做题可标记顶点字母辅助辨认。 2.展开图复原几何体：将展开过程逆推，把平面图形折叠还原为空间多面体。折叠前后，对应棱长、对应面的大小保持不变。 3.表面最短距离：求几何体表面两点之间最短路径，将侧面展开为平面，利用两点之间线段最短求解，把空间问题转化平面几何问题。 特别提醒 折叠、展开问题，折叠前后几何量判断错误，不在同一个面上的线段空间距离会改变，很多同学搞错空间距离。 处理方法：折叠，同一平面内边长不变；跨平面的距离要展开后计算。求表面最短距离，必须展开成平面，不能直接在立体图连线算。 即学即练 3．如图是某储蓄罐的平面展开图，其中，且，．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．已知该储蓄的容积为，求制作该储蓄罐所需材料的总面积为______．（结果精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计） 知识点四 旋转体 1.旋转体定义：一个平面封闭图形绕它所在平面内一条定直线旋转一周，形成的封闭空间几何体，这条定直线叫做轴。 2.旋转面：一条平面曲线（直线、折线等），绕同一平面内一条定直线旋转一周得到的空间图形。 圆柱、圆锥、圆台概念： 1.定义   1.矩形绕它的一边旋转一周，得到圆柱；   2.直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，得到圆锥；   3.直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周，得到圆台。 2.相关概念   1.轴：旋转时固定不动的那条直线；   2.底面：垂直于轴的边旋转形成的圆面；   3.侧面：不垂直于轴的边旋转形成的曲面；   4.母线：不垂直于轴的边旋转到任意位置，都叫做母线。 即学即练 4．一只充满气的游泳圈可由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图像是（   ） A． B． C． D． 5．某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 题型01 多面体的概念及分类 典｜例｜精｜析 例1．下列命题正确的是（     ） A．一个多面体至少有个面 B．一个棱柱至少有4个面 C．直四棱柱都是长方体 D．平行六面体都是长方体 变｜式｜巩｜固 变式1-1．六棱台的顶点数和棱的条数分别为（    ） A．6， B．，6 C．， D．， 变式1-2．如图，六面体ABCDE的所有棱长均相等，它不能由下面的平面图形围成的是（   ） A． B． C． D． 变式1-3．下列说法中，正确的是（   ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 题型02 正四面体和正三棱锥 典｜例｜精｜析 例2．已知一个正四面体和一个正四棱锥所有的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 变｜式｜巩｜固 变式2-1．在正四面体中，设，则四面体的体积等于（    ）. A．1 B． C． D． 变式2-2．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知正三棱锥的侧面均为直角三角形，若该正三棱锥的体积为36，则正三角形的边长为__________. 题型03 多面体的性质探究 典｜例｜精｜析 例3．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式3-1．设空间平面与正八面体相交所得截面是边形，则的最大值=_________． 变式3-2．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为，则（   ） A．石凳是十四面体 B．石凳有23条棱 C．石凳的表面积为 D．石凳有24个顶点 变式3-3．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数．已知一个凸多面体的每个面或是三角形或是五边形，每个顶点处均有2个三角形面和2个五边形面相交，则该凸多面体有___________________个面． 题型04 由平面图旋转得旋转体 典｜例｜精｜析 例4．边长为1的等边三角形绕其一条边旋转一周，形成的几何体体积为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式4-1．已知在梯形中，，，，将梯形绕所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．如图，等边三角形与直线l在同一平面，AC垂直l于A，，则绕l旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是________ 变式4-3．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，以直线AD为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 题型05 由旋转体找出旋转图形 典｜例｜精｜析 例5．下列平面图形旋转后能得到如图所示几何体的为（     ） A．； B．； C．； D．． 变｜式｜巩｜固 变式5-1．如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（   ） A． B． C． D． 变式5-2．如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 变式5-3．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（　　）    A．   B．   C．   D．   题型06 简单组合体的表面积和体积 典｜例｜精｜析 例6．如图的组合体是一个正四棱锥和一个正四棱台拼接而成的，已知，则这个组合体的表面积为________． 变｜式｜巩｜固 变式6-1．素面高足银杯（如图1）是陕西历史博物馆收藏的唐代金银器典型代表，其造型被证实受到罗马拜占庭艺术风格影响，是研究唐代贵族生活方式与跨文化融合的关键物证．如图2，将银杯主体近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略）．已知杯口直径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（     ）． A． B． C． D． 变式6-2．如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是______． 变式6-3．如图，在平面四边形中，，，，，．求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积与体积． 基础通关 一、单选题 1．下列四个选项中正确的是（    ） A．有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．棱长都相等的直四棱柱是正方体 C．棱台的侧棱延长后交于同一点 D．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 2．在正四棱台中，，高为，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 3．“几何体是正五棱台”是“几何体是台体”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．若一个正n棱台共有18条棱，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．已知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为10cm，下底半径为18cm，母线长为17cm，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作两个这样的灯罩需要的丝绸材质布料面积为（    ） A． B． C． D． 6．在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若圆台上、下底面直径分别为和，高为，则此圆台的体积为_________． 8．在中，，以一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为______. 9．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，若侧面PAB和底面ABCD所成角的正切值为，则四棱锥的体积为______． 三、解答题 10．已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，求它的表面积和体积. 11．如图1，这是某公园路灯的灯柱．该灯柱由上、下两部分组成，下部分是正四棱柱，上部分是正四棱台，正四棱柱的上底面与正四棱台的下底面重合，其直观图如图2所示．已知该灯柱上部分正四棱台的上底面棱长为60厘米，下底面棱长为40厘米，侧棱长为30厘米，下部分正四棱柱的高为250厘米． (1)求该灯柱的侧面积； (2)求该灯柱的体积． 12．如图所示，在四边形中，，， (1)求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积； (2)求四边形绕旋转一周所成几何体的体积. 素养提升 1．如图，四边形的斜二测画法的直观图为梯形，已知，，，，则将四边形绕着旋转一周得到的旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 2．孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶．泡茶时讲究高冲低斟、均分茶汤．茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗．如图，一把圆台形茶壶，上口半径，下口半径，高；配套圆柱形品茗杯，底面半径，高．装满一壶茶水，最多能倒满（     ）杯． A．13 B．14 C．15 D．16 3．的三边边长分别为4，5，6，分别以三边，，所在直线为轴，将三角形旋转一周，所得到的封闭图形围成三个几何体，这三个几何体体积的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的体积为______. 5．某几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，已知正四棱锥的高，正四棱柱的高，且底面边长为2． (1)求该几何体的体积与表面积； (2)若一只蚂蚁沿着该几何体的表面从点爬到点，求爬行的最短路程． 迁移创新 1．如图是广场上供大家休息的石凳，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若截去的八个四面体体积和是，则不正确的有（    ） A．该多面体有14个面 B．该多面体有24条棱 C．该正方体的棱长为2 D．该多面体表面积为 2．我国传统建筑的屋顶结构常采用楔形．如图，某楔形屋顶可近似视为一个五面体（不含底面），底面四边形为矩形，屋脊底面，，，．已知每平方米铺满瓦约需30片，则铺满该屋顶约需的瓦片数为（    ）    A．9830 B．10560 C．12360 D．16770 3．在三棱锥中，，，，分别为所在棱的中点，如图，四边形把三棱锥分成两部分，则多面体与多面体的体积之比为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 简单几何体 11.3 多面体与旋转体 课标要点 1.理解多面体、正多面体、旋转体相关定义，能够识别圆柱、圆锥、圆台的组成要素。 2.掌握正四面体性质与正方体补形模型，记住棱长、高、外接球半径、体积相关计算。 3.掌握多面体展开与折叠问题，会用展开图求解几何体表面两点的最短距离。 4.能够区分不同平面图形旋转得到的旋转体，辨析轴、底面、侧面、母线等概念。 学习重难点 重点： 1.多面体、旋转体的基础概念，分清圆柱、圆锥、圆台的生成方式和各个组成要素。 2.正四面体的常用性质，会利用正方体补形法求解高、外接球半径、体积等计算。 3.多面体折叠与展开，会把表面最短距离转化为平面两点线段长度求解。 难点： 1.正四面体正方体补形模型，容易混淆二者棱长换算关系，外接球相关计算容易出错。 2.折叠展开问题，分清折叠前后哪些几何量不变，建立空间到平面的转化思维。 3.判断平面图形绕不同轴旋转后得到的几何体，容易选错旋转轴造成几何体判断错误。 知识点一 多面体 1.多面体定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；棱柱、棱锥、棱台都属于多面体。 2.多面体命名：按照围成它的面的数量命名，几个面就叫做几面体。 （1）三棱锥有1个底面+3个侧面，是四面体；长方体（四棱柱）有6个面，是六面体。 （2）n棱锥：1个底面+n个侧面，共n+1面体； （3）n棱柱、n棱台：2个底面+n个侧面，共n+2面体。 （4）面数最少的多面体是四面体（三棱锥）。 3.正多面体：如果一个多面体所有面都是全等的正多边形，每个顶点汇集的棱条数相等，这个多面体叫做正多面体。 即学即练 1．具备下列条件的多面体是棱台的是（    ） A．两底面是相似多边形的多面体 B．侧面是梯形的多面体 C．两底面平行的多面体 D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体 【答案】D 【详解】棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要成为棱台应有两个条件： 一是上、下底面平行；二是各侧棱延长后必须交于一点， 选项C只具备一个条件，选项A、B则两条件都不具备，只有D正确． 故选：D 知识点二 正四面体 正四面体是四个面均为全等正三角形的三棱锥，在立体几何中的地位相当于平面几何中的三角形。 设正四面体棱长a=1，则有以下结论： ①对应正方体棱长：；②正四面体的高： ③外接球半径：（外接球与正方体外接球是同一个球）； ④正四面体体积： 重要结论： ①正四面体的对棱互相垂直。 ②补形法：正四面体可补成正方体，正四面体体积等于对应正方体体积的。 即学即练 2．棱长为1的正四面体的表面积为______． 【答案】 【详解】因为正四面体的棱长为1， 所以此正四面体的表面积为， 故答案为：. 知识点三 多面体的折叠与展开 1.多面体展开图：画出底面，依次画出各个侧面，得到平面展开图，做题可标记顶点字母辅助辨认。 2.展开图复原几何体：将展开过程逆推，把平面图形折叠还原为空间多面体。折叠前后，对应棱长、对应面的大小保持不变。 3.表面最短距离：求几何体表面两点之间最短路径，将侧面展开为平面，利用两点之间线段最短求解，把空间问题转化平面几何问题。 特别提醒 折叠、展开问题，折叠前后几何量判断错误，不在同一个面上的线段空间距离会改变，很多同学搞错空间距离。 处理方法：折叠，同一平面内边长不变；跨平面的距离要展开后计算。求表面最短距离，必须展开成平面，不能直接在立体图连线算。 即学即练 3．如图是某储蓄罐的平面展开图，其中，且，．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．已知该储蓄的容积为，求制作该储蓄罐所需材料的总面积为______．（结果精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计） 【答案】691 【详解】 解:设 则， 则五边形的面积为 则容积，解得 其展开图的面积 故答案为：691 知识点四 旋转体 1.旋转体定义：一个平面封闭图形绕它所在平面内一条定直线旋转一周，形成的封闭空间几何体，这条定直线叫做轴。 2.旋转面：一条平面曲线（直线、折线等），绕同一平面内一条定直线旋转一周得到的空间图形。 圆柱、圆锥、圆台概念： 1.定义   1.矩形绕它的一边旋转一周，得到圆柱；   2.直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，得到圆锥；   3.直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周，得到圆台。 2.相关概念   1.轴：旋转时固定不动的那条直线；   2.底面：垂直于轴的边旋转形成的圆面；   3.侧面：不垂直于轴的边旋转形成的曲面；   4.母线：不垂直于轴的边旋转到任意位置，都叫做母线。 即学即练 4．一只充满气的游泳圈可由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得选项C绕对称轴旋转才能形成充满气的游泳圈. 5．某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知圆台的上底面半径，下底面半径，高， 则母线. 所以圆台侧面积为. 题型01 多面体的概念及分类 典｜例｜精｜析 例1．下列命题正确的是（     ） A．一个多面体至少有个面 B．一个棱柱至少有4个面 C．直四棱柱都是长方体 D．平行六面体都是长方体 【答案】A 【详解】对于A：一个多面体至少有个面，为四面体，故A正确； 对于B：一个棱柱至少有个面，为三棱柱，故B错误； 对于C：直四棱柱，上下底面为四边形，不一定是矩形，所以直四棱柱不一定是长方体，故C错误； 对于D：平行六面体可以是斜棱柱，故D错误． 变｜式｜巩｜固 变式1-1．六棱台的顶点数和棱的条数分别为（    ） A．6， B．，6 C．， D．， 【答案】C 【详解】由六棱台的性质可知，上、下底面各有6个顶点，共计个， 上、下底面各有6条边，侧棱有6条，共计条． 变式1-2．如图，六面体ABCDE的所有棱长均相等，它不能由下面的平面图形围成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】六面体是正三角双锥，由两个全等的正四面体将底面重合拼接而成，所有棱长相等，共5个顶点， 每个顶点恰好连接3条棱或4条棱， 选项C的展开图中，存在一个公共顶点，该点是5个正三角形的公共顶点，无法围成题干要求的六面体； A、B、D折叠后均可得到符合要求的六面体． 变式1-3．下列说法中，正确的是（   ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】B 【详解】A选项，正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点在底面的射影落在底面正多边形的中心，A错误； B选项，多面体中面数最少的为三棱锥，有4个面，B正确； C选项，有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误； D选项，用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误. 题型02 正四面体和正三棱锥 典｜例｜精｜析 例2．已知一个正四面体和一个正四棱锥所有的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】因为合成后共面，共面，故合成后即三棱柱，如图19，从而合成后只有5个面．    故选：A. 变｜式｜巩｜固 变式2-1．在正四面体中，设，则四面体的体积等于（    ）. A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，把正四面体补形成边长为1的正方体， 则四面体的体积为， 故四面体的体积为，故C正确. 故选：C.    变式2-2．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正三棱锥的所有棱长均为，所以每个面均为等边三角形，其面积为， 所以三棱锥的表面积为. 变式2-3．已知正三棱锥的侧面均为直角三角形，若该正三棱锥的体积为36，则正三角形的边长为__________. 【答案】 【详解】设该正三棱锥的各侧棱长均为，其侧面均为直角三角形， 则各侧面均为等腰直角三角形，故底面正三角形的边长为， 则该正三棱锥的体积，解得， 即三角形的边长为. 故答案为：. 题型03 多面体的性质探究 典｜例｜精｜析 例3．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正十二面体在每个顶点有3个面角，每个面角是， 所以正十二面体在各顶点的曲率为， 由于正十二面体有20个顶点，故其总曲率为. 故选：B 变｜式｜巩｜固 变式3-1．设空间平面与正八面体相交所得截面是边形，则的最大值=_________． 【答案】6 【详解】平面截多面体，截面边数=平面相交到的面的个数,正八面体是两个全等正四棱锥底面对扣， 共8个三角形面，6个顶点,虽然有8个面，但上半4个面汇聚上顶点，下半4个面汇聚下顶点， 不存在一个平面可以同时切割全部8个面，平面最多和其中6个面相交，如图： 因此截面最多是六边形,则的最大值为6. 变式3-2．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为，则（   ） A．石凳是十四面体 B．石凳有23条棱 C．石凳的表面积为 D．石凳有24个顶点 【答案】A 【详解】对于A，由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面，故A正确； 对于B，由题意知，该几何体有6个面为正方形，故该几何体的棱数为，故B错误； 对于C，被截正方体的棱长为，则多面体中正三角形边长为，正方形边长为，所以表面积，故C错误； 对于D，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，正方体有12条棱，所以该几何体的顶点数为12，故D错误. 故选：AB. 变式3-3．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数．已知一个凸多面体的每个面或是三角形或是五边形，每个顶点处均有2个三角形面和2个五边形面相交，则该凸多面体有___________________个面． 【答案】32 【详解】设该凸多面体顶点数为，三角形面共个，五边形面共个，总面数，棱数为， 每个顶点处有个面，对应每个顶点连条棱，每条棱由个顶点共用，因此： . 每个三角形含个顶点，每个顶点对应个三角形面，因此： ， 同理，每个五边形含个顶点，每个顶点对应个五边形面，因此： ， 总面数，代入欧拉公式， 可得， 因此总面数. 题型04 由平面图旋转得旋转体 典｜例｜精｜析 例4．边长为1的等边三角形绕其一条边旋转一周，形成的几何体体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】边长为1的等边三角形，绕其中一条边旋转一周，所得几何体是两个底面重合的同底圆锥. 等边三角形的高， 即圆锥底面半径，每个圆锥的高为. 几何体的体积为两个圆锥体积之和：. 变｜式｜巩｜固 变式4-1．已知在梯形中，，，，将梯形绕所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 将梯形绕所在的直线旋转一周形成的几何体如图： 所以表面积为. 变式4-2．如图，等边三角形与直线l在同一平面，AC垂直l于A，，则绕l旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是________ 【答案】 【详解】由题意可知， 为等边三角形，且 ，则 ，， 过点 作 于点 ，因为 ，所以 ， 则 与直线 的夹角为 ， 在 中，， 绕直线 旋转一周形成的几何体，其表面由三部分构成： 1、线段 旋转形成的圆面，其半径 ，面积 ； 2、线段 旋转形成的圆台侧面，其上底半径 ，下底半径 ， 母线长 ，面积 ； 3、线段 旋转形成的圆锥侧面（几何体的内表面），其底面半径 ， 母线长 ，面积 ； 故该几何体的表面积 . 变式4-3．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，以直线AD为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在直角梯形 中，过点作于点， 因为，，所以 因为，所以， 因为，，所以四边形 为矩形，因此， 在 中，由余弦定理得：， 所以， 因为 所以，即 ， 该几何体由 和 绕直线旋转而成， （1） 绕直线旋转形成一个圆锥，底面半径 ，高 ， 所以该部分体积为； （2） 绕直线旋转形成的几何体为圆台挖去一个圆锥， 如图，直角梯形绕直线形成圆台，绕直线形成圆锥， 因为，所以， 因为，所以，作所在直线，所以， 所以可得圆台的上底半径，下底半径，高， 所以圆台体积 小圆锥体积 所以该部分体积为 综上，该几何体的体积为 题型05 由旋转体找出旋转图形 典｜例｜精｜析 例5．下列平面图形旋转后能得到如图所示几何体的为（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【详解】对于A，由选项A的图形，旋转一周后，得到一个上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的几何体，符合题意； 对于B，由选项B的图形，旋转一周后，得到一个上半部分为圆锥，下半部分为圆台的几何体，不符合题意； 对于C，由选项C的图形，旋转一周后，得到一个上半部分为圆锥，下半部分为圆锥的几何体，不符合题意； 对于D，由选项D的图形，旋转一周后，得到一个上半部分为圆锥，中间部分为圆柱，下半部分为圆锥的几何体，不符合题意； 变｜式｜巩｜固 变式5-1．如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A中图形绕轴旋转可得由一个圆台挖去一个圆柱的组合体； B中图形绕轴旋转可得圆锥； C中图形绕轴旋转可得由一个圆柱挖去两个圆台的组合体； D中图形绕轴旋转可得由两个圆台挖去一个圆柱的组合体.故选A. 变式5-2．如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A旋转一周是圆锥，不满足题意； B旋转一周是两个圆锥，满足题意； C旋转一周是圆锥，不满足题意； D旋转一周是圆柱挖去一个圆锥的几何体，不满足题意. 故选：B. 变式5-3．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】由题意知，该几何体是组合体，上、下各一个圆锥， 根据旋转体的定义，可得B项，符合题意. 故选：B. 题型06 简单组合体的表面积和体积 典｜例｜精｜析 例6．如图的组合体是一个正四棱锥和一个正四棱台拼接而成的，已知，则这个组合体的表面积为________． 【答案】/ 【详解】设正四棱台侧面的高为，则， 即，则， ，， 故这个组合体的表面积为. 变｜式｜巩｜固 变式6-1．素面高足银杯（如图1）是陕西历史博物馆收藏的唐代金银器典型代表，其造型被证实受到罗马拜占庭艺术风格影响，是研究唐代贵族生活方式与跨文化融合的关键物证．如图2，将银杯主体近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略）．已知杯口直径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱的高为，而半球半径及圆柱底面圆半径为3， 由酒杯容积为，得，解得， 所以银杯内壁表面积为. 变式6-2．如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是______． 【答案】 【详解】因为在几何体中，侧棱，，均垂直于底面， 已知，，， 所以构造一个底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为6的正三棱柱， 其中，，，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式， 所以该几何体的体积是. 变式6-3．如图，在平面四边形中，，，，，．求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积与体积． 【答案】， 【详解】如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ． 由，可得，又 ，， 则， 因为 ，，所以 ． 于是四边形 为直角梯形，且 四边形 绕 所在直线旋转一周形成一个圆台，其中下底面半径为，上底面半径 ，高 ，母线长 ． 三角形 绕 所在直线旋转一周形成一个圆锥，其底面半径为，高 ，母线长为． 原四边形 旋转所得几何体为上述圆台挖去上述圆锥所得的几何体． 圆锥的底面与圆台的上底面重合，则最终几何体的表面由圆台的下底面、圆台的侧面和圆锥的侧面组成． 所以所求表面积为 即. 所求体积为 即. 故所求几何体的表面积为 ，体积为 ． 基础通关 一、单选题 1．下列四个选项中正确的是（    ） A．有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．棱长都相等的直四棱柱是正方体 C．棱台的侧棱延长后交于同一点 D．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 【答案】C 【详解】对于A：有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体， 不一定满足每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以不一定是棱柱，故A错误； 对于B：直四棱柱是侧棱垂直于底面的四棱柱， 棱长都相等的直四棱柱，其底面不一定是正方形， 可能是其它四边形，所以不一定是正方体，故B错误； 对于C：根据棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台， 由于棱台是由棱锥截得的，所以棱台的侧棱延长后一定交于同一点，故C正确； 对于D：底面是正多边形的棱锥，其顶点在底面的射影不一定是底面中心，所以不一定是正棱锥，故D错误. 2．在正四棱台中，，高为，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】下底面边长，面积， 上底面边长，面积. 所以. 3．“几何体是正五棱台”是“几何体是台体”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由“几何体是正五棱台”，可得“几何体是台体”，即充分性成立； 反之：“几何体是台体”，但“几何体不一定是正五棱台”，即必要性不成立， 所以“几何体是正五棱台”是“几何体是台体”的充分不必要条件. 4．若一个正n棱台共有18条棱，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】正棱台共有条棱，所以，解得． 5．已知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为10cm，下底半径为18cm，母线长为17cm，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作两个这样的灯罩需要的丝绸材质布料面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为. 6．在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，旋转后所得的几何体的上部分为圆锥，下部分为圆柱内挖去一个与上部分完全相同的圆锥，如下图所示， 在边长为2的菱形ABCD中，， 则圆柱底面圆的半径为，圆锥的高为， 所以一个圆锥的侧面积为，一个圆柱的侧面积为， 所以该几何体的表面积为． 二、填空题 7．若圆台上、下底面直径分别为和，高为，则此圆台的体积为_________． 【答案】 【详解】设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，高为， 则圆台的体积． 8．在中，，以一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为______. 【答案】 【详解】由题意如图所示： 在直角中，， 所以， 所以围成的几何体是一个底面圆半径为，高为的圆锥， 故该几何体的体积为：. 9．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，若侧面PAB和底面ABCD所成角的正切值为，则四棱锥的体积为______． 【答案】/ 【详解】过作平面于，过作于，连接， 因为平面，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为平面PAB和底面ABCD所成的角，所以， 所以，，所以， 又因为是等边三角形，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为：. 三、解答题 10．已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，求它的表面积和体积. 【答案】表面积为，体积为 【详解】因为四面体的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍， 不妨求的面积，取的中点为，连接； 因为是边长为2的正三角形，易知， 所以. 可得四面体的表面积为. 设为的中心，延长交于点，连接，，则底面，为的中点． ，， ． ． 11．如图1，这是某公园路灯的灯柱．该灯柱由上、下两部分组成，下部分是正四棱柱，上部分是正四棱台，正四棱柱的上底面与正四棱台的下底面重合，其直观图如图2所示．已知该灯柱上部分正四棱台的上底面棱长为60厘米，下底面棱长为40厘米，侧棱长为30厘米，下部分正四棱柱的高为250厘米． (1)求该灯柱的侧面积； (2)求该灯柱的体积． 【答案】(1)平方厘米． (2)立方厘米． 【分析】 【详解】（1） 由题意可得灯柱上部分正四棱台的斜高厘米， 则该正四棱台的侧面积平方厘米， 灯柱下部分正四棱柱的侧面积平方厘米， 故该灯柱的侧面积平方厘米． （2）由题意可得灯柱上部分正四棱台的高厘米， 则该正四棱台的体积立方厘米． 灯柱下部分正四棱柱的体积立方厘米． 故该灯柱的体积立方厘米． 12．如图所示，在四边形中，，， (1)求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积； (2)求四边形绕旋转一周所成几何体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知，四边形绕旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥的组合体， 过点作，垂足分别为，如下图所示： 易知，所以， 又，所以，可得； 故圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 母线长；高，母线长， 所以圆台的侧面积为， 圆锥的侧面积为，圆台的下底面面积为， 所以几何体的表面积为． （2）易知几何体的体积等于圆台体积减去圆锥体积， 即， 所以几何体的体积为． 素养提升 1．如图，四边形的斜二测画法的直观图为梯形，已知，，，，则将四边形绕着旋转一周得到的旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由斜二测画法规则，得四边形为直角梯形，，， 因此将四边形绕着旋转一周得到的旋转体为上、下底面半径分别为，高为6的圆台， 所以所求体积为． 2．孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶．泡茶时讲究高冲低斟、均分茶汤．茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗．如图，一把圆台形茶壶，上口半径，下口半径，高；配套圆柱形品茗杯，底面半径，高．装满一壶茶水，最多能倒满（     ）杯． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】设圆台的上、下底半径分别为、，高为，体积为；圆柱的底面半径为，高为，体积为． 由题意可知，，，，，， 根据圆台和圆柱的体积公式，茶壶的容积为： ， 茶杯的容积为：， 则最多能倒满的杯数为：， 因为要求倒满的杯数，故取整数部分，即最多能倒满15杯． 3．的三边边长分别为4，5，6，分别以三边，，所在直线为轴，将三角形旋转一周，所得到的封闭图形围成三个几何体，这三个几何体体积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，令，由余弦定理得， 显然的最大角为锐角，， 过作于，过作于，过作于， 由， 得， 则以直线为轴所得几何体的体积； 以直线为轴所得几何体的体积， 以直线为轴所得几何体的体积， 显然，所以三个几何体体积的最小值为.    4．如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的体积为______. 【答案】 【详解】如图1，将正三棱台，还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长都是3，如图2，点P在底面的射影是底面三角形的中心，，高， 所以根据相似关系可知，三棱台的高也是. 所以棱台的体积为. 5．某几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，已知正四棱锥的高，正四棱柱的高，且底面边长为2． (1)求该几何体的体积与表面积； (2)若一只蚂蚁沿着该几何体的表面从点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1)体积，表面积 (2) 【分析】 【详解】（1）该几何体的体积 过点作，垂足为，连接， 则 该几何体的表面积 （2） 如图，将和四边形展开到同一平面，连接，易知蚂蚁爬行的最短路程即为，过作，垂足为， 由，， 可得， 即蚂蚁沿着该几何体的表面从点爬到点，爬行的最短路程为． 迁移创新 1．如图是广场上供大家休息的石凳，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若截去的八个四面体体积和是，则不正确的有（    ） A．该多面体有14个面 B．该多面体有24条棱 C．该正方体的棱长为2 D．该多面体表面积为 【答案】C 【详解】对于A，由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面，故A正确； 对于B，由题意知，该几何体有6个面为正方形，故该几何体的棱数为，故B正确； 对于C，由题可知，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，设正方体棱长为，则，， 故截去的八个四面体体积和， 解得，该正方体的棱长为，故C错误； 对于D，结合C可知多面体中正三角形边长为，正方形边长为，所以表面积，故D正确. 2．我国传统建筑的屋顶结构常采用楔形．如图，某楔形屋顶可近似视为一个五面体（不含底面），底面四边形为矩形，屋脊底面，，，．已知每平方米铺满瓦约需30片，则铺满该屋顶约需的瓦片数为（    ）    A．9830 B．10560 C．12360 D．16770 【答案】B 【详解】由题意可知，底面四边形为矩形，则，， 该屋顶（不含底面）由，等腰梯形、等腰梯形四个面组成． 而， 取的中点，连接，则， 而，则， 则， 过点分别作，垂足为，    则，即， 所以， 则该屋顶（不含底面）的表面积为， 因为每平方米铺满瓦约需30片，则铺满该屋顶约需的瓦片数为. 3．在三棱锥中，，，，分别为所在棱的中点，如图，四边形把三棱锥分成两部分，则多面体与多面体的体积之比为______． 【答案】 【详解】取SB的中点为M，连接EM，FM，则，，， 从而平面平面HBG，故几何体为三棱柱， 四边形EFGH把几何体分为两部分，其中一部分是三棱柱与三棱锥的组合体． 设三棱锥的底面积为4s，高为2h，则三棱柱的底面积为s，高为h， 三棱锥的底面积为s，高为h， 多面体SEHBGF的体积为， 又， 所以多面体AEFCGH的体积为， 故多面体SEHBGF与多面体AEFCGH的体积之比为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $